Ejercicios Fase 3 Angel Ortiz.docx

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS, TECNOLOGIA E INGENIERÍA CÁLCULO MULTIVARIADO

Fase 3: Trabajo colaborativo 3

Foro Unidad 3: Fase 3 - Desarrollar un problema principal y ejercicios de integrales de funciones de varias variables/ Grupo 24

ANGEL ENMANUEL ORTIZ CRUZ CODIGO 1073155220 GRUPO 203057_24 TUTOR GUSTAVO SALAZAR CEDEÑO

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA CALCULO MULTIVARIADO BOGOTA NOVIEMBRE DE 2018

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ACTIVIDADES A DESARROLLAR

Actividades a desarrollar 1. Evalué la integral doble iterada 4 𝑥 𝑦 ∫ ∫ √ 𝑑𝑦𝑑𝑥 𝑥 1 0

Calculamos la integral indefinida 𝑦 ∫ √ 𝑑𝑦 𝑥 Aplicando integración por partes 𝑦 √𝑦 =√ 𝑦− ∫ 𝑑𝑦 𝑥 2 √𝑥 ∫

3

√𝑦

𝑑𝑦 =

2 √𝑥 ∫

√𝑦 2 √𝑥

𝑦2 3 √𝑥

𝑑𝑦

sacando la constante = =

1

∗ ∫ √𝑦 𝑑𝑦

2√𝑥 1

1

2√𝑥

∗ ∫ 𝑦 2 𝑑𝑦 1

1

𝑦2 + 1 = ∗ 2 √𝑥 1 + 1 2 Simplificando 1

1

3

𝑦2 + 1 𝑦2 ∗ ∶ 2√𝑥 1 + 1 3√√𝑥 2 3

𝑦2 3√𝑥 3

𝑦 𝑦2 =√ 𝑦− 𝑥 3√𝑥

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Agregamos una constante 3

𝑦 𝑦2 =√ 𝑦− +𝐶 𝑥 3 √𝑥 Calculamos los limites 𝑥 𝑥 𝑦 𝑦 𝑥 ∫ √ 𝑑𝑦: ∫ √ 𝑑𝑦 = 𝑥 − − 0 𝑥 𝑥 3 0 0

3

𝑦 𝑦2 𝑙𝑖𝑚𝑦 → 0 + (√ 𝑦 − )=0 𝑥 3 √𝑥 3

𝑦 𝑦2 𝑥 𝑙𝑖𝑚𝑦 → 𝑥 − (√ 𝑦 − )=𝑥− 𝑥 3 3√𝑥 =𝑥−

𝑥 −0 3

Simplificando 2𝑥 3 4 2𝑥 = ∫ ( ) 𝑑𝑥 = 5 3 1 =

=5 2. Integrales triples en coordenadas cilíndricas y esféricas, evalué la integral iterada 𝜋 2

𝜋

2

3

∫ ∫ ∫ 𝑝2 𝑒 −𝑝 𝑑𝑝𝑑𝜃𝑑𝜑 0

0

0

2

3

∫ 𝑝2 𝑒 −𝑝 𝑑𝑝𝑑𝜃𝑑𝜑 0 2

3

= ∫ 𝑝2 𝑒 −𝑝 𝑑𝑝 = − 0 2

3

1 1 + 3𝑒 8 3

= ∫ 𝑝2 𝑒 −𝑝 𝑑𝑝 0

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Calculamos la integral indefinida 2 1 3 3 = ∫ 𝑝2 𝑒 −𝑝 𝑑𝑝 = − 𝑒 −𝑝 + 𝐶 3 0

Calculamos Los limites 2 2

∫ 𝑝 𝑒

−𝑝3

2

3

𝑑𝑝: ∫ 𝑝2 𝑒 −𝑝 𝑑𝑝 = −

0

0

1 1 − (− ) 3𝑒 8 3

1 1 3 𝑙𝑖𝑚𝑝 → 0 + (− 𝑒 −𝑝 ) = − 3 3 1 1 3 𝑙𝑖𝑚𝑝 → 2 − (− 𝑒 −𝑝 ) = − 8 3 3𝑒 1 1 = − 8 − (− ) 3𝑒 3 1 1 = − 8 − (− ) 3𝑒 3 Simplificando =− 𝜋 2

𝜋

= ∫ ∫ (− 0 𝜋

= ∫ (− 0

0

1 1 + 8 3𝑒 3 1 1 + ) 𝑑𝜃𝑑𝜑 8 3𝑒 3

1 1 1 1 + ) 𝑑𝜃 = 𝜋 ( − 8 ) 8 3𝑒 3 3 3𝑒 𝜋 1 1 ∫ − 8 + 𝑑𝜃 3𝑒 3 0

Calculamos integral indefinida nuevamente = ∫−

1 1 1 1 + 𝑑𝜃 = (− 8 + ) 𝜃 + 𝐶 8 3𝑒 3 3𝑒 3

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𝜋

= ∫ (− 0

𝜋 1 1 1 1 1 1 + ) 𝑑𝜃: ∫ (− 8 + ) 𝑑𝜃 = (− 8 + ) 𝜋 − 0 8 3𝑒 3 3𝑒 3 3𝑒 3 0

= (−

1 1 + )𝜋 − 0 3𝑒 8 3

Simplificando tenemos 1 1 = 𝜋 ( − 8) 3 3𝑒 𝜋 2

1 1 = ∫ 𝜋 ( − 8 ) 𝑑𝜑 3 3𝑒 0 Calculamos la integral indefinida 1 1 1 1 = ∫ 𝜋 ( − 8 ) 𝑑𝜑 = 𝜋 ( − 8 ) 𝜑 + 𝐶 3 3𝑒 3 3𝑒 Calculamos los limites 1 1 𝑙𝑖𝑚𝜑 → 0 + (𝜋 ( − 8 ) 𝜑) = 0 3 3𝑒 𝜋 1 1 𝜋 2 (𝑒 8 − 1) 𝑙𝑖𝑚𝜑 → − (𝜋 ( − 8 ) 𝜑) = 2 3 3𝑒 6𝑒 8

Simplificando

𝜋 2 (𝑒 8 − 1) −0 6𝑒 8

𝜋 2 (𝑒 8 − 1) 6𝑒 8 =1.6443…

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3. Calcule el trabajo total realizado al mover una partícula a lo largo del arco C si el movimiento lo ocasiona el campo de fuerza F. Suponga que el campo que el arco se mide en metros y la fuerza en Newton e= 𝑓(𝑥, 𝑦) = −𝑥 2 𝑦𝑖 + 2𝑦𝑗 C: el segmento de recta de (𝑎,0) a (0,𝑎).

4. Utilice el teorema de Green para evaluar las integrales de líneas. d= ∮𝑐 (𝑥, 𝑦 2 )𝑑𝑥 + (2𝑥 2 − 𝑦)𝑑𝑦

C: frontera de la región comprendida entre las gráficas 𝑦 = 𝑥 2 y 𝑦=4

𝜕𝑄 𝜕𝑃 ∮(𝑥 + 𝑦 2 )𝑑𝑥 + (2𝑥 2 − 𝑦)𝑑𝑦 = ∬ ( − ) 𝑑𝐴 = ∬(4𝑥 − 2𝑦)𝑑𝑦𝑑𝑥 = 2 ∬(2𝑥 − 𝑦)𝑑𝑦𝑑𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑦 4

√𝑦

4

𝑦

= 2 ∫ ∫ (2𝑥 − 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 = 2 ∫ (𝑥 2 − 𝑥𝑦)|√0 𝑑𝑦 0

0

0

4

= 2 ∫ (𝑦 −

3 𝑦 2 )𝑑𝑦

0

4 5 48 = 𝑦 2 |40 − 𝑦 2 |40 = − 5 5

5. Producción promedio: La función de producción Cobb-Douglas para fabricantes de automóviles es 𝑓(𝑥, 𝑦) = 100𝑥 0.6 𝑦 0.4 donde 𝑥 es el número de unidades de trabajo y 𝑦 es el número de unidades de capital. Estimar el nivel promedio de producción: e= si el número 𝑥 de unidades de trabajo varía entre 80 y 150 y el número 𝑦 de unidades de capital varía entre 195 y 285

𝑉𝑝 =

1 ∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴 𝐴0

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𝐴0 = (150 − 80) ∗ (285 − 195) = 6300

𝑉𝑝 =

285 150 285 1.6 1 1 100 𝑥 ∗ ∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴 = ∗ ∫ ∫ 100𝑥 0.6 𝑦 0.4 𝑑𝑥𝑑𝑦 = ∗∫ 𝑦 0.4 |150 80 𝑑𝑥𝑑𝑦 𝐴0 6300 195 80 6300 195 1.6

=

=

285 285 100 19.08 285 ∗ ∫ (1501.6 − 801.6 )𝑦 0.4 𝑑𝑦 = 19.08 ∗ ∫ 𝑦 0.4 𝑑𝑦 = ∗ 𝑦1.4 |195 6300(1.6) 195 1.4 195

19.08 ∗ (2851.4 − 1951.4 ) = 𝟏𝟓𝟑𝟓𝟔. 𝟒𝟏 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓 𝒑𝒓𝒐𝒎𝒆𝒅𝒊𝒐 𝒅𝒆 𝒑𝒓𝒐𝒅𝒖𝒄𝒄𝒊𝒐𝒏 1.4