Unidad I Obj 123

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Clase # 0.

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Fecha: 11/03/2002

Unidad I: Introducción a los Números Reales. Objetivo # 1: - Introducción a la Lógica Proposicional. - Conjuntos numéricos: N, Z, Q, R.

Contenido: 1. Introducción: Lo más común en el proceso de razonamiento, usado por el ser humano, para analizar y comprender la realidad que lo rodea, es el uso de la asignación de valores de “verdad” o “falsedad” a determinadas conclusiones o ideas, que él mismo elabora. Para ilustrar lo anteriormente expuesto, analicemos la siguiente frase y determinemos si ésta es cierta o no: “Los hombres vuelan” El razonamiento humano detecta en la oración antes escrita los elementos que la forman, y el significado de cada uno de ellos; se trata, nada más y nada menos, de revisar en nuestra mente lo que las palabras significan, y asociar estos significados y sus propiedades, de tal forma que podamos asignar el correspondiente valor de verdad o falsedad. Si no conociéramos lo que significa la palabra “hombre” o la palabra “vuelan”, difícilmente afirmaríamos que la oración es cierta o falsa. Pues bien, la Lógica es la materia que nos ayuda a determinar cuando una proposición es cierta o falsa, a partir de otras proposiciones más sencillas, las cuales tienen asignado de antemano un valor de “verdad” o “falsedad”. Esta primera clase, aunque no está contemplada en el programa de la asignatura que nos corresponde, es una introducción a la Lógica Proposicional, necesaria, puesto que la ciencia Matemática está llena, en su totalidad de símbolos, los cuales tienen significado, tienen

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propiedades, y nos proporcionan herramientas fundamentales para determinar cuando la idea matemática propuesta (proposición) es falsa o verdadera. Sin más preámbulos iniciemos el contenido. 2. Definiciones o Conceptos. Axiomas. Proposiciones lógicas. Teoremas. Como lo mencionamos en la introducción los elementos más sencillos a los cuales se les atribuye un valor de verdad (no relativo) indiscutible son: a) Las definiciones b) Los axiomas En general, una Definición es la declaración de lo que significa una palabra o símbolo, frecuentemente creado por el hombre. Por ejemplo, la palabra “carro” es creada por el hombre y significa, o tiene por definición: plataforma de dos o más ruedas que sirve como transporte. Otro ejemplo, la palabra “sol” tiene como definición: la estrella más cercana al planeta tierra. Un ejemplo matemático, el símbolo “4”, tiene como definición: símbolo que denota la suma de cuatro unidades. Los Axiomas, son definiciones enlazadas de tal forma que construyen una verdad incuestionable, es decir, sin necesidad de ser demostradas o comprobadas, ya que se verifican por simple observación o por que se ha convenido que así debe ser. Por ejemplo: “el sol es una estrella”, “la suma de dos números siempre es otro número”. Las Proposiciones lógicas son ideas construidas, no tan simples, puesto que estas enlazan axiomas y definiciones por medio de conectivos lógicos, las cuales adquieren un valor de verdad o falsedad según hayan sido formadas. Es interesante hacer notar que las proposiciones deben tener un valor de verdad o falsedad, no puede haber ambigüedad. Por ejemplo: “La calle está mojada” es una proposición lógica. “Dios existe” no es una proposición lógica. La proposiciones generalmente se denotan con una letra minúscula. Ejemplo:

p : La calle está mojada

Los Teoremas, son proposiciones lógicas que se han establecido a partir de conexiones complejas de definiciones, axiomas y proposiciones lógicas. En

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Matemáticas, siempre tienen un valor lógico verdadero, una vez que han sido demostrados o comprobados.

3. Conectivos Lógicos. Son símbolos que sirven para encadenar definiciones, axiomas o proposiciones, dando forma a una nueva proposición lógica, la cual tendrá un valor de verdadero o falso, según el uso de los conectivos y el valor de verdad o falsedad de los elementos utilizados. Los más comunes son: a) b) c) d)

La conjunción. La disyunción. La implicación. La equivalencia.

Definición: Conjunción: Es el conectivo lógico que une dos o más proposiciones por medio de la letra “y”, simbólicamente es denotada por: "∧" . La nueva proposición formada por la conjunción de las proposiciones p y q, denotada por: p ∧ q será verdadera si tanto p como q son verdaderas por separado, y será falsa si al menos una de las dos es falsa. Ejemplo: la proposición “el agua del mar es salada y el sol es una estrella” es verdadera, ya que, en efecto, la proposición “el agua del mar es salada” es verdadera y la proposición “el sol es una estrella” también es cierta. Definición: Disyunción. Es el conectivo lógico que une dos o más proposiciones por medio de la letra “o”, simbólicamente es denotada por: "∨". La nueva proposición formada por la disyunción de las proposiciones p y q, denotada por: p ∨ q será verdadera si al menos una de las proposiciones (p , q) son verdaderas por separado, y será falsa si las dos proposiciones son falsas por separado. Ejemplo: la proposición “una mujer usa falda o pantalones” es verdadera, ya que al menos una de las proposiciones simples “una mujer usa falda” o “una mujer usa pantalones” son ciertas separadamente. Pero, la proposición “ el sol es un planeta o el

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agua del mar es dulce” es falsa, ya que las proposiciones simples que la forman son falsas separadamente. La implicación: Es un conectivo lógico que asocia proposiciones por medio de condiciones, es decir, la condición de que una proposición p sea cierta o falsa determina la verdad o falsedad de la proposición q. El símbolo que denota la implicación es " ⇒". Cuando dos proposiciones están enlazadas de esta forma. " p ⇒ q" , leemos: “si p entonces q”. Ejemplo: la proposición “si el sol está radiante entonces hay calor” es la composición lógica de la proposición “el sol está radiante” y la proposición “hay calor” por medio de una condición que se establece por las palabras “si..entonces”, es decir, si se cumple la primera entonces, o como una consecuencia de la primera, se cumple necesariamente la segunda. La equivalencia: Es un conectivo lógico que asocia proposiciones estableciendo una implicación en los dos sentidos, es decir, la condición de que la proposición p sea cierta conduce a la verdad de q, y al mismo tiempo, la condición de que se cumpla q, conduce a la verdad de la proposición p. El símbolo que denota la equivalencia es " ⇔". Cuando dos proposiciones están enlazadas de esta forma. " p ⇔ q" , leemos: “p si y solo si q” o “p equivalente lógicamente a q”. Ejemplo: la proposición “la casa sirve como refugio si y solo si la casa te protege de la intemperie” es una equivalencia lógica, ya que la condición “la casa sirve como refugio” implica que “la casa te protege de la intemperie”, y por otra parte, la condición “la casa te protege de la intemperie” implica que “la casa sirve como refugio”. Otros símbolos lógicos. No solamente los anteriores son símbolos que ayudan a construir proposiciones, existen otros que terminan por darle forma a estas construcciones. Estos son: " ∀" : " ∃" : " ∃ !" :

se lee “para todo”, “a cada”, “para cualquiera” se lee “existe un”, “existe uno”, “existe una” se lee “existe un único”, “existe una única”

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Clase # 1.

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Fecha: 13/03/2002

Unidad I: Introducción a los Números Reales. Objetivo # 1 y 2: - Analizar las propiedades básicas de los números reales. - Representar gráficamente el conjunto de los números reales como puntos sobre la recta.

Contenido: Introducción:

Conocemos los números desde nuestros estudios primarios, y fueron usados en ese entonces para contar, sumar, restar, multiplicar y dividir. A la vez, estas operaciones nos ayudaron a resolver pequeños problemas relacionados con el ambiente social que nos rodeaba. Una vez que pasamos a educación secundaria conocimos otros números que ampliaban el sistema numérico que conocíamos, dichos números constituyeron el conjunto de los números enteros; unos años después nos presentaron el conjunto de los números racionales e introdujeron otros llamados irracionales; la unión de todos estos forman un conjunto mucho más grande llamado conjunto de los números reales, y éste va ser la plataforma donde vamos a trabajar. Para efecto de traer estos conceptos desde nuestra memoria, revisemos las siguientes definiciones: Números Naturales: Es el conjunto primario de números enteros, y como se dijo anteriormente son conocidos para contar. Este conjunto es denotado por la

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letra mayúscula N . A partir de los elementos que lo forman, este conjunto está definido por: N = { 0 ,1,2 ,3 ,4 ,5 ,6 ,7 ,8 ,9 ,........ }

Números enteros: Este conjunto contiene a los números naturales. Es denotado por la letra mayúscula Z. De acuerdo a los elementos que lo forman queda definido por: Z = { ....,−5. − 4 ,−3 ,−2 ,−1,0 ,1,2 ,3 ,4 ,5 ,.... }

Números racionales: Este conjunto amplía los números enteros ya que contiene a los números decimales, con representación decimal finita y representación decimal infinita periódica, es decir, la fracciones de números enteros cuyo denominador es distinto de cero. Es denotado con la letra mayúscula Q. Entonces, este conjunto es:

⎧ n ⎫ Q = ⎨ : n∈Z ,m∈Z , m ≠ 0 ⎬ ⎩m ⎭ Ejemplos de estos números son:

1 -3 1 , , 2 5 3 estas fracciones representan los números decimales:

0.5 , - 0.6 , 0.3333333..... Es bueno recordar que una fracción indica una división, donde el numerador es el dividendo, y el denominador es el divisor. Números irracionales: Este conjunto está formado por aquellos números decimales que tienen representación decimal infinita no periódica; ejemplo:

0 ,111010001110010101000011110101110010100......

Además es denotado con la letra mayúscula I.

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Números reales: Este conjunto no es más que la unión del conjunto de los números racionales y el conjunto de los números irracionales; es denotado con la letra mayúscula R. Queda definido por:

R = Q ∪ I. En adelante usaremos letras minúsculas para denotar números reales y letras mayúsculas para denotar conjuntos. # 1. Propiedades básicas de los números reales.

Ahora, conoceremos algunas propiedades de los elementos que forman a este conjunto, para esto nos concentraremos en dos operaciones naturales, las cuales son: la suma y la multiplicación. Estas propiedades las enunciaremos usando criterios de lógica proposicional, es decir, usaremos declaraciones que pueden tener un valor lógico de verdadero o falso. Con estos preliminares, vamos a conocer algunos axiomas correspondientes a la suma y a la multiplicación: 1.1 Axiomas de la suma o adición: A.1 A.2 A.3 A.4 A.5

a ,b ∈ R ⇒ ( a + b ) ∈ R ( a + b ) + c = a + ( b + c ) , ∀a ,b ,c ∈ R ∃ ! 0 ∈ R/ a + 0 = a , ∀a ∈ R ∀a ∈ R ,∃ !( − a ) ∈ R/ a + ( − a ) = 0 a + b = b + a , ∀a ,b ∈ R

Estos cuatro axiomas son de uso frecuente, y es fundamental su conocimiento. El axioma A.1 nos dice que dados cualesquiera números reales a y b , el número ( a + b ) siempre es un número real, es decir el resultado de la suma es un número real. El axioma A.2 nos permite sumar agrupando términos en la forma en que queramos. El axioma A.3 garantiza sumar cero a algún número a no altera su valor, además este cero es un número único. Por último, el axioma A.4 nos permite cambiar el orden de los sumandos sin alterar el resultado de la suma.

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1.2 Axiomas de la multiplicación o producto. M.1 M.2 M.3 M.4 M.5

a , b ∈ R ⇒ ( ab ) ∈ R ( ab )c = a( bc ) , ∀a ,b ,c ∈ R ∃ ! 1 ∈ R/ a.1 = a , ∀a ∈ R 1 1 ∀a ∈ R ,a ≠ 0 ,∃ ! a −1 = ∈ R/ a .a −1 = a. = 1 a a ab = ba , ∀a ,b ∈ R

Es recomendable, para el lector, hacer un análisis de la lectura de las propiedades anteriores, y dar algunos ejemplos que muestren la veracidad de estos axiomas. Nota: En el axioma M.4 leemos que para cada número real distinto de cero existe un único número real tal que cuando los multiplicamos, el resultado es uno, es decir, si escogemos un número a , arbitrario, distinto de cero, siempre existe un único número a −1 , tal que a .a −1 = 1 . Como ejemplo, veamos que si a = 5 , el número a −1 = 5 −1 , es único, y además se cumple que 5.5 −1 = 1. Pero, 5 1 =5 =1 , 5 5 es decir, 1 5.5 − 1 = 5 5 lo cual nos conduce a escribir que 1 5 −1 = . 5 Generalizando este resultado afirmamos que a −1 =

1 , si a ≠ 0. a

Existe otro axioma, de utilización frecuente, el cual vamos a conocer ahora.

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1.3 Axioma de Distributividad. D.1

a( b + c ) = ab + ac , ∀a ,b ,c ∈ R

Este axioma nos permite, como su nombre lo dice, distribuir la operación de multiplicación respecto a la suma, es decir, obtenemos el mismo resultado cuando sumamos b + c y luego lo multiplicamos por a , que si multiplicamos ab y ac para después sumarlos. También, nos muestra la idea conocida en álgebra por “Factor Común”. Veamos la expresión ab + ac y notemos que cada sumando tiene un factor, que multiplica, valga la redundancia, que es común a los dos. Ahora, veamos la expresión a( b + c ) . Entonces, al compararlas, notamos que se extrajo a como un factor, es decir un elemento que multiplica, al resultado de la suma.

Ejemplos: 1. Aplicando el axioma de distributividad, encontrar el valor de ( x + y ) 2 . Respuesta: ( x + y )2 = ( x + y )( x + y )

= ( x + y )x + ( x + y ) y = x.x + y .x + x. y + y . y

(definición de potencia) (axioma de distributividad) (axioma de distributividad)

= x 2 + 2 xy + y 2

2. Aplicando el axioma de distributividad, encontrar el valor de ( x + y )4

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Respuesta: ( x + y )4 = ( x + y )( x + y )( x + y )( x + y )

= ( x + y )2 ( x + y )2 = ( x 2 + 2 xy + y 2 )( x 2 + 2 xy + y 2 ) = ( x 2 + 2 xy + y 2 )x 2 + ( x 2 + 2 xy + y 2 )2 xy + ( x 2 + 2 xy + y 2 ) y 2 = x 4 + 2 x 3 y + y 2 x 2 + 2 x 3 y + 4 x 2 y 2 + 2 xy 3 + x 2 y 2 + 2 xy 3 + y 4 = x 4 + 4 x 3 y + 6 y 2 x 2 + 4 xy 3 + y 4 Como ejercicio queda para el lector justificar cada paso dado en el ejercicio anterior.

Ejercicio Propuesto: 3. Aplicando el axioma de distributividad encontrar el valor de a) b) c) d) e)

( x − y )( x + y )2 ( x − y )2 ( x + y )( x − y )2 ( x − y )3 ( x + y )3

Existen además de los axiomas respecto a la suma, multiplicación y distribución de estas operaciones, otros, que le dan un orden al conjunto de los números reales, estos son llamados axiomas de orden. Antes de darlos a conocer, definiremos ciertos subconjuntos de R , ya conocidos, pero le daremos una notación especial.

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Definimos el conjunto de los números reales positivos como: R + . Es claro que R + ⊂ R . R + = { x ∈ R : x es positivo }

1.4 Axiomas de Orden. ∀a ∈ R : a = 0 ó a ∈ R + ó − a ∈ R + a ,b ∈ R+ ⇒ ( a + b ) ∈ R+ a , b ∈ R + ⇒ ( ab ) ∈ R +

O.1 O.2 O.3

El primero de estos axiomas nos dice que dado un número real cualquiera, solamente una de las siguientes posibilidades se cumple, ó es cero, ó es positivo, ó cuando lo multiplicamos por − 1 es positivo. Este axioma es conocido por “Axioma de Tricotomía”. Los axiomas O.2 y O.3 nos dicen que la suma y la multiplicación de números positivos siempre es positiva. Estos axiomas nos permiten establecer relaciones de orden en el conjunto de los números reales: < menor que ,

> mayor que

≤ menor o igual que,

≥ mayor o igual que

Definición: 1. 3.

a < b ⇔ (b − a ) ∈ R +

, 2. a ≤ b ⇔ a < b ó a = b

+

, 4. a ≥ b ⇔ a > b ó a = b

a > b ⇔ ( a − b )∈ R

Con esta definición podemos entonces decir que: a es positivo a es negativo

⇔ a ∈ R+ ⇔ ⇔ − a ∈ R+ ⇔

a>0 a<0

Vamos a reformular los axiomas de orden usando la relación " >".

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O.1

∀a ∈ R : a = 0 ó a > 0 ó a < 0

O.2

a > 0 y b > 0 ⇒(a+b) > 0

O.3

a > 0 y b > 0 ⇒ ( ab ) > 0

Otras propiedades que se cumplen en el conjunto de los números reales son: 1. 2. 3. 4.

a 0 ⇒ ac < bc a < b y c < 0 ⇒ ac > bc

Si identificamos cada número real con cada punto de una recta, y a esa recta la denominamos “Recta Real”, el axioma de tricotomía nos permite dividir la recta real en tres partes o conjuntos, el conjunto de los números positivos, el conjunto de los números negativos y el conjunto formado por el cero.

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Clase # 2.

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Fecha: 15/03/2002

Continuación Unidad I: Introducción a los Números Reales. Objetivo # 3: - Desigualdades, propiedades, intervalos y representación gráfica de inecuaciones.

Contenido. 1. Desigualdades. En nuestros estudios secundarios conocimos igualdades de expresiones algebraicas, por ejemplo: x + 5 = −7 y para este ejemplo, en particular, aprendimos a encontrar un valor para x , único, para que la igualdad se cumpla. Es decir, encontramos que: x + 5 = −7 ⇔

x = −7 − 5 = −12

El objetivo de esta clase, es conocer otras expresiones algebraicas, denominadas desigualdades y que involucran los símbolos: < , > , ≤ , ≥ entonces, una desigualdad es una expresión que tiene la forma, por ejemplo: x − 4 ≥ 7x + 5

Concretamente, cuando se resuelve una ecuación, usamos una técnica que se suele denominar despeje, es decir, decimos que resolvemos una ecuación cuando encontramos un valor numérico para cierta variable, mediante el despeje de la misma; similarmente, cuando queremos resolver una inecuación o desigualdad, usamos la

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misma técnica de despeje de la variable requerida, pero esta vez, no encontramos un valor, ni siquiera un número finito de valores, sino un número incontable de valores que satisfacen dicha desigualdad. Veamos un ejemplo: Queremos resolver la desigualdad x − 3 ≥ 1. Entonces, con la ayuda de los axiomas y propiedades de los números reales, podemos sumar en ambos miembros de la desigualdad el número 3 sin alterarla: x − 3 + 3 ≥ 1+ 3

Esta expresión es equivalente a x ≥ 4. Nos hacemos una pregunta, ¿Cuántos números reales cumplen la desigualdad encontrada?. Esta pregunta esa equivalente a esta otra, ¿Cuántos números reales son mayores o iguales a cuatro?. Al pensarlas, podemos responder que hay un número incontable de números reales que son mayores o iguales a cuatro, entonces la solución de la desigualdad x − 3 ≥ 1 es un conjunto de valores de la variable x, mayores que 4. Para resolver desigualdades es útil tener presente los axiomas de orden y las propiedades de los números reales. Veamos unos ejemplos: 1. Resolver la siguiente desigualdad: 3 x − 2 ≤ 5. Respuesta: 3x − 2 ≤ 5 ⇔

3 x ≤ 5 + 2 (sumando 2 en ambos miembros) 5+2 ⇔ (dividiendo por 3) x≤ 3 7 ⇔ x≤ 3 Las propiedades usadas para resolver los pasos 1 y 2 fueron las propiedades 2 y 3 de la página 6 de la clase anterior.

2. Resolver la siguiente desigualdad: x + 3 ≤ 5 x − 1. Respuesta: x + 3 ≤ 5x − 1 ⇔

3 + 1 ≤ 5x − x

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Este paso es válido puesto que podemos sumar en ambos lados de la desigualdad el número 1 y el valor − x , sin alterar la expresión; esto nos lo garantiza la propiedad 2 (página 6 clase 2). Ahora, notemos que, 3 + 1 ≤ 5x − x

⇔

4 ≤ 4x

Por último, en vista de que nos interesa despejar la variable x , la propiedad 3 (página 6 clase 2) nos permite multiplicar ambos miembros de la desigualdad por 1 / 4 , sin alterarla: 4 ≤ 4x

⇔

1≤ x

Entonces la solución de la desigualdad x + 3 ≤ 5 x − 1 es. El conjunto de valores de x, tales que x ≥ 1. En los ejemplos anteriores encontramos una desigualdad en donde los valores de la variable x se presentan en forma más explícita, es decir, concluimos que la solución del ejemplo 1 es el conjunto de números reales tales que son menores o iguales a 7 / 3 , y que la solución del ejemplo 2 es el conjunto de números reales tales que son mayores o iguales a 1. 2.

Intervalos.

Los intervalos son subconjuntos de la recta real que tienen cierta propiedad, los intervalos conocidos son: Intervalo cerrado de extremos a y b.

[ a,b ] = { x ∈ R : a ≤ x ≤ b }

Su representación gráfica en la recta real es:

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Intervalo abierto de extremos a y b.

(a , b ) = { x ∈ R : a < x < b } Su representación gráfica en la recta real es:

Es oportuno aclarar que los extremos de un intervalo cerrado pertenecen al intervalo, mientras que los extremos del intervalo abierto no. Existen además de estos otros tipos de intervalos: Intervalos semiabiertos por la derecha, de extremos a y b:

[ a,b ) = { x ∈ R : a ≤ x < b } Su representación gráfica sobre la recta real es:

Intervalos semiabiertos por la izquierda, de extremos a y b:

( a ,b ] = {x ∈ R : a < x ≤ b } Su representación gráfica en la recta real es:

Intervalos de longitud infinita:

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[ a, ∞ ) = { x ∈ R : x ≥ a } ( a,∞ ) = { x ∈ R : x > a } (− ∞ , a ] = { x ∈ R : x ≤ a } (− ∞ , a ) = { x ∈ R : x < a }

De estas definiciones, podemos entonces decir respecto al ejemplo 1, que la solución de éste es (− ∞ ,7 / 3] y que la solución del ejemplo 2 es [ 1, ∞ ).

Ejercicios:

1.

Resolver las siguientes inecuaciones, es decir, encontrar el conjunto solución de cada una de ellas: a)

x+1 > 2

c)

4x − 5 < 2x + 3

7 x+5 ≤8 4 c) 2( x − 5 ) − 3 > 5( x + 4 ) − 1 b)