Deret

r = ±5i

Soal: Carilah solusi persamaan diferensial berikut ini dengan cara biasa dan metode deret kuasa! y " + 25 y = 0 Penyelesaian: 1. Dengan cara biasa y " + 25 y = 0 dy 2 + 25 y = 0 dx 2 Persamaan

karakteristiknya

adalah

r 2 +25 = 0

maka

akar-akar

karakteristiknya adalah r 2 + 25 = 0 r 2 = −25 r = ± − 25 r = ± 25 × −1 r = ±5 − 1

Sehingga akar-akar karakteristiknya adalah r1 = 5i dan r 2 = −5i 5ix −5ix Jadi solusinya adalah y =C 1 e + C 2 e atau y = C1 cos 5 x +C 2 sin 5 x

2. Dengan cara deret kuasa y " + 25 y = 0 ……….. (1) y = a 0 + a1 x + a 2 x 2 + a3 x 3 + a 4 x 4 + a5 x 5 + ... y ' = a1 + 2a 2 x + 3a3 x 2 + 4a 4 x 3 + 5a5 x 4 + ... y " = 2a2 + 6a3 x + 12a4 x 2 + 20a5 x 3 + ...

……….(2) ……….(3)

………..(4)

Substitusi persamaan 2, 3 dan 4 ke persamaan 1 diperoleh

1

2a2 + 6a3 x + 12a4 x 2 + 20a5 x 3 + ... + 25(a0 + a1 x + a2 x 2 + a3 x 3 + a4 x 4 + a5 x 5 + ...) = 0 2a2 + 6a3 x + 12a4 x 2 + 20a5 x 3 + ... + 25a0 + 25a1 x + 25a2 x 2 + 25a3 x 3 + 25a4 x 4 + 25a5 x 5 + ... = 0

(2a 2 + 25a 0 ) + (6a3 + 25a1 ) x + (12a 4 + 25a 2 ) x 2 + (20a5 + 25a3 ) x 3 + ... = 0 2a 2 + 25a 0 = 0 2a 2 = −25a 0 a2=

− 25 a0 2 …..(5)

6a3 + 25a1 = 0 6a3 = −25a 1 a3=

− 25 a1 6 ……(6)

12a 4 + 25a 2 = 0 12a 4 = −25a 2 a4 =

− 25 − 25  − 25  625 a2 = a0  = a0  12 12  2  24 ……(7)

20a5 + 25a3 = 0 20a5 = −25a 3 a5 =

− 25 − 25  − 25  625 a3 = a1  = a1  20 20  6  120 ………… (8)

……………………………………………………………………dan seterusnya Solusi persamaan diferensialnya adalah: y = a 0 + a1 x + a 2 x 2 + a3 x 3 + a 4 x 4 + a5 x 5 + ... Substitusi persamaan 5,6, 7, dan 8 ke y = a 0 + a1 x + a 2 x 2 + a3 x 3 + a 4 x 4 + a5 x 5 + ... akan diperoleh  − 25  2  − 25  3  625  4  625  5 y = a 0 + a1 x +  a0  x +  a1  x +  a0  x +  a1  x + ...  2   6   24   120  25 3 625 5  25 2 625 4    a 0 1 − x + x + ...  + a1  x − x + x + ...  2 24 6 120    = 

2

= a 0 (cos 5 x) + a1 (sin 5 x) Jadi solusinya y = a 0 (cos 5 x) + a1 (sin 5 x) Dapat disimpulkan bahwa dengan cara biasa maupun dengan cara " deret persamaan diferensial y + 25 y = 0 akan menghasilkan solusi

yang sama yaitu y = a 0 (cos 5 x) + a1 (sin 5 x) atau y = C1 cos 5 x +C 2 sin 5 x .

3