Aula 2 - Sistemas Livres

Capítulo 2. REVISÃO DE VIBRAÇÕES MECÂNICAS 2.1. Sistemas com 1 Grau de Liberdade 2.1.1. Sistemas Livres sem Amortecimento 2.1.2. Sistemas Livres com Amortecimento 2.1.3. Sistemas Forçados com Excitação Harmônica 2.1.4. Sistemas Forçados com Excitação Periódica 2.2. Sistemas com N Graus de Liberdade 2.2.1. Sistemas com 2 GDL 2.2.2. Equação Matricial do Movimento 2.2.3. Determinação de Freqüências naturais e Formas Modais 2.2.4. Vibração Forçada de Sistemas com 2 GDL 2.2.5. Equações de Lagrange

1

2.1. SISTEMAS COM 1 GRAU DE LIBERDADE 2.1.1. Sistemas Livres Sem Amortecimento  Não há forças externas agindo no sistema  O sistema só entrará em movimento devido à aplicação de uma condição inicial de deslocamento e/ou velocidade  Não há amortecimento (C = 0 ou ζ=0)

2

Sistema Massa-Mola de 1 GDL:

Somente uma coordenada para descrever a posição do sistema: a coordenada x(t)

Dados k, m e as condições iniciais de . deslocamento e de velocidade x(t)

Determinar o modelo matemático (equação diferencial do movimento) e a resposta

Determinação do equação do movimento: •

Utilizando a 2a Lei de Newton

•

Utilizando o Método da Conservação da Energia 3

Obtenção do Modelo Matemático a partir da 2a Lei de Newton: 1. Selecionar uma coordenada adequada: Linear para descrever a translação de um ponto da massa rígida (normalmente o centro de massa) ou Angular para descrever a rotação de um corpo rígido. 2. Definir a posição de equilíbrio estático do sistema e usá-la como origem da coordenada escolhida. 3. Desenhar o Diagrama de Corpo Livre (DCL) da massa rígida para uma posição de deslocamento e velocidade positivas. Identificar todas as forças que atuam sobre a massa. 4. Aplicar a 2a Lei de Newton: 4

Determinação da Eq. do movimento usando a 2ª Lei de Newton Coordenada x(t) que é medida a partir da posição de equilíbrio estático P.E.E., sendo seu valor positivo para à direita.

Posição genérica do sistema, mas, de deslocamento positivo. Diagrama de Corpo Livre: isolar a massa e identificar as forças atuantes na mesma.

Fk(t)= k x(t) 2ª Lei de Newton:

 F  ma(t ) ma(t )   F & mx& (t )   F

& mx& (t )   Fk (t ) & mx& (t )  kx(t )

Eq. do movimento ou Modelo matemático

& mx& (t )  kx(t )  0 5

Resposta da Equação do Movimento do Sistema livre Sem Amortecimento (Expressão da Movimento Vibratório) & mx& (t )  kx(t )  0  & x& (t ) 

k x(t )  0  & x& (t )  n2 x(t )  0 Equação do Movimento m

λt Supondo solução do tipo: x(t ) = ae a e λ constantes a serem determinadas (Rever método dos coeficientes a determinar – um método de solução de equações diferenciais)

Derivando a solução proposta duas vezes: x(t ) = aλ2eλt x (t ) = aλe λt e substituindo na equação do movimento, chega-se a equação característica: λ2 + ω2n = 0 que fornece duas raízes: λ1,2 = ± jωn 6

Portanto, chega-se a duas soluções particulares: x1 (t ) = a1eλ1t = a1e jωn t x2 (t ) = a2eλ 2t = a2e − jωn t e Logo, a solução total é dada por: x(t ) = x1 (t ) + x2 (t ) = a1e jωn t + a2e − jωn t Utilizando as relações de Euler :

e jθ = cos θ + j sen θ e − jθ = cos θ − j sen θ

x(t ) = a1 (cos ωnt + j sen ωnt ) + a2 (cos ωnt − j sen ωnt ) x(t ) = (a1 + a2 ) cos ωnt + ( a1 − a2 ) j sen ωnt Finalmente, a solução da equação diferencial do movimento, que representa a expressão do movimento de vibração (oscilação) é dada por: x(t ) = A1 cos ωnt + A2 sen ωnt 7

x(t ) = A1 cos ωnt + A2 sen ωnt A1 e A2 dependem das condições iniciais de deslocamento e/ou velocidade: x(0) = x0 e x (0) = x 0 Para determinar as expressões de A1 e A2, aplicam-se as condições de contorno (condições iniciais) na expressão do movimento de resposta vibratória. Desta forma, obtém-se: x A1 = x0 A2 = 0 ωn Logo, as expressões do movimento são dadas por x 0 x(t ) = x0 cos ωnt + sen ωnt ωn A=

A12

+

A22

=

x02

 x 0   +   ωn 

2

ou

x(t ) = A sen(ωnt + θ)

 x0ωn   θ = arctg  x 0 

8

RESUMO SOBRE SISTEMAS COM 1 GDL COM MOVIMENTO TRANSLACIONAL Eq. do Movimento ou Modelo Matemático: mx + kx = 0

x + ω2n x = 0

ou

Solução ou Resposta, que fornece a expressão do movimento vibratório: x 0 x(t ) = x0 cos ωnt + sen ωnt ωn

ou

x(t ) = A sen(ωnt + θ)

 x  A = A12 + A22 = x02 +  0   ωn 

2

x ω  θ = arctg 0 n   x 0  9

Molas Associadas em Paralelo: mg = (k1 + k 2 )∆ = keq ∆ keq = k1 + k 2

mg = k1∆ + k 2 ∆

Generalizando para n molas em paralelo:

mg = keq ∆

n

keq = ∑ ki i

Molas Associadas em Série:

mg ∆1 = k1

mg ∆2 = k2

mg mg mg = + ⇒ keq k1 k 2

1 1 1 = + keq k1 k 2

Generalizando para n molas em série:

∆ = ∆1 + ∆ 2

∆=

mg keq

n 1 1 =∑ keq k i i

10

Molas Equivalentes Na análise de sistemas vibratórios é conveniente substituir elementos elásticos por molas equivalentes. Molas Tipo Vigas: 1) Viga engastada com massa concentrada em sua extremidade: EI L

Na condição de equilíbrio estático: mgL3 ∆= 3EI

k   mg  keq 

3EI L3

2) Viga bi-engastada com carga localizada no centro: EI

keq  192

L 3) Viga bi-apoiada : a b L

keq 

3EIL (ab) 2

EI L3

keq 

48 EI , para a  b 3 L

11

Massas Efetivas (Quando Considera-se a Massa da Mola) Se mm << m, despreza-se mm e

ωn =

keq m

rad/s

Se mm não for desprezível em keq ωn = rad/s relação a m, então mef

Para molas helicoidais:

1 mef = m + mm 3

Para molas tipo viga: Viga bi-apoiada com mef = m + 17 mm 35 carga central Viga engastada

mef = m + 0,23 mm 12

Sistemas Livre Sem Amortecimento de 1 Grau de Liberdade com Movimentos Angulares 2a Lei de Newton para sistema torcionais:

∑ M o = J o θ (t )

o

Somatório dos momentos (ou torques) em torno do eixo de rotação é igual ao momento de inércia de massa do corpo sob oscilação (em torno do eixo que passa por ‘o’- o centro de rotação’) vezes a aceleração angular do corpo

J o θ (t ) = − kt θ(t ) ⇒

ωn =

kt rad/s Jo

J o θ + kt θ = 0

Equação do Movimento

Freqüência Natural

13

2.1.2. Sistemas Livres Amortecidos n

a) Amortecedores em paralelo:

ceq = ∑ ci i

b) Amortecedores em série:

Equação do Movimento:

n 1 1 =∑ ceq c i i

Sistema oscila devido às condições iniciais

mx(t ) + cx (t ) + kx(t ) = 0

* Fator de Amortecimento (ζ): ζ =

c c c = = cc 2mωn 2 km

Podemos escrever a equação do movimento em termos de ζ e ωn (em vez de m, c e k): Equação do Movimento:

x(t ) + 2ζω n x (t ) + ω2n x(t ) = 0 14

λt

Supondo solução do tipo x(t ) = Be e substituindo-a juntamente com as suas derivadas na equação do movimento, tem-se a seguinte equação característica:

λ2 + 2ζω n λ + ω2n = 0 Cujas raízes são dadas por:

λ1,2 = −ζωn ± ωn ζ 2 − 1

Autovalores do sistema

Dependendo do valor de ζ as raízes podem reais ou complexas. Para haver oscilação do sistema, as raízes devem ser complexas. Pois, uma exponencial complexa pode ser escrita em termos de funções harmônicas (já que estas descrevem um movimento oscilatório) 1o Caso: ζ > 1 λ1 e λ2 são reais, distintas e negativas, desde que

λ1 = −ζω n + ωn ζ 2 − 1

ζ2 −1 < ζ

λ 2 = −ζω n − ωn ζ 2 − 1 15

x(t )  B1e1t  B2e2t x(t ) = B1e

( − ζω n + ωn ζ 2 −1)t

+ B2e

( − ζω n − ωn ζ 2 −1)t

 Como as raízes são negativas, o movimento diminui com o tempo  O movimento é dito ser SUPERAMORTECIDO  O movimento não é oscilatório (vibratório)

16

2o Caso: ζ = 1

λ1 = λ 2 = −ωn

x(t ) = ( B1 + B2t )eλ1t = ( B1 + B2t )e −ωn t  Novamente tem-se uma exponencial decrescente, logo, o movimento diminui com o tempo  O movimento é dito ser CRITICAMENTE AMORTECIDO  O movimento não é oscilatório (vibratório)

17

3o Caso: ζ < 1

λ1,2 = −ζωn ± ωn ζ 2 − 1

ζ 2 − 1 < 0 ⇒ (−1)(1 − ζ 2 ) = (−1) 1 − ζ 2 = j 1 − ζ 2 λ1,2 = −ζω n ± jωn 1 − ζ 2 λ1,2 = −ζωn ± jωd

Autovalores do sistema (parte real deve ser negativa)

ωd = ωn 1 − ζ 2

ω d < ωn

Freqüência Natural Amortecida

18

x(t ) = B1e( −ζω n + jωd )t + B2e( −ζω n − jωd )t x(t ) = B1e −ζω n t e jωd t + B2e −ζω n t e − jωd t

x(t ) = e −ζω n t ( B1e jωd t + B2e − jωd t ) (Usando as eq’s de Euler)

x(t ) = e −ζω n t [( B1 + B2 ) cos ωd t + ( B1 − B2 ) j sen ωd t ]

x(t ) = e −ζω n t ( A1 cos ωd t + A2 sen ωd t )

Solução

A1 e A2 determinados através das condições iniciais

A1 = x0

x + ζωn x0 A2 = 0 ωd

19

A resposta também pode ser escrita por:

x(t ) = Ae −ζω n t sen(ωd t + θ)

A = A12 + A22 θ = arctg( A1 / A2 )

 O movimento é harmônico de freqüência ωd e amplitude que decresce exponencialmente  O movimento é oscilatório (vibratório)  O movimento é dito ser SUBAMORTECIDO

20