Potensial Listrik

Potensial Listrik Sebagaimana halnya medan gaya gravitasi, medan gaya coulomb juga merupakan medan gaya konseravtif. Gerak partikel bermuatan q dalam ruang bermedan listrik dapat dianalogikan dengan gerak partikel bermassa m dalam medan gravitasi dekat permukaan bumi. Gaya konservatif Ingat bahwa untuk menguji apakah suatu gaya F merupakan gaya konservatif adalah bila

∇×F=0 dengan ∇ adalah operator differensial parsial, yang dalam koordinat kartesis bentuknya adalah

∇=

∂ ∂ ∂ i+ j+ k ∂x ∂y ∂z

Medan gaya coulomb mempunyai bentuk F = Kr −2 , dapat ditunjukkan bahwa gaya coulomb merupakan gaya konservatif. Untuk medan gaya yang bersifat konservatif ada fungsi potensial skalar (ingat kembali tentang potensial gravitasi). Untuk gaya konservatif, usaha yang dilakukan dari suatu tempat ke tempat lain hanya bergantung pada posisi awal dan akhirnya saja. Beda energi potensial antara dua titik adalah CK-FI112-03.1

B

U (B ) − U (A ) = −WAB = − ∫ F • ds A

Potensial listrik Potensial listrik merupakan besaran skalar yang berkaitan dengan kerja dan energi potensial pada medan listrik. Beda energi potensial dapat dituliskan B

B U (B ) U (A ) U (B ) − U (A ) = −q ∫ E • ds → − = − ∫ E • ds q q A A

Definisi potensial listrik

Jadi beda potensial antara dua tempat adalah

B

Medan listrik

ds θ

E

A B

V (B ) −V (A ) = − ∫ E • ds A

CK-FI112-03.2

Potensial listrik di sekitar muatan titik Medan listrik yang diakibatkan oleh muatan titik adalah E(r ) = k

q rˆ 2 r

B A

Karena E(r) berarah radial, maka E(r ) • ds = E (r )dr B

Sehingga

1

B

1

VB −VA = − ∫ E(r ) • ds = − ∫ E (r )dr = kq  −  A A  rB rA 

Jika dipilih V = 0 pada r = ∞, maka potensial listrik pada jarak r dari suatu muatan titik adalah

V (r ) = k

q r

Besaran potensial listrik di suatu tempat hanya mempunyai makna jika dibandingkan dengan potensial di tempat lain. Yang mempunyai makna fisis adalah beda potensial (ada titik acuannya). rA − rq

Dengan mengambil posisi ∞ sebagai titik acuan yang potensialnya nol (V(∞) = 0), maka potensial di suatu tempat akibat muatan titik q adalah

VA = k

q

A rA

rq

q rAq dengan rAq = rA − rq CK-FI112-03.3

Jika ada beberapa muatan titik, maka potensial di suatu titik dapat diperoleh dengan prinsip superposisi

 q1

VA =VAq 1 +VAq 2 +VAq 3 + ... +VAqn = k 

 rAq 1

+

q2 q  + ... + n  rAq 2 rAqn 

 q  = k∑ i    i =1  rAqi  n

Contoh bentuk potensial satu dimensi yang dihasilkan oleh dua buah muatan

−q 0

1

2

3

4

5

6

7

8

+q 0

1

2

+q

3

4

5

6

7

8

+2q

Untuk muatan yang terdistribusi kontinu akan diperoleh

VA = k

dq ∫ seluruh r muatan

Potensial Listrik dan Medan listrik Bila bentuk medan listrik telah diketahui, maka dapat diperoleh bentuk potensial listriknya dengan cara B

VB −VA = − ∫ E • ds A

CK-FI112-03.4

Sebaliknya medan listrik dapat diperoleh dari potensial dengan cara  ∂V ∂V ∂V  E = −∇V = − i+ j+ k  ∂ x ∂ y ∂ z   Dalam sistem koordinat Cartessian

Himpunan titik-titik dalam ruang yang mempunyai potensial yang sama dinamakan permukaan/garis equipotensial.

Plot 3 dimensi grafik potensial yang dihasilkan sebuah muatan titik

CK-FI112-03.5

Plot 3 dimensi grafik potensial yang dihasilkan oleh suatu dipol listrik

Peta kontur potensial yang dihasilkan suatu dipol

muatan negatif

muatan positif Peta kontur yang dihasilkan muatan +q dan +2q

+2q

+q

CK-FI112-03.6

Beberapa contoh
Tiga buah muatan titik q1 = q, q2 = −q, dan q3 = 2q yang masing-masing berada di titik (0,a), (a,0) dan (0,0). Tentukan potensial di titik P(a,a). Tentukan usaha yang diperlukan untuk membawa muatan sebesar Q dari titik S(2a,2a) ke titik P tersebut Tentukan usaha yang diperlukan untuk membawa muatan sebesar Q dari ∞ ke titik P tersebut r1 = a j

r2 = a i r3 = 0 q q  q VP =VP1 +VP2 +VP3 = k  1 + 2 + 3   rP1 rP2 rP3  2  kq  2  1 1 = kq  − + =   a a a 2   a  2

rP = a(i+j)

Usaha yang diperlukan untuk membawa muatan Q dari S ke P adalah

WS → P = Q (VP −VS ) 2  kq  2  =    a 5 a 5 a 8  2a  2  2kq   2kq  kq  = Q (VP −VS ) = Q  −  =Q   a 2 2a 2  a 2 

VS = kq  WS → P

1

−

1

+

Usaha yang diperlukan untuk membawa muatan Q dari ∞ ke P adalah

 2kq   a 2 

W∞ → P = Q (VP −V∞ ) = Q (VP − 0 ) = Q 

CK-FI112-03.7


Dua buah keping bermuatan masing-masing dengan rapat muatan σ dan −σ disusun sejajar. Keping pertama berada di x = 0 sedangkan keping kedua berada di x = d. Tentukan V(x).

Bentuk fungsi medan listrik σ 2ε i ; untuk x < 0  o  3σ E( x ) =  i ; untuk 0 < x < d 2 ε  o  σ i ; untuk x > d − 2 ε  o

d

Misalkan diambil potensial acuan pada keping yang kiri (keping yang terletak di x = 0) Maka Untuk x < 0 dengan E(x) = (σ/2εo)i x

σ σ x σx ' V (x ) −Vxo = − ∫ Edx ' = − ∫ dx ' = − dx = − ∫ 2ε o 0 2ε o 0 0 2ε o V (x ) =Vxo −

x

σ x 2ε o

Untuk 0 < x < d dengan E(x) = (3σ/2εo)i x x 3σ 3σ x 3σx V (x ) −Vxo = − ∫ Edx ' = − ∫ dx ' = − dx ' = − ∫ 2ε o 0 2ε o 0 0 2ε o

V (x ) =Vxo −

3σ x 2ε o

CK-FI112-03.8

Untuk x > d dengan E(x) = (−σ/2εo)i x d x σ 3σ dx ' − ∫ − dx ' V (x ) −Vxo = − ∫ Edx ' = − ∫ ε ε 2 2 0 0 d o o =−

3σd σx + 2ε o 2ε o



V (x ) = Vxo − 

Plot V(x)

3σd 2ε o

 σ σ  + x = Vxd + x εo  εo

Vxo

Vxd d


Fungsi potensial yang disebabkan suatu muatan titik

V (x , y , z ) =

adalah

kq

(x − x o )2 + (y − y o )2 + (z − z o )2

Tentukan fungsi medan listrik yang ditimbulkan muatan titik tersebut  ∂V ∂V ∂V   E(x , y , z ) = −∇V = − + + ∂ x ∂ y ∂ z   ∂ ∂  V = ∂x ∂x  = kq

kq

(x − x o )2 + (y − y o )2 + (z − z o )2

∂  ∂x  

   

1

(x − x o )2 + (y − y o )2 + (z − z o )2

   

1/r2 CK-FI112-03.9

kq ∂ (r ) 3/2 x ∂ 2r kq kq = − 3 / 2 (2(x − x o )) = − 3 / 2 (x − x o ) 2r r =−

dengan cara yang sama

kq ∂ V = − 3 / 2 (y − y o ) ∂y r kq ∂ V = − 3 / 2 (z − z o ) ∂z r

Medan listrik yang dihasilkan oleh muatan titik yang berada pada (xo,yo,zo)

Jadi

 (x − x )i + (y − y ) j + (z − z )k  o o o  E(x , y , z ) = kq  3 / 2  (x − x )2 + (y − y )2 + (z − z )2  o o o  

(

)


Dua kulit bola bermuatan yang jari-jarinya a dan b (a < b) masing-masing mempunyai rapat muatan σa dan σb. Keduanya disusun sepusat (konsentrik), kulit bola yang terluar digroundkan. Tentukan fungsi potensial di dalam dan di luar kulit bola tersebut.

σa a

b

σb

Dengan hukum gauss dapat diperoleh medan listrik yang dihasilkan oleh kedua kulit bola, yaitu E (r ) = 0 untuk r < a

σ aa 2 E (r ) = untuk a < r < b ε or 2 σ aa 2 + σ bb 2 E (r ) = untuk r > b ε or 2

CK-FI112-03.10

Sehingga bentuk potensialnya r

Untuk a
σ aa σ aa 2  1 1  1 =− dr ' =  −  ε o b∫ r '2 εo  r b  σ a a 2 σ aa 2 σ aa 2 σ a a 2 V (r ) =V (b ) + − = − ε or ε ob ε or ε ob Untuk r < a →

*

r

V (r ) −V (a ) = − ∫ Edr ' = 0 → V (r ) =V (a ) a

Sedangkan dari * diperoleh

σ aa 2  1 1  V (a ) =  −  εo  a b 

σ aa 2 + σ bb 2 r 1 Untuk r > b→ V (r ) −V (b ) = − ∫ r'2 dr ' εo b 2 2 σ a + σ bb  1 1  V (r ) = a  −  εo r b  Plot V(r) V ( r) Va a

b

r

CK-FI112-03.11