Aplikasi Polinomial Legendre

Nama anggota

:1. Intan Mulya Sari 2. Nike Hardiani Sari 3. Rury Indriyani

Semester/Kelas Mata Kuliah

(070816) (070779)

(070842)

: V/B : Nilai Awal dan Syarat Batas

APLIKASI POLINOMIAL LEGENDRE Sebuah polinomial adalah jumlah yang terbatas istilah seperti

k

x

k,

di mana k

adalah bilangan bulat positif atau nol. Ada himpunan polynomial sedemikian sehingga

dari setiap dua

produk yang berbeda, dikalikan dengan fungsi w (x)

disebut fungsi berat dan terpadu atas interval

tertentu.

Seperti satu himpunan

disebut satu himpunan ortogonal polynomial. Antara lain, fungsi ini memungkinkan untuk memperluas sembarang fungsi f (x) sebagai jumlah dari polinomial, masingmasing dikalikan dengan koefisien c (k), yang dengan mudah dapat

ditentukan

oleh integrasi. Sebuah deret Fourier adalah serupa, tetapi bukan fungsi ortogonal polinomial. Fungsi-fungsi ini juga dapat digunakan untuk menetapkan dasar hukum dalam mekanika kuantum, yang harus ortogonal. Polinomial Legendre P n (x), n = 0, 1, 2 adalah ortogonal pada interval dari -1 ke +1, yang dinyatakan oleh integral

. Kronecker delta adalah nol jika n ≠ m, dan kesatuan jika n = m. Pada kebanyakan aplikasi, x = cos θ, dan θ bervariasi dari 0 sampai π. Dalam kasus ini, dx = sin θ dθ, tentu saja.

Polinomial Legendre adalah kasus khusus yang lebih

umum dari polinomial Jacobi P

(α, β)

n

(x) ortogonal pada (-1,1). Dengan perubahan

yang sesuai variabel, kisaran dapat diubah dari (-1,1) untuk yang sebarang (a, b). Fungsi berat w (x) dari polinomial Legendre adalah kesatuan, dan inilah yang mencirikan mereka dari yang lain dan menentukannya. Lengendre polinomial yang sangat jelas didorong oleh sebuah masalah yang sering muncul. Misalnya, kita memiliki muatan listrik q di titik Q, posisi asal di O,

dan kita menginginkan potensi di beberapa titik P. Jarak PO diambil sebagai persatuan. Kalikan semua jarak dengan jarak sebenarnya PO dalam kasus tertentu. Potensi karena perkiraan ini adalah q / R. Kita dapat menemukan R sebagai fungsi dari r dan θ oleh Hukum cosinus: R

2

=1+r

2

- 2r cos θ = 1 - 2rx + r

2,

di mana x =

cos θ. Sekarang kita memperluas 1 / R dalam kekuatan r, menemukan 1 / R = Σ P

n

n.

(x) r . Fungsi 1 / R adalah disebut fungsi pembangkit dari polinomial Legendre, dan dapat digunakan untuk menyelidiki nilai fungsi tersebut. Fungsi-fungsi pembangkit tersedia untuk sebagian besar ortogonal polinomial, tetapi hanya dalam kasus Legendre apakah fungsi pembangkit memiliki makna yang jelas dan sederhana?. Jika kita membiarkan x = 1, kita menemukan bahwa P

n

(1) = 1, dan P

n

(-1) = (-1) n..

Dengan mengambil derivatif parsial dari 1 / R terhadap x dan r, dan kemudian mengingat koefisien kekuatan individu r, kita dapat menemukan sejumlah hubungan

antara

polinom

dan

turunannya.

menemukan hubungan rekursi, (n + 1) P

n +1

ini

dapat

(x) = (2n + 1) x P

persamaan diferensial dipenuhi oleh yang polinomial, (1 - x (n + 1) P

n

dimanipulasi

2)

n

P

(x) - n P "n

n-1

(x)-2x P

1

(x), dan (x) + n

(x) = 0. terulangnya hubungan yang memungkinkan kita untuk

menemukan semua polinomial, karena mudah untuk menemukan bahwa P P

'n

untuk

0

(x) = 1,

(x) = x langsung dari fungsi pembangkit. Persamaan diferensial memungkinkan

kita untuk menerapkan polinomial untuk masalah-masalah yang timbul dalam matematika dan fisika, antara lain yang merupakan masalah penting, misalnya solusi

dari

persamaan

Laplace

dan

harmonik

sferis.

Hubungan

berulang

menunjukkan bahwa koefisien An adalah kekuasaan yang tertinggi dari x memenuhi hubungan A

n +1

= (2k + 1) / (k + 1) A

n,

dan sebagainya dari koefisien dikenal untuk

n = 0,1 dapat ditentukan bahwa koefisien kekuasaan tertinggi dari x dalam P

n

adalah 1.3.5 ... (2n-1) / n! Polinomial juga dapat ditemukan dengan memecahkan persamaan diferensial dengan menentukan koefisien seri kekuasaan dalam persamaan

yang dapat

diganti. Metode ini sering digunakan dalam teks mekanika kuantum (lihat Referensi 3), karena biasanya mahasiswa tidak mengenal matematika ortogonal polynomial. Metode ini tidak dapat digunakan untuk menyelidiki sifat polinomial secara rinci, namun hanya menghasilkan polinomial individu itu sendiri. Perhatikan polinomial G n

(x) = d

n

/ dx

n

(x

2

- 1)

n.

. Kuantitas yang dibedakan memang merupakan

polinomial derajat 2n. Ketika berbeda n kali, misalnya n adalah ganjil atau genap. Koefisien kekuasaan tertinggi dari x adalah 2n (2n-1) (2n-2 )...( n +1), dan dua polinomial pertama adalah 1 dan 2x. G (x) diganti dalam hubungan perulangan untuk polinomial Legendre. Jika kita membagi G (x) dengan konstanta 2 kedua polinomial pertama adalah 1 dan x. Oleh karena itu, P dx

n

2

(x

- 1)

n.

n

n

(x) = (1 / 2

n!, Maka n

n!) D

n

/

Ini disebut Rodrigues's formula yang serupa dengan rumus polinomial

ortogonal lain. Keuntungan yang besar dari Rodrigues 'formula adalah bentuk sebagai turunan n. Ini berarti bahwa dalam integral, dapat digunakan berulang kali dalam integrasi dengan bagian-bagian untuk mengevaluasi integral. Orthogonal dari polinomial Legendre berikut sangat tepat ketika rumus Rodrigues digunakan.. Ada rumus Rodrigues yang digunakan banyak orang, tapi tidak semua, ortogonal polinomial.. Ini dapat digunakan untuk mencari hubungan persamaan diferensial, dan banyak sifat lainnya. Untuk mencari solusi bagi persamaan Laplace dalam koordinat bola, maka polinomial Legendre memenuhi selama masalahnya axially simetris, di mana tidak ada φketergantungan. Masalah yang lebih umum memerlukan pengenalan fungsi-fungsi terkait disebut Legendre terkait fungsi yang sebenarnya dibangun dari polinomial Jacobi, dan juga dapat dinyatakan dalam turunan dari polinomial Legendre. Teks fisika umumnya mendekati masalah dari prinsip-prinsip pertama, tidak pernah menyebutkan polinomial Jacobi. Polynomial Jacobi P (1 + x) dx

n

(α, β)

β.

n

(x) adalah ortogonal pada (-1,1) dengan fungsi berat w (x) = (1 - x)

rumus Rodriguesnya adalah P

(1 -- x)

α + n

(1 + x)

(α + β + n + 1) P

n

n

(x) = [(-1)

n

/2

β + n.

n

n!] (1 -

. Biasanya Legendre polinom P

memenuhi persamaan diferensial (1 - x (α, β)

(α, β)

2)

P

"(α, β)

n

n

x)-α

(1 +

(x) = P

+ [β - α - (α + β + 2) x] P

x)-β

(0,0) '(α, β)

d

/

(x)

n n

n

α

+n

= 0.

Memecahkan persamaan Laplace dengan metode pemisahan variabel, satu untuk memperoleh ketergantungan θ T (x), x = cos θ, persamaan diferensialnya:

d / dx [(1 - x 2) dT / dx] = [l (l +1) - m 2 / (1 - x 2] T = 0 Penggantian T (x) = (1 - x 2) m / 2 y (x) memberikan persamaan (1-x 2) y "- 2 (m + 1) xy '+ [l (l +1) - m (m +1)] y = 0, yang kita kenali sebagai polinomial Jacobi P

(m, m)

lm

(x). Oleh karena itu, T (x) = (1 - x

2) m / 2

y (x) P

(m, m)

lm

(x). Ini terkait dengan fungsi

Legendre, seringkali dinyatakan dengan P m l (x) dalam fisika, dan didefinisikan sebagai (-1) m (1 - x 2) m / 2 d m / dx m P l. Subskrip tidak lagi derajat polinom. Semua penjelasan yang di atas adalah

untuk m positif Karena persamaan berisi m

2,

solusi untuk m negatif pada dasarnya sama,

kecuali untuk faktor perkalian. Ini adalah konsekuensi kecil untuk aplikasi tradisional harmonik bola, tetapi sangat penting untuk mekanika kuantum, di mana fase relatif penting. Pilihan dalam fisika adalah bahwa P-m l (x) = (-1) m [(l - m)! / (L + m)!] P m l (x), di mana m adalah selalu positif di sebelah kanan.. Jika bekerja dengan fungsi secara eksplisit, Anda akan menemukan bahwa fungsi untuk positif m dan negati m pada dasarnya sama, seperti yang diharapkan, dan paling banyak berbeda dengan faktor negatif 1. M yang sama, P m l (x) dan P m l '(x) adalah ortogonal, dan integral dari kuadrat P

m

l

(x) adalah sama seperti untuk P l (x), dikalikan dengan (l - m)! / (l +

m)!. Fungsi-fungsi tidak ortogonal untuk nilai yang berbeda m; orthogonal dari harmonik bola dalam hal ini tergantung pada fungsi φ.