Statistika Ekonomi I : Nilai Pusat Dan Ukuran Penyimpangan

Modul 2-Tutorial Nilai Sentral & Ukuran Penyimpangan

Arie Wibowo Khurniawan, S.Si, M.Ak

Materi 1. Konsep Ukuran Nilai Sentral/Pusat; 2. Konsep Ukuran Variasi Absolut data tunggal dan data kelompok; 3. Konsep

ukuran

keruncingan; 4. Latihan

Variasi

relatif,

simetris

dan

Konsep Nilai Sentral/ Pusat • Nilai tunggal yang mewakili (mereferensikan) himpunan atau sekelompok data (a set of data)  Rata-rata (Average) • Apabila keseluruhan nilai yang ada dalam data diurutkan besarnya dan selanjutnya nilai rata-rata dimasukkan ke dalam himpunan atau sekelompok data tadi maka nilai rata-rata tersebut memiliki tendensi terletak diurutkan/deretan paling tengah atau pusat, sehingga sering disebut ukuran kecenderungan memusat (measures of centeral tendency) • 3 Jenis Ukuran Nilai Sentral/Pusat : 1. Rata-Rata Hitung (Arithmetic Mean)  µ (myu) dan (x bar) 2. Median  Md 3. Modus (Mode)  Mo

Mean data (1) 1. Data yang tidak dikelompokkan Apabila kita mempunyai data x, sebagai hasil pengamatan atau observasi sebanyak N kali, yaitu X1, X2,....Xi,......,XN, maka : c.Rata-rata sebenarnya (populasi) :

h.Rata-rata perkiraan (sampel): Apabila rata-rata tersebut dihitung berdasarkan sampel sebanyak n di mana n < N observasi, maka rata-rata sampel adalah sebagai berikut :

Kasus 1 : Berikut ini disajikan data penjualan suatu perusahaan selama 10 tahun. X = hasil penjualan selama 10 tahun dalam jutaan rupiah X1 = 50 (hasil penjualan tahun pertama) X2 = 60 (hasil penjualan tahun kedua) X3 = 40 (hasil penjualan tahun ketiga) X4 = 70 (hasil penjualan tahun keempat) X5 = 80 (hasil penjualan tahun kelima) X6 = 90 (hasil penjualan tahun keenam) X7 = 100 (hasil penjualan tahun ketujuh) X8 = 65 (hasil penjualan tahun kedelapan) X9 = 75 (hasil penjualan tahun kesembilan) X10 = 85 (hasil penjualan tahun kesepuluh) n)Hitung rata-rata hasil penjualan sebenarnya. o)Ambil Sampel Sebanyak n=5, misalnya setelah diambil sampelnya diperolah tahun ke-2, 4, 5, 8 dan 10. Hitung rata-rata perkiraan hasil penjualan per tahun.

Mean data (2) 2. Data yang dikelompokkan Untuk data yang sudah berbentuk frekuensi, dimana nilai –nilai observasi yang terletak dalam suatu kelompok/kelas berdistribusi merata sepanjang interval, maka titik tengah kelas (class mark) (Cm) merupakan nilai tunggal yang representatif untuk nilai dalam kelas tsb.

dimana: = mean Cm = titik tengah interval kelas (class mark) f = frekuensi i = nomor kelas dari i sampai dengan k Σ = simbol penjumlahan

Mean data (3) 2. Data yang dikelompokkan dengan metode perhitungan singkat (short cut metoda) Short cut metoda dilakukan dengan merubah class mark dengan sebuah skala baru (skala u) yang bernilai kecil dan bulat yaitu 0, ±1, ±2, ±3 dan selanjutnya. Ui = nilai skala U kelas i Xi = class mark kelas i X0 = class mark pada U=0 C = interval kelas

dimana: = mean X0 = nilai kelas dimana U=0 C = interval kelas = rata-rata U pada skala U

Kasus 2 : Berat badan 100 orang mahasiswa Fakultas Ekonomi UT tahun 2007 disajikan dalam tabel berikut. Berat Badan (Kg)

Banyaknya Mahasiswa

60 -62

5

63-65

18

66 – 68

42

69 -71

27

72-74

8

Hitunglah rata-rata perkiraan berat per mahasiswa !

Median (1) Median merupakan sebuah nilai pusat yang ditentukan berdasarkan letak data salam sebuah data yang telah tersusun dalam bentuk deret. Median biasanya beradal ditengah-tengah dari deretan data. median disimbolkan dengan Md. 1. Data yang tidak dikelompokkan Jika mendapatkan jumlah data (n) yang tidak merupakan kelipatan 2 (ganjil), maka nilai median adalah sama dengan nilai data yang memiliki urutan paling tengah atau data yang bernomor urut k, dimana k dapat ditemukan dengan rumus :

apabila jumlah data (n) yang merupakan kelipatan 2 (genap), maka k merupakan bilangan rasional pecahan, dimana k dapat ditemukan dengan rumus :

Median (2) 2. Data yang dikelompokkan Langkah 1 : tentukan letak median pada suatu kelas. Bila jumlah keseluruhan frekuensi adalah n, maka median akan terletak pada data yang bernomor k, dimana k =n/2. Langkah 2 : tentukan median dengan rumus:

dimana : Md = Median BA = Batas atas untuk kelas dimana median berada BB = Batas bawah untuk kelas dimana median berada C = Interval Kelas S = (n/2) – (frekuensi kumulatif sebelum median berada) S’ = (frekuensi kumulatif dimana median berada) – (n/2) fm = Frekeunsi kelas dimana median berada

Kasus 3 : 1.

Ada 7 karyawan dengan upah per bulan masing-masing (dalam juta rupiah) adalah sebagai berikut 20, 80, 75, 60,50,85, dan 45 . Berapa nilai median? 2. Ada 8 karyawan dengan upah per bulan masing-masing (dalam juta rupiah) adalah sebagai berikut 20, 80, 75, 60,50,85, 45 dan 90. Berapa nilai median? 3. Hitunglah nilai median 100 mahasiswa dari data sbb: Berat Badan (Kg)

Banyaknya Mahasiswa

60 -62

5

63-65

18

66 – 68

42

69 -71

27

72-74

8

Jumlah

100

Modus (Mode) Modus adalah ukuran nilai pusat yang ditunjukkan oleh sesuatu/hasil pengamatan yang paling banyak didapatkan/dijumpai/muncul. 1. Data yang tidak dikelompokkan Xi= modus= Md kalau fi mempunyai nilai terbesar dibandingkan dengan nilai pengamatan lainnya

2. Data yang dikelompokkan Apabila data sudah dikelompokkan dan disajikan dalam tabel frekeunsi maka modusnya dicari dengan rumus sbb :

dimana : Mo = Modus BB = Batas bawah dari kelas yang memuat modus BA = Batas atas dari kelas yang memuat modus C = Interval Kelas S1 = Selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sebelumnya (depannya) S2 = Selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sesudahnya (belakangnya)

Kasus 4 : 1. Dari data berikut, apakah ada modusnya ? kalau ada, tentukan modusnya? a). 2,2,5,7,9,9,9,10,10,11,12,18 b). 3,5,8,10,12,15,16 c). 2,3,4,4,4,5,5,7,7,7,9 2. Carilah modus dari tabel frekuensi sbb : Kelas

f

30 -39

4

40-49

6

50-59

8

60-69

12

70-79

9

80-89

7

90-99

4

Jumlah

50

Konsep Ukuran Variasi Ukuran Variasi (measures of variation) atau ukuran penyimpangan (measures of dispersion) adalah ukuran yang menyatakan seberapa banyak nilia-nilai data berbeda dengan nilai pusatnya atau seberapa jauh penyimpanagan nilai-nilai data dari nilai pusatnya. Pernah denger cerita aneh??? Ada orang tenggelam di danau yang kedalaman rata-ratanya 50 cm??!!!??? Pada bagian pinggir danau kedalaman danau hanya 2 cm, 5 cm sampai 10 cm.. tapi ada bagian danau yang berada di tengah mencapai 2 meter. Kalo dirataratakan kedalaman danau cuma 50 cm, karena bagian yang dalam cuma sedikit... Kalau hanya melihat dari rata-rata yang merupakan suatu nilai pemusatan memang bisa menyesatkan. Tapi kalau melihat standar deviasi yang tinggi, menandakan rata-rata perbedaan kedalaman danau dengan rata-ratanya sangat tinggi. Atau bisa dikatakan sangat bervariasi tingkat kedalamannya. Makanya jangan menilai sesuatu hanya dengan nilai pemusatan data, tapi juga harus melihat nilai penyebaran data...

Ukuran Jarak (Range) Ukuran Jarak (Range) adalah selisih nilai-nilai ekstrim yang terdapat dalam kumpulan data atau dengan kata lain selisih nilai tertinggi (Xn) dengan nilai terendah (X1) dalam kumpulan data. Range = Xn – X1 Contoh : Carilah range/jarak dari data berikut: 50, 40, 30, 60, 70 Penyelesaian : Pertama-tama, data kita urutkan terlebih dahulu : X1 = 30, X2=40, X3=50, X4=60, X5=70 Range = X5 –X1 =70-30

Simpangan Rata-Rata (Mean Devation) (1) Simpangan Rata-rata menjelaskan besarnya simpangan data terhadap nilai tengahnya.simpanagn rata-rata ini lebih baik daripada range karena dapat mengambarkan kumpula data yang tepat bagi nilai pusat maupun variasi keseluruhan data. 1. Data yang tidak dikelompokkan

= n = i = Xi =

simpangan rata-rata data yang tidak dikelompokkan jumlah keseluruhan data nomor data nilai data nomor ke-i

Simpangan Rata-Rata (Mean Devation) (2) 2. Data yang dikelompokkan

Data yang dikelompokkan adalah data yang telah disusun dalam bentuk distribusi frekeunsi. Pada bentuk yang demikian nilai tengah kelas (class mark) dianggap sebagai nilai yang repesentatif bagi nilai yang terdapat dalam kelas bersangkutan. = n = i = Cmi =

fi

simpangan rata-rata data yang telah dikelompokkan jumlah kelas nomor kelas nilai tengah kelas (class mark) dari kelas i

= frekuensi kelas nomor i

Simpangan Rata-Rata (Mean Devation) (3) 1. Simpangan rata-rata merupakan ukuran variasi yang lebih baik daripada range. Karena simpangan rata-rata didapatkan/diperhitungkan dari nilai keseluruhan data, bukan hanya dari nilai ekstrimnya saja. 2. Simpangan rata-rata merupakan ukuran variasi yang didasarkan pada pengukuran simpangan absolut, yang menekankan pada besar/kecilnya (magnitude) simpangan dan bukan pada arah simpangan.

Simpangan Baku (Standar Deviation) (1) Simpangan baku (Standar Deviation) merupakan ukuran variasi yang menunjukkan besar simpangan rata-rata keseluruhan nilai yang ada dalam kelompok data dengan nilai pusatnya dengan cara menghilangkan kemungkinan nilai 0 dan negatif dengan dikuadratkan. 1. Data yang tidak dikelompokkan Bila data yang dianalisis adalah data populasi

Bila dikaitkan dengan pengunaan data sampel

Simpangan Baku (Standar Deviation) (2) 2. Data yang dikelompokkan Data yang dikelompokkan adalah data yang telah disusun dalam bentuk distribusi frekeunsi. Pada bentuk yang demikian nilai tengah kelas (class mark) dianggap sebagai nilai yang repesentatif bagi nilai yang terdapat dalam kelas bersangkutan. Bila dikaitkan dengan pengunaan data populasi

Bila data yang dianalisis adalah data sampel

Simpangan Baku (Standar Deviation) (3) 2. Data yang dikelompokkan dengan metode perhitungan singkat (short cut metoda) Bila data yang dianalisis adalah data populasi

Bila dikaitkan dengan pengunaan data sampel Keterangan : Short cut metoda dilakukan dengan mrubah class mark dengan sebuah skala baru (skala u) yang bernilai kecil dan bulat yaitu 0, ±1, ±2, ±3 dan selanjutnya. Ui = nilai skala U kelas i Xi = class mark kelas i X0 = class mark pada U=0 C = interval kelas

Kasus 5 : Modal dari 40 perusahaan (jutaan rupiah) ada sbb : 2 164 150 132 144 125 149 157 146 158 140 147 136 148 152 144 168 126 138 176 163 119 154 165 146 173 142 147 163 153 140 135 161 145 135 142 135 156 145 128 Kelas

f

118-126

3

127-135

5

136-144

9

145-153

12

154-162

5

163-171

4

172-180

2

Jumlah

40

Hitunglah dari data tidak berkelompok dan berkelompok tersebut: 2.Simpangan Rata-Rata 3.Simpangan Baku

Ukuran Variasi Relatif Ukuran variasi kreatif adalah ukuran variasi yang dapat digunakan untuk membandingkan beberapa kumpulan data yang berbeda. ukuran variasi relatif dikenal dengan nama koefisien variasi dan disimbolkan dengan V.

dimana : V = koefisien variasi S = simpangan baku = rata-rata (mean)

Kasus 6 : Harga 5 mobil bekas masing-masing adalah Rp.4 Juta, Rp.4,5 Juta, Rp. 5 Juta, Rp.4,75 Juta serta Rp4,25 Juta dan harga 5 ayam masing-masing Rp. 600, Rp.800, Rp.900, Rp550 dan Rp.1000. Hitunglah simapangan Baku harga mobil dan harga ayam. mana yang lebih bervariasi, harga mobil atau harga ayam?

Ukuran Kesimetrisan atau Kecondongan Kesimetrisan atau kecondongan suatu distribusi dengan cepat dapat diduga, apabila mean, median atau modusnya telah diketahui, yakni dengan menggunakan/melihat koefisien kecondongan (Coefficient Skewness), yang dirumuskan sebagai berikut (menurut pearson):

kurva simetris

kurva menceng ke kiri

kurva menceng ke kanan

Ukuran kemiringan(kurtosis) (1) Ukuran keruncingan (kurtosis) adalah suatu ukuran yang dapat digunakan untuk menetukan runcing atau tidaknya suatu kurva distribusi. Ukuran keruncingan yang biasa digunakan adalah α4 (alpha-4) atau disebut juga moment of kurtosis atau koefisien kurtosis. 1. Data yang tidak dikelompokkan

2. Data yang dikelompokkan

dimana: α4 = koefisien kurtosis n = jumlah populasi Xi = nilai data yang ke-i λ = rata-rata populasi α = simpangan baku populasi

dimana: Cmi = class mark tengah kelas i K = jumlah kelas fi= frekuensi kelas i

Ukuran kemiringan(kurtosis) (2) Short Cut Metoda :

dimana: C = interval kelas K = jumlah kelas Ui= skala U untuk kelas i

Ukuran kemiringan(kurtosis) (3) Kalau α4 > 3 dihasilkan distribusi leptokurtik (meruncing)

α4 = 3 dihasilkan distribusi mesokurtik (normal)

α4 < 3 dihasilkan distribusi platikurtik (mendatar)

Kasus 7 : Berapa koefisien kecondongan dan koefisien kurtosis dari data frekuensi dibawah ini Usia Wanita

Frekuensi

10-19

3

20-29

5

30-39

10

40-49

12

50-60

20

Jumlah

50

ARIE WIBOWO Hp. 0813 111 77 904 [email protected]