Pers Legendre Aplikasi Baru

TUGAS NILAI AWAL SYARAT BATAS Kelompok : 1. Ima Pratiwi Margiana

(060458)

2. Resty Febriani Jayanti

(060474)

3. Indah Purwanti

(060478)

Matematika 7 A

MATEMATIKA FISIKA Persamaan Legendre Aplikasi persamaan diferensial Persamaan diferensial

(1 − x ) y − 2x y + p( p + 1) y = 0 2

"

'

…….(*)

di mana p suatu konstanta, disebut persamaan Legendre,. Penyelesaian (*) sangat penting dalam banyak cabang matematik terapan. Sebagai contoh, persamaan Legendre muncul dalam kajian persamaan potensial dalam koordinat bola. Jelaslah, persamaan potensial ∂2V ∂ V ∂2V + + =0 ∂y 2 ∂x 2 ∂z 2 2

dipetakan ke koordinat bola x = r sin θ cos φ, menjadi

y = r sin θ sin φ,

z = cos θ

1 ∂2V cot θ ∂V 1 ∂2V ∂2V 2 ∂V + + + + =0 r ∂r r 2 ∂θ 2 r2 r 2 sin 2 θ ∂φ2 ∂r 2

Jika kita tertarik pada penyelesaian yang bebas dari θ berbentuk V = rpθ , dimana θ merupakan fungsi dari θ saja, kita dapatkan dΘ ∂2 Θ + cot θ + p ( p +1)Θ= 0 2 dθ ∂θ

Dengan menggunakan penggantian peubah x = cosθ dan mengganti θ dengan y, kita peroleh persamaan Legendre (*). Jika p bilangan bulat taknegatif, salah satu penyelesaian dari Persamaan (*) di sekitar titik biasa x0 = 0 berbentuk polinom.