Unidad I Obj 4

Archivo: Clase3 Autor : Jorge E. Hernández Fecha : 18/03/2002

Clase # 3.

1

Fecha: 18/03/2002

Continuación Unidad I: Introducción a los Números Reales. Objetivo # 5 y 6:

-

Conjunto Solución de una inecuación. Método Analítico para la resolución de inecuaciones.

Contenido. Definición: Conjunto solución de una inecuación. El conjunto de valores reales de la variable involucrada en una inecuación, que satisfacen o que cumplen con la desigualdad planteada se denomina Conjunto Solución de la Inecuación. Ejemplo: 1. Resolver la desigualdad 3 x − 8 ≤ 5 x + 3 . Respuesta: Si agrupamos de una lado de la desigualdad los términos que contienen x , y del otro lado el resto de términos, tenemos: 3x − 8 ≤ 5 x + 3 ⇔ 3x − 5 x ≤ 3 + 8 Sumando en cada lado de la desigualdad, encontramos que: − 2 x ≤ 11

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2

Pasamos dividiendo el número − 2 , teniendo en cuenta que si lo hacemos debemos cambiar el sentido de la desigualdad, debido a la propiedad 5 de los números reales (página 6):

x≥−

11 2

Entonces el conjunto solución es:

{ x ∈ R : x ≥ −11 / 2 } = [− 11 / 2 , ∞ )

Método Analítico para la resolución de Inecuaciones. Entre los métodos de resolución de inecuaciones están: el método analítico, el cual tiene su fundamento en el estudio de la expresión algebraica involucrada en la desigualdad, es decir, el análisis matemático de la expresión según los axiomas de los números reales, y a partir de este análisis proceder al despeje de la variable deseada y encontrar el conjunto solución. Esto ya lo hemos hecho en algunos ejemplos anteriores, pero es a partir de algunos modelos resueltos que encontramos adiestramiento. Ejemplo: 1. Resolver la desigualdad ( x − 3 )( x + 5 ) > 0 . Respuesta: Observando la inecuación, encontramos que es el producto de dos factores: ( x + 3 ) y ( x + 5 ), además este producto es positivo. Ya que, ( x − 3 )( x + 5 ) > 0 . Ahora, de la ley de los signos recordamos que la multiplicación de dos números es positiva si los dos números son positivos o si los dos números son negativos. En esta desigualdad podemos pensar que a) ( x − 3 ) > 0 y ( x + 5 ) > 0 b) ( x − 3 ) < 0 y ( x + 5 ) < 0 Ahora resolvamos parcialmente estos dos casos:

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a)

3

Si ( x − 3 ) > 0 y ( x + 5 ) > 0 , entonces, despejando la variable de interés x , en ambas desigualdades, tenemos x > 3 y x > −5 Pero el conjunto solución correspondiente a x > 3 es ( 3,∞ ) , y el conjunto solución el intervalo correspondiente a x > −5 es el intervalo (− 5 , ∞ ) . Así que, el conjunto solución es la intersección de estos dos conjuntos, pues serían los valores de x tales que son mayores que 3 y mayores que − 5 , al mismo tiempo. Observemos gráficamente, sobre la recta real esta intersección:

Donde se intersectan las líneas encontramos el intervalo intersección: ( 3, ∞ ) . Este es nuestro primer resultado parcial. b)

Si ( x − 3 ) < 0 y ( x + 5 ) < 0 , entonces, resolviendo ambas desigualdades, tenemos x<3

y

x < −5

Para cada una de estas inecuaciones obtenemos que el conjunto solución es la intersección de los conjuntos o intervalos ( −∞ ,3 ) y ( −∞ ,−5 ) . Graficamente

Quedando entonces el intervalo ( −∞ ,−5 ) como la intersección deseada.

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2. Resolver la siguiente desigualdad

2x − 1 ≥ 0. 4x + 2

Respuesta: Observando la desigualdad pensamos en la división de dos números cuyo resultado tiene dos posibilidades, una que es igual a cero y otra que es estrictamente mayor que cero. En el primero de los casos nos concentramos en la igualdad

2x − 1 = 0. 4x + 2 Nos hacemos la siguiente pregunta, ¿Cuándo el cociente de dos números es cero?. La respuesta es obvia, cuando el numerador es cero. Entonces, cuando 2 x − 1 = 0 , tenemos que se cumple la igualdad anteriormente planteada. Así que si despejamos x tenemos: 2x − 1 = 0 ⇔

x =1/ 2

Por lo tanto esta valor es elemento del conjunto solución de la desigualdad planteada en el ejemplo. Ahora nos concentramos en resolver la desigualdad 2x − 1 > 0. Respondamos la pregunta siguiente, ¿Cuándo la 4x + 2 división de dos números es mayor que cero, es decir, es positiva?. La respuesta es: cuando los dos son positivos o cuando los dos son negativos. Entonces la desigualdad se cumple cuando: a) 2 x − 1 > 0 y 4 x + 2 > 0 , ó b) 2 x − 1 < 0 y 4 x + 2 < 0 Procedemos a resolver por casos cada par de inecuaciones: a) 2 x − 1 > 0 y 4 x + 2 > 0 ⇔ 2 x > 1 y 4 x > −2 ⇔ x > 1 / 2 y x > −1 / 2 El conjunto solución correspondiente a este caso, será la intersección de los intervalos:

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5

( 1 / 2 ,∞ ) y ( −1 / 2 ,∞ ) Si los representamos gráficamente encontramos que esta respuesta parcial es ( 1 / 2 , ∞ ) .

b) 2 x − 1 < 0 y 4 x + 2 < 0 ⇔ 2 x < 1 y 4 x < −2 ⇔ x < 1 / 2 y x < −1 / 2 El conjunto solución correspondiente a este caso, será la intersección de los intervalos:

( −∞ ,1 / 2 ) y ( −∞ ,−1 / 2 ) Si los representamos gráficamente encontramos que esta respuesta parcial es ( −∞ ,−1 / 2 ) .

Para finalizar y obtener la respuesta general de la inecuación, unimos los resultados parciales: ( −∞ ,−1 / 2 ) ∪ (1 / 2 ,∞ ) ∪ { 1 / 2 }

A continuación se propone al lector seguir el esquema desarrollado en los ejemplos anteriores, para resolver las siguientes inecuaciones. Ejercicios propuestos: 1. ( 3 x − 2 )( 5 x + 3 ) ≥ 0

2. (

7 5 x − 1 )( )>0 5 3 − 4x

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3.

6

(7 x + 2 ) >0 ( 9 − 2x )

4. ( 5 x − 1 ).

1 >0 8x − 2

Otros Ejemplos Resueltos. 1. Ejercicio 13 página 18 (Jorge Saenz. Ciencias e Ingeniería) Resolver la siguiente desigualdad

2x − 5 − 3 > 1. 3

Solución: Generalmente se sugiere llevar esta desigualdad a una forma ya conocida, por ejemplo: ax + b > c . Veamos: 2x − 5 2x − 5 −3>1 ⇔ −3−1>0 3 3 ⇔

2x − 5 2 x − 5 − 12 −4 >0 ⇔ >0 3 3

⇔

2 x − 17 17 > 0 ⇔ 2 x − 17 > 0 ⇔ 2 x > 17 ⇔ x > 3 2

Hemos logrado una desigualdad equivalente, es decir: 2x − 5 −3>1 ⇔ 3

x>

17 2

lo cual nos indica que la solución de la primera es la solución de la segunda; entonces podemos concluir que el conjunto solución es: (

17 ,∞ ) . 2

2. Ejercicio 29 página 18 (igual texto)

Resolver la siguiente desigualdad

x−1 x+2 < . x+3 x

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Solución: Llevamos la desigualdad dada a una que podamos resolver más fácilmente: x−1 x+2 x−1 x+2 ⇔ − <0 < x+3 x x+3 x ⇔

x( x − 1 ) − ( x + 3 )( x + 2 ) <0 x( x + 3 )

⇔

x2 − x − ( x2 + 5x + 6 ) <0 x( x + 3 )

⇔

x2 − x − x2 − 5x − 6 <0 x( x + 3 )

⇔

−6x −6 − 6( x − 1 ) <0⇔ <0 x( x + 3 ) x( x + 3 )

( x −1) >0 x( x + 3 ) En este punto estamos en capacidad de resolver la desigualdad pensando en que tenemos un cociente de dos números cuyo resultado es positivo. Esto es posible solo cuando ocurre uno de estos casos: ⇔

a) b)

x − 1 > 0 y x( x + 3 ) > 0 x − 1 < 0 y x( x + 3 ) < 0

Resolvamos el primero de estos: a) Si x − 1 > 0 y x( x + 3 ) > 0 nos encontramos con la desigualdad x( x + 3 ) > 0

la cual se cumple solo si: a.1 x > 0 y x + 3 > 0

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a.2 x < 0 y x + 3 < 0 entonces la solución de este caso será la solución combinada: a.1 x − 1 > 0 y x > 0 y x + 3 > 0 , a.2 x − 1 > 0 y x < 0 y x + 3 < 0 . Ahora, a.1 tiene como resultado: x > −1 y x > 0 y x > − 3

es decir la intersección de los intervalos:

( −1 , ∞ ) y ( 0 , ∞ ) y ( − 3 , ∞ ) el cual tiene como resultado el intervalo ( 0 , ∞ ) . Similarmente el caso a.2 es x − 1 > 0 y x < 0 y x + 3 < 0 , cuya solución es el conjunto vacío, φ ; así que, la solución del caso a ) es la unión de los casos a .1 ) y a .2 ) , es decir: ( 0 , ∞ ) ∪ φ = ( 0 , ∞ ) .

Resolviendo el caso b ) : Si x − 1 < 0 y x( x + 3 ) < 0 nos encontramos con la desigualdad x( x + 3 ) < 0

la cual se cumple solo si: b.1 x > 0 y x + 3 < 0 b.2 x < 0 y x + 3 > 0 entonces la solución de este caso será la solución combinada: b.1 x − 1 < 0 y x > 0 y x + 3 < 0 , b.2 x − 1 < 0 y x < 0 y x + 3 > 0 . Ahora, b.1 tiene como resultado:

Archivo: Clase3 Autor : Jorge E. Hernández Fecha : 18/03/2002

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x < −1 y x > 0 y x < − 3

es decir la intersección de los intervalos:

( −∞ ,−1 ) y ( 0 , ∞ ) y ( −∞ ,−3 ) el cual tiene como resultado el intervalo el conjunto vacío, φ . Similarmente el caso b.2 es x − 1 < 0 y x < 0 y x + 3 > 0 , cuya solución es la intersección de los intervalos ( −∞ ,−1 ) y ( −∞ ,0 ) y ( −3 , ∞ ) es decir, el intervalo ( −3 ,−1 ) . Así que, la solución del caso b ) es la unión de los casos b .1 ) y b .2 ) , es decir: ( −3 ,−1 ) ∪ φ = ( −3 ,−1 ) .

Con estas soluciones parciales, encontramos que la solución general es la unión de las soluciones del caso a ) y b ) : ( 0 , ∞ ) ∪ ( −3 ,−1 )

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Clase # 4.

1

Fecha: 20/03/2002

Continuación Unidad I: Introducción a los Números Reales. Objetivo # 7:

-

Solución de inecuaciones. Ejercicios. Método de Sturm. Valor Absoluto.

Contenido. Ejercicio #1.

Resolver 9 x − 2 < 9 x 2 .

Respuesta: Buscaremos una desigualdad equivalente a alguna de las ya resueltas y de la cual conocemos como solucionar. Usaremos, para este efecto, la factorización; veamos: Pasando, término a término, el miembro de la izquierda de la desigualdad dada, tenemos:

9 x − 2 < 9 x2

⇔ 0 < 9 x2 − 9 x + 2

Ahora, observamos que el miembro de la derecha de esta desigualdad es un polinomio de segundo grado, el cual podemos factorizar usando la ecuación ya conocida: x1 , 2

− b ± b 2 − 4 ac = 2a

Entonces, procedamos teniendo que: a = 9 , b = −9 , c = 2. Es decir,

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x1 , 2

2

− ( −9 ) ± 9 2 − 4.9.2 9 ± 81 − 72 9 ± 9 = = = 2⋅9 18 18

De esta forma, encontramos: x1 =

9 + 3 12 2 = = 18 18 3

x2 =

y

9−3 6 1 = = 18 18 3

Estas raíces nos ayudan a factorizar así: 9 x 2 − 9 x + 2 = 9( x − 2 / 3 )( x − 1 / 3 ) Con este resultado la desigualdad encontrada queda como: 9 x − 2 < 9 x2

⇔ 0 < 9 x 2 − 9 x + 2 ⇔ 0 < 9( x − 2 / 3 )( x − 1 / 3 )

Esta nueva desigualdad corresponde a uno de los primeros modelos que ya hemos resuelto; buscamos resolver:

9( x − 2 / 3 )( x − 1 / 3 ) > 0 De la lectura e interpretación de esta, encontramos que se trata de la multiplicación de, fundamentalmente, los términos ( x / 2 / 3 ) y ( x − 1 / 3 ) , la cual es positiva. De esto deducimos los casos: a) x − 2 / 3 > 0

y

x−1/ 3 > 0

b) x − 2 / 3 < 0

y

x−1/ 3 < 0

Ahora, busquemos la primera solución parcial. En a) despejamos x en ambas desigualdades y encontramos:

x−2/3>0 ⇔ x > 2/3 y

y

x−1/ 3 > 0

x > 1/ 3

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3

Representando estas últimas en una recta vemos que:

deducimos entonces que el intervalo solución es ( 2 / 3 , ∞ ). Buscando la segunda solución parcial, tenemos que considerar lo planteado en b) y proceder de manera similar:

⇔

x−2/3<0

y

x−1/ 3 < 0

x < 2/ 3 y

x < 1/ 3

Llevando esto a la recta real nos queda:

Deducimos que la segunda solución es: ( −∞ ,1 / 3 ) . Hemos así encontrado dos soluciones parciales, y al considerar la unión de las mismas obtenemos la solución general: x ∈ ( −∞ ,1 / 3 ) ∪ ( 2 / 3 , ∞ ) .

Método de Sturm.

Hay otro método para solucionar desigualdades cuando estas contienen más de tres factores que intervienen en una multiplicación o en una división. Evidentemente, si intentáramos usar el método analítico el número de casos a estudiar serían mas de cuatro, lo cual haría más dificultoso encontrar la solución de la desigualdad. El método de Sturm es ideal en estos modelos. Para aplicar este método:

Archivo: Clase4 Autor : Jorge E. Hernández H. Fecha : 20/03/2002

4

Primero: Una vez que hayamos logrado dejar uno de los miembros de la desigualdad en cero, y factorizado el miembro restante, entonces, a cada factor le hacemos corresponder una recta donde se muestre cuando los valores de la variable hacen al factor positivo y cuando lo hacen negativo (usando los símbolos “+” y “-“) . Segundo: colocamos dichas rectas unas debajo de otra. Tercero: creamos una nueva recta donde marcamos el signo de la multiplicación de cada factor. Cuarto: escogemos el signo que convenga de acuerdo al planteamiento del ejercicio. Ejemplo: Resolver x ⋅ ( x + 3 ) ⋅ ( x − 1 ) < 0 Observamos que la multiplicación de estos tres factores es negativa, nuestra escogencia final será aquella que nos conduzca hacia valores negativos. 1. El primer factor x + 3 es positivo a la derecha de -3 y es negativo a la izquierda del mismo; similarmente, para el factor x construimos la recta correspondiente lo mismo que para el factor x − 1. 2. Por último, construimos la recta producto aplicando la ley de signos. En la figura podemos observar los resultados.

3. En la recta producto, escogemos el o los sectores que nos muestren signo negativo, ya que la desigualdad planteada nos lo exige; de esta forma, el resultado final es: x ∈ ( −∞ ,−3 ) ∪ ( 0 ,1 )

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5

Otro Modelo de desigualdades:

El propósito de esta parte es mostrar el método para resolver desigualdades como las del siguiente ejemplo: Resolver:

4x − 5 ≤ 7 x + 1 ≤ 1 + 2x

Primero dividimos esta doble inecuación en dos:

4x − 5 ≤ 7 x + 1

y

7 x + 1 ≤ 1 + 2x

En segundo lugar, buscamos la solución de cada una, por separado, y a diferencia de aquellos ejercicios donde se presentaban casos, aquí consideramos como solución general la intersección de los resultados parciales. Veamos: a) Resolvemos: 4 x − 5 ≤ 7 x + 1. Agrupamos de un lado de la desigualdad los términos que contienen la variable y del otro, los restantes: − 1− 5 ≤ 7 x − 4x

sumamos y despejamos la variable: − 6 ≤ 3x

⇔

-2 ≤ x

Hemos encontrado como primera solución: x ∈ [− 2 , ∞ ). b) Resolvemos ahora: 7 x + 1 ≤ 1 + 2 x . Procediendo en forma similar al anterior, tenemos: 7 x + 1 ≤ 1 + 2x

⇔

7 x − 2x ≤ 1 − 1 ⇔ 5x ≤ 0

es decir, x ≤ 0. Así, encontramos nuestra segunda solución parcial: x ∈ (− ∞ ,0 ].

Ahora, nuestra solución final es: x ∈ (− ∞ ,0 ] ∩ [− 2 , ∞ ) = [− 2 ,0 ].

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6

Valor Absoluto: Definición. Propiedades.

En esta clase vamos a presentar un nuevo concepto que tiene su origen en la geometría clásica, cuando medimos una distancia. 1. Definición: Dado un número real x , definimos un nuevo número, que se denomina valor absoluto de x y que se denota x , por medio de: ⎧ x , si x ≥ 0 x =⎨ ⎩ − x , si x < 0 Interpretemos esta definición. Supongamos que el número dado x , es positivo o cero, entonces el valor absoluto de x es el mismo, si por el contrario, x es un número negativo, su valor absoluto es el mismo multiplicado por − 1. De acuerdo a esta definición, tratemos de resolver el siguiente ejemplo: ¿Cuál es el número

x−3 ?

Respuesta: Según la definición es lo que está, exactamente, dentro de las barras, si es mayor o igual a cero, ó lo que está dentro de las barras multiplicado por − 1 , si es menor que cero: ⎧ x − 3 , si x − 3 ≥ 0 x−3 =⎨ ⎩− ( x − 3 ), si x − 3 < 0

podemos reescribir lo anterior de esta manera: ⎧ x − 3 , si x ≥ 3 x−3 =⎨ ⎩ − x + 3 , si x < 3 2. Propiedades del Valor Absoluto: El valor absoluto tiene las siguientes propiedades: a)

x ≥0

b)

x+ y ≤ x + y

c)

x .y = x ⋅ y

d)

x x = y y

para cualesquiera números x , y ∈ R .

para cualesquiera números x , y ∈ R .

para cualesquiera números x , y ∈ R , y ≠ 0.

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7

3. Teorema Fundamental: a)

x ≤ a ⇔ −a ≤ x ≤ a

b)

x ≥ a ⇔ x ≥ a ó x ≤ −a

c)

x < a ⇔ −a < x < a

d)

x > a ⇔ x > a ó x < −a

Este teorema nos dice entonces como resolver inecuaciones que contienen valores absolutos, pues nos muestra una desigualdad equivalente.

Archivo: Clase5 Autor : Jorge E. Hernández H. Fecha : 22/03/2002

Clase # 5.

1

Fecha: 22/03/2002

Continuación Unidad I: Introducción a los Números Reales, Ecuaciones de la Recta.

Plano Numérico

y

Objetivo # 8:

-

Valor Absoluto. Ejercicios.

Contenido. Ejemplo 1: Resolver

x − 5 ≤ 2.

Solución: Leyendo la expresión dada encontramos una forma que contiene el símbolo ≤ entonces usamos la parte a ) del teorema: x−5 ≤ 2 ⇔ −2 ≤ x−5 ≤ 2 Esto nos dice que resolver el lado derecho de esta equivalencia es lo mismo que resolver la que contiene valor absoluto. Entonces resolvamos: −2 ≤ x−5 ≤ 2

La solución de esta inecuación la encontramos resolviendo las desigualdades: −2 ≤ x−5

Veamos:

−2 ≤ x−5 ⇔ 5−2 ≤ x ⇔3≤ x

y y

x−5 ≤ 2 x−5 ≤ 2 ⇔ x ≤ 2+5 ⇔ x ≤7

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2

De esta forma encontramos que: 3 ≤ x y x ≤ 7 , es decir, la intersección de los intervalos la cual es: [3 ,7 ] . Entonces, esta es la solución buscada.

Ejemplo 2. Resolver

3x − 2 ≥ 1 .

Solución: Leyendo esta expresión encontramos involucrado un valor absoluto y el símbolo ≥ , entonces usaremos la parte b ) del teorema para convertir esta desigualdad en una que ya sabemos resolver. 3 x − 2 ≥ 1 ⇔ 3 x − 2 ≥ 1 ó 3 x − 2 ≤ −1

Podemos resolver las desigualdades de la derecha de la equivalencia anterior: 3x − 2 ≥ 1 ó 3 x − 2 ≤ −1 3x ≥ 1 + 2 ó 3 x ≤ −1 + 2 x≥3/ 3 ó x ≤ 1/ 3 Hemos encontrado que x ≥ 1 ó x ≤ 1 / 3 , lo cual indica que la solución es la unión de los intervalos (− ∞ ,1 / 3] y [1 , ∞ ) . Es decir:

(− ∞ ,1 / 3] ∪ [1 , ∞ )

Ejemplo 3: Resolver

x2 − 2x < 2 .

Solución: Debemos eliminar las barras de valor absoluto para llegar al conjunto solución de la expresión dada. Entonces usamos la parte c ) del teorema: x2 − 2x < 2 ⇔ − 2 < x2 − 2x < 2 Ahora procedemos a resolver la desigualdad combinada a la derecha de la equivalencia: − 2 < x2 − 2x < 2

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3

la cual es equivalente a:

− 2 < x2 − 2x

y

x2 − 2x < 2

La intersección de las soluciones de estos dos casos nos dará la respuesta deseada. Resolvamos − 2 < x 2 − 2 x ; esta expresión es equivalente a 0 < x 2 − 2 x + 2. Si buscamos las raíces de este polinomio de grado dos, tenemos:

2 + 4 − 4.1.2 2 + 4 − 8 , pero, esto no puede ser puesto = 2 2 que tendríamos una raíz cuadrada negativa. Entonces este polinomio no tiene raíces, es decir, no puede ser factorizado. Debe suceder que éste es ó siempre positivo ó siempre negativo. Para saberlo le damos un valor a x , arbitrario, digamos x = 0 , y obtenemos: 0 < 0 2 − 2.0 + 2 = 2 , como esto es cierto y 2 es un número positivo, esta desigualdad es siempre cierta, por tanto el conjunto solución es todo el conjunto de los reales R . x1 =

Ahora resolviendo x 2 − 2 x < 2 , tenemos que esta expresión es equivalente a:

x2 − 2x − 2 < 0 Buscando las raíces encontramos: x1 =

2 + 4 − 4.1.( −2 ) 2 + 12 2 + 2 3 = = = 1+ 3 2 2 2

x2 =

2 − 4 − 4.1.( −2 ) 2 − 12 2 − 2 3 = = = 1− 3 2 2 2

Entonces, podemos factorizar:

x 2 − 2 x − 2 = ( x − ( 1 + 3 ))( x − ( 1 − 3 )) y entonces resolver:

( x − ( 1 + 3 ))( x − ( 1 − 3 )) < 0

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4

Nos encontramos con un producto o multiplicación cuyo resultado es negativo, entonces, procedemos a resolver dos casos: a) x − ( 1 + 3 ) > 0

y

x −(1− 3 ) < 0

b) x − ( 1 + 3 ) < 0

y

x −(1− 3 ) > 0

En el caso a ) tenemos como solución la intersección de los intervalos:

( 1 + 3 , ∞ ) y ( −∞ ,1 − 3 ) la cual es vacía; entonces la solución de este caso es φ . En el caso b ) tenemos como solución la intersección de los intervalos:

( −∞ ,1 + 3 ) y ( 1 − 3 , ∞ ) que tiene como resultado ( 1 − 3 ,1 + 3 ) . La unión de los resultados correspondientes al caso a ) y b ) es la solución buscada, a saber ( 1 − 3 ,1 + 3 ) . Por último, la solución de − 2 < x 2 − 2 x < 2 es la intersección de los resultados encontrados para 0 < x 2 − 2 x + 2 y x 2 − 2 x − 2 < 0 , es decir:

R ∩ ( 1 − 3 ,1 + 3 ) = ( 1 − 3 ,1 + 3 ) . Ejercicios: Resolver los siguientes ejercicios: 1)

2x − 3 ≤2 3x + 1

2)

1 >3 ( x − 2 )2

3)

x−1 ≥1 x2 − 1

4)

2x − 5 ≤ x + 1

5)

1 1 ≥ x−3 2x + 6

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5

2x − 3 ≤ 2 , entonces convertimos esta 3x + 1 desigualdad con valor absoluto en una equivalente usando el teorema visto en la clase pasada:

1)

Solución:

Se nos pide resolver

2x − 3 ≤2 3x + 1

⇔

⇔

2x − 3 ≤2 3x + 1

−2≤

−2≤

2x − 3 3x + 1

y

2x − 3 ≤2 3x + 1

Debemos resolver entonces dos desigualdades, y la intersección de las soluciones de cada uno será la solución del ejercicio planteado. a)

−2≤

2x − 3 2x − 3 2( 3 x + 1 ) + ( 2 x − 3 ) ⇔ 0≤ 2+ ⇔ 0≤ 3x + 1 3x + 1 3x + 1

⇔0 ≤

6x + 2 + 2x − 3 8x − 1 ⇔ 0≤ 3x + 1 3x + 1

Tenemos entonces que resolver la última desigualdad encontrada. Esta nos dice que la división de 8 x − 1 entre 3 x + 1 es positiva ó cero. Si es positiva tenemos que debe suceder: a.1 a.2

8x − 1 > 0 8x − 1 < 0

y y

3x + 1 > 0 3x + 1 < 0

Resolvemos estos dos casos y encontramos la intersección de los intervalos:

( 1 / 8 , ∞ ) y ( −1 / 3 , ∞ ) Si los representamos gráficamente vemos fácilmente que es: ( 1 / 8 , ∞ ) . Ahora, si la división de 8 x − 1 entre 3 x + 1 es cero, debe suceder que:

8x − 1 = 0 ,

es decir, x = 1 / 8

Entonces el resultado parcial de a ) es: [1 / 8 , ∞ ) .

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b)

2x − 3 ≤2 3x + 1

6

⇔

2x − 3 −2≤0 3x + 1

⇔

− 4x − 5 2x − 3 − 6x − 2 ≤0 ≤0 ⇔ 3x + 1 3x + 1

⇔

−

⇔

2 x − 3 − 2( 3 x + 1 ) ≤0 3x + 1

4x + 5 4x + 5 ≤0 ⇔ 0≤ 3x + 1 3x + 1

Esta última desigualdad la podemos resolver en forma similar a la anterior. Consideremos los casos en que el cociente es positivo: b.1 b.2

4x + 5 > 0 4x + 5 < 0

y 3x + 1 > 0 y 3x + 1 < 0

Resolviendo b .1 , encontramos la intersección de los intervalos ( −5 / 4 , ∞ ) y ( −1 / 3 , ∞ ) , la cual nos da como resultado el intervalo ( −1 / 3 , ∞ ) . Resolviendo b .2 , encontramos la intersección de los intervalos ( −∞ ,−5 / 4 ) y ( −∞ ,−1 / 3 ) , la cual nos da como resultado el intervalo ( −∞ ,−5 / 4 ) . De esta forma el conjunto solución de la desigualdad estricta es la unión:

( −∞ ,−5 / 4 ) ∪ ( −1 / 3 , ∞ ) . 4x + 5 , pero esto ocurre si y solo 3x + 1 si 4 x + 5 = 0 , lo cual, a su vez, es cierto si y solo si x = −5 / 4. Así que el conjunto solución general es Pero aún nos falta por resolver el caso en que 0 =

(− ∞ ,−5 / 4 ] ∪

( −1 / 3 , ∞ ) .

1 > 3 . Primero debemos notar que lo ( x − 2 )2 que está dentro de las barras de valor absoluto es un cociente totalmente positivo, puesto que el número 1 es positivo y el denominador ( x − 2 ) 2 es positivo si x ≠ 2. Entonces, sin temor a equivocarnos podemos escribir:

2. Solución: Queremos resolver

Archivo: Clase5 Autor : Jorge E. Hernández H. Fecha : 22/03/2002

7

1 > 3 ⇔ 1 > 3( x − 2 ) 2 ⇔ 0 > −1 + 3( x − 2 ) 2 2 (x−2)

⇔ 0 > −1 + 3( x 2 − 4 x + 4 ) ⇔ 0 > 3 x 2 − 12 x + 11 Resolver esta última desigualdad no es problema. Se sugiere al lector la continuación del mismo.

Los ejercicios restantes quedan propuestos para el lector.