Unidad Ii Obj 3

Archivo: Clase12 Autor : Jorge E. Hernández H. Fecha : 13/05/2008

Clase # 12.

1

Fecha: 28/10/2008

Unidad II: Funciones. Límites. Continuidad. Objetivo # 3:

- Composición de Funciones. Contenido. Introducción. En clases anteriores asociamos al concepto de función un diagrama de entradaproceso-salida. Ahora pondremos estos diagramas uno a continuación del otro, siendo las salidas del primero la entrada del segundo. El diagrama quedaría así:

Entrada 1

Proceso 1

Salida 1

Proceso 2

Salida 2

De esta forma, si pensamos en los procesos como funciones y las entradas y salidas como valores del dominio y rango de las funciones, entonces una representación diagramática quedaría de esta forma:

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2

De esta forma podemos hacer la siguiente definición: Definición: Función compuesta Dadas las funciones f : Dom ( f ) → R y g : Dom( g ) → R definimos la función compuesta g D f : {x ∈ Dom ( f ) : f ( x ) ∈ Dom ( g )} → R por medio de la regla: g D f ( x ) = g( f ( x ))

Ejemplo: Sean las funciones f ( x ) = 3 y g ( x ) = x 2 − 3. Entonces la función compuesta g D f queda definida por la regla: g D f ( x ) = g ( f ( x )) = g ( 3 ) = 3 2 − 3 = 6 Si lo representamos por medio del diagrama, tenemos: f

x ∈ Dom ( f )

3

g

6

Hagamos otros ejemplo. Ejemplo: #1. Encuentre la función compuesta de las siguientes funciones dadas: Para:

a ) f ( x ) = x 2 − 3 , g( x ) = b) f(x)=

3

x + 1 , encuentre f D g y g D f

x−1 , g ( x ) = x ( x + 1 ) , encuentre f D g y g D f x+1

Respuesta: a) Debemos proceder así:

x ∈ Dom( g )

g

3

x+1

f

(

3

)

2

x+1 −3

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3

Es decir, la regla que define la función compuesta es: f D g( x ) = f ( g ( x )) =

(

3

)

2

x+1 −3

Procediendo de manera similar, encontramos: g D f ( x ) = g ( f ( x )) = g ( x 2 − 3 ) =

3

x2 − 3 + 1 =

x2 − 2

b) Siguiendo el mismo procedimiento, tenemos: f D g ( x ) = f ( g ( x )) = f ( x ( x + 1 )) =

x( x + 1 ) − 1 x( x + 1 ) + 1

Análogamente, tenemos: g D f ( x ) = g( f ( x )) = g (

x−1 ⎛ x − 1⎞ ⎛ x − 1 ⎞ )=⎜ + 1⎟ ⎟ ⎜ x+1 ⎝ x + 1⎠ ⎝ x + 1 ⎠