Struttura Della Materia I - Esercizi 6

Esercizi di Struttura della Materia. VI (A)

Si considerino due particelle con spin e Hamiltoniana B S1 · S2 h ¯2 con S1 , S2 operatori di spin delle due particelle e B costante positiva. H=

i) Calcolare i possibili valori dell’energia e le loro degenerazioni quando una particella ha spin 1/2 e l’altra spin 1. ii) Calcolare i possibili valori dell’energia e le loro degenerazioni quando entrambe le particelle hanno spin 1/2 e sono distinguibili. Scrivere esplicitamente gli autostati dell’energia. (B) Si consideri un elettrone immerso in un campo magnetico uniforme d’intensit`a B diretto lungo l’asse z. L’operatore Hamiltoniano `e: geo Sz B 2m con Sz componente lungo z dello spin. All’istante t = 0 l’elettrone `e nell’autostato di Sx con autovalore ¯h2 . Calcolare il valor medio di Sx ad un generico istante successivo t. H=

Suggerimento: si usino le matrici di Pauli per gli operatori di spin.

(C) Si considerino due particelle identiche con spin 1/2 e massa m in 1 dimensione. Le particelle sono in una buca di potenziale infinito di larghezza L (V=+∞ per x < 0 e x > L e V=0 per 0 ≤ x ≤ L). i) Calcolare autofunzioni e autovalori dell’energia per lo stato fondamentale e il primo stato eccitato. Qual’`e la degenerazione del primo stato eccitato? ii) Calcolare la pi` u bassa energia di eccitazione nel caso in cui le 2 particelle interagiscano con un operatore hamiltoniano H1 = AS1 · S2 dove A = π 2 /3mL2 . S1 ed S2 sono gli operatori di spin delle due particelle.

(D) Si consideri una particella di massa m in 1D in una buca di potenziale a pareti infinite di larghezza a. Lo stato del sistema all’istante t = 0 `e: 1 ψo (x) = √ [sen(πx/a) + sen(5πx/a)] a Calcolare per quali istanti successivi t la densit`a di probabilt`a di trovare la particella nel punto x = a/2 `e massima. (E) Si scriva la funzione d’onda correttamente normalizzata dello stato fondamentale dell’atomo d’idrogeno descritto dall’hamiltoniana p2 e2o − 2m 4πǫo r Si consideri ora la correzione relavitistica all’ hamiltoniana imperturbata Ho dovuta al termine Ho =

1 e2o 2 p4 = − [H + ] o 8m3 c2 2mc2 4πǫo r Calcolare con la teoria delle perturbazioni al prim’ordine la correzione (in eV) all’energia di stato fondamentale dovuta alR termine H1 . n! Suggerimenti: mc2 =0.51 MeV, 0∞ drr n e−αr = αn+1 H1 = −

(F) Si consideri una particella libera di massa m in una dimensione. All’istante t = 0 `e assegnata la funzione d’onda ψ(x, 0) = Ae−ax

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con A e a costanti positive. i) Determinare A dalla condizione di normalizzazione. ii) Calcolare ψ(x, t) ad un generico istante successivo t. iii) Calcolare |ψ(x, t)|2 e disegnare schematicamente la variazione di |ψ(x, t)|2 nel tempo. Come varia l’incertezza su x (∆x2 ) nel tempo? Suggerimento:

−(αx −∞ dxe

R∞

2 +βx)

= eβ

2 /4α

q

π α

per qualsiasi α con Reα > 0 e β complesso.