Tugas 4.docx

FISIKA ZAT PADAT DIFRAKSI KRISTAL DAN KISI BALIK

OLEH: Nama

: Asmi Putri

NIM

: 16033086

Prodi

: Pendidikan Fisika

Dosen

: Drs. Hufri, M.Si

PENDIDIKAN FISIKA UNIVERSITAS NEGERI PADANG 2019

DIFRAKSI KRISTAL DAN KISI BALIK A. Penurunan Rumus Amplitudo Hamburan 1. Analisis Fourier Sebagian besar sifat kristal dapat dihubungkan dengan komponen Fourier dari kerapatan elektron. Aspek tiga dimensi pada kecenderungan waktu tertentu tidak menyebabkan berbagai kesulitan dengan matematikanya, tapi pertama kita mengingat fungsi n (x) dengan periode a pada satu dimensi. Kita kembangkan n (x) dalam deret Fourier sinus dan kosinus :

…(1) Dimana p adalah bilangan bulat positif, Cp dan Sp adalah konstanta real, disebut koefisien ekspansi Fourier. Faktor

2п 𝑎

dalam uraian akan meyakinkan bahwa n (x) memiliki periode a :

…(2)

Kita dapat menyatakan bahwa

2п𝑝 𝑎

sebuah titik pada kisi balik atau ruang

Fourier pada kristal. Titik kisi balik memberitahukan kita bahwa diizikan terminologi dalam deret Fourier Terminologi diizinkan jika konsisten dengan kecenderungan waktu tertentu dari kristal, seperti gambar berikut, titik lain dalam ruang balik tidak diizinkan dalam ekspansi Fourier pada fungsi periodik.Ini adalah waktu yang tepat untuk menuliskan deret dengan rapi dari :

…(3)

Koefisien np merupakan bilangan kompleks. Untuk memastikan bahwa n (x) adalah fungsi nyata, kita memerlukan n-p = np Kemudian jumlah dari terminologi p dan –p adalah real. Dengan φ = 2п𝑝𝑥/𝑎 maka jumlahnya adalah :

yang mana dalam jumlah untuk fungsi real, …(4) Jika pers. (4) terpenuhi. Re {np} dan Im {np} menunjukkan bagian real dan imajiner dari np. Ekspansi dari Analisis Fourier untuk fungsi periodik dalam tiga dimensi tidak rumit. Kita temukan kumpulan dari vektor G …(5) adalah sama dibawah seluruh translasi kisi T yang meninggalkan kristal yang sama.

2. Vektor Kisi Balik Sumbu-sumbu vektor b1, b2 dan b3 untuk kisi balik didefinisikan sebagai relasi: 𝑎2 × 𝑎3 𝑏1 = 2𝜋 𝑎1 . 𝑎2 × 𝑎3 𝑎3 × 𝑎1 𝑏2 = 2𝜋 𝑎1 . 𝑎2 × 𝑎3 𝑎1 × 𝑎2 𝑏3 = 2𝜋 𝑎1 . 𝑎2 × 𝑎3 dengan 𝑎1 , 𝑎2 , dan 𝑎3 adalah vektor basis kisi. Sifat-sifat dari b1, b2 dan b3 adalah bahwa berlaku aturan

ij = 1 jika i = j ij = 0 jika ij. b1 .a1 = 2

b1.a2 = b1 .a3 = 0

bi.aj = 2ij b2 .a2 = 2

b2.a1 = b2. a3 = 0

b3 .a2 = 2

b3.a1 = b3 .a2 = 0

Titik-titik dalam kisi balik dipetakan dengan seperangkat vektor dalam bentuk vektor kisi balik G : G = hb1 + kb2 + lb3 dengan h, k dan l adalah bilangan bulat. b1, b2 dan b3 disebut dengan vektor basis balik.

Gambar 1. Relasi Vektor Basis Balik dan Vektor Basis Kisi

Vektor b1 adalah tegak lurus terhadap bidang yang dibuat oleh vector a2 dan a3, Vektor b2 adalah tegak lurus terhadap bidang yang dibuat oleh vector a1 dan a3, Vektor b3 adalah tegak lurus terhadap bidang yang dibuat oleh vector a1 dan a2.

3. Kondisi Difraksi



Gambar 2.Kondisi Difraksi

Didefinisikan vektor hamburan k sedemikian rupa k + k = k’. Ini merupakan ukuran dari perubahan vektor gelombang terhambur. Bila yang terjadi adalah hamburan yang bersifat elastis, maka tidak ada perubahan besar vektor gelombang sehingga

k  k '  2



Perubahan vektor k dalam k adalah tegak lurus terhadap bidang (hkl). Arahnya adalah searah dengan arah G(hkl) atau vektor satuan n. Maka diperoleh hubungan  4  Sin   G hkl  G  hkl

 k  k '  k   2 Sin  k nˆ   

Dapat ditunjukkan bahwa jarak antar bidang d(hkl) berkaitan dengan besar G(hkl) dalam bentuk

d hkl 

2 G hkl

Sehingga dapat diungkapkan bahwa  2 d ( hkl ) Sin   k    G ( hkl )   

Jika hukum Bragg terpenuhi maka,  k  G hkl Dengan demikian relasi antara vektor gelombang awal dan akhir refleksi Bragg dari gelombang – partikel dapat ditulis sebagai k

2

 k'

2

k '  G hkl  k

Jika kuantitas 2 k. G  G 2  0 2 sebagai 2 k. G  G  0

sehingga kondisi difraksi dapat ditulis

Ini adalah ungkapan bagi kondisi yang diperlukan untuk terjadinya difraksi. Dapat dibuktikan bahwa :

a1 . k  2  h ; a2 . k  2  k ;

a3 . k  2  l

Persamaan ini adalah persamaan Laue, yang mana digunakan dalam pembicaraan simetri dan struktur kristal.

B. Analisis Fourier dari Basis Resultan gelombang difraksi oleh keseluruhan atom dalam unit sel (satu satuan sel) dinyatakan dalam faktor struktur. Bila kondisi difraksi terpenuhi amplitudo terhambur bagi kristal terdiri dari N sel adalah diungkapkan sebagai FC=N.SG Dimana kuantitas SG disebut dengan faktor struktur yang didefinisikan sebagai :

r j  x j a1  y j a 2  z j a3

Dan fj = faktor atomik. Kemudian, bagi refleksi yang dilabel dengan h, k, l, :

G. r j  2  hx j  ky j  lz j  



Sehingga faktor struktur S :





S G hkl    f j exp i 2 hx j  ky j  lz j  j

Amplitudo terhambur sebagai penjumlahan yang bentuk eksponensial : F hkl 

f e j

i j

 f Cos   f i Sin   f A  f B

j

Dalam difraksi intensitas adalah terkait dengan amplitude, yaitu besar absolut |F|: 2

    F    f j A j     f j B j   j   j 

2

A   Cos 2 (hx  ky  lz ) ; B   Sin 2 (hx  ky  lz ) 2

    F   f j cos 2 hx j  ky j  lz j    f j sin 2 hx j  ky j  lz j   j   j 

2

C. Daerah Brillouin Sebuah Zoneis Brillouin didefinisikan sebagai sel Wigner-Seitz primitif dalam kisi resiprokal. Untuk menemukan ini, menggambar kisi resiprokal. Kemudian, menggunakan algoritma yang sama seperti untuk mencari sel Wigner-Seitz primitif dalam ruang nyata (menarik vektor untuk semua poin terdekat kisi resiprokal, kemudian membagi dua mereka. Jumlah yang dihasilkan merupakan ponsel Anda). Hasil yang bagus dari hal ini adalah bahwa ia memiliki hubungan langsung dengan kondisi difraksi:

Gambar 3.Zona Brillouin

Oleh karena itu, Zona Brillouin menampilkan semua vektor gelombang, k, yang membentuk hamburan Bragg . Zona yang telah kita tarik di atas menggunakan metode Wigner-Seitz disebut zona Brillouin pertama. Batas-batas zona adalah k = ± π / a (untuk membuat total panjang ke sisi 2π / dalam ruang timbal balik). Zona Brillouin pertama adalah volume terkecil seluruhnya tertutup oleh bidang yang tegak lurus bisectors dari vektor kisi resiprokal dari gambar asal. Biasanya, kita tidak mempertimbangkan zona yang lebih tinggi ketika kita melihat difraksi. Namun, mereka digunakan dalam teori berkas energy.

Gambar 4.Beraks Energi

Zona brillouin ditetapkan dalam resiprokal titik kisi balik a. Zona pertama Brillouin didefenisaikan sebagai volume yang mencakup sekitar titik kisi tanpa melintasi bidang bragg b. Zona kedua Brillouin adalah volume yang dihasilkan oleh lintasan satu bidang c. Seterusnya dilanjutkan pada orde yang lebih tinggi

Gambar 5.Titik Kisi Balik

1. SC Vektor translasi primitif pada kisi SC adalah

Dengan menggunakan vektor kisi

Kita mendapatkan vektor translasi primitif kisi balik;

a. Batas dari Zona Brillouin yang pertama adalah bidang normal dari vektor kisi balik ±b1,±b2,±b3 pada titik tengah± (π/a) b. Panjang masing-masing sisi adalah 2π/a dan volumenya (2π/a). (2π/a). (2π/a)

Gambar 6.Kisi Balik pada Kisi SC

2. BCC Vektor translasi kisi primitif pada BCC adalah

Volume dari sel primitif adalah ½ (a.a.a) (2 titik /unit sel). Maka vektor translasi primitif pada ruang balik adalah

Di bawah ini adalah gambar zona pertama Brillouin pada kisi BCC ( yang sama dengan bentuk potongan Wigner-Seitz pada kisi FCC ) yang mempunyai 12 sisi (rhombic dodecahedron)

Gambar 7.Kisi Balik pada Kisi BCC

Volume ruang sel resiprokal adalah 2(2π/a. 2π/a.2π/a),tapi hanya berisi satu titi kisi resiprokal Vektor dari titik asal ke masing-masing permukaan adalah:

3. FCC Vektor translasi kisi primitif pada FCC adalah

Volume dari sel primitif adalah 4 (a.a.a) Maka vektor translasi primitif pada ruang balik adalah

Volume ruang sel resiprokal adalah 4(2π/a. 2π/a.2π/a) Zona pertama Brillouin FCC dibatasi oleh 14 sisi yaitu:

Gambar 8.Kisi Balik pada Kisi FC

DAFTAR PUSTAKA Charles Kittel. 1996. Introduction to Solid State Physics. New York : Printice Hall. Lawrence, Van Vlack. 1989. Elemen-elemen Ilmu dan Rekayasa Material. Jakarta : Erlangga. Suwitra, Nyoman. 1989. Pengantar Fisika Zat Padat. Jakarta : Departeman Pendidikan dan Kebudayaan.