Aplikasi Persamaan Legendre

APLIKASI PERSAMAAN LEGENDRE TUGAS 1 : NILAI AWAL SYARAT BATAS

Nama Kelompok : 1. Siti Azizah

(060497)

2. Sri Handayani

(060449)

3. Sulistiyowati Hapsari

(060505)

Polinom Legendre Persamaan differensial Legendre merupakan persamaan differensial yang berbentuk

dengan l adalah konstanta. Persamaan differensial tersebut akan banyak dijumpai manakala menyelesaikan persamaan differensial parsial dalam sistem koordinat bola. Solusi persamaan differensial tersebut adalah dalam bentuk polinomial yang dikenal sebagai polinom Legendre. Misalkan solusi untuk y berbentuk deret pangkat dalam x

turunan pertama dan keduanya adalah

Bila koefisien dari masing-masing suku pangkat x tersebut dijumlahkan, masing-masing harus memberikan nilai sama dengan nol agar persamaan differensial tersebut terpenuhi. Artinya

yang memberikan nilai konstanta a:

Sedangkan dari koefisien xn diperoleh

Dapat diperoleh hubungan antara an+2 dengan an, yaitu

Artinya untuk n genap, koefisien an dapat dinyatakan dalam a0, sedangkan untuk suku yang ganjil dapat dinyatakan dalam a1. Dengan demikian solusi dari persamaan Legendre dapat dinyatakan dalam a0 dan a1:

Deret tersebut konvergen untuk x2 < 1 sedangkan bila x2 = 1 deret tersebut menjadi bersifat divergen. Dalam banyak penggunaannya di bidang Fisika, x adalah nilai cosinus dari suatu sudut q dan konstanta l adalah bilangan bulat bukan negatif. Tinjau kasus untuk l = 0. Untuk kasus ini deret a1 dapat dituliskan menjadi: x+2!3!x2+4!5!x5+6!7!x7+…

yang bersifat divergen. Sedangkan untuk deret a0 dituliskan menjadi 1- 0 + 0 - 0 + ... yang artinya bersifat konvergen.

Untuk l = 1, deret a0 bersifat divergen (pada x2 = 1) sedangkan a1 bersifat konvergen. Secara umum dapat digeneralisasi bahwa untuk nilai l tertentu, salah satu deret bersifat konvergen sementara deret yang satunya lagi divergen pada x2 = 1. Dengan demikian untuk suatu harga l tertentu terdapat polinom untuk y, misalnya untuk l = 0 → y = a0; untuk l = 1→ y = a1x dan seterusnya. Masing-masing mempunyai konstanta a0 ATAU a1. Jika konstanta tersebut dipilih sedemikian agar diperoleh nilai y = 1 untuk x = 1, maka diperoleh suatu suku banyak yang dinamakan POLINOM LEGENDRE, yang dituliskan sebagai Pl(x). Misalkan untuk l = 0, maka y = a0. Agar y = 1, maka artinya a0 = 1. Dinyatakan P0(x) = 1. Untuk l = 1 telah diperoleh bahwa y = a1x. Agar y = 1 untuk x = 1, maka artinya a1 = 1 sehingga dinyatakan P1(x) = x. Untuk l=2 telah diperoleh bahwa y= a0.(1-3x2) Agar y = 1 untuk x = 1, maka artinya a0 = -12 sehingga dinyatakan P2(x) =-121-3x2=123x2-1

Dengan cara yang sama dapat diperoleh ungkapan untuk P3(x), P4(x) dan seterusnya. Berikut ini adalah polinom Legendre untuk beberapa nilai l:

Polinom Legendre Pl(x) tersebut sering disebut juga sebagai FUNGSI LEGENDRE JENIS PERTAMA. Terdapat juga FUNGSI LEGENDRE JENIS KEDUA yang merupakan solusi untuk setiap l yang berupa deret tak hingga. Fungsi jenis kedua ini biasanya dilambangkan dengan Ql(x) namun penggunaannya tidak sesering fungsi jenis pertama. Plot fungsi Legendre jenis pertama untuk l = 2, 3, 4 dan 5.

Fungsi Pembangkit untuk Polinom Legendre Fungsi berikut ini dinamakan fungsi pembangkit untuk polinom Legendre: Φ x,h=(1-2xh+h2)-12

untuk h<1

Fungsi tersebut bila diuraikan dalam deret pangkat menghasilkan: Φ x,h=(1-2xh+h2)-12=1+122xh-h2+12322!(2xh-h2)2+… = 1+122xh-h2+38(2xh-h2)2+… = 1+xh-12h2+384x2h2-4xh3+h4+… = 1+xh+h232x212+…= P0x+hP1x+h2P2x+…=l=O∞hlPl(x) Polinom Pl(x) tersebut bila dihitung untuk nilai x=1 akan memberikan Φ x,h=(1-2h+h2)-12= 11-h2=11-h=1+h+h2+… P01+P11+h2P21+…

dengan demikian haruslah terpenuhi bahwa (1) =1

l

P yang merupakan sifat polinom

Legendre. Dapat ditunjukkan pula bahwa polinom Pl(x) tersebut memenuhi persamaan Legendre. Hubungan rekursif pada polinom Legendre:

Hubungan rekursif tersebut dapat digunakan untuk mencari polinom Legendre untuk l tertentu bila diketahui polinom dengan l yang lebih kecil. Misalnya, karena P0x=1 dan P1x=x maka: 2P2x=3xP1x-1P0x=3s2-1→P2x=12(3x2-1)

Contoh penggunaan polinom legendre dan fungsi pembangkit dalam persoalan elektrostatik: Potensial elektrostatik pada jarak d dari sebuah muatan titik adalah V=kqd

Dapat dinyatakan d= R-r=R2-2Rrcosθ+r2=R1-2rRcosθ+rR2

Maka V=kqd=kqR1-2 cosθrR+rR2-12

Kuntitas dalam kurung siku tersebut mempunyai bentuk yang sama dengan fungsi pembangkit Φ , sehingga V=kqd=kqR Φ

dengan Φ = Φ cosθ,rR merupakan fungsi pembangkit polinom Legendre. Maka dapat dituliskan:

V=kqd=kqR Φ = kqRl=0∞rRlP1cosθ

Jika terdapat banyak beberapa muatan qi pada posisi ri maka potensial oleh salah satu muatan qi adalah Vi=kqiRl=0∞riRlP1(cosθi)=kqil=0∞rilP1(cosθ1)Rl+1

dan potensial total akibat seluruh muatan adalah V=iVi=kiqil=0∞rilP1(cosθi)Rl+1