Unidad I Obj 567

Archivo: Clase6 Autor : M.Sc. Jorge E. Hernández H. Fecha : 01/04/2002

Clase # 6.

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Fecha: 01/04/2002

Continuación Unidad I: Introducción a los Números Reales. Plano Numérico Ecuaciones de la Recta.

y

Objetivo # 5:

-

Plano Numérico. Distancia entre dos puntos. Pendiente entre dos puntos.

Contenido. Introducción. Así como hemos logrado la representación del conjunto de números reales sobre una recta (lugar geométrico), también podemos lograr otra representación, pero esta vez, de un nuevo conjunto denotado por R 2 , con un plano. Adicionalmente, daremos a conocer fórmulas para calcular la distancia entre dos puntos en un plano y la pendiente que tiene el segmento de línea recta que los une.

1. Plano Numérico. Comenzamos dando la definición de un nuevo conjunto numérico. Definición: El producto cartesiano del conjunto R con el mismo es un nuevo conjunto numérico denotado por R 2 , o por R × R , y está definido por: R 2 = R × R = { ( a ,b ) : a ∈ R , b ∈ R }

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A los elementos de este nuevo conjunto se les denomina pares ordenados y según vemos en la definición de R 2 son denotados por la forma ( a , b ) , donde a y b son números reales.

Si recordamos, en las primeras clases, logramos la representación del conjunto de los números reales por medio de los puntos que configuran una recta, ahora en forma similar haremos la representación del conjunto R 2 con un plano (lugar geométrico), esto es, a cada punto del plano le haremos corresponder un único par ordenado ( a ,b ) . Definición: Plano Numérico.

Si trazamos dos rectas reales en forma perpendicular, una horizontal y la otra vertical, y tomamos como referencia al punto donde ambas se cortan, lograremos una representación de los puntos del plano, donde residen estas rectas, con los elementos del conjunto R 2 en forma única. A este plano se le denomina Plano Numérico.

La recta horizontal se denomina eje de las abscisas o simplemente eje x, y la recta vertical se denomina eje de las ordenadas o brevemente eje y. Un punto en el plano tiene a un único par ( x1 , y1 ) el cual es representado como en la figura anterior, es decir, la primera componente en la recta horizontal y la segunda en la recta vertical. 2. Distancia entre dos puntos.

Sean

P1 ( x1 , y1 ) y P2 ( x 2 , y2 )

dos puntos en el plano. La distancia entre ellos,

denotada por P1 P2 , está definida por el valor numérico resultante de la fórmula:

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P1 P2 = ( x1 − x2 )2 + ( y1 − y2 )2

Veamos en la siguiente gráfica lo que significan los términos de la ecuación anterior.

En la ecuación anterior, los miembros ( x1 − x 2 ) y ( y1 − y2 ) corresponden a las distancias signadas (con signo) entre esos números, los cuales, al ser elevados al cuadrado, serán positivos, con lo que estamos seguros de que la cantidad subradical es positiva. Podemos observar además que se ha formado un triángulo rectángulo entre los puntos indicados en la figura y que la distancia entre los puntos P1 y P2 , es la longitud de la hipotenusa del triángulo.

3. Pendiente entre dos puntos. Se denomina pendiente entre dos puntos P1 ( x1 , y1 ) y P2 ( x 2 , y2 ) , al número, denotado por m, y definido por la ecuación: m=

y 2 − y1 x 2 − x1

Este número nos dará una indicación de la elevación del segmento de recta que une a los dos puntos. Veamos el gráfico.

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Rigurosamente hablando la pendiente entre dos puntos no es más que el valor de la tangente del ángulo formado por el segmento de recta que une los puntos y la horizontal:

m = tag ( θ ).

Ejercicios:

1. Para los siguientes pares de puntos encuentre la distancia entre ellos, la pendiente, y grafique: a) P1 = ( 1 ,2 )

y

P2 = ( 3 ,4 )

b) P1 = ( −7 ,1 )

y

P2 = ( −1 ,−3 )

2. Dados los puntos P1 = ( −1 ,0 ), P2 = ( 1 ,0 ) y P3 = ( 0 ,−2 ) , diga si estos puntos forman un triángulo equilátero.

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Clase # 7.

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Fecha: 03/04/2002

Continuación Unidad I: Introducción a los Números Reales, Ecuaciones de la Recta.

Plano Numérico

y

Objetivo # 9:

-

Gráficas de ecuaciones. Ecuaciones de la recta.

Contenido. Gráficas de ecuaciones. Recordemos que una ecuación es la igualdad entre dos expresiones algebraicas; como ejemplo tenemos: y2 + x2 =

x3 − z

y+ x−z =4 y = 3x + 5 Notemos que en cada uno de los ejemplos anteriores las dos expresiones algebraicas relacionadas con el símbolo de igualdad “=”, contienen una o más variables (parte literal). Cuando la ecuación tiene solo dos variables y una de ellas puede ser despejada, encontramos una ecuación equivalente que nos ayuda a determinar el valor que toma a partir de los valores asignados a la otra. Veamos, si la ecuación dada es:

y−x =5

Archivo: Clase7 Autor : Jorge E. Hernández H. Fecha : 03/04/2002

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podemos despejar la variable y, y obtener la ecuación equivalente:

y = x+5 De esta forma, si asignamos a la variable x, el valor 1, es decir, si hacemos x = 1 , obtenemos que y = 6. Si formamos el conjunto de pares de números encontrados de esta manera, podemos asociar con cada uno de ellos un punto en el plano numérico y obtener una representación gráfica para la ecuación. Definición: Gráfico de una ecuación. Se define el conjunto gráfico de una ecuación como aquel formado por todos los pares ordenados ( x , y ) tales que x ∈ R y el valor y se obtiene al sustituir x en la ecuación. La gráfica de la ecuación es el conjunto de puntos en el plano numérico asociado al conjunto gráfico. (dibujo) Es acostumbrado usar una tabla de asignación para los valores de x y y, posteriormente estos valores se grafican sobre los ejes del plano y se obtiene una representación de puntos en el plano, que al unirlos por una trazo continuo nos muestra la gráfica. Veamos un ejemplo, para la ecuación y = x 2 − 2 x − 3 tenemos:

En la figura (a) encontramos la tabla de asignación de valores, a continuación en la figura (b) observamos como estos puntos son graficados en el plano numérico, por último, en la figura (c) vemos el trazo que une cada uno de estos puntos. Es útil mencionar que en la curva trazada existen más de una infinidad de puntos, y que en la tabla solo hay un número finito. Entonces a partir de una tabla solo

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encontramos una aproximación a lo que sería la verdadera representación de todos los puntos de la gráfica. El Cálculo nos ofrece herramientas para determinar las gráficas de estas ecuaciones, y estas herramientas serán nuestro objeto de estudio a lo largo de este semestre. Ecuaciones de la Recta. Una de las ecuaciones preliminares que estudiaremos, es la ecuación que tiene como gráfica una línea recta. Toda ecuación que tiene la forma:

y = mx + b donde las variables son x , y, y m,b son números fijos, tiene como gráfica una línea recta. Por ejemplo, la ecuación:

y = 3x − 2 tiene como gráfica una línea recta; en la misma observamos que m = 3 y b = −2. Pero, necesitamos más información respecto a como es esta recta, es decir, si es horizontal o no, si es inclinada hacia arriba o hacia abajo. Bien, la misma forma de la ecuación nos brinda esa información. Si la ecuación tiene la forma y = mx + b , llamaremos pendiente de la recta al número m, y diremos que: m=0 ⇒

la recta es horizontal

m>0 ⇒

la recta es inclinada hacia arriba

m<0 ⇒

la recta es inclinada hacia abajo

Uno de los puntos del plano por donde pasa la recta es el punto ( 0 , b ). Este es el punto donde la recta corta al eje y. Es usual llamar al número b, ordenada en el origen. Aquí observamos algunas rectas que nos muestran lo anteriormente definido.

Archivo: Clase7 Autor : Jorge E. Hernández H. Fecha : 03/04/2002

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Nos queda un tipo de recta: la vertical; ésta no tiene una ecuación tipo y = mx + b . La ecuación que tiene como gráfica una recta vertical es: x=a

donde a es un número fijo. El punto ( a ,0 ) es el punto donde la recta corta al eje x. Veamos un ejemplo de esta gráfica.

Archivo: Clase8 Autor : Jorge E. Hernández H. Fecha : 05/04/2002

Clase # 8.

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Fecha: 05/04/2002

Continuación Unidad I: Introducción a los Números Reales. Plano Numérico Ecuaciones de la Recta.

y

Objetivo # 7 y 8: -

Rectas Paralelas, Secantes y Perpendiculares. Puntos de equilibrio

Contenido. La ecuación de la recta y = mx + b , contiene información que nos permite comparar rectas, unas con otras, según la posición geométrica que ocupan en el plano. Conocemos que dadas dos rectas L1 y L2 en el plano se pueden presentar tres casos geométricos: que sean paralelas, que sean secantes, es decir que se corten en algún punto, y que sean perpendiculares, es decir, que se corten en algún punto formando un ángulo recto. En la siguiente figura se muestran los tres casos.

Archivo: Clase8 Autor : Jorge E. Hernández H. Fecha : 05/04/2002

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El siguiente teorema nos mostrará lo que acabamos de decir. Teorema 8.1. Sean las rectas L1 con ecuación y = m1 x + b1 , y L2 con ecuación y = m 2 x + b2 . Entonces: a ) m1 = m 2

⇒

L1

L2

b ) m1 m 2 = −1 ⇒ L1 ⊥ L2 c ) Si no se cumplen las anteriores condiciones las rectas son secantes.

En el teorema anterior hemos usado los símbolos: “ || “ y “ ⊥ “, los cuales denotan paralelismo y perpendicularidad, respectivamente. Este teorema nos ayuda, sin necesidad de graficar las rectas, a determinar como son unas con otras: Si las pendientes de las ecuaciones son iguales decimos que las rectas son paralelas; si el producto de la multiplicación de las pendientes es − 1 decimos que las rectas son perpendiculares, y por último, si ninguna de las condiciones en a) y b) se cumplen, afirmamos que las rectas son secantes. Ejemplos: 1) Sean las rectas L1 : y = 3 x − 2

y L2 : y = 3 x + 7. Como las pendientes son:

m1 = 3

y

m2 = 3

es obvio que ambas son iguales, y por tanto, concluimos que L1

L2 , es decir, las

rectas son paralelas. 2) Sean las rectas L1 : y =

1 x − 3 y L2 : y = −5 x + 2. Aquí encontramos que: 5 1 m1 = y m 2 = −5 5

en consecuencia: m1 m 2 =

1 ⋅ ( − 5 ) = −1 5

De acuerdo a este resultado, tenemos que L1 ⊥ L2 , es decir, las rectas son perpendiculares.

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3) Sean las rectas L1 : y = − x + 3 y m1 = −1

L2 : y = −2 x + 1. Podemos notar que: m 2 = −2

y

y es evidente que no son iguales, además: m1 m 2 = ( −1 )( −2 ) = 2 ≠ −1

Entonces las rectas no son paralelas y tampoco son perpendiculares, es decir son secantes.

Ejercicios Resueltos. 1. Dibujar la gráfica de la ecuación y + 2 x = 1. Respuesta: Al leer la ecuación dada notamos que la potencia de la variable x y de la variable y es 1, por lo tanto, si despejamos la variable y, podemos encontrar una ecuación equivalente: y + 2x = 1

⇒

y = −2 x + 1

En esta segunda ecuación encontrada es fácil ver que tiene la forma de la ecuación de la recta, con pendiente m = −2 y b = 1. De acuerdo a esto, entonces conocemos que la recta es inclinada hacia abajo, ya que su pendiente es negativa, y pasa por el punto ( 0 ,1 ) localizado sobre el eje y. Necesitamos entonces solo un punto adicional para poder trazar la gráfica; con este fin escogemos un valor real para x, digamos: x = 1. Este valor de la variable x lo sustituimos en la ecuación donde despejamos y, obteniendo: y = − 2 ( 1 ) + 1 = −2 + 1 = − 1

Así, encontramos el punto buscado: ( 1 ,−1 ). Ahora procedemos a graficar, primero ubicando los puntos en el plano numérico, y luego trazando una línea recta que pase por ellos. Veamos la figura.

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Como podemos ver, la recta es inclinada hacia abajo y pasa por el punto ( 0 ,1 ). Encuentre el punto de intersección de las rectas: L1 : y = 2 x − 1

L2 : y = −

y

1 x+3 2

Respuesta:

Para encontrar el punto de intersección de dos rectas, primero debemos asegurarnos que las rectas se cortan. El teorema 8.1 nos puede ayudar. Tenemos que: m1 = 2

m2 = −

y

1 2

Si multiplicamos estas pendientes tenemos que: m1 m 2 = 2.( −

1 ) = −1 2

ahora, usando la parte b) del teorema, obtenemos que estas rectas son perpendiculares, es decir, se cortan formando un ángulo recto, en consecuencia existe el punto de corte. El procedimiento se basa en esto, que existe un punto común entre las dos rectas, digamos ( x0 , y0 ) que cumple con las dos ecuaciones, es decir:

Archivo: Clase8 Autor : Jorge E. Hernández H. Fecha : 05/04/2002

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1 x0 + 3 2 Entonces, podemos igualar los dos miembros derechos de estas ecuaciones, y obtener: y0 = 2 x 0 − 1

y0 = −

y

2 x0 − 1 = −

1 x0 + 3 2

Despejando de esta ecuación x0 , tenemos: 2 x0 + ⇔

1 x0 = 1 + 3 2

5 x0 = 4 ⇔ 2

x0 =

8 5

Ya que conocemos el valor de x0 solo queda encontrar el valor de y0 , y para tal fin usamos cualquiera de las ecuaciones de las rectas dadas (la escogencia es arbitraria). Escojamos y = 2 x − 1. Si sustituimos el valor de x0 en ésta, tenemos: 11 16 ⎛8⎞ y0 = 2 ⎜ ⎟ − 1 = −1= 5 5 ⎝5⎠ ⎛ 8 11 ⎞ En conclusión, el punto buscado es: ⎜ , ⎟ . Si queremos una representación ⎝5 5 ⎠ gráfica de esta problema, debemos graficar las dos rectas en un mismo plano numérico. Veamos la siguiente figura.

Archivo: Clase8 Autor : Jorge E. Hernández H. Fecha : 05/04/2002

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Encontrar el interés que genera un monto x , en bolívares, depositados en una cuenta de ahorro al 6% anual. Graficar la ecuación resultante. Respuesta:

La manera en que nos han enseñado a buscar intereses simples nos da la idea de cómo resolver este problema. Primero, recordemos que para calcular este tipo de interés debemos multiplicar el monto por el porcentaje dado y luego dividir entre 100; el resultado es el interés buscado. De acuerdo a esto, el planteamiento queda: 6x y= 100 Al observar la ecuación nos damos cuenta que tiene la forma de la ecuación de la 6 y b = 0. Entonces, a partir de recta y = mx + b , donde, en este caso, m = 100 estos datos conocemos que la gráfica es una recta inclinada hacia arriba, ya que la pendiente es positiva, y pasa por el punto ( 0 ,0 ). Necesitamos un punto adicional para graficar. Para tal efecto damos a la variable x un valor arbitrario, digamos x = 100 , y lo sustituimos en la ecuación para obtener: y=

6 ( 100 ) =6 100

Hemos encontrado el punto ( 100 ,6 ). Con éste y el punto ( 0 ,0 ) podemos graficar. Veamos la figura.

Archivo: Clase8 Autor : Jorge E. Hernández H. Fecha : 05/04/2002

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Archivo: Clase9 Autor : Jorge E. Hernández H. Fecha : 08/04/2002

Clase # 9.

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Fecha: 08/04/2002

Continuación Unidad I: Introducción a los Números Reales, Ecuaciones de la Recta.

Plano Numérico

y

Objetivo # 10:

- Ecuación de la recta “punto-pendiente”. - Ecuación de la recta que pasa entre dos puntos. - Ejercicios. Contenido. Hasta la clase anterior se nos han planteado problemas donde nos dan una ecuación de la forma y = mx + b , la cual hemos reconocido como recta, y debemos graficarla. Ahora, se nos presenta el problema inverso, es decir, nos dan la gráfica de una recta, para encontrar su ecuación. Este problema tendrá solución cuando conozcamos otras dos formas de la ecuación de una recta. Una de ellas es llamada ecuación punto pendiente de la recta. Como la frase lo indica, necesitamos la pendiente de la recta y un punto del plano por donde esta pase. La ecuación mencionada es la siguiente: y − y0 = m ( x − x0 ) ecuación de la recta " punto − pendiente"

Es fácil ver que esta nueva ecuación no tiene diferencia con la anteriormente estudiada. Veamos: el punto dado es ( x0 , y0 ) ∈ R 2 , es decir, x0 ∈ R y y0 ∈ R , y por otra parte, la pendiente m ∈ R . Entonces, en la ecuación dada despejemos la variable y: y − y0 = m( x − x0 ) ⇔ y − y0 = mx − mx 0

⇔ y = mx − mx 0 + y0

Archivo: Clase9 Autor : Jorge E. Hernández H. Fecha : 08/04/2002

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Ahora, como m , x0 y y0 son números reales fijos, tenemos que y0 − mx 0 es un número real fijo, y si lo llamamos b, es decir, si hacemos: b = y0 − mx 0 y lo sustituimos en la ecuación, tenemos:

y = mx − mx 0 + y0 = mx + b y esta es la ecuación de la recta que ya conocemos. Ejemplo: Dada la pendiente m = 3 de una recta que pasa por el punto ( 1 ,5 ) en el plano numérico, encontrar su ecuación. Respuesta: Este problema es de fácil solución. Solo necesitamos sustituir el valor de m , x0 y y0 en la ecuación “punto pendiente”. Según los datos del problema tenemos: m=3 y ( x0 , y0 ) = ( 1 ,5 )

sustituyendo en: y − y0 = m( x − x0 ), tenemos:

y − 5 = 3( x − 1 ) Esta es la solución buscada.

Otra ecuación de la recta es aquella en la cual solo aparecen las coordenadas de dos puntos dados, esta es la ecuación de la recta que pasa por dos puntos. La ecuación tiene esta forma:

⎛ y − y1 ⎞ ⎟⎟ ( x − x1 ) y − y1 = ⎜⎜ 2 ⎝ x 2 − x1 ⎠ ecuación de la recta que pasa por los puntos P1 ( x1 , y1 ) y P2 ( x 2 , y2 ).

Veamos que esta ecuación tiene la forma de la ecuación de la recta conocida preliminarmente.

Archivo: Clase9 Autor : Jorge E. Hernández H. Fecha : 08/04/2002

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y 2 − y1 no es x2 − x 1 más que la pendiente entre los puntos dados. Si la denotamos por m y hacemos el cambio en la ecuación dada tenemos:

Dados dos puntos ( x1 , y1 ) y ( x 2 , y2 ) en R 2 , entonces la cantidad

⎛ y − y1 ⎞ ⎟⎟ ( x − x1 ) ⇔ y − y1 = ⎜⎜ 2 − x x 1 ⎠ ⎝ 2

y − y1 = m ( x − x 1 )

Esta última es la ecuación de la recta punto pendiente, que como anteriormente vimos es una ecuación equivalente a la ecuación de la recta. Ejemplo: Dados los puntos P1 ( 1 ,3 ) y P2 ( 0 ,−1 ) , encontrar la ecuación de la recta que pasa por ellos. Respuesta:

Identificamos las coordenadas de los puntos dados con los de la ecuación de la recta que pasa por dos puntos, luego sustituimos en ella: 1. x1 = 1 , y1 = 3 , x 2 = 0 , y2 = −1

2. Sustituyendo en la ecuación, tenemos:

y−3=

−1− 3 ( x − 1) 0−1

⇔ ⇔

−4 ( x − 1) −1 y − 3 = 4( x − 1 ) y−3=

Así, la ecuación de la recta buscada es:

y − 3 = 4( x − 1 )

Archivo: Clase9 Autor : Jorge E. Hernández H. Fecha : 08/04/2002

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A continuación, veamos una aplicación de la ecuación de la recta que pasa entre dos puntos. Ejercicio: En el periódico observamos por dos días consecutivos que el valor del dólar es 683 y 685 respectivamente. Queremos determinar cómo el valor del dólar cambia a medida que pasa el tiempo. Respuesta:

Si pensamos formar pares de números entre los datos dados, vemos que podemos asociar al día x = 1 el valor del dólar y = 683 , de esta manera tenemos: P1 ( 1 ,683 ) , similarmente tomamos el día x = 2 y le asociamos el valor del dólar y = 685 , y así formamos el nuevo par: P1 ( 2 ,685 ) . Tenemos entonces dos pares ordenados que podemos representar en un plano numérico y por los cuales pasa una recta; una ecuación que podría relacionar estas variables es la ecuación de una recta. Veamos cual es esa ecuación: 1. x1 = 1 , y1 = 683 , x 2 = 2 , y2 = 685 2. Sustituimos en la ecuación: y − 683 =

685 − 683 ( x − 1) 2−1

⇔

y − 683 = 2( x − 1 )

Archivo: Clase9 Autor : Jorge E. Hernández H. Fecha : 08/04/2002

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Hemos encontrado una ecuación que relaciona al precio del dólar y con el tiempo x de la forma:

y − 683 = 2( x − 1 )

Ejercicios propuestos.

#1. Para los siguientes pares de datos (pendiente – punto), encontrar la ecuación de la recta punto pendiente: a) m = −1 , P ( 0 ,1 )

b) m = 3 , P ( 4 ,3 )

#2. Se conoce que la proporción que indica la variación del valor del dólar con respecto al tiempo es 3, durante 180 días seguidos. Si por observación se ha determinado que en el día 25 el valor del dólar fue 690, ¿ Cuál podría ser la ecuación que relacione la variable tiempo x con la variable valor del dólar y ¿ (Indicación: Se entiende por proporción el cociente o división de dos números) #3. Dados los siguientes pares ordenados:

P1 ( −1 ,−1 ) , P2 ( −1 ,1 ) , P3 ( 1 ,1 ) ,

P4 ( 1 ,−1 )

Encuentre la ecuación de la recta que pasa por: a) P1 y P2

b) P1 y P3

c) P1 y P4

d) P4 y P1

e) P4 y P2

f) P4 y P3

Grafique las ecuaciones encontradas.