Struttura Della Materia I - Esercizi 7

Esercizi di Struttura della Materia. VII

(A) Si consideri una particella di massa m e carica q sottoposta ad un potenziale armonico in 1D, V (x) = 12 mω 2 x2 . All’istante t = 0 la particella ´e nello stato fondamentale e viene acceso un campo elettrico E = Eo e−t/τ con τ = costante. Il campo elettrico ´e lungo x. In approssimazione di dipolo calcolare la probabilit´a che dopo un tempo t → ∞(t ≫ τ ) il sistema sia transito sul primo stato eccitato. (B) Si consideri un atomo d’idrogeno in un campo magnetico uniforme d’intesit`a 1 Tesla. i) Scrivere l’hamiltoniana del sistema trascurando l’interazione spin-orbita, ma includendo l’accoppiamento dello spin dell’elettrone con il campo esterno. Disegnare lo schema dei livelli energetici dello stato fondamentale (1s) e del primo stato eccitato (2s e 2p) indicando gli spostamenti in energia (in eV) indotte dal campo esterno (il magnetone di Bohr µB = 0.578810−4 eV/Tesla). ii) Supponendo che il sistema sia sullo stato fondamentale, indicare quali sono le possibili transizioni ottiche tra i livelli del punto i) indotte in approssimazione di dipolo da luce polarizzata linearmente lungo l’asse parallelo al campo magnetico. iii) Calcolare la rate di una delle transizioni permesse supponendo che la luce incidente abbia una densit`a di energia per unit`a di frequenza pari a 6.6 eV sec/cm3 . Le funzioni d’onda dell’atomo d’idrogeno sono u100 = √

1 3/2 πao

e−r/ao

1 1 r −r/2ao u200 = √ )e (1 − 3/2 2ao 2 2π ao

Inoltre

R∞ 0

u21m = √ dyy ne−αy =

1 3/2 24ao

r −r/2ao e Y1m (θ, φ) ao

n! αn+1

(C) Si consideri una molecola biatomica rigida di lunghezza d fissata. I due atomi della molecola hanno masse m1 ed m2 e cariche ±q. (Si pensi ad una molecola di NaCl ad esempio). i) Calcolare lo spettro rotazionale della molecola. Scrivere esplicitamente le funzioni d’onda di stato fondamentale e del primo stato eccitato rotazionali. ii) Si supponga che all’istante t=0 la molecola sia sullo stato (rotazionale) fondamentale e che venga acceso un campo elettrico E, uniforme (lo si scelga ad esempio diretto lungo l’asse z) e dipendente dal tempo come E = Eo e−t/τ con Eo e τ costanti positive. Considerando il campo elettrico una debole perturbazione calcolare in approssimazione di dipolo la probabilit`a che ad un istante successivo t ≫ τ il sistema sia sul primo stato eccitato rotazionale.

(D) Si considerino due particelle distinguibili con spin 1/2 e operatore hamiltoniano H = γ(S1z − S2z )

con γ costante positiva e S1z ed S2z componenti dello spin lungo z delle due particelle. i) Calcolare i possibili valori di energia del sistema considerando i soli gradi di libert`a di spin. ii) Si assuma che all’istante t = 0 il sistema sia sullo stato eccitato a energia pi` u alta e venga accesa una perturbazione dipendente dal tempo HI = a0 S1 · S2 e−γt

γ per t > 0 e a0 = 2¯ . Calcolare la probabilit`a che il sistema sia ancora sullo stato iniziale h ad un istante successivo t ≫ γ1 . Suggerimento: per il calcolo delle probabilit`a di transizione si esprimano stato iniziale e stato finale sulla base degli autostati di S1 · S2 .