Poster - Exemplo 1

REPRESENTAÇÃO GRAFICA DE UMA FUNÇÃO 3D Autor

(emaildoautor)

Licenciatura em Matemática Aplicada (www.mct.uminho.pt/lma)

Escola de Ciências – Universidade do Minho (www.uminho.pt)

Sumário:

Neste trabalho, pretendeu-se executar a representação gráfica de uma função 3D em vários programas, tais como a calculadora VOYAGE 200, o EXCEL, o MATLAB, e por fim o MAPLE. Distinguindo assim, o funcionamento de cada um, e caracterizando cada um dos métodos executados. Concluindo-se assim que apesar de se tratar de programas diferentes, à excepção do Excel (em que é necessário a construção de uma tabela), o método de resolução e os gráficos obtidos são semelhantes.

Enunciado

Maple:

Neste trabalho, pretendeu-se representar graficamente e em vários programas distintos a seguinte função:

No programa Maple, introduzi a minha função, com o comando plot3d, anteriormente, para obtenção de gráficos 3d. No final da função, introduzi o domínio de z. No final da expressão, inseri um “;”. Tal como mostra a seguinte janela do Maple:

sin( x + y )

f ( x, yf)( x,=y) = sin( x + y)

x y

x y

2+

2+

Equação 1

π ] e y=[-6 π π ;6 ]. De domínio x=[-6π ;6

Resoluções

Figura 5 – janela de comandos do Maple e respectivo gráfico de z.

Excel: Para representar a função em Excel, foi necessário criar uma tabela, com os valores de x e y (nomeadamente o domínio)e nestes, fixar o máximo e o mínimo, e qual a formula da função, fixando para tal a letra na célula que representa o x, e o numero na célula que representa o y. Nomeadamente: -18,84956 -18,32596 -17,80236 -17,27876 -16,75516 -16,23156 -15,70796 -15,18436 -14,66077 -14,13717 -13,61357 -13,08997 -12,56637 -12,04277 -11,51917 -10,99557 -10,47198 -9,948377 -9,424778 -8,901179 -18,84956 -18,32596 -17,80236 -17,27876 -16,75516 -16,23156 -15,70796 -15,18436 -14,66077 -14,13717 -13,61357 -13,08997 -12,56637 -12,04277 -11,51917 -10,99557 -10,47198 -9,948377 -9,424778 -8,901179 -8,37758 -7,853982 -7,330383 -6,806784 -6,283185 -5,759587 -5,235988 -4,712389 -4,18879 -3,665191 -3,141593 -2,617994 -2,094395 -1,570796 -1,047198 -0,523599 -1,04E-14 0,523599 1,047198 1,570796 2,094395 2,617994 3,141593 3,665191 4,18879 4,712389 5,235988 5,759587 6,283185 6,806784 7,330383 7,853982 8,37758 8,901179 9,424778 9,948377 10,47198 10,99557 11,51917 12,04277 12,56637 13,08997 13,61357 14,13717 14,66077 15,18436 15,70796 16,23156 16,75516 17,27876 17,80236 18,32596 18,84956

4,9E-16 0,16745 0,29141 0,33813 0,29429 0,17077 7,6E-16 -0,17256 -0,3005 -0,34892 -0,30389 -0,17647 -2,1E-15 0,17862 0,31133 0,36183 0,31545 0,18339 3,5E-15 -0,18607 -0,32476 -0,378 -0,33009 -0,19224 -3,8E-15 0,19587 0,3427 0,4 0,35042 0,20484 4,1E-15 -0,21073 -0,37115 -0,43693 -0,38736 -0,23077 -5E-15 0,23077 0,38736 0,43693 0,37115 0,21073 4,2E-15 -0,20484 -0,35042 -0,4 -0,3427 -0,19587 -3,9E-15 0,19224 0,33009 0,378 0,32476 0,18607 3,8E-15 -0,18339 -0,31545 -0,36183 -0,31133 -0,17862 -5E-15 0,17647 0,30389 0,34892 0,3005 0,17256 6,1E-15 -0,17077 -0,29429 -0,33813 -0,29141 -0,16745 -7,1E-15

0,16588 0,28868 0,33494 0,29149 0,16914 7,5E-16 -0,17089 -0,29758 -0,34549 -0,30088 -0,17471 -2,1E-15 0,1768 0,30812 0,35806 0,31213 0,18143 3,5E-15 -0,18402 -0,32112 -0,37367 -0,32623 -0,18994 -3,7E-15 0,19338 0,33821 0,39455 0,34543 0,20177 4E-15 -0,20712 -0,36419 -0,4277 -0,37772 -0,22331 -4,6E-15 0,25 0,39927 0,44662 0,37772 0,21385 4,2E-15 -0,20712 -0,35388 -0,40354 -0,34543 -0,19728 -4E-15 0,19338 0,33188 0,37987 0,32623 0,18684 3,8E-15 -0,18402 -0,31644 -0,36285 -0,31213 -0,17903 -5E-15 0,1768 0,30439 0,34942 0,30088 0,17275 6,1E-15 -0,17089 -0,29445 -0,33827 -0,29149 -0,16747 -7,1E-15 0,16588

0,28591 0,33172 0,28868 0,16749 7,4E-16 -0,16921 -0,29463 -0,34205 -0,29786 -0,17294 -2E-15 0,17498 0,30492 0,3543 0,30881 0,17947 3,5E-15 -0,18198 -0,3175 -0,3694 -0,32242 -0,18767 -5E-15 0,19096 0,33385 0,38929 0,34064 0,19885 3,9E-15 -0,20377 -0,35785 -0,41955 -0,36962 -0,21767 -4,4E-15 0,23026 0,43301 0,46051 0,38618 0,21767 5E-15 -0,20978 -0,35785 -0,40754 -0,34849 -0,19885 -4E-15 0,19464 0,33385 0,38192 0,32783 0,18767 3,8E-15 -0,1847 -0,3175 -0,36396 -0,31299 -0,17947 -5E-15 0,17715 0,30492 0,34996 0,30128 0,17294 6,1E-15 -0,17103 -0,29463 -0,33843 -0,29158 -0,16749 -7,1E-15 0,16586 0,28591

0,32846 0,28583 0,16584 7,4E-16 -0,16752 -0,29167 -0,33859 -0,29482 -0,17117 -2E-15 0,17315 0,30171 0,35053 0,30549 0,17753 3,4E-15 -0,17995 -0,31392 -0,36516 -0,31866 -0,18544 -4,9E-15 0,18858 0,32958 0,38417 0,33601 0,19604 3,9E-15 -0,20061 -0,35196 -0,41213 -0,36247 -0,21293 -4,3E-15 0,2226 0,39834 0,5 0,39834 0,2226 5,1E-15 -0,21293 -0,36247 -0,41213 -0,35196 -0,20061 -4,7E-15 0,19604 0,33601 0,38417 0,32958 0,18858 3,8E-15 -0,18544 -0,31866 -0,36516 -0,31392 -0,17995 -5E-15 0,17753 0,30549 0,35053 0,30171 0,17315 6,1E-15 -0,17117 -0,29482 -0,33859 -0,29167 -0,16752 -7,1E-15 0,16584 0,28583 0,32846

0,28295 0,16416 7,3E-16 -0,16581 -0,28868 -0,33509 -0,29176 -0,16938 -2E-15 0,17132 0,29849 0,34675 0,30217 0,17557 3,4E-15 -0,17793 -0,31034 -0,36094 -0,31492 -0,18323 -4,9E-15 0,18624 0,3254 0,37916 0,33151 0,19333 3,8E-15 -0,1976 -0,34641 -0,40523 -0,35595 -0,20874 -5,7E-15 0,21681 0,3849 0,45939 0,43301 0,2297 5,3E-15 -0,21681 -0,36797 -0,41749 -0,35595 -0,20262 -5,5E-15 0,1976 0,33842 0,38665 0,33151 0,18958 3,9E-15 -0,18624 -0,31991 -0,36645 -0,31492 -0,18047 -5E-15 0,17793 0,30611 0,35115 0,30217 0,17338 6,1E-15 -0,17132 -0,29503 -0,33876 -0,29176 -0,16755 -7,1E-15 0,16581 0,28574 0,32832 0,28295

0,16246 7,2E-16 -0,16408 -0,28565 -0,33156 -0,28868 -0,16757 -2E-15 0,16947 0,29524 0,34296 0,29883 0,17362 3,3E-15 -0,17591 -0,30677 -0,35673 -0,3112 -0,18103 -4,8E-15 0,18393 0,32127 0,37425 0,3271 0,19068 5,1E-15 -0,19471 -0,34111 -0,39872 -0,34988 -0,20492 -5,6E-15 0,21194 0,37473 0,44366 0,39733 0,25 6,2E-15 -0,22183 -0,37473 -0,42387 -0,3606 -0,20492 -5,5E-15 0,19936 0,34111 0,38941 0,33364 0,19068 4,6E-15 -0,18712 -0,32127 -0,36786 -0,31601 -0,18103 -5E-15 0,17837 0,30677 0,35181 0,30266 0,17362 6,1E-15 -0,17148 -0,29524 -0,33894 -0,29187 -0,16757 -7,1E-15 0,16578 0,28565 0,32816 0,28278 0,16246

7,1E-16 -0,16233 -0,28259 -0,328 -0,28555 -0,16575 -2E-15 0,16761 0,29198 0,33913 0,29548 0,17165 3,3E-15 -0,17388 -0,30319 -0,35253 -0,30748 -0,17884 -4,8E-15 0,18164 0,31719 0,3694 0,32277 0,18809 5,1E-15 -0,1919 -0,33601 -0,39251 -0,34415 -0,20137 -5,5E-15 0,20762 0,36616 0,43174 0,3835 0,22909 6,8E-15 -0,22909 -0,3835 -0,43174 -0,36616 -0,20762 -5,6E-15 0,20137 0,34415 0,39251 0,33601 0,1919 5,3E-15 -0,18809 -0,32277 -0,3694 -0,31719 -0,18164 -5E-15 0,17884 0,30748 0,35253 0,30319 0,17388 6,1E-15 -0,17165 -0,29548 -0,33913 -0,29198 -0,16761 -7,1E-15 0,16575 0,28555 0,328 0,28259 0,16233 8,1E-15

-0,16056 -0,27949 -0,32438 -0,28239 -0,16391 -1,9E-15 0,16572 0,28868 0,33528 0,29209 0,16967 3,3E-15 -0,17184 -0,2996 -0,34831 -0,30377 -0,17665 -4,7E-15 0,17935 0,31314 0,36459 0,31849 0,18554 5E-15 -0,18916 -0,33106 -0,38652 -0,33868 -0,198 -5,4E-15 0,20368 0,35857 0,42169 0,37302 0,22098 6,2E-15 -0,25 -0,39622 -0,44197 -0,37302 -0,21085 -5,7E-15 0,20368 0,34762 0,396 0,33868 0,19326 5,3E-15 -0,18916 -0,32441 -0,37108 -0,31849 -0,1823 -5E-15 0,17935 0,30826 0,3533 0,30377 0,17416 6,1E-15 -0,17184 -0,29573 -0,33934 -0,29209 -0,16764 -7,1E-15 0,16572 0,28545 0,32782 0,28239 0,16219 8,1E-15 -0,16056

-0,27634 -0,32071 -0,27919 -0,16204 -1,9E-15 0,16382 0,28534 0,33138 0,28868 0,16767 3,2E-15 -0,16978 -0,29599 -0,34408 -0,30004 -0,17446 -4,7E-15 0,17707 0,3091 0,35982 0,31424 0,18302 6,2E-15 -0,18647 -0,32623 -0,38069 -0,33339 -0,19478 -5,3E-15 0,2 0,35163 0,41278 0,36419 0,21484 6E-15 -0,22842 -0,43301 -0,45683 -0,38197 -0,21484 -6,5E-15 0,20639 0,35163 0,4 0,34169 0,19478 5,3E-15 -0,19035 -0,32623 -0,37294 -0,31991 -0,18302 -5,1E-15 0,17991 0,3091 0,35414 0,30439 0,17446 6,1E-15 -0,17204 -0,29599 -0,33957 -0,29222 -0,16767 -7,1E-15 0,16569 0,28534 0,32763 0,28218 0,16204 8,1E-15 -0,16036 -0,27634

-0,31699 -0,27593 -0,16015 -1,9E-15 0,16188 0,28195 0,32743 0,28522 0,16565 3,2E-15 -0,16771 -0,29235 -0,33981 -0,29628 -0,17226 -4,6E-15 0,17478 0,30506 0,35505 0,31002 0,18052 6,2E-15 -0,18382 -0,32148 -0,375 -0,32825 -0,19168 -5,2E-15 0,19652 0,34514 0,40463 0,35634 0,20965 6,6E-15 -0,22005 -0,395 -0,5 -0,395 -0,22005 -6,6E-15 0,20965 0,35634 0,40463 0,34514 0,19652 6,1E-15 -0,19168 -0,32825 -0,375 -0,32148 -0,18382 -5,1E-15 0,18052 0,31002 0,35505 0,30506 0,17478 6,1E-15 -0,17226 -0,29628 -0,33981 -0,29235 -0,16771 -7,1E-15 0,16565 0,28522 0,32743 0,28195 0,16188 8E-15 -0,16015 -0,27593 -0,31699

-0,27262 -0,15822 -1,9E-15 0,15992 0,27852 0,32342 0,28171 0,16361 3,1E-15 -0,16562 -0,28868 -0,33551 -0,2925 -0,17004 -4,5E-15 0,17249 0,30101 0,35028 0,30579 0,17802 6,1E-15 -0,18119 -0,31678 -0,3694 -0,32322 -0,18865 -5,1E-15 0,19317 0,33899 0,397 0,34915 0,20504 6,4E-15 -0,2137 -0,38028 -0,45535 -0,43301 -0,22767 -6,8E-15 0,2137 0,36202 0,41008 0,34915 0,1985 6,8E-15 -0,19317 -0,33052 -0,3773 -0,32322 -0,1847 -5,4E-15 0,18119 0,31102 0,35605 0,30579 0,17514 6,1E-15 -0,17249 -0,2966 -0,34007 -0,2925 -0,16775 -7,1E-15 0,16562 0,28509 0,32721 0,28171 0,16171 8E-15 -0,15992 -0,27549 -0,31643 -0,27262

-0,15625 -1,8E-15 0,15792 0,27502 0,31935 0,27815 0,16153 3,1E-15 -0,16349 -0,28495 -0,33115 -0,28868 -0,1678 -4,5E-15 0,17018 0,29694 0,34549 0,30156 0,17553 6E-15 -0,17857 -0,31213 -0,36386 -0,31826 -0,18568 -6,4E-15 0,18994 0,33309 0,38976 0,34242 0,20081 6,3E-15 -0,20833 -0,36909 -0,43805 -0,39365 -0,25 -7,9E-15 0,21903 0,36909 0,41667 0,35388 0,20081 6,9E-15 -0,19488 -0,33309 -0,37987 -0,32517 -0,18568 -5,8E-15 0,18193 0,31213 0,35714 0,3066 0,17553 6,1E-15 -0,17275 -0,29694 -0,34036 -0,29266 -0,1678 -7,1E-15 0,16557 0,28495 0,32698 0,28145 0,16153 8E-15 -0,15967 -0,27502 -0,31584 -0,27206 -0,15625

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-0,32846 -0,28583 -0,16584 -7,1E-15 0,16752 0,29167 0,33859 0,29482 0,17117 8,6E-15 -0,17315 -0,30171 -0,35053 -0,30549 -0,17753 -1E-14 0,17995 0,31392 0,36516 0,31866 0,18544 1,2E-14 -0,18858 -0,32958 -0,38417 -0,33601 -0,19604 -1,1E-14 0,20061 0,35196 0,41213 0,36247 0,21293 1,3E-14 -0,2226 -0,39834 -0,5 -0,39834 -0,2226 -1,3E-14 0,21293 0,36247 0,41213 0,35196 0,20061 1,3E-14 -0,19604 -0,33601 -0,38417 -0,32958 -0,18858 -1,1E-14 0,18544 0,31866 0,36516 0,31392 0,17995 1,2E-14 -0,17753 -0,30549 -0,35053 -0,30171 -0,17315 -1,3E-14 0,17117 0,29482 0,33859 0,29167 0,16752 1,3E-14 -0,16584 -0,28583 -0,32846

-0,28591 -0,16586 -7,1E-15 0,16749 0,29158 0,33843 0,29463 0,17103 8,6E-15 -0,17294 -0,30128 -0,34996 -0,30492 -0,17715 -1E-14 0,17947 0,31299 0,36396 0,3175 0,1847 1,2E-14 -0,18767 -0,32783 -0,38192 -0,33385 -0,19464 -1,2E-14 0,19885 0,34849 0,40754 0,35785 0,20978 1,3E-14 -0,21767 -0,38618 -0,46051 -0,43301 -0,23026 -1,5E-14 0,21767 0,36962 0,41955 0,35785 0,20377 1,3E-14 -0,19885 -0,34064 -0,38929 -0,33385 -0,19096 -1,1E-14 0,18767 0,32242 0,3694 0,3175 0,18198 1,2E-14 -0,17947 -0,30881 -0,3543 -0,30492 -0,17498 -1,3E-14 0,17294 0,29786 0,34205 0,29463 0,16921 1,4E-14 -0,16749 -0,28868 -0,33172 -0,28591

-0,16588 -7,1E-15 0,16747 0,29149 0,33827 0,29445 0,17089 8,6E-15 -0,17275 -0,30088 -0,34942 -0,30439 -0,1768 -1E-14 0,17903 0,31213 0,36285 0,31644 0,18402 1,2E-14 -0,18684 -0,32623 -0,37987 -0,33188 -0,19338 -1,3E-14 0,19728 0,34543 0,40354 0,35388 0,20712 1,3E-14 -0,21385 -0,37772 -0,44662 -0,39927 -0,25 -1,5E-14 0,22331 0,37772 0,4277 0,36419 0,20712 1,3E-14 -0,20177 -0,34543 -0,39455 -0,33821 -0,19338 -1,1E-14 0,18994 0,32623 0,37367 0,32112 0,18402 1,2E-14 -0,18143 -0,31213 -0,35806 -0,30812 -0,1768 -1,3E-14 0,17471 0,30088 0,34549 0,29758 0,17089 1,4E-14 -0,16914 -0,29149 -0,33494 -0,28868 -0,16588

-7,1E-15 0,16745 0,29141 0,33813 0,29429 0,17077 8,6E-15 -0,17256 -0,3005 -0,34892 -0,30389 -0,17647 -1E-14 0,17862 0,31133 0,36183 0,31545 0,18339 1,2E-14 -0,18607 -0,32476 -0,378 -0,33009 -0,19224 -1,3E-14 0,19587 0,3427 0,4 0,35042 0,20484 1,4E-14 -0,21073 -0,37115 -0,43693 -0,38736 -0,23077 -1,6E-14 0,23077 0,38736 0,43693 0,37115 0,21073 1,4E-14 -0,20484 -0,35042 -0,4 -0,3427 -0,19587 -1,3E-14 0,19224 0,33009 0,378 0,32476 0,18607 1,2E-14 -0,18339 -0,31545 -0,36183 -0,31133 -0,17862 -1,3E-14 0,17647 0,30389 0,34892 0,3005 0,17256 1,4E-14 -0,17077 -0,29429 -0,33813 -0,29141 -0,16745 -1,5E-14

Calculadora: Insere-se a função em ‘Y=‘ e adapta-se a janela ao domino em ‘V-Window’. Traça-se o gráfico da função.  

        

Figura 1 – tabela de dados em Excel

De seguida, seleccionando todos os dados da tabela, desenhei o seguinte gráfico, sendo este do tipo surface. 0,5 0,4

0,4-0,5 0,3-0,4

0,3 0,2 0,1 0 -0,1 -0,2 -0,3

0,2-0,3 0,1-0,2 0-0,1 -0,1-0 -0,2--0,1 -0,3--0,2 S66

S53

S40

S27

S14

66 S1

53

40

27

-0,4--0,3 14

1

-0,4 -0,5

-0,5--0,4

Figura 6 – gráfico de z e respectiva janela de visualização.

Figura 2 – gráfico de z em Excel

Matlab: No programa Matlab, define-se o domínio da função, e usaπ se o ‘meshgrid’. Escolhe-se o tipo de gráfico com o comando ‘griddata’ e com ‘mesh’ desenha-se o gráfico da função.

Figura 3 – janela de comandos do Matlab

Ao introduzir o comando mesh(x,y,z), obtém-se o seguinte gráfico:

Discussão dos resultados e Conclusões Este trabalho teve como objectivo a representação gráfica de uma função 3d em vários programas diferentes, nomeadamente, Excel, Matlab, Maple e Calculadora. No decorrer do trabalho, pude chegar a conclusão que o trabalho foi mais moroso no Excel, pois aí foi necessário introduzir formulas e construir uma tabela de dados. Em contrapartida, nos outros programas, a realização do gráfico da função foi relativamente rápida, sendo o tempo gasto nos outros programas aproximadamente igual. Mais, além do Excel ser mais moroso que os outros programas, é um programa diferente, pois trata-se de uma folha de cálculo. Os outros programas apenas diferem nos comandos a introduzir. Concluindo, achei este trabalho interessante, devido ao facto de envolver diversas ferramentas, e recomendo que para trabalhos futuros que envolvam representações gráficas 3d, recorrerei ao Maple, pois, acho este programa mais indicado.

Figura 4 – gráfico de z no Matlab.

Trabalho realizado no âmbito da disciplina de Sistemas de Cálculo Algébrico e Numérico (www.dsi.uminho.pt/disciplinas/MASCAN) Guimarães, 30 de Dezembro de 2006