Persamaan Kuadrat

2008 Persamaan Kuadrat

Christhio Gunawan www.chrizzs.co.cc 10/20/2008

PENDAHULUAN Hallo, apa kabar? Baik-baik baik saja bukan? Anda tentu sudah siap untuk mempelajari modul ini. Kali ini Anda akan mempelajari modul berjudul “Persamaan Kuadrat” Pada modul ini, memang banyak ditemui banyak kesalahan. So pasti saya minta komentar anda bisa memberikan komentar atau anda dapat memberikan saran-saran saran ke www.chrizzs.co.cc Maksud dari pernyataan saya ini, saya ingin member memberi modul secara Cuma-cuma. Cuma Dan terima kasih juga kepada Tuhan Yang Maha Esa karena atas berkat--Nya, saya bisa menyelesaikan modul ini. Sekian dan Terima Kasih.

Page | 2

A.

Persamaan Kuadrat

1. Bentuk Umum Persamaan Kuadrat Definisi: Suatu persamaan yang ekuivalen dengan persamaan yang berbentuk
       0 Dimana a, b, dan c bilangan real dengan aa≠0 ≠0 dinamakan persamaan kuadrat satu peubah, persamaan berderajat dua, atau disingkat persamaan kuadrat. Dalam persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0, x dinamakan peubah ( variabel ), a dinamakan koefisien x2, b dinamakan koefisien x, c dinamakan konstanta. 2. Jenis-Jenis Jenis Persamaan Kuadrat jenis persamaan kuadrat ditentukan oleh konstanta a, b, dan c sehingga persamaan kuadrat Jenis-jenis dapat dikelompokkan sebagai berikut. (i) Jika a = 1, maka persamaan menjadi x2 + bx + c = 0 dan persamaan seperti ini disebut persamaan kuadrat biasa. (ii) Jika b = 0, maka persaman menjadi x2 + c = 0 dan persaman seperti ini disebut persamaan p kuadrat sempurna. (iii) Jika c = 0, maka persamaan menjadi ax2 + bx = 0 dan persamaan seperti ini disebut persamaan amaan kuadrat tak lengkap. (iv) Jika a, b, dan c bilangan-bilangan bilangan rasional maka ax2 + bx + c = 0 disebut persamaan kuadrat k rasional Akar Persamaan Kuadrat 3. Menentukan Akar-Akar Akar-akar akar persamaan kuadrat ax2 + bx +c = 0, a ≠ 0 adalah suatu bilangan real x0, sehingga ax02 + bx0 + c = 0 menjadi suatu pernyataan yang benar. Akar Akar-akar akar persamaan itu juga dinamakan pernyelesaian (solusi/jawab) persamaan kuadrat itu. Penyelesaian persamaan kuadrat dapat ditentukan dengan salah satu metode berikut ini. a. Metode faktorisasi (pemfaktoran) b. Metode melengkapkan kuadrat c. Metode rumus kuadrat (rumus abc) a. Menentukan Akar-Akar Akar Persamaan Kuadrat dengan Metode Faktorisasi

Teorema: Zero Factor Misalkan p dan q adalah bilangan real, maka pq = 0 jika dan hanya jika p =0 dan q =0

Page | 3

Untuk menentukan akar-akar akar persamaan kuadrat ax2 + bx +c = 0, a ≠ 0 dengan menggunakan metode pemfaktoran, maka bentuk kuadrat ax2 + bx +c difaktorkan menjadi faktor-faktor faktor linear kemudian dengan menerapkan teorema Zero Factor kita memperoleh akar-akarnya. akarnya. Contoh:    5  6  0

Penyelesaian: x2 + 5x + 6 = 0 (x+2) (x+3)=0 x1=-2 ; x2=-3

Cara ini merupakan cara yang lebih cepat, saya ingin jelaskan sedikit tentang cara ini, begini caranya. x2 +5x +6 = 0 (x+2) (x+3) = 0 Jadi, kalau anda mencoba kali masuk hasil sama, bukan?

Saya kira contoh faktorisasi sampai sini saja, karena menurut saya di kelas SMP sudah dipelajari. Jadi kalau belum mengerti silahkan masukkan komentar di chrizzs.blogspot.com b. Menentukan Akar-Akar Akar Persamaan Kuadrat dengan Metode Melengkapkan Kuadrat Bentuk-bentuk aljabar 25 = 52, 9x2 = (3x)2, x2 + 4x + 4 = (x+2)2 adalah bentuk kuadrat sempurna. Setiap bentuk kuadrat dapat diubah ke dalam bentuk kuadrat sempurna dengan suatu cara tertentu. Untuk menentukan akar-akar akar persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 ditempuh langkah-langkah langkah sebagai berikut. 1. Isolasi suku-suku suku yang memuat peubah pada salah satu ruas (sisi) 2. Jika koefisien dari x2 tidak 1, bagi kedua ruas dengan koefisien itu 3. Tambahkan kuadrat dari  koefisien x pada kedua ruas 4. Nyatakan kuadrat sempurna trinominal dari langkah 3 sebagai kuadrat suatu binomial 5. Tentukan penyelesaian dengan menarik akar menggunakan teorema berikut ini.

Jika a ≥ 0 dan berlaku x2 = a, maka x = ± √
ditulis x = √
atau x =  √


Page | 4

c. Menentukan Akar-Akar Akar Persamaan Kuadrat Menggunakan Metode Rumus Kuadrat (Rumus abc)

Akar-akar akar persamaan kuadrat ax2 + bx +c = 0, a ≠ 0 diberikan dengan rumus



  √   4
 2


dapat juga dituliskan sebagai 

 1    4
  2
2


Catatan : 1.

Penyelesaian itu kerap kali ditulis dengan indeks:  , 

  √   4
 2


atau  ,  2.

 1    4
  2
2


Cara penulisan x1,2 adalah singkatan dari x1 dan x2

4. Akar Pangkat Dua Bilangan Negatif a. Satuan Imajiner Akar dari suatu bilangan negatif dinamakan bilangan imajiner ( bilangan khayal atau bilangan tidak real ). Definisi: Bilangan √1 didefinisikan sebagai satuan imajiner dan ditulis dengan lambang “”. “ Jadi, √1 =  atau   = -1.

Page | 5

5. Jenis Akar Persamaan Kuadrat Dikaitkan dengan Nilai Diskriminan Pada persamaan kuadrat
       0, a, b, c є R, a ≠ 0, bilangan real b2 – 4ac dinamakan diskriminan dari persamaan kuadrat itu dan ditulis dengan D. Jadi D = b2 – 4ac Salah satu terapan dari konsep diskriminan adalah untuk mengetahui jenis (karakter) akar persamaan kuadrat tanpa menghitung terlebih dahulu akar akar-akarnya.

Jenis-jenis akar I.

D≥0, ≥0, memiliki akar akar-akar bilangan real : D>0, memiliki akar akar-akar bilangan real yg berbeda (x1 ≠x 2) D=0, memiliki akar akar-akar bilangan yang sama/kembar (x1 = x2)

II.

D=k2, memiliki akar akar-akar bilangan rasional (k=bilangan bulat)

III.

D≠k2, memiliki akar akar-akar bilangan irrasional

IV.

D<0, memiliki akar akar-akar tidak real (imajiner)

6. Rumus Jumlah dan Hasil Kali Akar Akar-Akar Persamaan Kuadrat Misalnya x1 dan x2 adalah akar persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0; a, b, c, є R dengan a ≠ 0, maka: 1. Jumlah akar-akar akar persamaan kuadratnya: x1 +x2 = 2. Hasil kali akar-akar akar persamaan kuadratnya: x1x2 =

   

7. Beberapa Penerapan Rumus Jumlah dan Hasil Kali Akar-Akar Akar Persamaan Kuadrat a. Menghitung Bentuk Simetri Akar Akar-Akar Persamaan Kuadrat Bentuk simetri akar-akar akar persamaan kuadrat dapat dihitung tanpa harus menyelesaikan persamaan kuadrat terlebih dahulu. Tetapi kita dapat menggunakan rumus jumlah dan hasil kali ka akar-akar persamaan kuadrat.

Page | 6

Beberapa rumus yang berkaitan dengan akar akar-akar persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0; a, b, c, є R dengan a ≠ 0, yang akar akar-akarnya x1 dan x2 adalah sebagai berikut. 1.      2.  .  

 

 

3.            2  4.           4  5.          4  6.            3      7.                      2    8.              9.            3           2√  10. √  √        2√  11. √  √  

Akar-Akarnya Akarnya Memiliki Sifat Tertentu b. Menghitung Koefisien Persamaan Kuadrat yang Akar Jika x1 dan x2 akar-akar akar persamaan kuadrat ax2+bx+c = 0. Maka.

TEOREMA

1. Akar – Akar berlawanan, syaratnya b = 0 2. Akar – Akarnya berkebalikan, syaratnya a = c 3. Salah satu akarnya nol, syaratnya c = 0 4. Kedua akarnya bertanda sama, syaratnya 5. Kedua akarnya berlainan, syaratnya

 

 

0

!0

Page | 7

c. Menyusun Persamaan Kuadrat 1. Menyusun Persaman Kuadrat yang Akar Akar-Akarnya diketahui a. Menggunakan perkalian fak faktor

TEOREMA Persamaan kuadrat yang akar akar-akarnya x1 dan x2 adalah (x – x1)(x – x2) = 0 b. Menggunakan rumus jumlah dan hasil kali Persamaan kuadrat yang akar akar-akarnya x1 dan x2 adalah

TEOREMA

x2 – x1  x2x  x1x2  0

Akar-Akarnya Akarnya Diketahui Memiliki Hubungan Dengan 2. Menyusun Persamaan Kuadrat Jika Akar Akar-Akar Akar Persamaan Kuadrat yang Diberikan Menyusun persamaan kuadrat jika akar-akarnya akarnya diketahui memiliki hubungan dengan akar-akar akar persamaan kuadrat yang diberikan dap dapat dilakukan dengan dua strategi. 1. Menggunakan rumus jumlah dan hasil kali akar akar-akar: 2 x – x1  x2x  x1x2  0 2. Penghapusan indeks, jika bentuk akar akar-akarnya simetri (setangkup)

Page | 8