Unidad Ii Obj 1

Archivo: Clase10 Autor : Jorge E. Hernández H Fecha : 13/05/2008

Clase # 10.

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Fecha: 28/10/2008

Unidad II: Funciones. Límites. Continuidad. Objetivo # 1:

- Definición de Función, Dominio, Rango. - Algunas funciones especiales. - Operaciones con funciones. Contenido. 1. Introducción: Nuestro ambiente está rodeado de situaciones las cuales pueden ser representadas por diagramas de este tipo: Entrada

Proceso

Salida

Por ejemplo, un ser humano puede transformar el oxígeno que toma del aire en anhídrido carbónico por medio del proceso de la respiración. En este caso, la entrada es la cantidad de oxígeno, la salida es la cantidad de anhídrido carbónico y el proceso es la respiración. Otro ejemplo, esta vez de tipo financiero, es aquel que se nos presenta en una cuanta de ahorro; se abre una cuenta de ahorro con una cantidad inicial x y al cabo de 1 año, sin haber hecho retiros el saldo de la cuenta es mayor. En este caso, la entrada es la cantidad de dinero depositada inicialmente, la salida es la cantidad en el saldo al cabo de 1 año, y el proceso es el cálculo de intereses. Esta idea de representación diagramática fue llevada al campo de las matemáticas cuando se observó que un número puede ser transformado en otro por medio de operaciones fundamentales. Por ejemplo, cuando tenemos una regla para procesar o transformar un número de este tipo: x → x + 3 , es decir, el número x es transformado sumándole 3, vemos que la entrada es cualquier

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número real x, la salida es el resultado de sumar x con 3, y el proceso es la suma. Veamos entonces a que llamamos función.

2. Definición de Función: Sean A y B conjuntos cualesquiera. Una función, denotada con la letra minúscula f , es una regla que asocia, a cada elemento del conjunto A, un único elemento del conjunto B. Esta es una definición general, ya que la naturaleza delos conjuntos A y B es arbitraria. Un ejemplo adicional es el siguiente: En un escritorio de una secretaria hay algunos sobres con cartas, carpetas con oficios y planillas de solicitud de empleo, adicionalmente, en la oficina hay un archivo para guardar documentos, la regla establecida es como sigue, en la primera gaveta del archivo se guardan las cartas, en la segunda se guardan los oficios y en la tercera se guardan las solicitudes de empleo; entonces la secretaria podrá cambiar de posición (escritorio – archivo) a los documentos, según la regla indicada. Este ejemplo puede ser representado en el siguiente diagrama.

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3. Definición: Función real de variable real. Una función real de variable real f es una función que actúa sobre conjuntos numéricos. Más precisamente, una función real de variable real es una regla que asocia a cada número de un conjunto A un único número de un conjunto B. Notación: La simbología f : A ⊂ R → B ⊂ R se lee: f es una función que actúa de un subconjunto A de los números reales en un subconjunto B de los números reales.

Ejemplos: a) La regla que asocia cada elemento x de R con el elemento x 2 es una función. b) La regla que asocia cada elemento x > 0 en R por medio de la regla x no es una función, puesto que cualquier número positivo tiene dos raíces cuadradas. ( 4 = ±2. )

En vista de que estamos asociando pares de números por medio de una regla, y no arbitrariamente, llamaremos a la variable x variable independiente ó variable de entrada, y llamaremos variable dependiente o de salida, a la variable producto de haber transformado a x por medio de la regla dada, la denotaremos con la letra y o con el símbolo f ( x ), es decir y = f ( x ). Es importante reconocer que el símbolo f ( x ) denota el valor que toma la función una vez que ha sido procesada la variable de entrada x por medio de la regla dada. Ejemplo: Dada la regla x → 2 x + 1 , si la variable de entrada toma el valor 2, es decir, si x = 2 , entonces el valor transformado es 2.2 + 1 = 5 , y podemos escribir, f ( 2 ) = 5. Otra observación la obtenemos al interpretar la simbología x → 2 x + 1 ; esta quiere decir que para cualquier valor que tome la variable x la variable de salida es calculada multiplicando por 2 la variable de entrada y luego sumándole 1 al resultado preliminar.

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Otros conceptos importantes son los correspondientes al conjunto que llamaremos Dominio de la función, y al conjunto Rango de la función. Veamos.

4. Definición: Dominio de una función.

El conjunto valores numéricos que una función “puede procesar” es denominado Dominio de la función. Esta conjunto es denotado por Dom( f ).

Esta definición es necesaria ya que existen funciones que no pueden procesar todos los valores numéricos; veamos un ejemplo: 1 , si intentamos asignar a la variable x x−5 el valor numérico 5, vemos que x − 5 = 5 − 5 = 0 , y en consecuencia f ( 5 ) sería el resultado de dividir 1 entre cero, lo cual no puede hacerse ya que no existe un número que multiplicado por cero el resultado sea 1. Vemos entonces que la función f no puede procesar el valor x = 5. Por lo tanto el número 5 no pertenece al dominio de f.

Ejemplo: Dada la regla f ( x ) =

5. Definición: Rango de una función.

El conjunto de valores resultantes de haber procesado los elementos del dominio por medio de la función, se denomina Rango de la función, y se denota por Rang ( f ).

Ejemplo: Para el ejemplo anterior si x = 0 entonces al sustituir este valor en la regla, obtenemos: 1 1 1 = f (0 ) = =− 0−5 −5 5 1 pertenece al rango de la función, ya que este es el 5 resultado de haber procesado al elemento x = 0 que pertenece al dominio.

Decimos entonces que −

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6. Algunas funciones de uso frecuente. Las siguientes son funciones que comúnmente se utilizan en matemáticas: La función f : R → R definida por f ( x ) = k , 6.1 Función Constante: donde k es cualquier número fijo, se denomina función constante, y tiene como dominio al conjunto R . Un ejemplo de esta función es: f(x)= 4 Notemos que:

x = 0 ⇒ f (0 ) = 4 x = 1 ⇒ f (1) = 4

es decir, no importa el valor que tome la variable x, el resultado siempre es 4. 6.2 Función Identidad: La función f : R → R definida por f ( x ) = x se denomina función identidad, y tiene como dominio al conjunto R. Observemos que: x = 1 ⇒ f (1) = 1 x = − 5 ⇒ f ( − 5 ) = −5 Esta función no modifica el valor de entrada x. 6.3 Función Potencial: La función f : R → R definida por f ( x ) = ax n , con n en los enteros positivos y a un número real, se denomina función potencial. Ejemplos de funciones potenciales son: f ( x ) = x2 g( x ) = 4 x 3 h( x ) = −3 x 5 6.4 Función Polinómica: Una función cuya regla está definida de la siguiente forma f ( x ) = an x n + an − 1 x n − 1 + .... + a1 x + a0 donde an , an − 1 ,...., a1 , a0 son números reales, se denomina función polinómica. En general, el dominio de este tipo de funciones es R . 6.5 Función Racional: Diremos que una función f es una función racional si la regla que la define es la división de dos polinomios p( x ) f(x)= q( x ) sonde el grado del polinomio del denominador es mayor que cero.

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Nota: Más adelante veremos como encontrar el dominio de una función racional. 7. Operaciones con Funciones. En vista de que los valores de las funciones que estamos estudiando son números reales, es natural definir las operaciones con funciones de manera similar a las operaciones con números. Definición: Sean f y g funciones reales de variable real. Definimos:

a ) Función Suma : b ) Función Pr oducto : c ) Función Cociente :

( f ± g )( x ) = f ( x ) ± g ( x ) ( f ⋅ g )( x ) = f ( x ) g( x ) ( f / g )( x ) = f ( x ) / g ( x )

Ejemplos:

1) Sean f ( x ) = 3 x + 1 y g( x ) = x 2 − 2. Encuentre f + g y Respuesta: Según la definición, tenemos: ( f + g )( x ) = f ( x ) + g ( x ) = 3 x + 1 + x 2 − 2 = x2 + 3 x − 1 ( f ⋅ g )( x ) = f ( x ) g ( x ) = ( 3 x + 1 )( x 2 − 2 )

= 3 x3 − 6 x2 + x2 − 2 = 3 x3 − 5 x2 − 2

2) Sean f ( x ) = 4 x − 2 y g( x ) = 5 x + 1. Encuentre f / g . Respuesta: Usando la definición, tenemos: ( f / g )( x ) = f ( x ) / g( x ) =

4x − 2 5x + 1

f ⋅ g.