Deret
This document was uploaded by user and they confirmed that they have the permission to share it. If you are author or own the copyright of this book, please report to us by using this DMCA report form. Report DMCA
Overview
Download & View Deret as PDF for free.
More details
- Words: 2,918
- Pages: 7
Deret Kompleks Deret Taylor Deret Mac Laurin Deret Laurent Variabel Kompleks (MA 2113)
Rabu, 30 Agustus 2006
X /1
Deret Taylor Misal fungsi f(z) analitik pada |z - z0|
?
?
a n ?z ? z 0 ? .........?| z ? z0 |? R 0 ? n
n?0
f
an ? f (z ) ? f (z 0 ) ?
(n )
( z0 )
......(n ? 0 , 1, 2 ,...)
n! f ' ( z0 )
f " (z 0 )
( z ? z0 ) ?
1!
Bila f(z) fungsi entire (fungsi analitik dimana-mana ) maka daerah keanalitikan / kekonvergenan deret yaitu : | z - z0 | < ?
2!
?z
R0
? z 0 ? ? ... 2
z0
.....?| z ? z 0 | ? R0 ?.
Dinamakan Deret / Polinomial Taylor di z = z0
Dinamakan Daerah Kekonvergenan / Keanalitikan Deret Variabel Kompleks (MA 2113)
Rabu, 30 Agustus 2006
X /2
Deret Mac Laurin # 1 Bila z0 = 0, maka deret disebut Deret Mac Laurin dan dapat dituliskan : ?
f (z ) ?
f
?
(n)
?
?
(0) n f ' ( 0) f " (0 ) 2 z ? f (0 ) ? z ? z ? ... | z |? R 0 . n! 1! 2!
n? 0
Nyatakan f(z) = e dalam deret Mac Laurin z
Fungsi f(z) = ez merupakan fungsi entire sehingga daerah keanalitikan : | z | < ? dan turunan fungsi sampai tingkat ke-n dan nilai turunan di z = 0 diberikan f e
(n )
z
z
(z ) ? e ?
? f( 0) ?
( n)
f
(0 ) ? 1
f ' ( 0) f " ( 0) 2 f ' " ( 0) 3 z ? z ? z ? ... 1! 2! 3!
e
Rabu, 30 Agustus 2006
z
?
?
?
z
n
n ? 0 n!
? 1?
1 1 2 1 3 z ? z ? z ? ... 1! 2! 3!
......?| z |? ? ?
Variabel Kompleks (MA 2113)
X /3
1
Deret Mac Laurin # 2 Untuk melakukan perderetan fungsi eksponen yang lain dapat dilakukan tanpa harus melakukan penurunan fungsi , namun cukup dilakukan dengan membandingkan bentukfungsi dengan daerah keanalitikan. Perderetkan dalam deret Mac Laurin, f(z) = e3z f(z) = e3z : fungsi entire, sehingga daerah keanalitikan: | z | < ? | z |< ? ? | 3 z | < ? 1). f(z) = e3z ... | 3 z |
z
?
n
?
?
n? 0
z ......?| z |? ? ? n!
e
3z
?
?3z ?n
n?0
n!
?
?
n n
?
?
?
3 z n!
n ?0
.......?| z |? ? ?
2). f(z) = eaz ... | a z |
?az ?n
n?0
n!
?
?
?
?
?
n? 0
n n
a z .......?| z |? ? ? n!
Variabel Kompleks (MA 2113)
Rabu, 30 Agustus 2006
X /4
Deret Mac Laurin # 3 Perderetkan f(z) = sinh z ke dalam deret Mac Laurin z ?z f ( z ) ? sinh z ? 1 ??? e ? e ??? 2
?
?
n 1 ? ? n z ? ?1 ? ?? 1? ??? n! 2 n ? 0?
?
n
0
1
2
3
4
1 ? ?? 1?n 0
2
0
2
0
? 3 5 ? 1? z z z ? 2 ? 2 ? 2 ? ...? ? 2 ? 1! 3! 5! ? ?
?
z
?
?
? n ? ? 1? ? z ?? z?n ? ? ? ? ? ? 2 ? n ? 0 n! n! ? n? 0 ? ? ? 3 5 ? 1? z z z ? 0 ? 2 ? 0 ? 2 ? 0 ? 2 ? ...? ? 2? 1! 3! 5! ? ? ?
3
?
5 2 5
z z z ? ? ? ... 1! 3! 5!
2n? 1
n ? 0 ?2n ? 1? !
Variabel Kompleks (MA 2113)
Rabu, 30 Agustus 2006
X /5
Deret Mac Laurin # 4 Perderetkan ke dalam deret Mac Laurin 1
f (z ) ?
1? z
1
f ' (z ) ?
(1 ? z ) (1 ? z )
2
? f “ (0) = 2
3
6
f ' ' ' (z ) ?
(1 ? z )
4
? f ‘” (0) = 6
n!
(z ) ?
( 1 ? z) f (z ) ? f (0 ) ?
1
Re
? f ‘ (0) = 1
2
f " (z ) ?
(n )
?
Daerah Keanalitikan
f(0) = 1
f
|z|<1
Im
? tidak analitikdi z = 1
f ' (0) f " (0) 2 f ' " (0) 3 z ? z ? z ? ... 1! 2! 3!
? f (0) ?
1 2 2 6 3 z ? z ? z ? ... 1! 2! 3!
? 1?
? 1? z? z
n? 1
f ' ( 0) f " (0) 2 z ? z ? ... ?| z |? 1?. 1! 2!
Rabu, 30 Agustus 2006
1 1? z
?
?
?
2
? z
3
? ...
z ..........?| z |? 1? n
n? 0
Variabel Kompleks (MA 2113)
X /6
2
Deret Mac Laurin # 5 Untuk perderetan fungsi rasional yang lain diselesaikan dengan membandingkan antara bentukfungsi dan daerah keanalitikan Perderetkan ke dalam deret Mac Laurin, 1
f ( z) ?
Im
? tidak analitikdi z = -1 Daerah Keanalitikan
1 ? z
|z|<1?| - z|<1
|z| < 1
?
Re
-1
? n 1 ? ? z .......... ?| z |? 1? 1? z n? 0
1 ...( | ? z | ? 1) 1 ? ?? z ?
?
?
?
n? 0
n? 0
? ?? z ?n ? ? ?? 1?n z ......?| z |? 1? or ?| ? z |? 1?
?
n
Variabel Kompleks (MA 2113)
Rabu, 30 Agustus 2006
X /7
Contoh Perderetkan ke dalam Deret Mac Laurin, f (z ) ?
z
2
1 ? z
? tidak analitikdi z = 1 dan z = -1 Daerah Keanalitikan
? 1 ? ? ? z? 2 ? ? ?1 ? z ?
? ? ? 2 ?n ? ? ? 2n ? ? z ? ? ?? z ?? ? ? z ? ? z ? ? ? ? ? ??n ? 0 ?? ?n ? 0 ?
?
?
?
z
|z|<1
Im
2n ? 1
...( | z | ? 1)
n? 0
?
-1
?
1 Re
| z2 | < 1 Rabu, 30 Agustus 2006
Variabel Kompleks (MA 2113)
X /8
Contoh Perderetkan ke dalam deret Mac Laurin, f ( z) ?
1 2 ? z
? tidak analitikdi z = 2 Daerah Keanalitikan, | z | < 2
n ? 1 ?? 1 ?? 1 ? ? z? ? ? ? ? ? ? ? 2 ?1 ? z ? 2 n ? 0 ? 2? n? 0 ? 2?
z
n
n ?1
?
?
... z ? 2
2
Im
?
2 Re
Rabu, 30 Agustus 2006
Variabel Kompleks (MA 2113)
X /9
3
Soal Latihan Perderetkan fungsi berikut ke dalam deret Mac Laurin : 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.
f(z) = z e2z f(z) = cosh z f(z) = cos z f(z) = z sin z f(z) = 1 / (z 2 + 1) f(z) = z / ( i – z ) f(z) = 1 / ( 3 + z ) Variabel Kompleks (MA 2113)
Rabu, 30 Agustus 2006
X / 10
Perderetan Taylor Untuk memperetkan fungsi di z = z0 dilakukan dengan metode Mac Laurin yaitu membandingkan bentuk fungsi ( z- z0) dengan daerah keanalitikan deret Perderetkan ke dalam Deret Taylor di z = 1, f ( z) ?
1 z
? tidak analitikdi z = 0 Daerah Keanalitikan
?
1 1 ? (z ? 1)
?
?
n ? ?? 1? ?z
n?0
? 1?
n
Im
| z-1 | < 1 0
Rabu, 30 Agustus 2006
?
?
Re
1
Variabel Kompleks (MA 2113)
X / 11
Contoh Perderetkan ke dalam deret Taylor di z = i, f (z ) ?
?
?
1 1? z
? tidak analitikdi z = -1 Daerah Keanalitikan
1 1 1 ? 1? i ? z ? i 1 ? i 1 ? z ? i1 ? i n ? n ? 1 ?z ? i ? n ?z ? i? ? ?? 1?n ? ? ? ? ?? 1? 1 ? i n? 0 ?1 ? i ? n? 0 ?1 ? i?n ? 1
z ? i ? 1 1? i
| z ? i |?
Im
2
2
?
-1
Rabu, 30 Agustus 2006
Variabel Kompleks (MA 2113)
?i Re
X / 12
4
Contoh Perderetkan ke dalam deret Taylor di z = 1, f(z) ?
1 z ? i
? tidak analitikdi z = -i Daerah Keanalitikan
?
?1
1
? i? ?
?z
? 1?
?
?1
Im
1 ? i?
1 ? z ? 1? ? 1 ? ?? ? ? 1 ? i ?
?
1 1 ? i
?
?
?z ? 1? ?? ? 1 ? i ?? n? 0 ?
?
?
?z
n
? 1 ?n
n? 1 n ? 0 ?1 ? i ?
Re
1
2
?
?
-i ?
| z ? 1 |?
2?
z ?1 1? i
? 1
Variabel Kompleks (MA 2113)
Rabu, 30 Agustus 2006
X / 13
Soal Latihan Perderetkan fungsi berikut di titik yang diberikan 1. f(z) = ez di z = i 2. f(z) = sinh z di z = i 3. f(z) = 1/z di z = 2 4. f(z) = 1/z di z = i 5. f(z) = 1/(z+2) di z = i 6. f(z) = 1/(z + i) di z = -2 7. f(z) = 1/(z –i) di z = -1
Variabel Kompleks (MA 2113)
Rabu, 30 Agustus 2006
X / 14
Deret Laurent Bila fungsi f(z) tidak analitik di z = z0 maka f(z) tidak dapat diperderetkan dalam deret Taylor di z = z0 atau pada daerah | z – z0 | < R
R z0
Bila z0 dibuang dari | z – z0 | < R maka 0 < | z – z0 | < R merupakan daerah keanalitikan dari f(z) Misal f(z) tidak analitik di z = z0 tetapi analitik pada R1 < | z – z0 | < R 2 ,maka f(z) dapat diperderetkan di z = z0 menjadi Deret Laurent, ?
?
f( z) ? ? a n ?z ? z0 ?n ? ?
bn
.......... . ?R 1 ?| z ? z0 |? R 2 ? n n ? 1 ?z ? z0 ?
n ?0
1
C R2 R1 z0
f (z )
1 f (z ) dz an ? dz b n ? ? ? 2? i C ?z ? z ? ? n ? 1 2? i C z ? z n ? 1 0 0
?
?
Lintasan C merupakan lintasan tutup sederhana, arah positif terletak di dalam anulus yang melingkupi z0. Rabu, 30 Agustus 2006
Variabel Kompleks (MA 2113)
yang
X / 15
5
Contoh # 1 Perderetkan f(z) dengan pusat di z = 0, 1 /z
e
z
?
?
? daerah keanalitikan : 0 < | z | < ?
? tidak analitik di z = 0
f (z ) ? e
n
z ...(| z | ? ? ) n ? 0 n!
?
e
1/ z
?
?1 / z ?n
n? 0
n!
?
?
?
?
1
?
n ? 0 ?n! ? z
0 ?
n
Perderetkan f(z) pada daerah 1< | z | < 4 1
f ( z) ? z
2
-1
4
Re
? Diperderetkan pada daerah 1 < | z |
z? 1
(2 ).
Im
?1 1 1 5 ? 5 ? ?z ? 1??z ? 4 ? z ? 1 z ? 4
?
? 3z ? 4
?1 5 (1).
1 ? ? z
1 5
z ? 4
? Diperderetkan pada daerah | z | < 4
Variabel Kompleks (MA 2113)
Rabu, 30 Agustus 2006
X / 16
Contoh # 2 1 ? 1 z
(1). 1 < | z | ? ?1 5
z? 1
?
? 11 5 z
1
z ? 1 4
(2). | z | < 4 ? 1
5
z? 4
1? 1 5 4
?
1
z
2
?
?z ? 1? ? ? ?4 ?
1
f ( z) ?
? 1 ? ?? 1?n ? 11 ? ?1 ?n .....?1 ? | z |? ? ?? 1?n ?z ? ? 5 ? n ?1 5 z n? 0 ? ? n? 0 z
?
?1 ? 1? ? ? ?z ?
? n 1 ? ? ?? 1?n z ... ?| z | ? 1? 1? z n? 0
?
? 3z ? 4
1 1? z
1 ? 1 ? ? z? ? ? 5 4 n?? 0 ? 4 ?
n
?
?
?
?
n ?0
z ... ?| z | ? 1? n
? 1 ? ? 5 n? 0
n
z 4
n ?1
....?| z |? 4?
n ? ? ? ? 1 ? ? ?? 1?n z ? ? ? ....(1 ? | z | ? 4 ) ? 5 ?n ? 0 n ? 1 n ? 0 n ? 1 ? z 4 ? ?
Variabel Kompleks (MA 2113)
Rabu, 30 Agustus 2006
X / 17
Contoh # 3 Perderetkan f(z) di z = 1 dan tentukan daerah keanalitikannya f (z ) ?
z
2
?1 ? 3z ? 2
?
1 1 ? z ? 1 z ? 2
? Tidak analitik di z = 1 dan z = 2 Im
0<|z -1|<1
Kemungkinan daerah keanalitikan dari f(z) : (1). 0< | z – 1 | < 1 1
(2). 1< | z – 1 |
2
Re 1<|z -1|
Perderetan fungsi akan dilakukan terhadap suku kedua yaitu diperderetkan pada daerah (1) dan daerah (2)
Rabu, 30 Agustus 2006
Variabel Kompleks (MA 2113)
X / 18
6
Contoh # 4 (1). 0 < | z - 1 | < 1 ? 0 < | z - 1 | dan | z - 1 | < 1 1
?1
?
z ? 2
? ?1 ?1 n ? ? ? 1 ? ?z ? 1? 1 ? ?z ? 1? 1? z? 1 n? 0
?
2 ? z
? n 1 ? ? ?z ? 1? ... 0 ? z ? 1 ? 1 z ? 1 n?0
?
f (z ) ?
1
?
(2). 1 < | z -1|
?
? 1
z ? 1
n ? 1 1 1 1 ? ? 1 ?? 1 1 ? ? ? ? ? ? z ? 2 ? 1 ? ?z ? 1? ? z ? 1 n?1 ? 1 ? z ? 1 n ? 0 ?z ? 1? 1? ? ? n ? 0 ? z ? 1? ? z ? 1?
? ? 1 1 1 ? ? ? ? ? .......... .......... ..?1 ? |z ? 1| ? z ? 1 n?? 0 ?z ? 1? n ?1 n? 2 n ? 0 ?z ? 1?
f (z )
Variabel Kompleks (MA 2113)
Rabu, 30 Agustus 2006
X / 19
Contoh # 5 Perderetkan f(z) pada daerah | z – i | > 2 1
A B 1 ? ? ? i ??z ? i ? z ? i z ? i
?i
i
2 ? 2 z ? i z ? i 2 2i Suku kedua diperderetkan pada 2 < | z – i | ? z ? i ? 1 ? z ? i n i 1 i 1 i 1 1 i 1 ? ? 2 i ? ? ? ? ? ?? 1 ?n ?? z ? i ?? 2 z ? i 1 ? 2i z ? i 2 z ? i 2 ?z ? i ? ? 2i 2 z? i ? ? n? 0
f ( z) ?
z
2
?
? 1
?
?z
?
2n ? 1 i n ?1
n? 0
?z ? i ?n ? 1
? ?? 1?n
?
? 1
Im 3i i Re
Variabel Kompleks (MA 2113)
Rabu, 30 Agustus 2006
X / 20
Soal Latihan 1.
Perderetkan fungsi berikut pada daerah yang diberikan a ). f (z ) ?
1 ; 0 ?| z |? 1 z (1 ? z )
b ). f ( z ) ?
1 ; 0 ?| z |? 1 z(i ? z)
z
c ). f ( z ) ?
z ? 1 2
z
2.
:| z |? 1
z
d ). f ( z ) ?
? 4z ? 5
; 1 ?| z |? 6
Perderetkan fungsi berikut pada daerah R 0 < |z – z0| < R 1 bila diberikan : a ). f ( z ) ?
1 1 ? z2
Rabu, 30 Agustus 2006
; z0 ? 1
b ). f ( z ) ?
Variabel Kompleks (MA 2113)
1 z 2 ? 2z ? 3
; z 0 ? ?1
X / 21
7
Rabu, 30 Agustus 2006
X /1
Deret Taylor Misal fungsi f(z) analitik pada |z - z0|
?
?
a n ?z ? z 0 ? .........?| z ? z0 |? R 0 ? n
n?0
f
an ? f (z ) ? f (z 0 ) ?
(n )
( z0 )
......(n ? 0 , 1, 2 ,...)
n! f ' ( z0 )
f " (z 0 )
( z ? z0 ) ?
1!
Bila f(z) fungsi entire (fungsi analitik dimana-mana ) maka daerah keanalitikan / kekonvergenan deret yaitu : | z - z0 | < ?
2!
?z
R0
? z 0 ? ? ... 2
z0
.....?| z ? z 0 | ? R0 ?.
Dinamakan Deret / Polinomial Taylor di z = z0
Dinamakan Daerah Kekonvergenan / Keanalitikan Deret Variabel Kompleks (MA 2113)
Rabu, 30 Agustus 2006
X /2
Deret Mac Laurin # 1 Bila z0 = 0, maka deret disebut Deret Mac Laurin dan dapat dituliskan : ?
f (z ) ?
f
?
(n)
?
?
(0) n f ' ( 0) f " (0 ) 2 z ? f (0 ) ? z ? z ? ... | z |? R 0 . n! 1! 2!
n? 0
Nyatakan f(z) = e dalam deret Mac Laurin z
Fungsi f(z) = ez merupakan fungsi entire sehingga daerah keanalitikan : | z | < ? dan turunan fungsi sampai tingkat ke-n dan nilai turunan di z = 0 diberikan f e
(n )
z
z
(z ) ? e ?
? f( 0) ?
( n)
f
(0 ) ? 1
f ' ( 0) f " ( 0) 2 f ' " ( 0) 3 z ? z ? z ? ... 1! 2! 3!
e
Rabu, 30 Agustus 2006
z
?
?
?
z
n
n ? 0 n!
? 1?
1 1 2 1 3 z ? z ? z ? ... 1! 2! 3!
......?| z |? ? ?
Variabel Kompleks (MA 2113)
X /3
1
Deret Mac Laurin # 2 Untuk melakukan perderetan fungsi eksponen yang lain dapat dilakukan tanpa harus melakukan penurunan fungsi , namun cukup dilakukan dengan membandingkan bentukfungsi dengan daerah keanalitikan. Perderetkan dalam deret Mac Laurin, f(z) = e3z f(z) = e3z : fungsi entire, sehingga daerah keanalitikan: | z | < ? | z |< ? ? | 3 z | < ? 1). f(z) = e3z ... | 3 z |
z
?
n
?
?
n? 0
z ......?| z |? ? ? n!
e
3z
?
?3z ?n
n?0
n!
?
?
n n
?
?
?
3 z n!
n ?0
.......?| z |? ? ?
2). f(z) = eaz ... | a z |
?az ?n
n?0
n!
?
?
?
?
?
n? 0
n n
a z .......?| z |? ? ? n!
Variabel Kompleks (MA 2113)
Rabu, 30 Agustus 2006
X /4
Deret Mac Laurin # 3 Perderetkan f(z) = sinh z ke dalam deret Mac Laurin z ?z f ( z ) ? sinh z ? 1 ??? e ? e ??? 2
?
?
n 1 ? ? n z ? ?1 ? ?? 1? ??? n! 2 n ? 0?
?
n
0
1
2
3
4
1 ? ?? 1?n 0
2
0
2
0
? 3 5 ? 1? z z z ? 2 ? 2 ? 2 ? ...? ? 2 ? 1! 3! 5! ? ?
?
z
?
?
? n ? ? 1? ? z ?? z?n ? ? ? ? ? ? 2 ? n ? 0 n! n! ? n? 0 ? ? ? 3 5 ? 1? z z z ? 0 ? 2 ? 0 ? 2 ? 0 ? 2 ? ...? ? 2? 1! 3! 5! ? ? ?
3
?
5 2 5
z z z ? ? ? ... 1! 3! 5!
2n? 1
n ? 0 ?2n ? 1? !
Variabel Kompleks (MA 2113)
Rabu, 30 Agustus 2006
X /5
Deret Mac Laurin # 4 Perderetkan ke dalam deret Mac Laurin 1
f (z ) ?
1? z
1
f ' (z ) ?
(1 ? z ) (1 ? z )
2
? f “ (0) = 2
3
6
f ' ' ' (z ) ?
(1 ? z )
4
? f ‘” (0) = 6
n!
(z ) ?
( 1 ? z) f (z ) ? f (0 ) ?
1
Re
? f ‘ (0) = 1
2
f " (z ) ?
(n )
?
Daerah Keanalitikan
f(0) = 1
f
|z|<1
Im
? tidak analitikdi z = 1
f ' (0) f " (0) 2 f ' " (0) 3 z ? z ? z ? ... 1! 2! 3!
? f (0) ?
1 2 2 6 3 z ? z ? z ? ... 1! 2! 3!
? 1?
? 1? z? z
n? 1
f ' ( 0) f " (0) 2 z ? z ? ... ?| z |? 1?. 1! 2!
Rabu, 30 Agustus 2006
1 1? z
?
?
?
2
? z
3
? ...
z ..........?| z |? 1? n
n? 0
Variabel Kompleks (MA 2113)
X /6
2
Deret Mac Laurin # 5 Untuk perderetan fungsi rasional yang lain diselesaikan dengan membandingkan antara bentukfungsi dan daerah keanalitikan Perderetkan ke dalam deret Mac Laurin, 1
f ( z) ?
Im
? tidak analitikdi z = -1 Daerah Keanalitikan
1 ? z
|z|<1?| - z|<1
|z| < 1
?
Re
-1
? n 1 ? ? z .......... ?| z |? 1? 1? z n? 0
1 ...( | ? z | ? 1) 1 ? ?? z ?
?
?
?
n? 0
n? 0
? ?? z ?n ? ? ?? 1?n z ......?| z |? 1? or ?| ? z |? 1?
?
n
Variabel Kompleks (MA 2113)
Rabu, 30 Agustus 2006
X /7
Contoh Perderetkan ke dalam Deret Mac Laurin, f (z ) ?
z
2
1 ? z
? tidak analitikdi z = 1 dan z = -1 Daerah Keanalitikan
? 1 ? ? ? z? 2 ? ? ?1 ? z ?
? ? ? 2 ?n ? ? ? 2n ? ? z ? ? ?? z ?? ? ? z ? ? z ? ? ? ? ? ??n ? 0 ?? ?n ? 0 ?
?
?
?
z
|z|<1
Im
2n ? 1
...( | z | ? 1)
n? 0
?
-1
?
1 Re
| z2 | < 1 Rabu, 30 Agustus 2006
Variabel Kompleks (MA 2113)
X /8
Contoh Perderetkan ke dalam deret Mac Laurin, f ( z) ?
1 2 ? z
? tidak analitikdi z = 2 Daerah Keanalitikan, | z | < 2
n ? 1 ?? 1 ?? 1 ? ? z? ? ? ? ? ? ? ? 2 ?1 ? z ? 2 n ? 0 ? 2? n? 0 ? 2?
z
n
n ?1
?
?
... z ? 2
2
Im
?
2 Re
Rabu, 30 Agustus 2006
Variabel Kompleks (MA 2113)
X /9
3
Soal Latihan Perderetkan fungsi berikut ke dalam deret Mac Laurin : 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.
f(z) = z e2z f(z) = cosh z f(z) = cos z f(z) = z sin z f(z) = 1 / (z 2 + 1) f(z) = z / ( i – z ) f(z) = 1 / ( 3 + z ) Variabel Kompleks (MA 2113)
Rabu, 30 Agustus 2006
X / 10
Perderetan Taylor Untuk memperetkan fungsi di z = z0 dilakukan dengan metode Mac Laurin yaitu membandingkan bentuk fungsi ( z- z0) dengan daerah keanalitikan deret Perderetkan ke dalam Deret Taylor di z = 1, f ( z) ?
1 z
? tidak analitikdi z = 0 Daerah Keanalitikan
?
1 1 ? (z ? 1)
?
?
n ? ?? 1? ?z
n?0
? 1?
n
Im
| z-1 | < 1 0
Rabu, 30 Agustus 2006
?
?
Re
1
Variabel Kompleks (MA 2113)
X / 11
Contoh Perderetkan ke dalam deret Taylor di z = i, f (z ) ?
?
?
1 1? z
? tidak analitikdi z = -1 Daerah Keanalitikan
1 1 1 ? 1? i ? z ? i 1 ? i 1 ? z ? i1 ? i n ? n ? 1 ?z ? i ? n ?z ? i? ? ?? 1?n ? ? ? ? ?? 1? 1 ? i n? 0 ?1 ? i ? n? 0 ?1 ? i?n ? 1
z ? i ? 1 1? i
| z ? i |?
Im
2
2
?
-1
Rabu, 30 Agustus 2006
Variabel Kompleks (MA 2113)
?i Re
X / 12
4
Contoh Perderetkan ke dalam deret Taylor di z = 1, f(z) ?
1 z ? i
? tidak analitikdi z = -i Daerah Keanalitikan
?
?1
1
? i? ?
?z
? 1?
?
?1
Im
1 ? i?
1 ? z ? 1? ? 1 ? ?? ? ? 1 ? i ?
?
1 1 ? i
?
?
?z ? 1? ?? ? 1 ? i ?? n? 0 ?
?
?
?z
n
? 1 ?n
n? 1 n ? 0 ?1 ? i ?
Re
1
2
?
?
-i ?
| z ? 1 |?
2?
z ?1 1? i
? 1
Variabel Kompleks (MA 2113)
Rabu, 30 Agustus 2006
X / 13
Soal Latihan Perderetkan fungsi berikut di titik yang diberikan 1. f(z) = ez di z = i 2. f(z) = sinh z di z = i 3. f(z) = 1/z di z = 2 4. f(z) = 1/z di z = i 5. f(z) = 1/(z+2) di z = i 6. f(z) = 1/(z + i) di z = -2 7. f(z) = 1/(z –i) di z = -1
Variabel Kompleks (MA 2113)
Rabu, 30 Agustus 2006
X / 14
Deret Laurent Bila fungsi f(z) tidak analitik di z = z0 maka f(z) tidak dapat diperderetkan dalam deret Taylor di z = z0 atau pada daerah | z – z0 | < R
R z0
Bila z0 dibuang dari | z – z0 | < R maka 0 < | z – z0 | < R merupakan daerah keanalitikan dari f(z) Misal f(z) tidak analitik di z = z0 tetapi analitik pada R1 < | z – z0 | < R 2 ,maka f(z) dapat diperderetkan di z = z0 menjadi Deret Laurent, ?
?
f( z) ? ? a n ?z ? z0 ?n ? ?
bn
.......... . ?R 1 ?| z ? z0 |? R 2 ? n n ? 1 ?z ? z0 ?
n ?0
1
C R2 R1 z0
f (z )
1 f (z ) dz an ? dz b n ? ? ? 2? i C ?z ? z ? ? n ? 1 2? i C z ? z n ? 1 0 0
?
?
Lintasan C merupakan lintasan tutup sederhana, arah positif terletak di dalam anulus yang melingkupi z0. Rabu, 30 Agustus 2006
Variabel Kompleks (MA 2113)
yang
X / 15
5
Contoh # 1 Perderetkan f(z) dengan pusat di z = 0, 1 /z
e
z
?
?
? daerah keanalitikan : 0 < | z | < ?
? tidak analitik di z = 0
f (z ) ? e
n
z ...(| z | ? ? ) n ? 0 n!
?
e
1/ z
?
?1 / z ?n
n? 0
n!
?
?
?
?
1
?
n ? 0 ?n! ? z
0 ?
n
Perderetkan f(z) pada daerah 1< | z | < 4 1
f ( z) ? z
2
-1
4
Re
? Diperderetkan pada daerah 1 < | z |
z? 1
(2 ).
Im
?1 1 1 5 ? 5 ? ?z ? 1??z ? 4 ? z ? 1 z ? 4
?
? 3z ? 4
?1 5 (1).
1 ? ? z
1 5
z ? 4
? Diperderetkan pada daerah | z | < 4
Variabel Kompleks (MA 2113)
Rabu, 30 Agustus 2006
X / 16
Contoh # 2 1 ? 1 z
(1). 1 < | z | ? ?1 5
z? 1
?
? 11 5 z
1
z ? 1 4
(2). | z | < 4 ? 1
5
z? 4
1? 1 5 4
?
1
z
2
?
?z ? 1? ? ? ?4 ?
1
f ( z) ?
? 1 ? ?? 1?n ? 11 ? ?1 ?n .....?1 ? | z |? ? ?? 1?n ?z ? ? 5 ? n ?1 5 z n? 0 ? ? n? 0 z
?
?1 ? 1? ? ? ?z ?
? n 1 ? ? ?? 1?n z ... ?| z | ? 1? 1? z n? 0
?
? 3z ? 4
1 1? z
1 ? 1 ? ? z? ? ? 5 4 n?? 0 ? 4 ?
n
?
?
?
?
n ?0
z ... ?| z | ? 1? n
? 1 ? ? 5 n? 0
n
z 4
n ?1
....?| z |? 4?
n ? ? ? ? 1 ? ? ?? 1?n z ? ? ? ....(1 ? | z | ? 4 ) ? 5 ?n ? 0 n ? 1 n ? 0 n ? 1 ? z 4 ? ?
Variabel Kompleks (MA 2113)
Rabu, 30 Agustus 2006
X / 17
Contoh # 3 Perderetkan f(z) di z = 1 dan tentukan daerah keanalitikannya f (z ) ?
z
2
?1 ? 3z ? 2
?
1 1 ? z ? 1 z ? 2
? Tidak analitik di z = 1 dan z = 2 Im
0<|z -1|<1
Kemungkinan daerah keanalitikan dari f(z) : (1). 0< | z – 1 | < 1 1
(2). 1< | z – 1 |
2
Re 1<|z -1|
Perderetan fungsi akan dilakukan terhadap suku kedua yaitu diperderetkan pada daerah (1) dan daerah (2)
Rabu, 30 Agustus 2006
Variabel Kompleks (MA 2113)
X / 18
6
Contoh # 4 (1). 0 < | z - 1 | < 1 ? 0 < | z - 1 | dan | z - 1 | < 1 1
?1
?
z ? 2
? ?1 ?1 n ? ? ? 1 ? ?z ? 1? 1 ? ?z ? 1? 1? z? 1 n? 0
?
2 ? z
? n 1 ? ? ?z ? 1? ... 0 ? z ? 1 ? 1 z ? 1 n?0
?
f (z ) ?
1
?
(2). 1 < | z -1|
?
? 1
z ? 1
n ? 1 1 1 1 ? ? 1 ?? 1 1 ? ? ? ? ? ? z ? 2 ? 1 ? ?z ? 1? ? z ? 1 n?1 ? 1 ? z ? 1 n ? 0 ?z ? 1? 1? ? ? n ? 0 ? z ? 1? ? z ? 1?
? ? 1 1 1 ? ? ? ? ? .......... .......... ..?1 ? |z ? 1| ? z ? 1 n?? 0 ?z ? 1? n ?1 n? 2 n ? 0 ?z ? 1?
f (z )
Variabel Kompleks (MA 2113)
Rabu, 30 Agustus 2006
X / 19
Contoh # 5 Perderetkan f(z) pada daerah | z – i | > 2 1
A B 1 ? ? ? i ??z ? i ? z ? i z ? i
?i
i
2 ? 2 z ? i z ? i 2 2i Suku kedua diperderetkan pada 2 < | z – i | ? z ? i ? 1 ? z ? i n i 1 i 1 i 1 1 i 1 ? ? 2 i ? ? ? ? ? ?? 1 ?n ?? z ? i ?? 2 z ? i 1 ? 2i z ? i 2 z ? i 2 ?z ? i ? ? 2i 2 z? i ? ? n? 0
f ( z) ?
z
2
?
? 1
?
?z
?
2n ? 1 i n ?1
n? 0
?z ? i ?n ? 1
? ?? 1?n
?
? 1
Im 3i i Re
Variabel Kompleks (MA 2113)
Rabu, 30 Agustus 2006
X / 20
Soal Latihan 1.
Perderetkan fungsi berikut pada daerah yang diberikan a ). f (z ) ?
1 ; 0 ?| z |? 1 z (1 ? z )
b ). f ( z ) ?
1 ; 0 ?| z |? 1 z(i ? z)
z
c ). f ( z ) ?
z ? 1 2
z
2.
:| z |? 1
z
d ). f ( z ) ?
? 4z ? 5
; 1 ?| z |? 6
Perderetkan fungsi berikut pada daerah R 0 < |z – z0| < R 1 bila diberikan : a ). f ( z ) ?
1 1 ? z2
Rabu, 30 Agustus 2006
; z0 ? 1
b ). f ( z ) ?
Variabel Kompleks (MA 2113)
1 z 2 ? 2z ? 3
; z 0 ? ?1
X / 21
7
Related Documents
Deret
April 2020 14
Deret
June 2020 16
Deret Geometri.pptx
November 2019 13
Deret Taylor
August 2019 19
Math05. Deret
May 2020 8
Deret 2
December 2019 14More Documents from "asmarachmad9665"
Deret
June 2020 16
Ujian Dms.doc
June 2020 30
Visite Theatralisee
November 2019 43
Prakarya Telur Asin.docx
May 2020 27
Ntc Gp 1000
October 2019 43