Aula 3 - Sistemas Forçados Hamonicamente

2.1.3 SISTEMAS FORÇADOS COM EXCITAÇÃO HARMÔNICA F(t)=F0 cos Ωt Modelo Matemático (Equação do Movimento): x(t)

mx + cx + kx = F0 cos Ωt

(1)

A solução geral da equação do movimento acima fornecerá a expressão do movimento de resposta do sistema devido às condições iniciais e devido à força externa harmônica:

x(t ) = xh (t ) + x p (t ) A solução da equação homogênea é a expressão da resposta de um sistema livre com amortecimento, ou seja:

Ou,

xh (t ) = e −ζω n t (C1 cos ωd t + C2 sen ωd t )

(2a)

xh (t ) = Ce −ζω n t sen(ωd t + θ)

(2b)

1

Devido a excitação ser harmônica, a solução particular é também harmônica e de mesma freqüência da excitação. Contudo, devido a presença do amortecimento, a resposta estará defasada da excitação. Este atraso é representado pelo ângulo de fase φ. Desta forma, assume-se:

x p (t ) = X cos(Ωt − φ)

(3)

As expressões de X e φ podem ser obtidos substituindo (3) em (1). Assim:

X=

F0 2 2

(k − mΩ ) + (Ωc)

2

 Ωc  φ = arctg   2  k − mΩ 

(4a)

 2ζ r  φ = arctg   2 1− r 

(4b)

Ou,

X=

F0 / k (1 − r 2 ) 2 + (2ζr ) 2 r 

n

Razão de freqüências

2

Portanto, a solução total do sistema é dada por:

x(t ) = Ce

− ζω n t

sen(ωd t + θ) +

F0 / k (1 − r 2 ) 2 + (2ζr ) 2

cos(Ωt − φ)

Como existe amortecimento, a solução xh(t) irá desaparecer com o aumento do tempo, permanecendo somente a solução particular. Desta forma, a solução particular, para este tipo de sistema, é também chamada de solução em regime permanente. No gráfico da solução total, a parte que é influenciada pela solução xh(t) é chamada de parte transiente da solução, devido xh(t) ser uma função transiente.

3

Exemplo:

4

Na ressonância, o gráfico da solução total possui a configuração abaixo. A amplitude de vibração tende a um valor máximo igual a Fo/k2ζ. Se não houvesse amortecimento a amplitude máxima tenderia ao infinito.

Exemplo acústico do fenômeno da ressonância

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Variação da Amplitude da Resposta (X) em Regime Permanente e do ângulo de Fase (φ) em Função da Freqüência de Excitação (Ω) e do Amortecimento (ζ)

x p (t ) = X cos(Ωt − φ)

 2ζ r  φ = arctg   2 1− r 

X=

Resposta em Regime Permanente Ângulo de Fase da Resposta em Regime Permanente

F0 / k (1 − r 2 ) 2 + (2ζr ) 2

Amplitude da Resposta em Regime Permanente

X X 1 = = = R ⇒ Fator de Ampliação F0 / k X 0 (1 − r 2 ) 2 + (2ζr ) 2 (Amplitude Normalizada) Na verdade, iremos analisar o gráfico do Fator de Ampliação (R) e do ângulo de fase (φ) em função da razão de freqüências (r) e do amortecimento 6

Gráfico do Fator de Ampliação (R) em função da razão de freqüências (r) e do fator de amortecimento (ζ )

7

Gráfico do Fator de Ampliação (R) e do ângulo de fase (φ) em função da razão de freqüências (r) e do fator de amortecimento (ζ ) ζ

8

9

Características do Gráfico R × r : •

Para o caso de sistema sem amortecimento (ζ=0), a amplitude de vibração tende ao infinito (R→∞) quando r=1

•

Qualquer quantidade de amortecimento (ζ>0) reduz o fator de ampliação para qualquer valor da freqüência de excitação

•

A redução de R com o amortecimento é bem mais significativa na região da ressonância (r≅1)

•

•

Para 0< ζ<1/√2, o máximo valor de R ocorre quando 1 O máximo valor de R é dado por Rmax = 2ζ 1 − ζ 2 Para ζ ≥ 1/√2, Rmax = 1

•

Para r<<1, a amplitude vibração é dominada pela rigidez

•

Para r≅1, a amplitude vibração é dominada pelo amortecimento

•

Para r>>1, a amplitude é dominada pela massa

•

É quase sempre desejável que uma máquina opere fora da região da ressonância

•

r = 1 − 2ζ 2

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Características do Gráfico φ × r : •

Para o caso de sistema sem amortecimento (ζ=0), o ângulo de fase é 0 para 01

•

Para ζ>0 e 0
•

Para ζ>0 e r>1, o ângulo de fase situa-se entre 90o < φ <180o

•

Para ζ>0 e r=1, o ângulo de fase é igual a 90o

EXERCÍCIO: •

Um sistema de 1GDL possui m=2 kg, c=35 Ns/m, k=4 kN/m, e está submetido uma excitação de 30 senΩt N. Determine a amplitude do movimento em regime permanente e o ângulo de fase para as seguintes freqüências de excitação:

a) Ω=6 rad/s; (b) Ω = ωn 1 − 2ζ 2 ; (c) Ω=ωn rad/s; (d) Ω=120 rad/s 11

Freqüência de Excitação [rad/s]

Razão de Freqüências (r)

Amplitude da Vibração (X) [mm]

Fator de Ampliação (R)

6

0,13

7,63

1,017

0,96

19,51

2,60

ωn

1

19,13

2,55

120

2,68

1,19

0,16

ωn 1 − 2ζ 2

Gráfico da Resposta em Freqüência

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