Struttura Della Materia I - Esercizi 2

Esercizi di Struttura della Materia. II (A)

Calcolare l’energia di stato fondamentale di un atomo composto da un protone e da un muone (massa 200 me ). Si scriva la funzione d’onda di stato fondamentale correttamente normalizzata. (B) Si consideri l’atomo d’idrogeno nello stato fondamentale. Calcolare la probabilit`a di trovare l’elettrone all’interno di una sfera di 2 ˚ A di raggio, centrata sul nucleo. (C) Calcolare energia, funzioni d’onda e grado di degenerazione dello stato fondamentale e del primo stato eccitato di un elettrone confinato in una scatola a forma di parallelepipedo di lati Lx = 2˚ A, Ly , Lz = 6˚ A. (D) Si consideri uno ione idrogenoide con la seguente seguenza di livelli in eV E2 = −54.4 , E3 = −24.2 , E4 = −13.6

i) Determinare la carica nucleare. ii) Calcolare la lunghezza d’onda del fotone assorbito nella transizione 1s → 2p. A quale regione spettrale corrisponde (IR, UV, visibile, X, γ etc..)? iii) Calcolare a quale distanza dal nucleo la densit`a di probabilit`a di trovare l’elettrone `e pari alla densit`a di probabilit`a di trovarlo sul nucleo ridotta di un fattore 1/e. (E) Un elettrone viene catturato da un protone formando un atomo d’idrogeno nello stato fondamentale. Nel processo viene emesso un fotone (effetto fotoelettrico inverso). i) Trascurando le energie cinetiche iniziali di protone ed elettrone calcolare l’energia massima del fotone emesso ii) Determinare l’energia cinetica di rinculo del protone necessaria per garantire la conservazione della quantita’ di moto. Si considerino nulle le velocita’ iniziali di protone ed elettrone. Riconsiderare la risposta al punto i) tenendo conto dell’energia di rinculo. (F) Calcolare l’energia del fotone emesso nella transizione 2p → 1s del positronio (atomo esotico formato da un elettrone legato ad un positrone) e la distanza media tra elettrone e positrone nello stato fondamentale. (G) La funzione d’onda dell’atomo d’idrogeno con numeri quantici n=2, l=0, m=0 `e: u200 (r, θ, φ) =

1 (2 − r/ao )e−r/2ao N

dove ao `e il raggio di Bohr. Calcolare il fattore di normalizzazione N. Calcolare l’indeterminazione ∆z∆pz e verificare che `e consistente con il principio d’indeterminazione.

(H) Si consideri l’elettrone di un atomo d’idrogeno descritto all’istante t = 0 dalla funzione d’onda 1 ψ(r) = √ [2ψ100 (r) − 3ψ200 (r) + ψ322 (r)] 14 dove ψnlm (r) sono gli autostati dell’operatore hamiltoniano (si trascuri lo spin). Calcolare il valor medio dell’energia, del momento angolare lungo l’asse z (Lz ) e del quadrato del vettore momento angolare (L2 ). (I) Si consideri una particella di massa m vincolata a muoversi sulla superficie di un cilindro di raggio R e lunghezza L, con L=R. Lo stato della particella sar`a descritto da una funzione delle variabili φ e z in figura, con 0 < z < L. La funzione d’onda sar`a nulla per z = 0 e z = L. L’hamiltoniana del sistema `e: h ¯ 2 1 ∂2 ∂2 ( 2 2 + 2) 2m R ∂φ ∂z Calcolare autofunzioni e autovalori dell’energia. H=−