Struttura Della Materia I - Esercizi 5

Esercizi di Struttura della Materia. V (A)

Si considerino due elettroni (spin 1/2, massa m e carica eo ) vincolati a muoversi su una circonferenza di raggio R. L’Hamiltoniana del sistema `e h ¯2 ∂2 ∂2 ( + ) 2mR2 ∂φ21 ∂φ22 dove φ1 e φ2 sono gli angoli che assegnano la posizione delle due particelle sulla circonferenza. i) Calcolare energia, funzione d’onda e grado di degenerazione dello stato fondamentale e del primo stato eccitato. ii) Calcolare come si modificano i livelli di energia del punto i) in presenza di un campo magnetico uniforme d’intensit`a B diretto lungo l’asse perpendicolare al piano della circonferenza. H=−

(B) 2

eo Si consideri un elettrone in 3D sottoposto ad un potenziale radiale V (r) = 4πǫ e−βr con eo or carica dell’elettrone e β= 2 ˚ A−1 . Calcolare il valor medio dell’energia (in eV) del sistema sullo stato

ψ = Ae−r/ao dove A `e una costante di normalizzazione (da calcolare) e ao il raggio di Bohr. (C) Si consideri una particella di massa m in 1D sottoposta al potenziale V (x) definito come segue: per x ≤ 0 V (x) = ∞, per 0 < x < L V (x) = 0, per x > L V (x) = Uo . Mostrare che le energie E degli stati legati sono soluzioni dell’equazione: q L√ 2mE) = Uo /E − 1 −cot( h ¯

√ Risolvendo graficamente l’equazione precedente (si ponga L¯h 2mE = x), si trovi quale condizione devono soddisfare i parametri della buca di potenziale L, Uo affinch`e esista almeno uno stato legato.