Projet: La Méthode Fdtd: Stabilité Et Convergence

Université AbdelMalek Essaadi Faculté des sciences de Tétouan

Projet MODULE : METHODES NUMÉRIQUES

LA méthode FDTD : stabilité et convergence Présenté Par : Maimouni Chaimae Joseph Naja Edaman

Encadré par : Prof . Khalid Mounirh

SOMMAIRE 1.Introduction 2. Les équations de Maxwell 3.La méthode des différences finies : Approximation à droite , à gauche et centrale 4. La discrétisation des équations de Maxwell 4.1. La discrétisation temporelle 4.2. Construction du maillage : La grille de Yee 4.2.1. Normalisation des champs 4.2.2 .Dérivée spatiale 4.3. La discrétisation spatiale

4.3.1 implémentation pour 1 D : Mode Ex/Hy et Ey/Hx 5. Condition aux limites parfaite (Perfect Boundary Conditions) 6. Critères et caractéristiques de la FDTD 6.1. La stabilité 6.2. La Dispersion numérique 6.3. La Convergence 7. L’excitation

8.Le calcul de nombre d'itération 9. L’algorithme de la FDTD 10.Conclusion 11.Code Matlab pour le mode Ey / Hx Bibliographie

INTRODUCTION La FDTD (Finite Difference Time Domain) est une méthode de calcul de différences finies dans le domaine temporel, qui permet de résoudre des équations différentielles dépendantes du temps. C’est une approche très populaire qui a d'abord été développée par Yee, en 1966, pour l'analyse de problèmes en électromagnétisme

EQUATIONS DE MAXWELL & EQUATIONS CONSTITUTIVES →

𝜕𝐵 𝛻∧𝐸 =− 𝜕𝑡 →

→

𝛻. 𝐻 = 0 →

𝜌ൗ 𝛻. 𝐸 = 𝜀

→

→

→

→

𝐷 𝑡 = [𝜀 𝑡 ] ∗ 𝐸 (𝑡)

𝐵 𝑡 = [𝜇 𝑡 ] ∗ 𝐻(𝑡)

MÉTHODE DE DIFFÉRENCE FINIE APPROXIMATION : À GAUCHE , À DROITE ET CENTRALE

Soit une fonction f(x), on peut trouver la dérivée sur

𝑓′

𝑓 𝑥 − 𝑓 𝑥 − ∆𝑥 𝑥 ≈ 𝛥𝑥

l’arc sur ce droit ; l’un à droite, l’autres à gauche, et le troisième au centre :

𝑓 𝑥 + 𝛥𝑥 − 𝑓 𝑥 𝑓 𝑥 ≈ 𝛥𝑥 ′

𝑓′

À GAUCHE

𝑓 𝑥 + 𝛥𝑥 − 𝑓 𝑥 − ∆𝑥 𝑥 ≈ 2𝛥𝑥

À DROITE CENTRALE

DISCRÉTISATION DES EQ DE MAXWELL Discrétisation temporelle →

.

𝐽 =0

𝐸 𝑡 + 𝛥𝑡 − 𝐸 𝑡 𝛻∧𝐻 𝑡 =𝜀 𝛥𝑡

𝐻 𝑡 + 𝛥𝑡 − 𝐻 𝑡 𝛻 ∧ 𝐸 𝑡 = −𝜇 𝛥𝑡

Donc 𝐻ȁ𝑡+𝛥𝑡/2 − 𝐻ȁ𝑡−∆𝑡/2 𝛻 ∧ 𝐸 ቚ = −𝜇 𝛥𝑡 𝑡

𝛻 ∧ 𝐻ቚ

𝑡+𝛥𝑡∕2

𝐸 ȁ𝑡+𝛥𝑡 − 𝐸 ȁ𝑡 =𝜀 𝛥𝑡

On obtient les équations de mis à jour dans le temps futur

𝐻ቚ

𝑡+𝛥𝑡∕2

𝛥𝑡 = 𝐻ቚ − 𝛻 ∧ 𝐸ቚ 𝜇 𝑡−𝛥𝑡∕2 𝑡

𝐸ቚ

𝑡+𝛥𝑡

𝛥𝑡 = 𝐸ቚ + 𝛻 ∧ 𝐻ቚ 𝜀 𝑡 𝑡+∆𝑡/2

Construction du maillage : La grille de Yee

NORMALISATION DE CHAMPS On normalise le champs H pour avoir le même ordre magnitude pour H et E. →

𝜕𝐻 𝛻 ∧ 𝐸 = −[𝜇] 𝜕𝑡 →

→

𝜕𝐸 𝛻 ∧ 𝐻 = [𝜀] 𝜕𝑡 →

~

~

𝐻=

𝜇0 𝐻 𝜀0

[𝜇𝑟 ]𝜕𝐻 𝛻∧𝐸 = − 𝑐0 𝜕𝑡

[𝜀𝑟 ]𝜕𝐸 𝛻∧𝐻 = 𝑐0 𝜕𝑡 ~

Dérivée spatial des équations

TENSEUR DIAGONAL

[ 𝜀] = [

𝜀𝑥𝑥 0 0

0 𝜀𝑦𝑦 0

0 0 𝜀𝑧𝑧 ~

𝜕𝐸𝑧 𝜕𝐸𝑦 1 𝜕𝐻𝑥 − = − 𝜇𝑥𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 𝐶0 𝜕𝑡 ~

𝜇𝑥𝑥 0 0

[𝜇] = ~

~

~

~

~

~

0 𝜇𝑦𝑦 0

𝜕𝐸𝑦 𝜕𝐻𝑥 𝜕𝐻𝑍 1 − = 𝜀𝑦𝑦 𝜕𝑧 𝜕𝑥 𝐶0 𝜕𝑡

𝜕𝐻𝑦 𝜕𝐻𝑥 1 𝜕𝐸𝑧 − = 𝜀𝑧𝑧 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝐶0 𝜕𝑡

𝜕𝐸𝑦 𝜕𝐸𝑥 1 𝜕𝐻𝑧 − = − 𝜇𝑧𝑧 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝐶0 𝜕𝑡 ~

𝜕𝐻𝑦 𝜕𝐸𝑥 𝜕𝐸𝑧 1 − = − 𝜇𝑦𝑦 𝜕𝑧 𝜕𝑥 𝐶0 𝜕𝑡

𝜕𝐻𝑧 𝜕𝐻𝑦 1 𝜕𝐸𝑥 − = 𝜀𝑥𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 𝐶0 𝜕𝑡

0 0 𝜇𝑧𝑧

La Discrétisation spatiale : Implémentation dans la grille de Yee Pour Hx :

~

𝑖,𝑗+1,𝑘 𝐸𝑧 ห𝑡

−

𝑖,𝑗,𝑘 𝐸𝑧 ห𝑡

𝛥𝑦

−

𝑖,𝑗,𝑘+1 𝐸𝑦 ห 𝑡

−

𝑖,𝑗,𝑘 𝐸𝑦 ห 𝑡

𝛥𝑧

=−

𝑖,𝑗,𝑘 𝐻 ቚ 𝑖,𝑗,𝑘 𝑢𝑥𝑥 𝑥 𝑡+𝛥𝑡Τ2

𝑐0

~

𝑖,𝑗.𝑘

− 𝐻𝑥

ቚ

𝑡−𝛥𝑡/2

𝛥𝑡

Pour Ex :

~

𝑖,𝑗,𝑘 𝐻𝑧 ቚ

𝑡+𝛥𝑡Τ2

−

~

𝑖,𝑗−1,𝑘 𝐻𝑧 ቚ

𝛥𝑦

~

𝑡+𝛥𝑡/2

𝑖,𝑗,𝑘 𝐻𝑦 ቚ

−

~

𝑡+𝛥𝑡Τ2

𝑖,𝑗,𝑘−1

− 𝐻𝑦 𝛥𝑧

ቚ

𝑡+𝛥𝑡/2

=

𝑖,𝑗,𝑘 𝜀𝑥𝑥

𝑐0

𝑖,𝑗,𝑘

𝐸𝑥

𝑖,𝑗,𝑘

ห𝑡+∆𝑡 − 𝐸𝑥 𝛥𝑡

ห𝑡

SUITE .. Pour Hy :

Pour Ey :

Pour Hz :

Pour Ez :

Implémentation pour 1 D : Mode Ex/Hy et Ey/Hx ∆𝑥 = ∆𝑦 = 0

On prend :

~

𝑖,𝑗,𝑘 𝐻𝑥 ቚ

𝑡+𝛥𝑡Τ2

−

~

~

𝑖,𝑗,𝑘−1 𝐻𝑥 ቚ

𝑡+𝛥𝑡/2

𝛥𝑧

=

𝑖,𝑗,𝑘 𝜀𝑦𝑦

𝑐0

~

−

𝑖,𝑗,𝑘+1 𝐸𝑦 ห 𝑡

−

𝛥𝑧

𝑖,𝑗,𝑘 𝐸𝑦 ห 𝑡

=−

𝑖,𝑗,𝑘 𝐸𝑦 ห 𝑡+∆𝑡

𝑖,𝑗,𝑘 𝐻 ቚ 𝑖,𝑗,𝑘 𝑢𝑥𝑥 𝑥 𝑡+𝛥𝑡Τ2

𝑖,𝑗,𝑘 𝐸𝑧

𝑐0

=0

−

𝑖,𝑗,𝑘 𝐸𝑦 ห 𝑡

𝑖,𝑗,𝑘+1 𝐸𝑥 ห𝑡

𝛥𝑡

− 𝛥𝑡

𝛥𝑧

~

𝑖,𝑗.𝑘 𝐻𝑥 ቚ

−

𝑖,𝑗,𝑘 𝐸𝑥 ห𝑡

~

𝑖,𝑗,𝑘 𝐻𝑦 ቚ

𝑡−𝛥𝑡/2

−

~

𝑡+𝛥 𝑡

=−

𝑖,𝑗,𝑘−1

− 𝐻𝑦

ቚ

2

𝑖,𝑗,𝑘 𝑖,𝑗,𝑘 𝐻𝑦 ቚ 𝑢𝑦𝑦 𝑡+𝛥𝑡Τ2

𝑐0

𝑡+

𝛥𝑡 2

𝛥𝑧

~

𝑖,𝑗,𝑘

𝐻𝑧

~

𝑖,𝑗,𝑘

− 𝐻𝑦

ቚ

𝑡−𝛥𝑡/2

𝛥𝑡

=

𝑖,𝑗,𝑘 𝜀𝑥𝑥

𝑐0

=0

𝑖,𝑗,𝑘

𝐸𝑥

𝑖,𝑗,𝑘

ห𝑡+∆𝑡 − 𝐸𝑥 𝛥𝑡

ห𝑡

NOUVELLES EQUATIONS DE MIS À JOUR ~

𝐸𝑦𝑘 ቚ

𝑡+𝛥𝑡

𝑐0 𝛥𝑡 𝑘 = 𝐸𝑦 ቚ + 𝑘 𝑡 𝜀𝑦𝑦

𝐻𝑥𝑘 ቚ

~

𝑡+∆𝑡/2

− 𝐻𝑥𝑘−1 ቚ

𝑡+∆𝑡/2

𝛥𝑧

~

𝐻𝑥𝑘 ฬ

𝑐0 𝛥𝑡 = 𝐻𝑥𝑘 ฬ + 𝑘 𝜇𝑥𝑥 𝑡−∆𝑡/2 ~

𝑡+𝛥𝑡 /2

~

~

𝐻𝑦𝑘 ฬ 𝑡+𝛥𝑡 /2

=

~

𝐻𝑦𝑘 ฬ 𝑡−∆𝑡/2

𝑐0 𝛥𝑡 − 𝑘 𝜇𝑦𝑦

𝐸𝑥𝑘+1 ห𝑡

𝑘 = 𝑚𝐻 𝑥

𝑘 𝑐0 ∆𝑡/𝜇𝑥𝑥

−

𝛥𝑧

𝐸𝑥𝑘 ห𝑡

𝐸𝑥𝑘 ቚ

𝑡+𝛥𝑡

= 𝐸𝑥𝑘 ቚ − 𝑡

𝑐0 𝛥𝑡 𝑘 𝜀𝑥𝑥

𝐸𝑦𝑘+1 ห𝑡 − 𝐸𝑦𝑘 ห𝑡

𝐻𝑦𝑘 ቚ 𝑡+∆𝑡/2

𝛥𝑧

~

− 𝐻𝑦𝑘−1 ቚ

𝑡+∆𝑡/2

𝛥𝑧

On prend : 𝑚𝐸𝑘𝑦

𝑐0 ∆𝑡 = 𝑘 𝜀𝑦𝑦

𝑚𝐸𝑘𝑥

𝑐0 ∆𝑡 = 𝑘 𝜀𝑥𝑥

𝑘 = 𝑘 𝑚𝐻 𝑐 ∆𝑡/𝜇 0 𝑦𝑦 𝑦

Condition aux limites parfaite : Perfect Boundary Conditions Soit le cas de 1D pour le mode Ey/Hx , et on suppose qu’aux extrémités du matériau , l’espace libre a des caractéristiques identiques à ce dernier. Pour qu’on aura pas de

réflection de champ

~

A la limite de z initiale :

ℎ3 = ℎ 2

ℎ2 = ℎ1

~

ℎ1 = 𝐻𝑥1

A la limite de z fin :

𝑒3 = 𝑒2 𝑒2 = 𝑒1 𝑒1 =

𝐸𝑦1 ቚ

𝑡+𝛥𝑡

~

𝑁𝑧 𝐸𝑦

= 𝐸𝑦1 ቚ + 𝑚𝐸𝑘𝑦

𝑁

𝐻𝑥 𝑧 ฬ

𝑡+∆𝑡/2

𝐻𝑥1 ቚ

𝑡−∆𝑡/2

𝛥𝑧

𝑡

~

− ℎ3

𝑁

𝑁

= 𝐻𝑥 𝑧 ฬ

𝑡−∆𝑡/2

𝑘 + 𝑚𝐻 𝑥

𝑒3 − 𝐸𝑦 𝑧 ห 𝛥𝑧

𝑡

Critères et caractéristiques de la FDTD

La stabilité Une OEM propageant dans l’espace libre ne doit pas dépasser la vitesse de la lumière Pour que l’onde propage dans la distance

𝜂∆𝑧 ∆𝑡 = 𝑐0

d’une cellule on a besoin d’une durée de Si :

𝛥𝑥 = 𝛥𝑦 = 𝛥𝑧

=

𝛿

𝛥𝑡 ≤

𝜂𝛿 𝑐0 𝑛

Critère de stabilité de Courant-Friedrichs-Lewy :

∆𝑡 =

Pour 1 D

des méthodes FDTD . Les approximations de différences finies introduisent des inexactitudes dans la description des champs, surtout dans les régions de discontinuité et sur les frontières.

∆𝑡 =

2𝑐0

2𝛥𝑡 ≤

𝜂∆𝑧 3𝑐0

𝜂𝛥𝑧 𝑐0

𝜂

𝛥𝑡 ≤ 𝑐0

La condition de stabilité constitue une des limitations

𝜂∆𝑧

1 1 1 + + 𝛥𝑥 2 𝛥𝑦 2 𝛥𝑧 2 Diverses solutions : (i) maillages orthogonaux (ii) maillages localement raffinés

(iii) maillages « conformes » non cartésiens (iv) maillages non uniformes

La Dispersion numérique Lorsqu’un signal électromagnétique se propage dans un domaine de calcul maillé par les différences finies, il subit des transformations (distorsion, atténuation) dues aux effets dispersifs du maillage. Ces effets sont dus à la discrétisation qui donne une représentation approchée des signaux, mais aussi et surtout aux précisions des formulations utilisées pour approcher les dérivées partielles. En d’autres termes, cette dispersion dépend, d’une part, de la taille de la cellule dx , dy , dz par rapport à la plus petite longueur d’onde présente dans le spectre d’analyse, et d’autre part, de l’ordre de l’erreur commise lors de l’évaluation des dérivées partielles. En résumé, en choisissant une valeur d’incrément spatial inférieur à la valeur λ/10, il paraît juste de dire que le phénomène de dispersion est négligeable.

LA CONVERGENCE La convergence est la tendance d’un modèle numérique à approcher asymptotiquement une solution constante à mesurer lorsqu’on diminue la résolution de la grille et / ou le pas temporel .

Pour assurer la convergence du résultat :

𝜆𝑚𝑖𝑛  On doit trouver :

𝑐0 = 𝑓𝑚𝑎𝑥 𝑛𝑚𝑎𝑥 𝛥𝜆 ≤

𝜆𝑚𝑖𝑛ൗ 10

On va résoudre l’onde au moins dans 10 cellules :

 La résolution doit être suffisante à résoudre la plus petite dimension sur la grille.

𝛥𝑥 = 𝛥𝑦 = 𝛥𝑧 = 𝑚𝑖𝑛[𝛥𝜆 , 𝛥𝑑 ]

La source d’excitation L’impulsion Gaussienne 𝑔 𝑡 = 𝑒𝑥𝑝

𝑡 − 𝑡0 𝜏

2

𝑡0 ≈ 6𝜏

𝐺 𝑓

Pour ajouter la source aux champs, on ajoute la source au champ à un point donné sur la grille après la mise en jeux des champs. Cette méthode est appelée Simple Soft Source. Elle est plus efficace

que la méthode Simple Hard Source ou les champs sont remplacé par la source a un point sur la grille. La SSS permet l’onde à se propager dans les deux directions.

~

𝐻𝑥𝑘 ฬ

~

𝑡+∆𝑡/2

= 𝐻𝑥𝑘 ฬ

𝑡+∆𝑡/2

+ 𝑔𝐻 ቚ 𝑘

SSS = SIMPLE SOFT SOURCE

𝐸𝑦𝑘 ቚ

𝑡+𝛥𝑡

= 𝐸𝑦𝑘 ቚ

𝑡+𝛥𝑡

+ 𝑔𝐻 ቚ

𝑘

Calcul de nombre d'itérations Le temps de propagation des champs dans la grille entière est :

AVEC :

𝑡𝑝𝑟𝑜𝑝

𝑇 ≥ 12𝜏

𝑛𝑚𝑎𝑥 𝑁𝑧 𝛥𝑧 = 𝑐0

𝑇 ≥ 5𝑡𝑝𝑟𝑜𝑝

Donc le temps de propagation

complet maintenant est :

DONC :

𝑇 𝑁 = 𝑟𝑜𝑢𝑛𝑑 ↑ 𝛥𝑡

𝑇 = 12𝜏 + 5𝑡𝑝𝑟𝑜𝑝

ALGORITHME FDTD :

Conclusion Ce travail est une contribution à l'étude de la technique de modélisation et implémentation de la méthode FDTD. Nous avons utilisé pour cela la méthode des différences finies dans le domaine temporel ou FDTD (Finite-Difference Time-Domain). Nous avons vu que cette méthode de simulation numérique consiste à transformer les équations aux dérivées partielles que l’on veut résoudre soit dans le cadre de ce travail, les équations de Maxwell-Faraday et de Maxwell-Ampère sous leur forme locale et dans le domaine temporel en équations aux différences finies par la discrétisation à la fois temporelle et spatial. Le grille de Yee utilisée dans ce travail permet d’étudier en direct l’interaction de l’OEM et le structure a modéliser.

MERCI .. POUR VOTRE ATTENTION