Struttura Della Materia I - Esercizi 3

Esercizi di Struttura della Materia. III (A)

Un fascio di atomi di potassio K ([Ar]4s1 ) nello stato fondamentale con energia cinetica iniziale di 0.1 eV passa in un dispositivo di Stern-Gerlach lungo 0.5 m. In quante componenti si separa il fascio? Quale deve essere il valore del gradiente del campo magnetico per ottenere una separazione tra le componenti del fascio di 1 mm all’uscita dal dispositivo. Se si eccita l’elettrone di valenza sullo stato 4p, in quante componenti si separa il fascio? (B) Calcolare la correzione in eV ai livelli di energia del primo stato eccitato dell’atomo d’idrogeno (2p) per effetto dell’interazione spin-orbita 1 e2o 1 S·L 2m2 c2 4πǫo r 3 Le funzioni d’onda dell’atomo d’idrogeno sono HSO =

u21m = √

1 3/2 24ao

r −r/2ao e Y1m (θ, φ) ao

con Y1m (θ, φ) armoniche sferiche e mc2 = 0.51 MeV. (C) La riga gialla del sodio `e dovuta alla transizione 3p→3s (E3p =-3 eV, E3s =-5.1 eV). Calcolare la lunghezza d’onda della riga e calcolare in quante componenti si separa per effetto dell’interazione spin-orbita. Calcolare la separazione tra le componenti della riga sapendo che la costante di accoppiamento spin-orbita vale A = 11.5 cm−1 con HSO = AhcS · L. (D) Calcolare la configurazione elettronica di stato fondamentale dell’azoto (N) e dell’ossigeno (O) utilizzando le regole di Hund. (E) Calcolare le possibili configurazioni (2S+1 LJ ) per l’atomo di carbonio in stato eccitato con un elettrone 2p promosso nello stato 3s (configurazione 1s2 2s2 2p1 3s1 ). (F) Calcolare le possibili configurazioni (2S+1 LJ ) per l’atomo di carbonio nello stato 1s2 2s2 2p2 . (Attenzione al principio di esclusione di Pauli). (G) Si consideri una particella di massa m in 1D in un potenziale V (x) = g|x| con g costante positiva. Alla particella `e assegnata la funzione d’onda x2 1 1 ) 2 e− 4σ2 2πσ con σ costante positiva. Calcolare l’energia media della particella. Suggerimento:

u(x) = ( √

Z

o

∞

−αx2

dxe

1 = 2

r

π ; α

Z

o

∞

−αx2

dxxe

= 1/2α ;

Z

o

∞

2 −αx2

dxx e

1 = 4

r

π α3

(H) Si consideri una particella di massa m in 3D confinata in una buca di potenziale infinito a simmetria sferica con potenziale (radiale) V (r) = 0 per r < a e V (r) = ∞ per r > a con a costante positiva. Si risolva l’equazione radiale trovando le energie possibili del sistema per gli stati a momento angolare nullo. Si scrivano le corrispondneti funzioni d’onda. (I) Calcolare la correzione all’energia del fotone emesso dall’atomo d’idrogeno nella transizione 2p → 1s per effetto del rinculo dell’atomo e della conservazione della quantit`a di moto. Calcolare il potere risolutivo che deve avere un reticolo di diffrazione per misurare questa correzione. (L) Si consideri il sistema composto da due particelle con spin 0 in una buca di potenziale infinita monodimensionale di larghezza L. Il sistema `e sul primo stato eccitato. Si consideri il valor medio della distanza tra le due particelle < (x1 − x2 )2 > nei due casi di particelle distinguibili e indistinguibili. Si calcoli esplicitamente la differenza < (x1 − x2 )2 >D − < (x1 − x2 )2 >I , dove i suffissi I e D indicano gli stati per parR ticelle indistinguibili e distinguibili, rispettivamente. Suggerimento: oπ dysen3 y = 34 . (M) Si considerino tre particelle in una buca di potenziale infinita in una dimensione di lunghezza L = 5 ˚ A (U(x) = ∞ per x < 0 e x > L e U(x) = 0 per 0 < x < L). La massa delle particelle `e pari alla massa elettronica. Calcolare energia e grado di degenerazione dello stato fondamentale e del primo stato eccitato nel caso di i) particelle distinguibili con spin 0 ii) particelle identiche con spin 1/2. Nello stato fondamentale del caso i) calcolare la densit`a di probabilit`a di trovare tutte e tre le particelle nel punto x = L/4.