Unidad Ii Obj 2

Archivo: Clase11 Autor : Jorge E. Hernández H. Fecha : 13/05/2008

Clase # 11.

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Fecha: 28/10/2008

Unidad II: Funciones. Límites. Continuidad. Objetivo # 2:

- Dominios de funciones. Contenido. Introducción. En la clase pasada estudiamos el concepto de dominio de una función, y recordando, dijimos que el dominio de una función es el conjunto de números reales que una función puede procesar, o en la cual una función puede operar. El objetivo que perseguimos en esta clase es encontrar este conjunto para una función dada. En la práctica ya conocemos el dominio de algunas funciones. A continuación vamos a listarlos. 1. Dominios conocidos para algunas funciones. Función Constante: El dominio de la función constante es R . Función Identidad: El dominio de la función identidad es R . Función Potencial: El dominio de la función potencial es R . Función Polinomial: El dominio de la función polinomial es R .

En general, una función opera por medio de las operaciones básicas de suma, resta, multiplicación, división, potencias o radicales, y en vista de esto, afirmamos que para encontrar el dominio de una función necesitamos solo

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necesitamos conocer las operaciones involucradas en la regla asociada a la función dada. Para la suma, resta, multiplicación y potenciación sabemos que no hay restricción en el conjunto de números que pueden relacionarse por medio de estas operaciones. Para la división si hay una restricción, ya que sabemos que no podemos dividir entre cero. Para la radicación o extracción de raíces, tenemos restricción si el índice de la raíz es par, es decir, debemos restringirnos a operar solo con números reales no negativos; si el índice de la raíz es impar no tenemos restricción. Entonces, solo tenemos problemas de búsqueda de dominios para aquellas funciones que pueden ser comparadas, en su forma, con las siguientes funciones: f(x)=

1 x

y

g( x ) =

x

Busquemos el dominio de estas funciones. 1 , tenemos que la división x del número 1 entre algún número x en R solo es posible si x ≠ 0. Así, el conjunto de números que esta función puede operar es:

Para la función f definida por la regla: f ( x ) =

R − {0 }

Para la función g definida por la regla: g ( x ) = x , tenemos lo siguiente: las raíces pares existen solo si el radicando es mayor o igual a cero, es decir, es no negativo, entonces debemos resolver la desigualdad: x≥0

La solución de esta desigualdad nos conduce al intervalo: dominio de la función dada.

[ 0 ,∞ ) ,

el cual es el

Usando un método similar a los anteriores, podemos buscar el dominio de funciones no tan simples.

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Ejemplos. 1. Sea la función f ( x ) = Respuesta:

x − 5. Encuentre su dominio.

Si comparamos esta función con la función x , vemos que son similares en la forma, es decir, f es la obtención de una raíz de índice par. Entonces procedemos a buscar el dominio resolviendo la desigualdad: x−5 ≥ 0

Despejando x, tenemos: x ≥ 5 , y esto nos conduce al intervalo: [ 5 , ∞ ). En consecuencia, Dom ( f ) = [ 5 , ∞ ) .

2. Sea la función h( x ) =

4 . Encuentre su dominio. x+3

1 , según su forma, x pues es una división entre una expresión que contiene a la variable x. Entonces para buscar el dominio, primero resolvemos la igualdad:

Respuesta: Esta función es comparable con la función

x+3=0

Despejando la variable x, tenemos: x = −3. Segundo, eliminamos del conjunto R, este valor, y el conjunto resultante es el dominio buscado. Entonces: Dom ( h ) = R − { − 3 }.

Vamos ahora a generalizar esta manera de encontrar dominios. Si la función dada contiene una raíz de índice par, resolvemos la desigualdad: radicando ≥ 0

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El conjunto solución resultante es el dominio buscado. Si la función dada es la división entre una expresión que contiene a la variable x, resolvemos la ecuación: deno min ador = 0

Procedemos a eliminar de R los valores encontrados en la solución de la ecuación anterior, y el conjunto resultante es el dominio. Hay un teorema que nos puede ayudar también en la búsqueda de dominios. Teorema: Entonces:

Sean

f : Dom ( f ) → R

y

g : Dom( g ) → R funciones.

a ) Dom( f ± g ) = Dom( f ) ∩ Dom( g ) b ) Dom( f ⋅ g ) = Dom( f ) ∩ Dom( g ) c ) Dom ( f / g ) = Dom ( f ) ∩ Dom ( g ) − { x : g ( x ) = 0 }

Ahora veremos como usar este teorema. 5 , encuentre su dominio. 4−x Respuesta: Podemos ver que la función h es la resta de dos funciones: 5 f ( x ) = x + 3 y g( x ) = . Entonces, según el teorema anterior, 4−x tenemos que: Dom( h ) = Dom( f ) ∩ Dom( g )

Ejemplo: Dadas la función h( x ) =

x+3−

Solo nos falta encontrar Dom( f ) y Dom( g ). Resolviendo x + 3 ≥ 0 , encontramos que su conjunto solución es [− 3 , ∞ ), en consecuencia: Dom( f ) = [− 3 , ∞ ) . Por otra parte, resolviendo la ecuación: 4 − x = 0 , tenemos que x = 4 , y por consiguiente: Dom ( g ) = R − { 4 }. Por lo tanto: Dom( h ) = [− 3 , ∞ ) ∩ R − { 4 } = [− 3 , ∞ ) − { 4 } .