Pertidaksamaan Kuadrat

PROGRAM PEMBELAJARAN MATEMATIKA

PERTIDAKSAMAAN KUADRAT UNTUK KELAS 1 SMU DISUSUN OLEH :

PADIYA,S.Pd. Pengajar Matematika SMU Negeri 1 Klik satu kali untuk lanjut. Rantau

TUJUAN PEMBELAJARAN Setelah mempelajari materi ini diharapkan siswa dapat : 1. Menyelesaikan pertidaksamaan linear. 2. Menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat dengan menggunakan sketsa grafik fungsi kuadrat. 3. Menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat dengan menggunakan garis bilangan. Klik satu kali untuk lanjut

DAFTAR ISI 1

Pertidaksamaan Linear.

2

Pertidaksamaan Kuadrat

3

Menyelesaikan Pertidaksamaan Kuadrat Dengan menggunakan sketsa grafik fungsi Kuadrat.. Menyelesaikan Pertidaksamaan Kuadrat Dengan menggunakan garis bilangan.

4

Pilih salah satu tekan (klik) tombol nomor.

PERTIDAKASAMAAN LINEAR Di SLTP Anda telah mempelajari cara penyelesaian pertidaksasamaan linear, seperti : 2x – 6 > 0 ⇒ 2x > 6 ⇒ x > 3 Penyelesaian tersebut dapat disajikan dengan garis bilangan sebagai berikut . 3

*) Garis yang dicetak tebal menunjukkan penyelesaian pertidaksamaan di atas. Penyelesaian 2x – 6 > 0 menunjukkan nilai-nilai x sedemikian sehingga ruas kiri pertidaksamaan bernilai positif (+). - - - - - - - - - - - - + + + + + + + + + + 3 *) x = 3 disebut pembuat nol. daerah penyelesaian 2x – 6 > 0

Dengan cara yang sama kita juga dapat menentukan daerah penyelesaian pertidaksamaan 2x – 6 < 0, sebagai berikut : 2x – 6 < 0 ⇒ 2x < 6 ⇒x<3 - - - - - - - - - - - - + + + + + + + + + + + 3 daerah penyelesaian 2x – 6 < 0

APAKAH ANDA SUDAH MEMAHAMI PELAJARAN DI ATAS BELUM/ULANGI SUDAH/LANJUTKAN

PERTIDAKSAMAAN KUADRAT A. Pengertian. Pertidaksamaan kuadrat adalah suatu pertidaksamaan yang variabelnya berpangkat paling tinggi 2. Bentuk umum pertidaksamaan kuadrat dalam x dapat dinyatakan dengan salah satu bentuk di bawah ini : (i) ax2 + bx + c > 0

(ii) ax2 + bx + c ≥ 0

(iii) ax2 + bx + c < 0

(iv) ax2 + bx + c ≤ 0

Dengan a, b, c dan x ε R, dan a ≠ 0. Contoh : 1). x2 – x – 6 > 0

2). 2x2 – x – 3 ≤ 0

B. Menyelesaikan Pertidaksamaan Kuadrat. Sebelum kita membahas cara menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat, perlu kita tinjau ulang pengertian tentang selang atau interval dan grafik fungsi kuadrat. Pengertian ini akan sangat membantu kita dalam menentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat. 1. Pengertian selang atau interval. Selang atau interval adalah himpunan bagian bilangan real R. Sebuah selang (interval) dapat dilukiskan pada garis bilangan real berbentuk ruas garis (segmen garis) yang ditandai lebih tebal pada selang (interval) yang bersesuaian. Berbagai kemungkinan selang (interval) yang sering kita jumpai dapat dilihat pada tabel berikut ini.

No.

Selang Atau Interval

1 2 3 4

a<x
5

x>b

6

x≥b

7 8

x < a atau x > b

x
x ≤ a atau x ≥ b

Grafik Selang a a a

b b

a b b a

b

a

b

Contoh : Grafik dari { x / 1 < x < 5 } adalah :

1

5

2. Pengertian Grafik Fungsi Kuadrat. Grafik fungsi kuadrat berbentuk parabola dengan persamaan y = f(x) = ax2 + bx + c, dengan a, b, c ε R dan a ≠ 0. Sifat-sifat grafik fungsi kuadrat (parabola) adalah : • Jika a rel="nofollow"> 0, maka parabola terbuka ke atas, dan jika a < 0 parabola terbuka ke bawah. •

Memotong sumbu X jika y = 0 atau ax2 + bx + c = 0, memotong sumbu Y jika x = 0 atau y = a.02 + b.0 + c

•

Titik potong dengan sumbu X ditentukan oleh nilai Diskriminan (D = b2 – 4.a.c). a. Jika D > 0 parabola memotong sumbu X di dua titik b. Jika D = 0 parabola menyinggung sumbu X. c. Jika D < 0 parabola tidak memotong sumbu X.

Macam-macam grafik fungsi kuadrat (parabola) dapat dilihat pada tabel di bawah ini : a<0

a >0 D>0

X

X

X D=0

X X

D<0 Definit positif

X

Definit negatif

Contoh : Diketahui persamaan parabola y = x2 – 7x + 10. Tentukan sifat-sifat dan gambar grafik parabola di atas ! Jawab : Pada persamaan parabola y = x2 – 7x + 10 nilai a = 1, b = -7, dan c = 10 . Karena nilai a = 1 ( a > 0), maka parabola terbuka ke atas. D = b2 – 4.a.c = (-7)2 – 4.1.10 = 49 – 40 = 9 . Karena D = 9 (D > 0), maka parabola memotong sumbu X di dua titik. Parabola memotong sumbu X jika y = 0 , maka x2 – 7x + 10 = 0 ⇔ (x – 2)(x – 5) = 0 ⇔ x = 2 atau x = 5 Jadi parabola memotong sumbu X di titik (2 , 0) dan (5 , 0). Parabola memotong sumbu Y, jika x = 0, maka : Y = 02 – 7.0 + 10 = 10. Jadi parabola memotong sumbu Y di (0,10)

Y

Kesimpulan :

(0,10)

Parabola y = x2 – 7x + 10, terbuka ke atas, memotong sumbu X di (2,0) dan (5,0), serta memotong sumbu Y di (0,10). Gambar grafiknya adalah sebagai berikut :

X 0

(2,0)

(5,0)

APAKAH ANDA SUDAH MEMAHAMI PELAJARAN DI ATAS BELUM/ULANGI SUDAH/LANJUTKAN

3. Menyelesaikan Pertidaksamaan Kuadrat dengan Sketsa Grafik Fungsi Kuadrat. Langkah-langkah : 1. Tentukan nilai a ( ke mana parabola terbuka). 2. Tentukan titik potong dengan sumbu X. 3. Menggambar sketsa grafiknya. 4. Memilih bagian grafik yang sesuai dengan pertidaksamaan kuadrat yang akan diselesaikan. Absis titik-titik pada bagian grafik yang terletak di atas sumbu X merupakan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan ax2 + bx + c >0 atau ax2 + bx + c ≥ 0. Absis titik-titik pada bagian grafik yang terletak di bawah sumbu X merupakan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan ax2 + bx + c < 0 atau ax2 + bx + c ≤ 0.

Contoh : 1.Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan x2 – 3x – 10 > 0. Jawab : x2 – 3x – 10 > 0 atau y = 1 x2 – 3x – 10 Nilai a = 1 (a > 0) , maka parabola terbuka ke atas Memotong sumbu X jika y = 0, maka

X -2

x2 – 3x – 10 = 0 (x – 5)(x + 2) = 0 x = 5 atau x = -2 Jadi parabola memotong sumbu X di (-2 , 0) dan (5 , 0)

5

X -2

5

Daerah himpunan penyelesaian HP = { x / x < -2 atau x > 5 }

Dari sketsa grafik di atas terlihat bahwa absis titik-titik pada bagian grafik yang terletak di atas sumbu X adalah: x < -2 atau x > 5 Dengan demikian himpunan penyelesaiannya adalah : { x / x < -2 atau x > 5 }

2.Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan x2 – 2x – 3 ≤ 0. Jawab : x2 – 2x – 3 ≤ 0 atau y = 1 x2 – 2x – 3 Nilai a = 1 (a > 0) , maka parabola terbuka ke atas Memotong sumbu X jika y = 0, maka

X -1

x2 – 2x – 3 = 0 (x – 3)(x + 1) = 0 x = 3 atau x = -1 Jadi parabola memotong sumbu X di (-1 , 0) dan (3 , 0)

3

Daerah himpunan penyelesaian HP = {x / -1 ≤ x ≤ 3}

X -1

3

Dari sketsa grafik di atas terlihat bahwa absis titik-titik pada bagian grafik yang terletak di bawah sumbu X adalah: -1≤ x ≤ 3 Dengan demikian himpunan penyelesaiannya adalah : { x / -1 ≤ x ≤ 3 }

APAKAH ANDA SUDAH MEMAHAMI PELAJARAN DI ATAS BELUM/ULANGI SUDAH/LANJUTKAN KE UJI PEMAHAMAN

4. Menyelesaikan Pertidaksamaan Kuadrat dengan Menggunakan Garis Bilangan. Langkah-langkah : 1. Menentukan pembuat nol dari ruas kiri pertidaksamaan. 2. Membuat garis bilangan beserta pembuat-pembuat nol ruas kiri. 3. Menentukan tanda dari nilai ax2 + bx + c pada masing-masing interval dengan cara mengambil titik-titik uji yang sesuai. 4. Menentukan penyelesaian pertidaksamaan yang diberikan dengan memilih tanda pada interval yang sesuai. Contoh : 1. Tentukan himpunan penyelesaiaan pertidaksamaan x2 + x – 6 < 0.

Jawab : x2 + x – 6 < 0 -) pembuat nol ruas kiri x2 + x – 6 = 0 (x + 3)(x – 2) = 0

-4

-3

0

2

x = -3 atau x = 2 -) mengambil titik-titik uji pada masing-masing interval: x = -4 pada interval sebelah kiri x=0

pada interval tengah

x=3

pada interval sebelah kanan

3

-) menentukan tanda x2 + x – 6 pada masing-masing interval. ++++++++ ---------- ++++++++

-4

-3

0

2

3

Titik uji

Nilai x2 + x - 6

Tanda

x = -4

(-4)2 + (-4) – 6 = 6

+ atau > 0

x=0

02 + 0 – 6 = -6

- atau < 0

x=3

32 + 3 – 6 = 6

+ atau > 0

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah { x / -3 < x < 2 } ++++++++ ---------- ++++++++

-4

-3

0

2

3

Berdasarkan tanda-tanda pada garis bilangan di atas, maka himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan x2 + x – 6 < 0 adalah interval yang bertanda negatif atau < 0 yaitu. -3 < x < 2

2. Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan x2 + 3x – 10 ≥ 0 Jawab : x2 + 3x – 10 ≥ 0 -) pembuat nol ruas kiri

-6

-5

0

2

x2 + 3x – 10 = 0 (x + 5)(x – 2) = 0 x = -5 atau x = 2 -) mengambil titik-titik uji pada masing-masing interval: x = -6 pada interval sebelah kiri x=0 x=3

pada interval tengah pada interval sebelah kanan

3

-) menentukan tanda x2 + 3x – 10 pada masing-masing interval. ++++++++ ---------- ++++++++

-6

-5

0

2

3

Titik uji

Nilai x2 + 3x - 10

Tanda

x = -6

(-6)2 + 3(-6) – 10 = 8

+ atau > 0

x=0

02 + 3(0) – 10 = -10

- atau < 0

x=3

32 + 3(3) – 10 = 8

+ atau > 0

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah { x / x ≤ -5 atau x ≥ 2 } ++++++++ ---------- ++++++++

-6

-5

0

2

3

Berdasarkan tanda-tanda pada garis bilangan di atas, maka himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan x2 + 3x – 10 ≥ 0 adalah interval yang bertanda positif atau > 0 yaitu. x ≤ -5 atau x ≥ 2

APAKAH ANDA SUDAH MEMAHAMI PELAJARAN DI ATAS BELUM/ULANGI SUDAH/LANJUTKAN KE UJI PEMAHAMAN

UJI PEMAHAMAN Pilihlah satu jawaban yang paling benar dengan menekan tombol Huruf di depan masing-masing jawaban 1. Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan x2 + x – 2 ≥ 0 adalah ….. a

{ x | x ≤ -2 atau x ≥ 1 }

b

{ x | x ≤-2 atau x ≥ -1}

c

{ x | -2 ≤ x ≤ 1 }

d

{ x | -1 ≤ x ≤ 2 }

e

{ x | x ≤ -1 atau x ≥ 2 }

UJI PEMAHAMAN Pilihlah satu jawaban yang paling benar dengan menekan tombol Huruf di depan masing-masing jawaban 2. Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan x2 -3x – 10 < 0 adalah ….. a

{x| x>5}

b

{x|0<x<5}

c

{ x | -2 < x < 5 }

d

{x| x≤2}

e

{ x | -5 < x < 2 }

UJI PEMAHAMAN Pilihlah satu jawaban yang paling benar dengan menekan tombol Huruf di depan masing-masing jawaban 3. Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan x2 + x – 6 ≤ 0 adalah ….. a

{ x | x ≤ -3 atau x ≥ 2 }

b

{ x | x ≤ -2 atau x ≥ 3}

c

{ x | -2 ≤ x ≤ 3 }

d

{ x | -3 ≤ x ≤ -2 }

e

{ x | -3 ≤ x ≤ 2 }

UJI PEMAHAMAN Pilihlah satu jawaban yang paling benar dengan menekan tombol Huruf di depan masing-masing jawaban 4. Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan x2 – 7x + 10 < 0 adalah ….. a

{ x | x < -5 atau x > 2 }

b

{ x | x < -2 atau x > 5}

c

{ x | -2 < x < 5 }

d

{x|2<x<5}

e

{ x | x < 2 atau x > 5 }

UJI PEMAHAMAN Pilihlah satu jawaban yang paling benar dengan menekan tombol Huruf di depan masing-masing jawaban 5. Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan x2 + 4x – 12 ≥ 0 adalah ….. a

{ x | x ≤ -2 atau x ≥ 6 }

b

{ x | x ≤ -6 atau x ≥ 2}

c

{ x | -2 ≤ x ≤ 6 }

d

{ x | -6 ≤ x ≤ 2 }

e

{ x | x ≤ -6 atau x ≥ -2 }

SELESAI Klik di sini untuk belajar kembali Tekan tombol Esc untuk keluar.

KLIK DI SINI UNTUK MENGULANG

KLIK DI SINI UNTUK MENGULANG

Klik di sini untuk mengulang

Klik di sini untuk mengulang

Klik di sini untuk mengulang