Aula 5 - Sistemas Com N Gdl

2.2. TEORIA DE SISTEMAS COM N GDL’S 2.2.1 Sistemas com 2 GDL 2.2.2 Equação Matricial do Movimento 2.2.3 Determinação de Freqüências naturais e Formas Modais 2.2.4 Vibração Forçada de Sistemas com 2 GDL 2.2.5. Equações de Lagrange

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2.2. TEORIA DE SISTEMAS COM N GRAUS DE LIBERDADE

 Estudamos vibrações em sistemas em que apenas uma coordenada era suficiente para descrever a posição destes sistemas.  Contudo, muitos sistemas mecânicos podem não ser modelados com precisão com apenas um grau de liberdade.  Nestes casos, o modelo deverá ter mais de um grau de liberdade (ou seja, serão necessárias mais de uma coordenada para descrever o movimento do sistema). 2

2.2.1. SISTEMAS COM 2 GDL Sistemas com dois graus de liberdade são aqueles que requerem duas coordenadas independentes para descrever seus movimentos. Exemplo:

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Características de Sistemas com 2 GDL’s:  Existem duas equações diferenciais do movimento para um sistema com dois graus de liberdade.  O sistema com dois GDL possui duas freqüências naturais.  O movimento livre do sistema com dois GDL, em qualquer uma das coordenadas, envolve as duas freqüências naturais. Ex:

x1 (t ) = A11 cos(ω1t + θ1 ) + A12 cos(ω2t + θ2 ) x2 (t ) = A21 cos(ω1t + θ1 ) + A22 cos(ω2t + θ2 ) 4

 Durante a vibração livre do sistema em uma das freqüências naturais, as amplitudes das duas coordenadas possuem uma configuração específica de movimento.  Esta configuração é chamada de modo normal, modo principal, ou modo natural de vibração.  Os conceitos acima servem para sistemas com mais de dois graus de liberdade, ou seja: Possui N Equações do Movimento Sistema com N GDL ⇒ Possui N Freqüências Naturais Possui N Modos de Vibração

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2.2.2. EQUAÇÕES DO MOVIMENTO PARA VIBRAÇÃO FORÇADA (Equação Matricial do Movimento)

Diagrama de Corpo Livre (supondo x2 > x1): F1 (t )

k1x1 c1x1

m1

F2 (t ) k 3 x2

k 2 ( x2 − x1 ) c2 ( x 2 − x1 )

m2

c3 x 2

Aplicando a 2ª Lei de Newton, vem: 6

m1x1 + (c1 + c2 ) x1 − c2 x 2 + (k1 + k 2 ) x1 − k 2 x2 = F1 (t ) m2 x2 − c2 x1 + (c2 + c3 ) x 2 − k 2 x1 + (k 2 + k3 ) x2 = F2 (t )

m1 0   x1  c1 + c2 − c2   x1  k1 + k 2 − k 2   x1   F1 (t )    x  + − k   x  =  F (t ) 0 m   x  + − c c + c k + k 2 3  2   2 2 3  2   2  2  2   2 

[ M ] { x} + [ C ] { x } + [ K ] { x} = { F (t )} Estas são as Equações do Movimento ou Modelo Matemático do Sistema

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2.2.3. DETERMINAÇÃO DAS FREQÜÊNCIAS NATURAIS E FORMAS MODAIS (VETORES MODAIS) Sistema Livre Sem Amortecimento:

m1x1 + (k1 + k 2 ) x1 − k 2 x2 = 0

m1 0   x1  k1 + k 2 − k 2   x1  0   x  = 0 0 m   x  + − k k + k 2 3  2    2  2   2 

m2 x2 − k2 x1 + (k 2 + k3 ) x2 = 0

Assumindo solução harmônica: x1 (t ) = A1 cos(ωt + θ) x2 (t ) = A2 cos(ωt + θ)

 x (t )   A  ∴ {x(t )} =  1  =  1  cos(ωt + θ) = { A} cos(ωt + θ)  x2 (t )  A2 

 k1 + k 2 − k 2  2 m1 0    A1  0   − ω 0 m   A  = 0  −k k + k 2 3 2   2      2

([ K ] − ω2 [ M ] ){ A} = {0} Problema de Autovalor e Autovetor 8

([ K ] − ω [ M ] ){ A} = {0} 2

 k + k − ω2 m − k   A  0 1 2 1 2   1  =   − k2 k 2 + k3 − ω2 m2   A2  0

(*)

k1 + k 2 − ω2 m1  − k2 =0 det  2  − k 2 k 2 + k3 − ω m2 

(m1m2 )ω4 − [ (k1 + k 2 )m2 + (k 2 + k3 )m1 ] ω2 + (k1 + k 2 )(k 2 + k3 ) − k 22 Equação Característica ω1, ω2

+ ω12 , + ω22 Autovalores

Freqüências Naturais

Com o primeiro autovalor na equação (*) determina-se o primeiro vetor modal:  k + k − ω2 m − k   A  0 1 2 1 1 2    11  =   − k 2 k 2 + k3 − ω12 m2   A21  0

 1  A11   A / A  21 11 

Com o segundo autovalor na equação (*) determina-se o segundo vetor modal: k1 + k 2 − ω22 m1 − k2   A  0    12  =   − k2 k 2 + k3 − ω22 m2   A22  0

 1  A12    A22 / A12 

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Exemplo: Determinar as freqüências naturais e vetores modais do sistema abaixo: Equações do Movimento:

[ M ] { x} + [ K ] { x} = { 0}

mx1 + 2kx1 − kx2 = 0

x  {x} =  1   x2  Assumindo solução harmônica: xi (t ) = Ai cos(ωt + θ), i = 1,2 mx2 − kx1 + 2kx2 = 0

− k 2k 

2k − ω2 m − k   A1  0    =   2 − k 2k − ω m  A2  0

 2k − k  2 m 0  A1  0   − k 2k  − ω 0 m  A  = 0     2      2 k − ω2 m − k  =0 det  2  − k 2k − ω m

m 0  2k [M ] =  [ K ] =  − k 0 m  

m 2ω4 − 4kmω2 + 3k 2 = 0

ω1 =

k m

ω2 =

3k m

Freqüências Naturais

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2k − ω12 m − k   A11  0   =  2 − k 2k − ω1 m  A21  0

 1  1 A11   = A11   A / A 1  21 11 

2k − ω22 m − k   A12  0   =  2 A − k 2k − ω2 m  22  0

 1   1 A12  = A  12   A / A − 1  22 12 

1o Vetor Modal

2o Vetor Modal

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2.2.4. RESPOSTA FORÇADA DE SISTEMA DE DOIS GRAUS DE LIBERDADE (MÉTODO DIRETO) * Sistema Forçado Sem Amortecimento

[ M ] { x(t )} + [ K ] { x(t )} = { F (t )} m1 0   x1 (t )  k11 k12   x1 (t )   F1 (t )   F01 cos Ωt   = =  0 m   x (t ) + k  k x ( t ) F ( t ) F cos Ω t 2   2   21 22   2   2   02   Dados [M], [K], {F(t)}, determinar {x(t)} em regime permanente. Como as forças externas são harmônicas, assume-se soluções harmônicas de mesma freqüência que a excitação, ou seja, Ω.  x1 (t )   X1       cos t x ( t ) X  2   2

Valor conhecido Quantidades a serem determinadas

Substituindo a resposta e aceleração na eq. do movimento, vem:

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 F01  m1 0   X1  k11 k12   X1  2   cos Ωt =   cos Ωt 0 m   X (−Ω ) cos Ωt + k  2  2   21 k 22   X 2   F02  k11 − Ω 2 m1   X1   F01  k12   =  2 X F k 21 k 22 − Ω m2   2   02 

[ Z (Ω)] { X } = { F0 } Matriz Impedância. Valores conhecidos

Vetor das amplitudes das forças externas. Valores conhecidos

Vetor das amplitudes da vibração forçada. Valores desconhecidos

 X    Z () -1  F0  k 22 − Ω 2 m2 − k12   F01   X1  1    =  2 X F  2  det[ Z (Ω)] − k 21 k11 − Ω m1   02 

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(k 22 − Ω 2 m2 ) F01 − k12 F02 X1 = det[ Z (Ω)]

− k 21 F01 + (k11 − Ω 2 m1 ) F02 X2 = det[ Z (Ω)]

sendo det[ Z (Ω)] = ( k11 − Ω 2 m1 )(k 22 − Ω 2 m2 ) − k12 k 21

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Exemplo: Excitação harmônica sendo aplicada somente na massa M e o gráfico da amplitude da resposta desta massa em função da freqüência da excitação.

Na resposta de X1 percebe-se que há duas ressonâncias, porque há duas freqüências naturais no sistema.

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2.2.5. EQUAÇÕES DE LAGRANGE As leis de Newton-Euler foram formuladas para uma única partícula extendidas para sistemas de partículas e corpos rígidos. Na descrição do movimento, são empregadas coordenadas físicas e forças, que podem ser representadas por vetores. Por esta razão, esta abordagem é referida como mecânica vetorial. A principal desvantagem desta abordagem é que esta considera separadamente cada componente individual do sistema, o que pode tornar o procedimento um tanto trabalhoso para sistemas com muitos corpos rígidos conectados entre si. 16

 Uma diferente abordagem, referida como mecânica analítica, considera o sistema como um todo, sem a necessidade de diagramas de corpos livres.

 Esta abordagem (atribuída a Leibnitz e Lagrange) formula os problemas de mecânica em termos de duas funções escalares (a energia cinética e a energia potencial) e uma expressão infinitesimal, o trabalho virtual associado às forças nãoconservativas.

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A formulação de Lagrange para a determinação das equações do movimento é descrita por:

d  ∂T  ∂T ∂U ∂D   − + + = Qi   dt  ∂qi  ∂qi ∂qi ∂qi Sendo:

i = 1, 2, .., N

1 2 1 1 mx ou T = mx12 + mx 22 + ... T = Energia Cinética 2 2 2 1 1 1 U = Energia Potencial Ex : U = kx 2 ou U = kx12 + k ( x1 − x2 ) 2 + ... 2 2 2 1 1 1 D = Energia Dissipativa Ex : D = cx 2 ou D = c1x12 + c2 ( x1 − x 2 ) 2 + ... 2 2 2 qi = Coordenadas Generalizadas Ex : T =

Qi = Forças Externas Generalizadas Para sistemas conservativos:

d  ∂T  ∂T ∂U   − + =0  dt  ∂qi  ∂qi ∂qi

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Exemplo:

k

m1

d  ∂T  ∂T ∂U   − + =0  dt  ∂qi  ∂qi ∂qi

m2

qi (t ) = xi (t ), i = 1, 2

Determinação da 1ª Equação do movimento: T

1 2 1 mx1 (t )  mx 22 (t ) 2 2

T  m1 x1 (t ) x1 d  T     m1x1 (t ) dt  x1 

U

T 0 x1 U  k  x1 (t )  x2 (t ) x1

1 2 k  x1 (t )  x2 (t ) 2 m1x1 (t )  kx1 (t )  kx2 (t )  0

De modo análogo: m2 x2 (t )  kx2 (t )  kx1 (t )  0 19