Suku Dan Deret Aritmatika

SMA Kolese Kanisius Jl. Menteng Raya 64, Jakarta _______________________

BARISAN DAN DERET I. PENGERTIAN Bentuk : 2,3,4,5,6,….. 3,6,9,12,15, …. 2,3,5,7,11,13, ….. Masing-masing disebut barisan. Jadi barisan adalah suatu urutan bilangan dengan suatu aturan tertentu. Atau, barisan merupakan nilai dari suatu fungsi yang domainnya bilangan asli.

II. BARISAN DAN DERET ARITMATIKA ( Deret Hitung) Contoh : 2,4,6,8,10, …. Suku barisan Barisan bilangan u1, u2, u3, ……. , un (un = rumus suku ke n) disebut barisan aritmatika (BA) jika berlaku sifat u2 – u1 = u3 – u2 = un – un-1 = konstanta ( konstan = beda, disingkat b). Barisan aritmatika juga ditulis dengan : a, a + b, a + 2b, ….., a + (n-1)b di mana a adalah suku pertama, b beda, dan n adalah banyaknya suku. Rumus suku ke n barisan aritmatika adalah : Un = a + (n-1)b


Jumlah suku Jika u1, u2, u3, ……. , un barisan aritmatika maka u1 + u2 + u3 + … + un disebut deret aritmatika (DA).




Jumlah n suku pertama deret aritmatika adalah : Sn = ½ n (a + Un) = ½ n[2a + (n-1)b ]




Sifat – sifat : a. Beda = un – un-1 , jika b > 0 disebut BA naik , dan b < 0 disebut BA turun. b. Un = Sn – S(n-1)

______________________________________________________________________________ t gunawan/ barisan –deret/halaman 1

SMA Kolese Kanisius Jl. Menteng Raya 64, Jakarta _______________________

c. Jika a, b, dan c adalah BA maka berlaku 2b = a + c ( a, b, c dapat ditulis x – b, x, x + b ) d. Jika n ganjil maka suku tengahnya Ut = ½ ( a + Un) e. Sisipan : jika antara bilangan x dan y disisipkan k bilangan lain sehingga membentuk BA baru, berlaku UNSUR • • • • •

BA (LAMA) a Un b n Sn

Suku pertama Suku terakhir Beda Banyak suku Jumlah suku

BA (BARU) a’ = a Un’ = Un b‘ = b/ (k + 1) n‘ = n + (n – 1)k Sn’ = (n’/n).Sn

Catatan : Jika a, b, c adalah BA maka 1/a, 1/b, 1/c disebut barisan harmonis.

III. BARISAN DAN DERET GEOMETRI ( Deret ukur) Contoh : 2,4,8,16, …. Suku barisan Barisan bilangan u1, u2, u3, ……. , un (un = rumus suku ke n) disebut barisan geometri (BG) jika berlaku sifat (u2 : u1) = (u3 : u2) = (un : un-1) = konstanta ( konstan = rasio = pembanding, disingkat r). Barisan geometri juga ditulis dengan : a, ar, a(r)2 , ….., a(r)n – 1, di mana a = suku pertama dan r = rasio, n = banyak suku. Rumus suku ke n nya adalah :


Un = a.rn - 1 Jumlah suku Jika u1, u2, u3, ……. , un barisan geometri maka u1 + u2 + u3 + … + un disebut deret geometri (DG). Jumlah n suku pertama deret geometri adalah :


Sn =




a (r n − 1) a (1 − r n ) ,r ≠ 1 = r −1 1− r

Sifat-sifat : a. Suku ke - n sama dengan Un = Sn – S(n – 1) b. Barisan geometri naik jika r > 1, turun jika 0 < r < 1, dan nai turun jika, r < 0. c. Jika a, b, c barisan geometri, berlaku b2 = a.c ( a, b, c dapat ditulis sebagai

______________________________________________________________________________ t gunawan/ barisan –deret/halaman 2

SMA Kolese Kanisius Jl. Menteng Raya 64, Jakarta _______________________

b/r , b, br ; r = rasio). d. Andaikan jumlah suku n ganjil maka suku tengah (Ut) adalah : Ut = a.U n e. Sisipan : Jika antara 2 suku x dan y disisipkan k buah bilangan sehingga membentuk BG baru maka berlaku : UNSUR

BG ( LAMA) a

•

Suku pertama

•

Suku terakhir

•

Rasio/ pembanding

r

•

Banyak suku

n

f. Hasil kali n suku pertamanya :

BG ( BARU) a’ = a

Un

Un’ = Un r’ = k +1 r n’ = n + (n – 1).k

Dn = a n .r

n ( n −1) 2

III. DERET GEOMETRI TAK BERHINGGA Contoh : 1,3, 9, 27, ………


Jumlah suku Jumlah deret geometri tak berhingga disebut deret KONVERGEN.

a , │r│< 1 1− r

a 1− r2 ap = , p <1 1− p2

S ganjil =




Jumlah suku urutan ganjil adalah




Jika suku-sukunya genap berlaku, S genap




Rasio ( r ) ,

r=

S∞ =

S genap S ganjil

______________________________________________________________________________ t gunawan/ barisan –deret/halaman 3

SMA Kolese Kanisius Jl. Menteng Raya 64, Jakarta _______________________

IV. SOAL TERJAWAB 1. Diketahui : 3,7,11, …. Hitunglah suku ke - 50 dan jumlah 10 suku pertama ? (Jawab 99 dan 210) 2. Jika

Sn =

n (3n − 17) maka rumus suku ke - n dan nilai suku ke 10 - nya ? ( 3n – 10 2

dan 20) 3. Suatu barisan aritmatika, besar suku ke 3 nya 9, jumlah suku ke 5 dan ke 7 adalah 36. Berapa besar suku ke 10 nya ? (30) 4. Antara bilangan 23 dan 119 disisipkan 11 bilangan , maka jumlah bilangan - bilangan tersebut adalah ? (923) 5. Suku ke - n barisan √2, 2, 2√2, ….. adalah ? (2n/2) 6. Dua suku pertama barisan geometri adalah log 2 dan log 4. Tentukan suku ke- 3 dan ke- 4 nya ? (log 16 dan log 256) 7. Jumlah deret geometri tak berhingga 12, 9, 27/4, ……. ? (48) 8. 2, 45 = ………. ( 27/11) 9. 8, 51 = ……….(281/33) 10. 6, 405 = ……….(237/37)

000

______________________________________________________________________________ t gunawan/ barisan –deret/halaman 4

SMA Kolese Kanisius Jl. Menteng Raya 64, Jakarta _______________________

V. Soal - soal latihan


Deret Aritmatika

Hitunglah beda, Un dan Sn untuk barisan soal 01 - 05: 01. 15, 17, 19. ………… 02. p, 2p, 3p, …………. 03. 10, 5, 0, …………… 04. p − q , p − 2 q , p − 3 q ,......... ........ 3

3

05. 1 , 2 , 7 ,......... ........ 3 3 6

3

06. 07. 08. 09. 10.

Jika Un = 3n + 6 hitunglah S5 dan S12 ? Jika Un = 5 - 4n, hitunglah S8 dan S20 ? Jumlah bilangan 8, 11, 14, ….. sampai suku ke 20 adalah ? Jumlah 87, 81, 75, ………., - 9 adalah ? Suku ke 5 BA sama dengan 7, memiliki beda 4. jika jumlah semua suku - suku barisan 900 carilah banyaknya suku yang dimaksud ? 11. Tentukan semua bilangan bulat : a. Antara 200 sampai 600 yang habis dibagi 3 b. Antara 300 sampai 700 yang habis dibagi 5 c. Antara 1500 sampai 2500 yang habis dibagi 4 d. Antara 100 sampai 1000 yang tidak habis dibagi 5 e. Antara 200 sampai 900 yang tidak habis dibagi 11 12. Suatu deret aritmatika a = 4, n = 80, U10 - U6 = 24, hitunglah Sn ? 13. Suku ke 19 dan ke 30 BA berturut - turut 125 dan 169, suku ke 25 ? 14. Suatu BA, U9 = 25 dan S9 = 153, tentukan U12 ? 15. Jumlah n suku pertama suatu deret aritmatika ditentukan oleh rumus Sn =2n2 - 3n. Beda deret tersebut adalah ? 16. Tentukan x jika x + 2, 2x, 4x - 7 adalah suatu BA ? 17. Tentukan x jika 4x , 5x + 4, 3x2 - 1 adalah suatu BA ? 18. Turunkan rumus jumlah n bilangan asli pertama. 19. Turunkan rumus jumlah n bilangan ganjil pertama. 20. Tiga bilangan membentuk BA; jumlahnya 21, hasil kalinya 231. Tentukan bilangan yang dimaksud ? 21. lima bilangan membentuk BA; jumlahnya 20, hasil kalinya - 560. Tentukan bilangan yang dimaksud ? 22. Di antara bilangan 10 dan 70 disisipkan 12 bilangan sehingga membentuk BA. Hitunglah suku ke 6 ? 23. Jumlah n suku pertama adalah 6n - 3n2. Tentukan suku ke 6 ? 24. Suatu BA terdiri 30 suku. Jumlah 10 suku terakhir adalah dua kali jumlah 10 suku pertama. Jika bedanya 2, tentukan suku pertamanya ?

______________________________________________________________________________ t gunawan/ barisan –deret/halaman 5

SMA Kolese Kanisius Jl. Menteng Raya 64, Jakarta _______________________

 p1 p 2   suatu matriks dan pn suku ke n barisan aritmatika. Jika p4 =14 5. Diketahui  p p 4  3 dan p8 = 20, maka determinan matriks di atas adalah ? 26. Apabila akar - akar x4 - 8x3 + px2 - qx + r = 0 membentuk deret arimatika dengan beda 2, hitunglah p, q dan r ? 27. Tentukan bilangan bulat terkecil jika 1 + 2 + 3 + …….+ n > 600 ? 28. Tentukan bilangan bulat terbesar jika 1 + 2 + 3 + …….+ n < 500 ?




Deret Geometri

Hitung rasio, Un, Sn untuk barisan no 26 - 30 berikut : 2, 10, 50, ………. ( n = 8) 3, 0.3, 0.03, ……….(n = 10) 1, 1.02, (1.02)2, ………( n = 7) 2, 2√5, 10, …………….(n = 16) 6 - 3√3, 3, 6 + 3√3, ………..(n =6) Diketahui U5 = 16, r = 2/5 , tentukan a dan S5 ? Diketahui a = - 15, Un = 405, Sn = 300, tentukan r dan n ? Jumlah pertama dan keenam sama dengan 244, hasilkali suku ke tiga dan ke empat sama dengan 243. Hitunglah rasionya ? 37. Tentukan x jika x, 2x + 7, 10x - 7 merupakan barisan geometri ? 38. Tentukan x jika 11 - x, 2x - 1, 9x + 3 merupakan BG ? 39. Tentukan p, jika p - 2, p - 6, 2p + 3 merupakan BG ? 40. Tentukan p, jika 3p + 4, k - 2, 5k + 1 merupakan BG ? 41. Jika k + 1 adalah rata - rata geometri 4k + 2 dan (k + 5)/7, tentukan k ? 42. Tunjukkan bahwa 2n - 1 merupakan deret geometri ? 43. Tiga bilangan membentuk deret geometri; jumlahnya - 30, hasil perkaliannya 8000. Bilangan manakah itu ? 44. Tiga bilangan membentuk deret geometri; jumlahnya 28, hasil perkaliannya 512. Bilangan manakah itu ? 45. Suku pertama deret geometri 3 p , sedangkan suku ketiga adalah p. Maka suku ke 15 adalah ? 46. Sebuah BG, a = 2, r = 3. Tentukan n bulat terkecil jika Un > 1012 ? 47. Antara bilangan 2 dan 120 disisipkan 12 bilangan sehingga membentuk barisan geometri. Hitunglah jumlah deret tersebut ? 48. Tiga buah bilangan membentuk barisan aritmatika. Jika suku tengah dikurangi 5 terbentuklah barisan geometri dengan rasio 2. Tentukan barisan yang dimaksud ? 49. Akar - akar persamaan kuadrat 2x2 + (7k - 1) - 20x = 0 merupakan suku pertama dan kedua dari BG dengan rasio lebih besar 1. Jika kedua akar berbanding 2 dan 3, maka nilai suku ke empat ?

29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36.

______________________________________________________________________________ t gunawan/ barisan –deret/halaman 6

SMA Kolese Kanisius Jl. Menteng Raya 64, Jakarta _______________________

50. Jika x1 dan x2 akar - akar persamaan kuadrat x2 - (2p + 4)x + (3p + 4) = 0. Kedua akar itu bilangan x1 dan x2 , dan p konstan. Jika x1, p, x2 merupakan tiga suku pertama deret gometri, maka suku ke n nya ? 51. Jika p dan q akar - akar x2 + ax + b = 0, dan 6, p, q adalah tiga suku pertama barisan aritmatika dan p, q, 2 adalah tiga suku pertama barisan geometri, maka diskriminan persamaan kuadrat tersebut adalah ?


Deret geometri tak berhingga

52. 53. 54. 55.

log 2 + log 4 + …… 1 + 0.8 + 0.64 + ……. 3/2 , 1, 2/3, …….. 3, 66 = ……….

56. 0,123 = ……… 57. Deret geometri turun tak terhingga, U1 - U3 = 8, 3log U1 + 3log U2 + 3log U1 = 3, maka jumlah deretnya ? 58. Sebuah bola dijatuhkan dari ketinggian 6 kaki, sesampainya dipermukaan lantai datar bola memantul kembali ke atas sejauh 3/4 kali tinggi sebelumnya. Hitung panjang lintasan yang dilalui bola ? 59. Di dalam suatu lingkaran berjari - jari a cm dilukis bujur sangkar dengan titik sudutnya pada lingkaran, titik pusat lingkaran sekaligus merupakan titik pusat bujur sangkar. Selanjutnya dalam bujur sangkar tsb dilukis lingkaran kedua menyinggung sisi - sisi bujur sangkar tadi. Demikian seterusnya. Hitunglah : a. Jumlah keliling bujur sangkar b. Jumlah keliling lingkaran 60. Jika deret geometri konvergen dengan limit - 8/3 dan suku ke- 2 dan ke - 4 berturut 2 dan 1/2 maka suku pertamanya ?

Labora ut in aeternum vivas

______________________________________________________________________________ t gunawan/ barisan –deret/halaman 7