Aula 1 - Classificação De Sinais

Capítulo 1 Classificação de Sinais, MHS e Modulação de Sinais 1.1. Classificação de Sinais Um sinal é definido como qualquer quantidade física que varia com o tempo, espaço, ou qualquer outra variável independente, que carrega informação sobre o estado ou comportamento de um sistema físico. Classificações: A) B) C) D) E)

Sinais de Tempo Contínuo e de Tempo Discreto Sinais Reais e Complexos Sinais ou Funções Pares e Ímpares Sinais Determinísticos e Aleatórios Sinais Determinísticos: Periódicos e Não-Periódicos 1

A) Sinais de Tempo Contínuo e de Tempo Discreto Seja um sinal x(t). Este sinal é um sinal de tempo contínuo se t for uma variável contínua. Se t for uma variável discreta, então x(t) é um sinal de tempo discreto. Por ser definido em tempos discretos, um sinal de tempo discreto freqüentemente é identificado por uma seqüência de números, denotada por {xn} ou x[n], sendo n=inteiro.

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Exemplos de sinais de tempo contínuo:

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Sinais em tempo discreto: são definidos apenas em determinados instantes de tempo. Podem surgir de duas formas:  Sinais provenientes de eventos efetivamente discretos no tempo.

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 Selecionando-se valores de um sinal em tempo contínuo em determinados instantes de tempo (estes instantes não necessitam ser eqüidistantes mas, na prática, costuma-se adotar intervalos de tempo constantes). Este processo é chamado de amostragem ou discretização. x(t 0 ), x(t1 ),...., x(t n ),... x[0], x[1],...., x[n],... x0 , x1 ,...., xn ,...

Qualquer valor da seqüência é dado por: xn = x[n] = x(n∆t ) Os xn são as amostras e o intervalo de tempo entre elas (∆ t) é chamado intervalo de amostragem. 5

B) Sinais Reais e Complexos Um sinal complexo x(t), em geral, é uma função da forma:

x(t ) = x1 (t ) + j x2 (t ) Sendo x1(t) e x2(t) sinais reais e j = − 1 C) Sinais ou Funções Pares e Ímpares Um sinal x(t) ou x[n] é chamado par se: x(−t ) = x(t ) x[−n] = x[n]

Um sinal x(t) ou x[n] é chamado ímpar se: x(−t ) = − x(t ) x[−n] = − x[n] 6

Qualquer sinal x(t) ou x[n] pode ser expresso como soma de de um sinal ímpar com um sinal par. Isto é,

x(t ) = x p (t ) + xi (t ) x[n] = x p [n] + xi [n] sendo

1 [ x(t ) + x(−t )] parte par de x(t) 2 1 x p [n] = { x[n] + x[− n]} parte par de x[n] 2 1 xi (t ) = [ x(t ) − x (−t )] parte ímpar de x(t) 2 1 xi [n] = { x[n] − x[− n]} parte ímpar de x[n] 2 x p (t ) =

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D) Sinais Determinísticos e Aleatórios Sinais Determinísticos

Aleatórios

 Sinais Determinísticos: Podem ser descritos por uma função matemática.  Sinais Aleatórios: Não podem ser descritos por uma função matemática. E) Sinais Determinísticos: Periódicos e Não-Periódicos Determinísticos Periódicos Harmônicos

Não-Periódicos

Não-Harmônicos

Quase-Periódicos

Transientes

 Sinal Periódico: Aquele que se repete a cada intervalo de tempo.

x(t + nT ) = x(t ), n = 1,2,3,... Período Fundamental

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Sinais Harmônico: Descrito por um seno ou um co-seno. x (t ) = A cos(ωt + φ)

x(t ) = A cos(ω t + φ ) = A cos(2π ft + φ )

ω = 2π f ω → freqüência angular [rad/s] f → freqüência [Hz] φ → ângulo de fase

1 f = T

2π ω= T

π π Se φ = − ⇒ x(t ) = A cos(ω t − ) = A sen(ω t) 2 2 9

Importante ! !

• A soma de duas funções harmônicas será também uma função harmônica se, e somente se, as duas funções tiverem a mesma freqüência. • Caso as funções harmônicas não tenham a mesma freqüência. Então a resultante não será uma harmônica, mas poderá ou não ser periódica. • A soma de duas ou mais funções harmônicas será periódica somente se as razões de todos os pares de freqüências contidas no sinal resultarem em números racionais. Isto indica que um período fundamental existe.

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Sinal Periódico Não-Harmônico: Não pode ser descrito por uma função harmônica, mas pode ser descrito por um somatório de funções harmônicas – a Série de Fourier:

1 x(t ) = a0 + 2 sendo:

∞

∑ ( an cos 2πnf 0t + bn sen 2πnf 0t ) n =1

an , bn

⇒ Coeficientes de Fourier f 0 = 1 / T ⇒ Freqüência fundamental em [Hz] nf 0 = n / T

⇒ Freqüência do n-ésimo harmônico

2 T an = x(t ) cos(2πf 0t ) dt , T 0

n=0,1,2,...

2 T bn = ∫ x(t ) sen(2π nf0 t ) dt , T 0

n=1,2,...

∫

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Exemplo: Determine a série de Fourier da função mostrada abaixo:

F0 F (t ) = t, T Resposta:

0
1 1 ∞ 1   F (t ) = F0 − ∑ sen(nΩt )  2 π  n n =1   Série com 4 termos

Série com 8 termos

Série com 16 termos 12

Sinal Quase-Periódico: É um sinal determinístico descrito por um somatório de funções harmônicas, mas não é periódico desde que a razão de um par de freqüências contidas no sinal não seja um número racional. O espectro deste sinal é similar ao caso do sinal periódico. Sinais Transientes: São todos os sinais determinísticos que não são periódicos e nem quase-periódicos. Os sinais que se extinguem com o tempo se enquadram nesta classe. Exemplos: Temperatura de uma substância aquecida após ser desligada a fonte. Vibração livre amortecida de um sistema mecânico. Tensão em um cabo que se rompe no tempo C.

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1.2. Movimento Harmônico Simples (MHS)  É a forma mais simples de movimento periódico  Possui larga aplicação no estudo das vibrações  É um movimento alternativo que pode ser representado por funções circulares, seno ou co-seno, ou mesmo a soma destes, contanto que tenham a mesma freqüência.

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Considere o movimento do ponto P ao longo do eixo x. y P O -X X x x(t) O movimento alternativo do ponto entre –X e X pode ser escrito por: OP = x(t) = X cosω t

+X -X

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t: tempo [s] X: amplitude ou deslocamento máximo x(t) = X cos ω t ω : freqüência circular do movimento [rad/s] Como as funções circulares repetem-se a cada 2π radianos, um ciclo de movimento é completado quando ω T=2π . Então: 2π Período: T = [s/ciclo] ω 1 ω Freqüência: f = = [ciclos/s], ou [Hz] T 2π Se x(t) representa o deslocamento de uma massa de um sistema vibratório, então: dx = x (t ) = −ωX sen ωt = ωX cos(ωt + π / 2) Velocidade: dt  Aceleração: dx = x(t ) = −ω2 X cos ωt = ω2 X cos(ωt + π) 16 dt

Da equação da aceleração tem-se: x(t ) = −ω2 X cos ωt = −ω2 x(t )

ω2 = constante

Então quando a aceleração de uma partícula for proporcional ao deslocamento dessa partícula e de sentido oposto, dizemos que esta partícula executa um MHS. * Observações: 1)

x(t ) + ω2 x(t ) = 0

Equação Diferencial do MHS

2) A soma de um seno com um co-seno pode ser escrita somente por um seno ou um co-seno, com a inclusão de um ângulo de fase. x1 = A cos ωt Sejam x2 = B sen ωt

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xs (t ) = x1 (t ) + x2 (t ) = A cos ωt + B sen ωt xs (t ) = A cos ωt + B sen ωt = X 1 cos(ωt − θ1 ) xs (t ) = A cos ωt + B sen ωt = X 2 sen(ωt + θ2 ) X1, X 2 , θ1, θ2 ?? Isto ocorrerá se não houver ângulos de fase nas funções x1(t) e x2(t).

X 1 = X 2 = X = A2 + B 2 B  A θ1 = arctg   e θ2 = arctg    A B

3) A soma de suas funções harmônicas com freqüências diferentes não resulta em uma função harmônica x1 = A1 cos ω1t x2 = A2 sen ω2t

xs (t ) = x1 (t ) + x2 (t )

Função Não-Harmônica (mas, pode ser periódica) 18

4) No caso de ω 1 ≈ ω 2, ou seja: ω 2 = ω 1+ε sendo ε << ω 1 O movimento pode ser considerado como uma função harmônica de freqüência (ω 1+ε /2) que é aproximadamente igual a ω 1, e com uma amplitude variável de [2Xcos(ε / 2)t]. Este é o fenômeno de Batimento. Exemplo: clear all;close all A1=2;A2=3;w1=3;w2=3.2; t=[0:0.01:90]; x1=A1*sin(w1*t); x2=A2*sin(w2*t); xs=x1+x2; set(gcf,'color',[1 1 1]) plot(t,xs,'-k');title('FENÔMENO DE BATIMENTO')

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Exemplo prático de sinal tipo batimento: Vibração produzida em uma estrutura por duas ou mais máquinas operando na mesma freqüência nominal. Ω N+ε

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Ω N+ε

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Acelerômetro

Analisador de Sinais

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Exercícios 1) Um movimento harmônico simples possui 0,01 mm de amplitude máxima e freqüência de 50 Hz. Determine: (a) a equação do MHS; (b) a máxima velocidade; (c) a máxima aceleração 2) A determine a amplitude e o ângulo de fase da oscilação dada pela soma das duas funções harmônicas: x1(t)=10cos(ω t) e x2(t)=15cos(ω t+2). 3) Sejam x1(t) e x2(t) sinais periódicos comperíodos fundamentais T1 e T2, respectivamente. Sob quais condições, a soma x(t)=x1(t)+x2(t) será periódica? E qual será o período fundamental de x(t) se ele for periódico? 4) Determine se o sinal x(t)=cos(π /3)t+sen(π /4)t é periódico ou não. Se for periódico, determine o seu período.

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