Statistika Ekonomi I : Distribusi Probabilitas Normal Dan Binomial

Modul 4 - ESPA 4113 Statistika Ekonomi I

Arie Wibowo Khurniawan

DISTRIBUSI PROBABILITA  Merupakan nilai variabel random dan memiliki banyak

kemungkinan untuk terjadi, baik dalam bentuk tabel atau fungsi matematis.  Jumlah nilai probabilitas dari semua kemungkinan adalah 1 (satu).  Distribusi probabilita disimbolkan dengan fungsi P(X)  Distribusi probabilitas dibagi menjadi 2 yaitu : 1. Distribusi Probablitas Diskrit 2. Distribusi Probabilitas Kontinu

DISTRIBUSI PROBABILITAS DISKRIT  Bila variabel X diketahui sebagai “set diskrit” (himpunan

bilangan bulat) dari nilai X1,X2,X3,...,Xk masing-masing dengan probabilitas p1,p2,p3,...,pk, dimana p1+p2+p3+...+pk=1; maka kita telah mengetahui “distribusi probabilitas atas X”.  Fungsi px yang berturut-turut adalah p1,p2,p3,...,pk untuk X1,X2,X3,...,Xk . karena X dapat dianggap sebagai nilai tertentu biasanya dihasilkan dari perhitungan suatu objek tertentu dengan probabilitas tertentu maka X sering disebut dengan “Varibel Acak Diskrit”.  Variabel Acak/Variabel Random/Variabel Kesempatan/ Variabel Stokastik didefinisikan sebagai deskripsi numerik dari percobaan.

CONTOH DISRTIBUSI DISKRIT Jumlah Motor Terjual dalam Sehari (x)

Jumlah Hari

p(x)

0

54

0.18

1

117

0.39

2

72

0.24

3

42

0.14

4

12

0.04

5

3

0.01

Total

300

1

Syarat yang harus di penuhi untuk fungsi probabilitas diskrit : 1) p(x)≥0 atau 0≤p(x)≤1 2) p(x)=1

DISTRIBUSI PROBABILITAS KONTINU  Variabel kontinyu adalah variabel random yang mempunyai nilai dalam

suatu interval tertentu. Contohnya: kecepatan kendaraan per jam, tinggi badan mahasiswa, besarnya pendapatan pekerja, dll.  Bentuk kurva dari distribusi peluang (probabilitas) kontinyu berupa kurva mulus (smooth). Kurva f(x) sering disebut dengan fungsi kepadatan peluang (probability density function). Luasan di bawah kurva distribusi peluang kontinyu sesuai-identik dengan peluang untuk variabel X. Denga demikian P(X = a) = 0 dan P(a≤X≤b) = P (a<X
HARAPAN MATEMATIS  Rata-rata (µ) dari distribusi probabilitas adalah nilai harapan

(expected value) dari variabel acaknya.  Nilai harapan variabel acak diskrit adalah rata-rata tertimbang terhadap seluruh kemungkinan hasil dimana penimbangnya adalah nilai probabilitas yang dihubungkan dengan setiap hasil (outcome). misalkan anda mempunyai peluang 0.25 untuk mendapatkan uang 1 juta maka nilai ekspektasi anda adalah 0.25 x 1 juta = 250 ribu.  Secara umum, bila v.r. X mempunyai kemungkinan nilai X1, X2, . . . Xk dengan masing-masing peluang X bernilai Xk adalah pk maka nilai harapan X, ditulis E(X) didefinisikan sbg:

DISTRIBUSI BINOMIAL  Kejadian binomial secara umum memiliki 2 kategori yaitu

“sukses” atau”gagal”. Bila probabilitas kejadian sukses adalah p, sedangkan probabilitas kejadian gagal adalah q=1-p.  Bentuk umum :

 Ingat : x=0,1,2,3,...,n;

n! = n(n-1)(n-2)...1 0! = 1! = 1 dan p0=1 ; n! = n faktorial  Untuk variabel x yang mengikuti distribusi binomial berlaku rumus berikut : a) rata-rata (mean) : μ = E(x)=n.p b) Variance : 2=E(x-E(x))2=E(x-np)2 = n.p.q c) standar Deviasi:

KASUS 1 Peluang seseorang sembuh dari suatu pernyakit darah adalah 0.4, Bila 10 orang diketahui menderita penyakit ini. Berapa peluang bahwa : a) sekurang-kurangnya 5 orang dapat sembuh. b) ada 3 sampai 6 orang yang sembuh c) tepat 2 orang yang sembuh

DISTRIBUSI NORMAL (GAUSS)  bila x adalah suatu variabel acak normal dengan nilai

tengah µ dan ragam normalnya adalah :

 Sedangkan nilai

2,

maka persamaan kurva

= 3,14159... dan e=2.7182.

DISTRIBUSI NORMAL BAKU  Sebaran normal baku : mentransformasi variabel acak x

menjadi sebaran peubah acak normal dengan nilai tengah nol dan simpangan baku satu.  Untuk mengubah distribusi normal menjadi distribusi normal baku adalah dengan mengurangi variabel x dengan rata-rata µ dan membaginya dengan standar deviasi sehingga diperoleh variabel baru z :

DISTRIBUSI NORMAL BAKU  Persyaratan perhitungan:

KASUS 2 1.

Untuk sebaran normal dengan µ=50, =10. Hitunglah peluang bahwa x mengambil sebuah nilai 45 dan 62. 2. Suatu jenis aki mencapai umur rata-rata 3 tahun dengan simpangan baku 0.5 tahun. Bila umur aki itu menyebar normal. Hitunglah peluang bahwa sebuah aki tertentu mencapai umur kurang dari 2.3 tahun. 3. Pada suatu ujian, nilai rata-ratanya adalah 7.4 dan simpangan bakunya 7. Bila 12% diantara perserta akan diberi nialai A, dan nilai itu mengikuti sebaran normal. Berapakah batas nialai terkecil bagi A dan nilai tertinggi B?