Aula 4 - Excitação Periódica

2.1.4. Sistemas Forçados com Excitação Periódica n

 F0i cos(i t   )

F(t) =

i 1

x(t) = ?

Ex: F(t)=F01 cos Ω1t+ F02 cos Ω2t Se (1/2) formarem um número racional, então a soma das duas funções harmônicas resulta em uma função periódica.

Para determinar x(t) devemos conhecer o princípio da superposição modal:

* Princípio da Superposição Linear F1(t)

F2(t)

F1(t)+F2(t)

Sistema Linear M, C, K

x1(t)

Sistema Linear M, C, K

x2(t)

Sistema Linear M, C, K

Sistemas Lineares obedecem ao princípio da superposição linear

x1(t)+x2(t) 1

De forma geral: F1(t)+F2(t)+F3(t)+...+Fn(t)

Sistema Linear M, C, K

x1(t)+x2(t)+x3(t)+...+xn(t)

De acordo com o princípio da superposição linear, a resposta de um sistema linear, excitado por várias forças, pode ser determinada calculando-se a resposta a cada uma força excitadora e somando-se os resultados. Exemplo: Calcular a resposta em regime permanente x(t) de um sistema linear de 1 GDL submetido a uma força periódica do tipo: F(t) = F01 cos 1t+ F02 cos 2t

Solução:

Se F(t) = F1(t)+ F2(t), então: x(t) = x1(t)+ x2(t)

x1(t)  resposta do sistema devido à ação de F1(t) x2(t)  resposta do sistema devido à ação de F2(t) 2

Logo: x1 (t )  X1 cos(t  1 )



X1 

F01 / k 

2 2

2

   1     n      

    4    n

     2     n   1  arctan  2     1     n   

x2 (t )  X 2 cos(2t  2 ) X2 





F02 / k 2 2

   1 4      n   

x(t) = x1(t)+ x2(t)





2

    16    n 

2  arctan  





4      n   2   1 4     n  

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 No caso da força periódica ser dada por uma função que não esteja explicitada por uma soma de funções harmônicas, ainda pode-se reescrever a função como sendo um somatório de funções harmônicas. Isto é feito através da Série de Fourier. Exemplo: T=2π/Ω F F (t ) = 0 t , T

Ω =2π/T 0
Período Freqüência Fundamental

 Qualquer função periódica pode ser representada por uma série de funções harmônicas cujas freqüências são múltiplos inteiros da freqüência fundamental Ω. Esta série de funções harmônicas é conhecida como a Série de Fourier, e pode ser escrita da seguinte forma: ∞ 1 F (t ) = a0 + ∑ ( an cos nΩt + bn sen nΩt ) 2 n =1

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sendo:

an , bn

⇒ Coeficientes de Fourier Ω = 2π / T ⇒ Freqüência fundamental nΩ = 2nπ / T ⇒ Freqüência do n-ésimo harmônico 2 T an = ∫ F (t ) cos(nΩt ) dt , n=0,1,2,... T 0 2 T bn = ∫ F (t ) sen(nΩt ) dt , n=1,2,... T 0 Exemplo: Determine a série de Fourier da função mostrada abaixo:

F0 F (t ) = t, T

Resposta:

1 1 ∞ 1   F (t ) = F0 − ∑ sen(nΩt )  2 π  n n =1  

0
5

Série com 4 termos

Série com 8 termos

Série com 16 termos

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Conclusão: Desde que uma força periódica qualquer pode ser representada como uma soma de senos e co-senos, e desde que o sistema (submetido a esta força) seja linear, a resposta deste sistema de 1 GDL é determinada calculando a resposta devido aos termos individuais da série de Fourier e adicionando os resultados

mx(t ) + cx (t ) + kx(t ) = F (t ) Sendo que a força de excitação é dada por: ∞ 1 F (t ) = a0 + ∑ ( an cos nΩt + bn sen nΩt ) 2 n =1

Logo, a resposta em regime permanente é dada por: ∞

x(t ) = x1 (t ) + ∑ [ xcn (t ) + xsn (t )] n =1

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Em que a solução x1(t) satisfaz a seguinte equação:

mx1 (t ) + cx1 (t ) + kx1 (t ) = a0 / 2 x1 (t ) = a0 / 2k

e é expressa por: De forma análoga:

mxcn (t ) + cx cn (t ) + kxcn (t ) = an cos(nΩt ), n = 1,2,.. xcn (t ) =

an / k 2 2 2

(1 − n r ) + (2ζnr )

2

cos(nΩt − φ n ), n = 1,2,..

e:

mxsn (t ) + cx sn (t ) + kxsn (t ) = bn sen(nΩt ), n = 1,2,.. xsn (t ) =

bn / k 2 2 2

(1 − n r ) + (2ζnr ) n  arctg 



2

sen(nΩt − φ n ), n = 1,2,..

2 nr 

 1  (nr ) 2    

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Exemplo: Um came atuando sobre um sistema massa-mola é mostrado na figura ao lado. O gráfico do deslocamento do came é mostrado na figura abaixo, cuja amplitude máxima é 25,4 mm. A velocidade do came é 60 rpm. Assumir m=20kg, k1=k=3,5 kN/m, e c=0,2kNs/m. Encontrar a resposta em regime permanente.

Y 0,0254 y (t ) = t = t, T T

0
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Solução: Equação do Movimento: sendo:

y (t ) =

m x(t ) + c x (t ) + 2k x(t ) = k y (t )

0,0254 t , T

0
Escrevendo y(t) como uma série de funções harmônicas (Série de Fourier): ∞ 1 y (t ) = a0 + ∑ ( an cos nΩt + bn sen nΩt ) 2 n =1 a0 , an , bn = ?

an =

2 T y (t ) cos(nΩt ) dt , ∫ 0 T

n=0,1,2,...

2 T n=1,2,... y (t ) sen(nΩt ) dt , ∫ 0 T T 2   2 T 2 T  0,0254 t  0,0508 t a0 = ∫ y (t ) dt = ∫    = 0,0254  dt = 2 0 0 T T  T  T  2  0

bn =

Pode-se mostrar que:

an = 0

bn = −

0,0254 nπ

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Então:

0,0254 ∞  0,0254  y (t ) = − ∑ sen nΩt  2 nπ  n =1

Logo, a equação do movimento torna-se: ∞   0,0254  mx + cx + 2kx = k 0,0127 − ∑  sen nΩt  nπ  n =1 

E a resposta em regime permanente será dada por: ∞

∞

x(t ) = x1 (t ) + ∑ [ xcn (t ) + xsn (t )] = x1 (t ) − ∑ xsn (t ) n =1

n =1

(neste caso)

Determinação de x1(t): (resposta devido a uma força constante)

mx1 + cx1 + 2kx1 = 0,0127 k x1 = F0 / keq = 0,0127 k / 2k x1 = 0,00635 m 11

Determinação de xsn (t):

0,0254 ∞ mxsn + cx sn + 2kxsn = k ∑ ( sen nΩt ) nπ n =1 xsn (t ) =

xsn (t ) =

ωn = r=

F0n / keq (1 − (nr ) 2 ) 2 + (2ζnr ) 2  0,0254k  / 2k nπ   (1 − (nr ) 2 ) 2 + (2ζnr ) 2

sen(nΩt − φ n )

sen(nΩt − φ n )

2(3,5 ×103 ) = = 18,71 rad/s m 20

keq

Ω 2π(1) = = 0,107 π ωn 18,71

c c 0,2 ×103 ζ= = = = 0,267 2mωn 2 keq m 2 2(3,5 ×103 )20

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0,0127 xsn (t ) =

πn

(1 − (0,107 πn) 2 ) 2 + (0,057 πn) 2

sen(2πnt − φn )

Logo, a resposta total em regime permanente é dada por:

0,0127 ∞ 1 1 x(t ) = 0,00635 − sen(2πnt − φ n ) ∑ π n =1 n (1 − (0,107 πn) 2 ) 2 + (0,057 πn) 2 Sendo:

 2ζnr   0,057 nπ     φ n = arctg = arctg  1 − (nr ) 2   1 − (0,107nπ) 2     

Determinação da resposta para os 3 primeiros harmônicos:

 0,057π   φ1 = arctg  1 − (0,107 π) 2   

φ1 = 11,4o 13

 0,057 × 2π   φ 2 = arctg  1 − (0,107 × 2π) 2   

φ 2 = 33,13o

 0,057 × 3π   φ3 = arctg  1 − (0,107 × 3π) 2   

φ3 = −88,30o

0,0127 X s1 =

(1 − (0,107 π) 2 ) 2 + (0,057 π) 2 0,0127

X s2 =

π

2π

(1 − (0,107 × 2π) 2 ) 2 + (0,057 × 2π) 2 0,0127

X s3 =

3π

(1 − (0,107 × 3π) 2 ) 2 + (0,057 × 3π) 2

X s1 = 0,0046 m = 4,6 mm

X s 2 = 0,0031 m = 3,1 mm

X s3 = 0,0025 m = 2,5 mm 14

Portanto, a resposta para os 3 primeiros harmônicos é igual a:

x(t ) = 6,35 − 4,5 sen(2πt − 11,4o ) − 3,1sen(4πt − 33,13o ) − 2,5 sen(6πt + 88,3o ) Cujo gráfico no domínio do tempo é dado por::

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O gráfico das magnitudes das amplitude em função da freqüência é denominado de espectro de freqüências da amplitude. O mesmo pode-ser obtido para a fase: Espectros de Freqüências:

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OBSERVAÇÕES: 1) Os sinais periódicos quando visualizados no domínio da freqüência, possuem o espectro discreto, ou seja, composto por raias.

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