Struttura Della Materia I - Esercizi 4

Esercizi di Struttura della Materia. IV (A)

Si consideri una particella di massa m in una dimensione sottoposta al potenziale attrattivo V (x) = −

4¯ h2 a2 1 ax m (e + e−ax )2

con a costante positiva. Si mostri che la funzione A + e−ax `e un autostato del sistema e se ne calcoli l’energia. ψ=

eax

(B) In un esperimento di Stern-Gerlach (SG) viene utilizzato un fascio di atomi di Cromo il cui stato fondamentale `e nella configurazione 7 S3 . Il magnete SG `e lungo 10 cm e il gradiente del campo magnetico `e 230 T/m. L’energia cinetica degli atomi in ingresso `e 0.04 eV. i) Determinare la distanza (in cm) fra le componenti del fascio pi` u esterne quando incidono su uno schermo posto esattamente all’uscita del magnete. ii) Si ripeta il conto del punto i) supponendo che gli atomi siano sullo stato eccitato 5 D4 . Suggerimento: il magnetone di Bohr µB =

he ¯ 2mc

= 9.27 10−24 J/Tesla

(C) Un elettrone (spin 1/2) in 3D `e vincolato in una scatola cubica di lato L. Al di fuori della scatola l’elettrone `e sottoposto ad un potenziale repulsivo infinito. i) Scrivere energia e funzione d’onda dell’elettrone nello stato fondamentale e nel primo stato eccitato. Qual’`e la degenerazione del primo stato eccitato considerando anche i gradi di libert`a di spin? ii) Calcolare la pressione P che l’elettrone nello stato fondamentale esercita sulle pareti dE della scatola ricordando che P = − dV , dove E `e l’energia del sistema e V il volume della scatola. iii) Calcolare P se nella scatola sono presenti sette elettroni. Si trascuri l’interazione elettrone-elettrone. Qual’`e la degenerazione dello stato fondamentale del sistema con sette elettroni? (D) Si consideri una particella di massa m in 2 dimensioni vincolata in una buca di potenziale infinito di forma quadrata e lato L: V (x, y) = 0 per 0 < x < L e 0 < y < L, V (x, y) = ∞ per x < 0, x > L, y < 0, y > L. i) Calcolare autofunzioni e autovalori dell’energia. ii) Calcolare l’energia di stato fondamentale di tre particelle identiche con spin 1/2 nel potenziale sop ra descritto. iii) Qual’`e il grado di degenerazione dello stato fondamentale delle tre particelle?

(E) Si consideri una particella di massa m in 1D sottoposta al potenziale V (x) = gx4 con g costante positiva. i) Stimare l’energia di stato fondamentale utilizzando il principio d’indeterminazione ii) Stimare l’energia di stato fondamentale con il principio variazionale utilizzando come funzione di prova una gaussiana. Confrontare il risultato con il valore esatto 2 2 1 E0 = 0.67( ¯hm ) 3 g 3 . Suggerimento: Z

∞

−αx2

dx e

=

−∞ ∞

Z

dx x2 e−αx

2

Z

dx x4 e−αx

2

−∞ ∞ −∞

π ; α r 1 π = ; 2 α3 r 3 π = 4 α5

r

(F) Un fascio di neutroni (spin 1/2 e massa m) incide perpendicolarmente su un blocco di materiale ferromagnetico che riempie uniformemente lo spazio per x ≥ 0. L’energia potenziale dei neutroni ´e V (x) = 0 per x < 0 e V (x) = V0 + W0 Sz per x ≥ 0, dove V0 e W0 sono costanti con 0 < h ¯ W0 /2 < V0 e Sz e’ la componente lungo z dell’operatore di spin. Calcolare il coefficiente di trasmissione del fascio per un’energia dei neutroni E = V0 nei due casi seguenti: neutroni polarizzati con Sz = h ¯ /2 e con Sz = −¯ h/2.