Resolver Ecuaciones Usando Factorizaciones Version Blog

USO DE LA FACTORIZACIÓN EN LA

RESOLUCIÓN DE ECUACIONES

UNIDAD I FUNCIÓN POTENCIA Y MODELOS CUADRÁTICOS A.RE.10.3.3

J. Pomales

/ diciembre 2008

INTRODUCCIÓN • Si el producto de dos números es cero, ¿qué podemos decir de los números? – Que son dos números desconocidos que al multiplicarlos entre sí su resultado es cero.

• Si ab = 0, ¿qué podemos decir de a y de b?

– Que a puede ser cero, que b puede ser cero, o que ambos son cero.

INTRODUCCIÓN • La propiedad multiplicativa del cero establece que el producto de un número y cero es cero. • Por lo tanto, si ab = 0 entonces al menos uno de los dos debe ser cero. • Esto nos lleva a establecer el siguiente principio:

PROPIEDAD MULTIPLICATIVA DEL CERO El producto de dos números es cero si, y sólo si, al menos uno de los factores es cero.

ab = 0 si, y sólo si, a = 0 ó b = 0 • Este principio nos ayuda a resolver ecuaciones que estén en forma factorizada en un lado mientras que en el otro aparece cero.

EJEMPLOS

Resuelve: ( x − 3)( x + 5) = 0 En este caso, el primer factor es x – 3, está en el lugar de a, y el segundo factor, x + 5, en el lugar de b, según el principio anterior. Por lo tanto: ( x − 3)( x + 5) = 0 x(+) − 3 = 0 ó x + 5 = 0 x = −5 x=3 ó

El conjunto solución es { 3,−5}

Resuelve x( 2 x + 5) = 0

x(2 x + 5) = 0 x=0

ó

2 x + 5 = 0  Por el principio anterior 2x + 5 = 0 2 x = −5 2 2

x=

−5 2

x=

−5 2

El conjunto solución es { 0,

−5 2

}

Resuelve x − x − 6 = 0 2

Para aplicar el principio anterior debemos tener la ecuación en forma factorizada. Por lo tanto, se factoriza el trinomio de la izquierda.

x − x− 6= 0 ( x + 2)( x + − 3) = 0 2

x+ 2= 0 x = −2

ó

x + −3 = 0 x=3

El conjunto solución es

{ − 2,3}

x = 4x 2

Resuelve

x = 4x 2

x − 4x = 0 x ( x − 4) = 0 x = 0 ó x(+ ) − 4 = 0 x= 4 2

El conjunto solución es

{ 0,4}

• A través de los ejemplos anteriores hemos ilustrado el proceso de factorización para resolver una ecuación cuadrática en una variable Una ecuación cuadrática en una variable es una ecuación que se puede expresar de la forma

ax + bx + c = 0 2

donde a, b y c son números reales ya≠0

FORMA ESTÁNDAR • Una ecuación está en su forma estándar cuando uno de sus lados es cero y el otro lado es un polinomio simplificado en grado decreciente, esto es, está expresado de la forma

ax + bx + c = 0 2

En resumen... El proceso para resolver una ecuación cuadrática por factorización puede resumirse de la forma; 1. Escribir la ecuación en forma estándar. 2. Factorizar uno de los lados. 3. Igualar cada factor a cero. 4. Resolver cada ecuación lineal. 5. Verificar. 6. Escribe el conjunto solución.

Resuelve ( x + 3)( x − 4) = −6 ( x + 3)( x − 4) = − 6

 No está en forma estándar

x 2 − x − 12 = − 6 x2 − x − 6 = 0 ( x − 3)( x + 2) = 0

 Ahora está en forma estándar  Factoriza

x − 3 = 0 ó x + 2 = 0  Iguala cada factor a cero y resuelve x = −2 x(+ ) − 3 = 0 x=3 El conjunto solución es

{ 3,−2}

Ejercicios de práctica 1) ( x − 5)( x − 7) = 0

11) x( x − 3) = 10

2) ( x + 6)( x − 5) = 0

12) 3a 2 + 8a = 2a + 9

3) x( x + 4) = 0

13) 5( x − 2) + ( x 2 − 4) = 0

4) 0 = x(3x − 2)

14) ( x + 2) 2 − 9 = 0

5) 5( x − 3) = 0

15) 4 x 2 = x

6) 0(3 x − 5) = 0

16) y 4 = 16

7) a − 2a − 8 = 0

17) 9 x 2 + 4 = −12 x

8) x 2 + 5 x − 14 = 0

18) ( x − 5) 2 = 2(5 − x)

9) 4a 2 − 9 = 0

19) ( x − 5)( x + 3) = −7

10) 5 x 2 = 6 x

20) 5 x − 2 x 2 = 2

2

UNIDAD I FUNCIÓN POTENCIA Y MODELOS CUADRÁTICOS A.RE.10.3.3

J. Pomales

/ diciembre 2008