Resumo Elipse

Índice

Introdução ........................................................................................................................ 3 A Elipse Definição ........................................................................................................... 4 Elementos ........................................................................................................................ 5 Equações Reduzidas ........................................................................................................ 7 Equação da Elipse de Centro Fora da Origem do Sistema .............................................. 9 Aplicação ......................................................................................................................... 10 Exercícios Resolvidos e Propostos .................................................................................. 11 Conclusão ........................................................................................................................ 13

Introdução

As chamadas secções cônicas — elipse, hipérbole e parábola — são as curvas que se obtém como interseção de um cilindro ou cone circular reto com um plano. Fazendo uso das propriedades refletoras da elipse foram construídos telescópios, antenas, radares, faróis, ópticas dos carros, lanternas, etc. Já a propriedade refratora das elipses aparece em objetos tais como, óculos graduados, as lupas e os microscópios. A elipse desempenha um papel importante em vários domínios da Física, Economia e Engenharia, entre outros. Pretendemos apresentar algumas aplicações e propriedades interessantes relacionadas com a elipse

A Elipse Definição: A elipse é o conjunto dos pontos de um plano cuja soma das distâncias a dois pontos fixos desse plano é constante. Mais precisamente, no plano da elipse existem dois pontos F1 e F2, chamados focos, tais que é constante a soma PF1 + PF2, onde P é um ponto genérico da elipse. Consideremos no plano dois pontos distintos, F1 e F2, tal que 2a > 2c. Então, 2a chama-se; constante da definição, um ponto P pertence à elipse (fig. 1) tais que: d(P, F1) + d(P, F2) ou | PF1| + | PF2| = 2a

O matemático belga G. P. Dandelin demonstrou a propriedade focal da elipse no caso do cilindro. Usando o mesmo raciocínio empregado, vejamos que isto pode ser ilustrado imaginandose uma situação bastante inesperada: Você chega a casa depois da aula morrendo de fome, abre a geladeira e encontra um pedaço de salame que se parece com um cilindro circular. Quando vai cortá-lo observa que o formato dessa fatia se parece com uma elipse. Seria mesmo uma elipse? Sim, e é fácil perceber o porquê. Imaginemos o momento em que o salame ainda estava inteiro e pensemos em um corte oblíquo que você fez. Consideremos que tangentes à sua faca, de ambos os lados e, tangentes à parede do salame estão colocadas duas bolas de pingue-pongue, encaixadas perfeitamente formando círculos paralelos.

Os pontos F1 e F2 em que as bolas de pingue-pongue são tangentes ao corte e seja P um ponto qualquer da borda do corte. Trace por P uma reta paralela ao eixo do salame que tangenciará as bolas de pingue-pongue em A e B. Como os círculos são paralelos, o segmento AB tem comprimento constante à medida que P varia na borda do corte. Os segmentos PA e PF1 possuem o mesmo comprimento, pois ambos tangenciam a mesma bola de pingue-pongue a partir do mesmo ponto P. Do mesmo modo, PB = PF2. Assim: PF1 + PF2 =PA + PB = AB = constante; o que conclui que o formato da fatia é mesmo uma elipse.

Elementos

Focos: são pontos F1 e F2. Distância focal: é à distância 2c entre os focos. Centro: é o ponto médio C do segmento F1 F2. Eixo maior: é segmento A1 A2 de comprimento 2a (A1 A2 contém os focos e os seus extremos pertencem à elipse). Eixo menor: é o segmento B1 B2 de comprimento 2b (B1 B2 é ortogonal a A1 A2 no seu ponto médio). Vértices: são os pontos A1, A2, B1, e B2.

Excentricidade: é o número e dado por

Tendo em vista que c < a, tem-se: 0 < e > 1. Valendo a relação de Pitágoras no triângulo retângulo B2CF2.

a² = b² + c²

Equações Reduzidas

Vamos determinar uma equação para elipse no caso que F1 e F2 é paralelo ao eixo X. Seja P(x, y) um ponto qualquer de uma elipse (fig. 3) de focos F1(-c, 0) e F2(c, 0). Tem-se:

d(P, F1) + d(P, F2) = 2a ou |F1P| + |F2P| = 2a.

d1 + d2  x − ( xo + c )  + ( y − yo ) + 2

 x − ( xo − c )  + ( y − yo ) = 2a 2

2

2

 ( x − xo ) − c  + ( y − yo ) = 2a −  ( x − xo ) + c  + ( y − yo ) Elevando os dois membros ao quadrado, temos. 2

  

2

2

2

2 2  ( x − xo ) − c  + ( y − yo )  =  2a −  

2

2 2  ( x − xo ) + c  + ( y − yo )  

2

 ( x − xo ) − c  + ( y − yo ) = 4a2 − 4a  ( x − xo ) + c  + ( y − yo ) +  ( x − xo ) + c  + ( y − yo ) desenvolvendo os quadrados temos: 2

( x−

2

2

2

2

xo ) − 2c ( x − xo ) + c 2 + ( y − yo ) = 2

2

= 4a 2 − 4a  ( x − xo ) + c  + ( y − yo ) + ( x − xo ) + 2c ( x − xo ) + c2 + ( y − yo ) 2

( x−

2

2

2

xo ) − ( x − xo ) + c2 − c2 + ( y − yo ) − ( y − yo ) + 4a  ( x − xo ) + c  + ( y − yo ) = 2

2

2

= 4a 2 + 2c ( x − xo ) + 2c ( x − xo )

4a  ( x − xo ) + c  + ( y − yo ) = 4a 2 + 4c ( x − xo ) dividindo os dois membros po 4, temos: 2

2

a  ( x − xo ) + c  + ( y − yo ) = a 2 + c ( x − xo ) 2

2

2

2

2

2

Equação reduzida da elipse: Seja P(x, y) um ponto qualquer de uma elipse e sejam F1(-c, 0) e F2(c, 0) os seus focos. Sendo 2a o valor constante com c < a, como vimos acima, podemos escrever: |PF1| + |PF2| = 2a. Usando a fórmula da distancia entre dois pontos, poderemos escrever:

Observe que x - (-c) = x + c. Quadrando a expressão acima, vem:

Com bastante paciência e aplicando as propriedades corretas, a expressão acima depois de desenvolvida e simplificada, chegará a: b2. x2 + a2. y2 = a2. b2, onde b2 = a2 – c2 Dividindo agora, ambos os membros por a2b2 vem finalmente:

Que é a equação reduzida da elipse de centro na origem e eixo maior sobre o eixo dos x. 2° caso: O eixo maior está sobre o eixo y. (figura 4). Com procedimento análogo ao 1° caso, obteremos a equação:

x² + y² = 1 b²

a²

Figura 4

Equação da Elipse de Centro Fora da Origem do Sistema

1° Caso: O eixo maior é paralelo ao eixo dos x Consideremos uma elipse de centro C(h, k) e seja P(x, y) um ponto qualquer da mesma figura 5.

Assim:

e o centro for C(h, k), a equação passa ser.

2° caso: O eixo maior é paralelo ao eixo y. De forma análoga, temos:

Aplicação Verifique a posição relativa entre as circunferências:

= x2 + y2 = 4 e = (x-2)2 + y2 = 16.

Solução:

→C1 (0,0) e R1 = 2 C2 (2,0) e R2 = 4

A distância entre seus centros é:

Exercícios Resolvidos e Propostos 1 – Determine a excentricidade da elipse de equação 16x2 + 25y2 – 400 = 0. Solução: Temos: 16x2 + 25y2 = 400. Observe que a equação da elipse não está na forma reduzida. Vamos dividir ambos os membros por 400. Fica então:

Portanto, a2 = 25 e b2 = 16. Daí vem: a = 5 e b = 4. Como a2 = b2 + c2, vem substituindo e efetuando que c = 3 Portanto a excentricidade e será igual a: e = c/a = 3/5 = 0,60 Resp: 3/5 ou 0,60.

2 – CESCEA 1969 – Determine as coordenadas dos focos da elipse de equação 9x2 + 25y2 = 225. Solução: dividindo ambos os membros por 225, vem:

Daí, vem que: a2=25 e b2=9, de onde deduzimos: a = 5 e b = 3. Portanto, como a2 = b2 + c2, vem que c = 4. Portanto, as coordenadas dos focos são: F1(4,0) e F2(-4,0).

3 – Determine a distancia entre os focos da elipse 9x2 +25y2 – 400 =0. Solução: a elipse é a do problema anterior. Portanto a distancia entre os focos será: D = 4 – (- 4) = 8 u.c (u.c. = unidades de comprimento).

4 – Calcular a distancia focal e a excentricidade da elipse 25x2 + 169y2 = 4225. Resp: e = 12/13 e df = 2c = 24.

5 – Determinar a equação da elipse com centro na origem, que passa pelo ponto P(1,1) e tem um foco F(-√ 6 /2, 0). Resp: x2 + 2y2 = 3.

Conclusão

1 – Definição: Dados dois pontos fixos F1 e F2 de um plano, tais que a distancia entre estes pontos seja igual a 2c > 0, denomina-se elipse, à curva plana cuja soma das distancias de cada um de seus pontos P a estes pontos fixos F1 e F2 é igual a um valor constante 2a, onde a > c. Assim é que temos por definição: PF1 + PF2 = 2a Os pontos F1 e F2 são denominados focos e a distancia F1F2 é conhecida com distancia focal da elipse. O quociente c/a é conhecido como excentricidade da elipse. Como, por definição, a > c, podemos afirmar que a excentricidade de uma elipse é um número positivo menor que a unidade. 2 – Equação reduzida da elipse: Seja P(x, y) um ponto qualquer de uma elipse e F1(c, 0) e F2(-c, 0) os seus focos. Sendo 2a o valor constante com c < a, como vimos acima, podemos escrever: PF1 + PF2 = 2a Usando a fórmula da distancia entre dois pontos, poderemos escrever:

Observe que x – (-c) = x + c. Quadrando a expressão acima, vêm:

Com bastante paciência e aplicando as propriedades corretas, a expressão acima depois de desenvolvida e simplificada, chegará a: b2. x2 + a2. y2 = a2. b2, onde b2 = a2 – c2 Dividindo agora, ambos os membros por a2 b2 vem finalmente: