Aplikasi Legendre

Nama Kelompok : Emma Syafiah (060484) Rasminah (060503)

APLIKASI PERSAMAAN LEGENDRE Polinom Legendre Persamaan differensial Legendre merupakan persamaan differensial yang berbentuk

dengan l adalah konstanta. Persamaan differensial tersebut akan banyak dijumpai manakala menyelesaikan persamaan differensial parsial dalam sistem koordinat bola. Solusi persamaan differensial tersebut adalah dalam bentuk polinomial yang dikenal sebagai polinom Legendre. Misalkan solusi untuk y berbentuk deret pangkat dalam x

turunan pertama dan keduanya adalah

Substitusikan ke persamaan differensial Legendre tersebut di atas akan menghasilkan

Bila disusun dalam bentuk tabel agar lebih mudah dianalisa

Bila koefisien dari masing-masing suku pangkat x tersebut dijumlahkan, masing-masing harus memberikan nilai sama dengan nol agar persamaan differensial tersebut terpenuhi. Artinya

yang memberikan nilai konstanta a:

Sedangkan dari koefisien xn diperoleh

Dapat diperoleh hubungan antara an+2 dengan an, yaitu

Artinya untuk n genap, koefisien an dapat dinyatakan dalam a0, sedangkan untuk suku yang ganjil dapat dinyatakan dalam a1. Dengan demikian solusi dari persamaan Legendre dapat dinyatakan dalam a0 dan a1:

Deret tersebut konvergen untuk x2 < 1 sedangkan bila x2 = 1 deret tersebut menjadi bersifat divergen. Dalam banyak penggunaannya di bidang Fisika, x adalah nilai cosinus dari suatu sudut θ dan konstanta l adalah bilangan bulat bukan negatif. Tinjau kasus untuk l = 0. Untuk kasus ini deret a1 dapat dituliskan menjadi: yang bersifat divergen. Sedangkan untuk deret a0 dituliskan menjadi yang artinya bersifat konvergen. Untuk l = 1, deret a0 bersifat divergen (pada x2 = 1) sedangkan a1 bersifat konvergen. Secara umum dapat digeneralisasi bahwa untuk nilai l tertentu, salah satu deret bersifat konvergen sementara deret yang satunya lagi divergen pada x2 = 1. Dengan demikian untuk suatu harga l tertentu terdapat polinom untuk y, misalnya untuk Dengan demikian untuk suatu harga l tertentu terdapat polinom untuk y, misalnya untuk l = 0 →y = a0; untuk l = 1→y = a1x dan seterusnya. Masing-masing mempunyai konstanta a0 ATAU a1. Jika konstanta tersebut dipilih sedemikian agar diperoleh nilai y = 1 untuk x = 1, maka diperoleh suatu suku banyak yang dinamakan POLINOM LEGENDRE, yang dituliskan sebagai Pl(x). Misalkan untuk l = 0, maka y = a0. Agar y = 1, maka artinya a0 = 1. Dinyatakan P0(x) = 1. Untuk l = 1 telah diperoleh bahwa y = a1x. Agar y = 1 untuk x = 1, maka artinya a1 = 1 sehingga dinyatakan P1(x) = x. Untuk l = 2, diperoleh y = a0(1 −3x2). Agar y = 1 untuk x = 1, maka artinya a0 = −1/2, sehingga

Dengan cara yang sama dapat diperoleh ungkapan untuk P3(x), P4(x) dan seterusnya. Berikut ini adalah polinom Legendre untuk beberapa nilai l:

Polinom Legendre Pl(x) tersebut sering disebut juga sebagai FUNGSI LEGENDRE JENIS PERTAMA. Terdapat juga FUNGSI LEGENDRE JENIS KEDUA yang merupakan solusi untuk setiap l yangberupa deret tak hingga. Fungsi jenis kedua ini biasanya dilambangkan dengan Ql(x) namun penggunaannya tidak sesering fungsi jenis pertama. Plot fungsi Legendre jenis pertama untuk l = 2, 3, 4 dan 5.

Polinom Legendre juga dapat diperoleh menggunakan rumus Rodrigues, yaitu

Fungsi Pembangkit untuk Polinom Legendre Fungsi berikut ini dinamakan fungsi pembangkit untuk polinom Legendre:

Fungsi tersebut bila diuraikan dalam deret pangkat menghasilkan:

Polinom Pl(x) tersebut bila dihitung untuk nilai x=1 akan memberikan

dengan demikian haruslah terpenuhi bahwa Pl(1) = 1 yang merupakan sifat polinom Legendre. Dapat ditunjukkan pula bahwa polinom Pl(x) tersebut memenuhi persamaan Legendre.

Hubungan rekursif pada polinom Legendre:

Hubungan rekursif tersebut dapat digunakan untuk mencari polinom Legendre untuk l tertentu bila diketahui polinom dengan l yang lebih kecil. Misalnya, karena P0(x) = 1 dan P1(x) = x, maka

Contoh penggunaan polinom Legendre dan fungsi pembangkit dalam persoalan elektrostatik: Potensial elektrostatik pada jarak d dari sebuah muatan titik adalah

dapat dinyatakan

Maka

Kuntitas dalam kurung siku tersebut mempunyai bentuk yang sama dengan fungsi pembangkit Φ sehingga

Jika terdapat banyak beberapa muatan qi pada posisi ri maka potensial oleh salah satu muatan qi adalah

dan potensial total akibat seluruh muatan adalah

Orthogonalitas dan Normalisasi Polinom Legendre Dua buah fungsi A(x) dan B(x) dikatakan ortogonal pada selang (a,b) jika

Jika keduanya merupakan fungsi komplex, maka syarat ortogonalnya menjadi

Jika terdapat sekumpulan fungsi An(x) dengan n = 1,2,3, ... dan

maka dikatakan bahwa An(x) adalah kumpulan fungsi yang ortogonal. Contohnya adalah fungsi sin nx yang merupakan fungsi ortogonal pada selang (−π,π). Polinom Legendre juga merupakan fungsi yang ortogonal pada selang (−1,1) dan dinyatakan

Hal ini dapat dibuktikan sebagai berikut: Substitusi polinom Legendre Pl(x) ke persamaan Legendre menghasilkan:

dan untuk polinom Legendre Pm(x)

Bila persamaan (*) dikalikan dengan Pm(x) diperoleh

Bila persamaan (**) dikalikan dengan Pl(x) diperoleh

Kemudian kedua persamaan terakhir dikurangkan sehingga diperoleh

Bila diintegralkan dari −1 sampai 1 akan didapat:

Karena suku dalam kurung pada baris terakhir tersebut umumnya tidak sama dengan nol (kecuali bila l = m), maka yang harus bernilai nol adalah integral tersebut dengan demikian didapat bahwa

Karena sembarang polinom orde n dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari polinom Legendre orde ≤ n, maka artinya

Besar suatu fungsi A(x) pada selang (a,b) dinyatakan dengan

Artinya jika fungsi A(x) tersebut dibagi dengan N, maka besarnya menjadi 1. N−1 disebut sebagai factor normalisasi. Untuk polinom Legendre dapat dinyatakan (dengan menggunakan hubungan rekursif):

bila persamaan tersebut dikalikan dengan Pl(x), maka akan menjadi

kemudian bila diintegralkan antara −1 sampai 1 akan didapat:

Karena ' Pl-1 dapat dinyatakan sebagai polinom dengan derajat kurang dari l, maka integral kedua pada persamaan di atas sama dengan nol. Dengan demikian:

Kemudian bila diselesaikan dengan cara integral parsial (ambil u = x/2 dan dv = d(Pl2)) maka integral tersebut menjadi

karena Pl(-1) = (-1)l, maka Pl(-1) akan bernilai −1 jika l ganjil dan bernilai 1 jika l genap. Untuk l yang sembarang maka akan diperoleh (Pl(-1))2 = 1 sehingga persamaan di atas menjadi

Dengan demikian

Maka bila sifat ortogonal dan normalisasi digabungkan menjadi satu ungkapan, akan diperoleh ungkapan ortonormal untuk polinom Legendre yaitu yang dinyatakan

Karena polinom-polinom Legendre merupakan kumpulan yang ortogonal lengkap pada selang (−1,1), maka kita dapat mengekspansi suatu fungsi dengan menggunakan deret Legendre. Caranya sama dengan saat kita menggunakan deret Fourier untuk mengekspansi suatu fungsi. Misalkan suatu fungsi yang dinyatakan dengan f(x) di mana:

Jika fungsi f(x) tersebut akan diekspansikan menggunakan deret Legendre maka artinya fungsi f(x) tersebut dinyatakan sebagai kombinasi linier dari polinom Legendre:

dengan cl adalah koefisien yang akan dicari. Bila persamaan di atas dikalikan dengan polinom Legendre kemudian diintegralkan dalam selang −1 sampai 1 maka akan diperoleh

dengan menggunakan sifat ortonormalitas polinom Legendre, maka didapat

Dengan demikian maka:

Sehingga dapat dinyatakan

Fungsi Legendre Terasosiasi Persamaan differensial berikut sangat erat kaitannya dengan persamaan Legendre:

Solusi persamaan tersebut adalah :

yang disebut sebagai fungsi Legendre terasosiasi dan dituliskan sebagai Plm(x) jadi:

Dapat juga dinyatakan menggunakan rumus Rodrigues:

Untuk harga m tertentu, fungsi Legendre terasosiasi juga merupakan kumpulan fungsi ortogonal pada selang (−1,1). Konstanta normalisasi fungsi Legendre terasosiasi adalah: