Actividad Grupal 2.docx

Segunda actividad grupal Se presenta un problema junto con su solución, de forma colaborativa deben evaluar y analizar toda la solución a la situación plantea, si consideran que todo el proceso y respuesta se encuentra de manera correcta, deben realizar aportes en cuanto a procedimiento faltante y fórmulas utilizadas, resaltando en otro color los aportes extras a la solución. Si el grupo considera que el proceso y/o respuesta se encuentra incorrecto, deben realizar la observación y corrección al error o errores encontrados resaltando en otro color la corrección y aportes extras a la solución. Situación y solución planteada: Situación y solución planteada: La figura representa un edificio de dos pisos. Las masas de los pisos son 𝑚1 y 𝑚2 . Cada piso se apoya en seis columnas. Cuando el suelo se mueve horizontalmente debido a un temblor, los pisos también se mueven así, y las columnas actúan como resortes y se oponen a este movimiento. Las rigideces horizontales totales de cada conjunto de seis columnas son 𝑘1 y 𝑘2 . El movimiento horizontal del suelo es 𝑦. Para el caso en que las masas son idénticas (𝑚1 = 𝑚2 = 𝑚) y las rigideces son idénticas (𝑘1 = 𝑘2 = 𝑘) obtenga un modelo de ecuación del edificio y encuentre su solución homogénea. Se tiene la siguiente situación:

Para la que se plantean las siguientes ecuaciones diferenciales por tratarse de dos masas y teniendo en cuenta las Leyes de Newton: m𝑥̈ 1 + 2kx1 − kx2 = ky 𝑚𝑥̈ − 𝑘𝑥1 + 𝑘𝑥2 = 0 Dividiendo la ecuación entre 𝑚 y asumiendo 𝛼 = 𝑘𝑚 el resultado es: 𝑥̈ 1 − 2𝛼𝑥1 + 𝛼𝑥2 = 𝛼𝑦 (1) 𝑥̈ 2 + 𝛼𝑥1 − 𝛼𝑥2 = 0 (2) Ahora para tener una ecuación en términos sólo de 𝑥1 se diferencia la ecuación (1) dos veces para obtener: 𝑑4 𝑥1 2𝛼𝑑 2 𝑑 2 𝑥2 𝑑2𝑦 + 2𝑎 − 𝛼 = 𝛼 𝑑𝑡 4 𝑑𝑡 2 𝑑𝑡 2 𝑑𝑡 2

Ahora sustituyendo 𝑥̈ 2 de la ecuación (2) y 𝑥2 de la ecuación (1) se obtiene: 𝑑 4 𝑥1 2𝛼𝑑 2 𝑑2𝑦 2 2 + 3𝑎 − 𝑎 𝑥 = 𝑎 𝑦 + 𝛼 1 𝑑𝑡 4 𝑑𝑡 2 𝑑𝑡 2 Esta es la ecuación deseada; cuyo polinomio característico es: 𝛽 4 + 3𝛼𝛽 2 + 𝛼 2 = 0. Como no hay ningún término en 𝛽 3 ni 𝛽, esta ecuación es cuadrática en 𝛽 2 y se puede usar la fórmula cuadrática: 𝛽2 =

−3𝛼 ± √9𝑎2 − 4𝑎2 −3 ± √5 =( )𝛼 2 2

Entonces, las raíces características son:

𝛽 = ±0,618𝑖 √

𝑘 𝑚

𝛽 = ±1,618𝑖 √

𝑘 𝑚

Como estas raíces son imaginarias, la solución homogénea tiene la forma: 𝑥1 (𝑡) = 𝐶1 𝑠𝑖𝑛0,618√

𝑘 𝑘 𝑘 𝑡 + 𝑐2 𝑐𝑜𝑠0,618√ 𝑡 + 𝑐3 𝑠𝑖𝑛1,618√ 𝑡 𝑚 𝑚 𝑚

𝑘 + 𝑐4 𝑐𝑜𝑠1,618√ 𝑡 𝑚 La solución contiene oscilaciones con frecuencias en radianes de 𝑘 𝑘 0,618√ 𝑦 1,618√ 𝑚 𝑚

SOLUCIÓN Para la que se plantean las siguientes ecuaciones diferenciales por tratarse de dos masas y teniendo en cuenta las leyes de Newton: 𝑚𝑥̈ 1 + 2𝑘𝑥1 − 𝑘𝑥2 = 𝑘𝑦 𝑚𝑥̈ 2 − 𝑘𝑥1 + 𝑘𝑥2 = 0 𝑘

Dividiendo la ecuación entre 𝑚 y asumiendo ∝= 𝑚 el resultado es: (1)

𝑥̈ 1 + 2 ∝ 𝑥1 −∝ 𝑥2 =∝ 𝑦 𝑥̈ 2 −∝ 𝑥1 +∝ 𝑥2 = 0

(2)

Ahora para tener una ecuación en términos sólo de 𝑥1 se diferencia la ecuación (1) dos veces para obtener: 𝑑4 𝑥1 𝑑 2 𝑥1 𝑑 2 𝑥2 𝑑2𝑦 + 2 ∝ −∝ =∝ 𝑑𝑡 4 𝑑𝑡 2 𝑑𝑡 2 𝑑𝑡 2 Ahora sustituyendo 𝑥̈ 2 de la ecuación (2) y 𝑥2 de la ecuación (1) se obtiene 𝑑4 𝑥1 𝑑 2 𝑥1 𝑑2𝑦 2 2 + 3 ∝ +∝ 𝑥 =∝ 𝑦+∝ 1 𝑑𝑡 4 𝑑𝑡 2 𝑑𝑡 2 Comprobación de la ecuación anterior Encontremos el valor de 𝑥̈ 2 de la ecuación (2). 𝑥̈ 2 −∝ 𝑥1 +∝ 𝑥2 = 0 𝑥̈ 2 =∝ 𝑥1 −∝ 𝑥2 Ahora, encontremos el valor de 𝑥2 de la ecuación (1) 𝑥̈ 1 + 2 ∝ 𝑥1 −∝ 𝑥2 =∝ 𝑦 𝑥2 =

𝑥̈ 1 + 2 ∝ 𝑥1 −∝ 𝑦 ∝

Dada la ecuación 𝑑4 𝑥1 𝑑 2 𝑥1 𝑑 2 𝑥2 𝑑2𝑦 + 2 ∝ −∝ =∝ 𝑑𝑡 4 𝑑𝑡 2 𝑑𝑡 2 𝑑𝑡 2 Reemplazando en la ecuación anterior el valor de 𝑥̈ 2 𝑑 4 𝑥1 𝑑 2 𝑥1 𝑑2 𝑦 +2∝ −∝ (∝ 𝑥1 −∝ 𝑥2 ) =∝ 2 𝑑𝑡 4 𝑑𝑡 2 𝑑𝑡

𝑑 4 𝑥1 𝑑 2 𝑥1 𝑑2 𝑦 (∝ ) + 2 ∝ −∝ 𝑥 −∝ 𝑥 =∝ 1 2 𝑑𝑡 4 𝑑𝑡 2 𝑑𝑡 2 𝑑4 𝑥1 𝑑 2 𝑥1 𝑑2𝑦 2 2 + 2 ∝ −∝ 𝑥 +∝ 𝑥 =∝ 1 2 𝑑𝑡 4 𝑑𝑡 2 𝑑𝑡 2 Reemplazando en la ecuación anterior el valor de 𝑥2 𝑑4 𝑥1 𝑑 2 𝑥1 𝑥̈ 1 + 2 ∝ 𝑥1 −∝ 𝑦 𝑑2 𝑦 2 2 +2∝ −∝ 𝑥1 +∝ ( ) =∝ 2 𝑑𝑡 4 𝑑𝑡 2 ∝ 𝑑𝑡 𝑑4 𝑥1 𝑑 2 𝑥1 𝑑2𝑦 2 (𝑥̈ + 2 ∝ −∝ 𝑥 +∝ + 2 ∝ 𝑥 −∝ 𝑦) =∝ 1 1 1 𝑑𝑡 4 𝑑𝑡 2 𝑑𝑡 2 𝑑 4 𝑥1 𝑑2 𝑥1 𝑑 2 𝑥1 𝑑2 𝑦 2 + 2 ∝ −∝ 𝑥 +∝ ( + 2 ∝ 𝑥 −∝ 𝑦) =∝ 1 1 𝑑𝑡 4 𝑑𝑡 2 𝑑𝑡 2 𝑑𝑡 2 𝑑4 𝑥1 𝑑2 𝑥1 𝑑 2 𝑥1 𝑑2 𝑦 2 2 2 + 2 ∝ −∝ 𝑥 +∝ + 2 ∝ 𝑥 −∝ 𝑦 =∝ 1 1 𝑑𝑡 4 𝑑𝑡 2 𝑑𝑡 2 𝑑𝑡 2 𝑑4 𝑥1 𝑑2 𝑥1 𝑑2𝑦 2 2 + 3 ∝ +∝ 𝑥 −∝ 𝑦 =∝ 1 𝑑𝑡 4 𝑑𝑡 2 𝑑𝑡 2 𝒅𝟒 𝒙𝟏 𝒅𝟐 𝒙𝟏 𝒅𝟐 𝒚 𝟐 𝟐 +𝟑∝ +∝ 𝒙𝟏 =∝ 𝒚 ∝ 𝟐 𝒅𝒕𝟒 𝒅𝒕𝟐 𝒅𝒕 El procedimiento es igual a la ecuación presentada Esta es la ecuación deseada; cuyo polinomio característico es: 𝛽 4 + 3 ∝ 𝛽 2 + ∝2 = 0. Como no hay ningún término en 𝛽 3 ni 𝛽, esta ecuación es cuadrática en 𝛽 2 y se puede usar la fórmula cuadrática: 𝛽2 =

−3 ∝ ±√9 ∝2 − 4 ∝2 −3 ± √5 =( )𝛼 2 2

Entonces, las raíces características son:

𝛽 = ±0,618𝑖 √

𝑘 𝑚

𝛽 = ±1.618𝑖 √

𝑘 𝑚

Como estas raíces son imaginarias, la solución homogénea tiene la forma:

𝑘 𝑘 𝑘 𝑥1 (𝑡) = 𝐶1 sin (0,618 √ 𝑡) + 𝐶2 cos (0,618 √ 𝑡) + 𝐶3 sin (1,618 √ 𝑡) 𝑚 𝑚 𝑚 + 𝐶4 cos (1,618 √

𝑘 𝑡) 𝑚 𝑘

La solución contiene oscilaciones con frecuencias en radianes de 0,618𝑖√𝑚 y 𝑘

1.618𝑖√𝑚