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ECBTI/Zona_Sur/Red_CálculoMultivariado

Fase 2: Trabajo Colaborativo 2 16-04

Gustavo Salazar Cedeño Director de Curso.

Jose Adel Barrera Cardoso Tutor.

Derivadas Parciales

El cálculo de varias variables es básicamente el cálculo de una variable aplicado a varias variables a la vez. Al mantener constantes todas las variables independientes excepto una y derivar con respecto a esta variable, obtenemos una derivada “parcial”.

Derivadas Parciales

La Ecuación de Onda. • Si nos paramos en la orilla del mar y tomamos una foto de las ondas, el rango muestra un patrón regular de picos y valles en un instante de tiempo. Vemos el movimiento vertical periódico en el espacio, con respecto a la distancia. Si nos paramos en el agua, podemos sentir como sube y baja el agua con las olas. Vemos el movimiento vertical periódico en el tiempo. En física, esta bella simetría se expresa mediante la ecuación de onda en una dimensión (espacial) :

La Ecuación de Onda. • Donde 𝑊 es la altura de la onda, 𝑥 es la variable de distancia, 𝑡 es la variable de tiempo y 𝑐 es la velocidad de propagación de las ondas.

La Ecuación de Onda. • En nuestro ejemplo, es la posición a través de las superficies del océano, aunque en otras aplicaciones podría ser la posición a lo largo de una cuerda vibrante, la distancia en el aire (para ondas sonoras) o la posición en el espacio (ondas de luz). El número varía con el medio y el tipo de onda.

La Ecuación de Onda. • Muestre que la función w = sen (x + ct) es solución de la ecuación de onda

Tener presente

2

𝛿 𝑊 𝛿 𝛿𝑊 = 2 𝛿𝑡 𝛿𝑡 𝛿𝑡

𝛿2𝑊 𝛿 𝛿𝑊 = 2 𝛿𝑥 𝛿𝑥 𝛿𝑥

La Ecuación de Onda. • Solución: 𝛿𝑊 𝛿 = (𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝑐𝑡 ) x es constante en este caso 𝛿𝑡 𝛿𝑡 𝛿𝑊 = 𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 𝑐𝑡 𝑐 = 𝑐 ∗ cos⁡(𝑥 + 𝑐𝑡) 𝛿𝑡 𝛿2𝑊 𝛿 𝛿𝑊 = = 𝑐 ∗ −𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝑐𝑡 2 𝛿𝑡 𝛿𝑡 𝛿𝑡

𝛿2𝑊 𝛿 𝛿𝑊 2 = = −𝑐 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝑐𝑡 2 𝛿𝑡 𝛿𝑡 𝛿𝑡

∗𝑐

La Ecuación de Onda. 𝛿𝑊 𝛿 = (𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝑐𝑡 ) 𝛿𝑥 𝛿𝑥

t es constante en este caso

𝛿𝑊 = 𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 𝑐𝑡 1 = cos⁡(𝑥 + 𝑐𝑡) 𝛿𝑥 𝛿2𝑊 𝛿 𝛿𝑊 = = −𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝑐𝑡 (1) 2 𝛿𝑥 𝛿𝑥 𝛿𝑥 𝛿2𝑊 𝛿 𝛿𝑊 = = −𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝑐𝑡 2 𝛿𝑥 𝛿𝑥 𝛿𝑥

La Ecuación de Onda. Luego se tiene que aplicando

𝛿2𝑊 2 = −𝑐 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝑐𝑡 2 𝛿𝑡

𝛿2𝑊 = −𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝑐𝑡 2 𝛿𝑥

Por lo tanto 𝜹𝟐 𝑾 2 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝑐𝑡 = −𝑐 𝜹𝒕𝟐

𝟐𝑾 𝜹 = 𝒄𝟐 𝜹𝒙𝟐

Linealización.

Error en la aproximación y Cota Superior.

Ejemplo: • Determine la linealización de 𝐿(𝑥, 𝑦) de la función𝑓(𝑥, 𝑦)en 𝑝0 . Luego determine una cota superior para la magnitud |E| del error de la aproximación 𝑓(𝑥, 𝑦) ≈ 𝐿(𝑥, 𝑦)en el rectángulo 𝑅.

Donde ⁡⁡⁡𝑓 𝑥, 𝑦 =

𝑥2

− 𝑥𝑦

1 2 +2𝑦

+ 3 en 𝑃0 3,2

𝑅: 𝑥 − 3 ⁡ ≤ 0.1, ⁡ 𝑦 − 2 ≤ 0.1

Ejemplo:

Ejemplo:

Para encontrar la Cota Superior:

Para encontrar la Cota Superior:

Luego 𝐸 = 0.04

Extremos en funciones de varias variables

Extremos en funciones de varias variables

Extremos en funciones de varias variables

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Multiplicadores de Lagrange

Multiplicadores de Lagrange

Multiplicadores de Lagrange

Regresión Mínimos Cuadrados

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