Aplikasi Persamaan Legendre

APLIKASI PERSAMAAN LEGENDRE Untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah Nilai Awal Syarat Batas

1.

Eka Rahmawati

(060454)

2.

Ida Farida

(060472)

3.

Ita Puspita

(060486) Kelas :

7A

PRODI MATEMATIKA UNIVERSITAS SULTAN AGENG TIRTAYASA 2009 1

POLINOMIAL LEGENDRE Dalam matematika, fungsi Legendre adalah solusi untuk persamaan diferensial Legendre punya:

They are named after Adrien-Marie Legendre . Mereka dinamai setelah Adrien-Marie Legendre. This ordinary differential equation is frequently encountered in physics and other technical fields. Ini persamaan diferensial biasa yang sering ditemui dalam fisika dan bidang teknis lainnya. In particular, it occurs when solving Laplace's equation (and related partial differential equations ) in spherical coordinates . Secara khusus, hal itu terjadi ketika menyelesaikan persamaan Laplace (dan berhubungan dengan persamaan diferensial parsial) dalam koordinat bola. The Legendre differential equation may be solved using the standard power series method. Legendre persamaan diferensial yang dapat diselesaikan menggunakan standar seri kekuatan metode. The equation has regular singular points at x = ±1 so, in general, a series solution about the origin will only converge for | x | < 1. Persamaan memiliki titik singular reguler di x = ± 1 begitu, secara umum, serangkaian solusi tentang asal hanya akan berkumpul untuk | x | <1. When n is an integer, the solution P n ( x ) that is regular at x = 1 is also regular at x = −1, and the series for this solution terminates (ie is a polynomial). Jika n adalah bilangan bulat, solusi P n (x) yang teratur pada x = 1 adalah juga teratur pada x = -1, dan seri untuk solusi ini berakhir (yaitu adalah polinomial). These solutions for n = 0, 1, 2, ... Solusi untuk n = 0, 1, 2, ... (with the normalization P n (1) = 1) form a polynomial sequence of orthogonal polynomials called the Legendre polynomials . (dengan normalisasi P n (1) = 1) membentuk polinom urutan dari polinomial ortogonal disebut polinomial Legendre. Each Legendre polynomial P n ( x ) is an n th-degree polynomial. Setiap Legendre polinom P n (x) adalah n derajat polinomial th. It may be expressed using Rodrigues' formula : Ini dapat dinyatakan dengan menggunakan Rodrigues 'rumus: 2

The P

n

are often defined as the coefficients in a Taylor series expansion:

[ 1 ]

P

n

sering

didefinisikan sebagai koefisien dalam deret Taylor ekspansi: [1]

In physics, this generating function is the basis for multipole expansions . Dalam fisika, fungsi pembangkit ini merupakan dasar bagi ekspansi multipole.

DEFINISI REKURSIF Perluasan deret Taylor dalam persamaan (1) untuk kedua istilah pertama memberi

for the first two Legendre Polynomials. untuk pertama dua polinomial Legendre. To obtain further terms without resorting to direct expansion of the Taylor series, equation (1) is differentiated with respect to t on both sides and rearranged to obtain Untuk mendapatkan pengertian lebih lanjut langsung tanpa beralih pada perluasan deret Taylor, persamaan (1) dibedakan dengan terhadap t pada kedua belah pihak dan disusun kembali untuk mendapatkan

Replacing the quotient of the square root with its definition in (1), and equating the coefficients of powers of t in the resulting expansion gives Bonnet's recursion formula Menggantikan hasil bagi akar kuadrat dengan definisi dalam (1), dan menyamakan koefisien t kekuasaan dalam hasil ekspansi memberikan Bonnet's rekursi rumus

3

This relation, along with the first two polynomials P 0 and P 1 , allows the Legendre Polynomials to be generated recursively. Hubungan ini, bersama dengan dua polinomial P

0

dan P

1,

memungkinkan polinomial Legendre dapat dihasilkan secara rekursif. Properti penting dari polinomial Legendre adalah bahwa mereka ortogonal yang berkaitan dengan produk L 2 batin pada interval -1 ≤ x ≤ 1:

(where δ

mn

denotes the Kronecker delta , equal to 1 if m = n and to 0 otherwise). (di mana

mn

menunjukkan δ Delta Kronecker, sama dengan 1 bila m = n dan ke 0 sebaliknya). In fact, an alternative derivation of the Legendre polynomials is by carrying out the Gram-Schmidt process on the polynomials {1, x , x 2 , ...} with respect to this inner product. Bahkan, alternatif turunan dari polinomial Legendre adalah dengan melaksanakan proses Gram-Schmidt pada polinomial (1, x, x 2, ...) yang berkaitan dengan produk batin ini. The reason for this orthogonality property is that the Legendre differential equation can be viewed as a Sturm–Liouville problem , and hence they are eigenfunctions of Hermitian differential operator : Alasan untuk properti orthogonality ini adalah bahwa persamaan diferensial Legendre dapat dipandang sebagai Liouville Sturmmasalah, dan karenanya mereka eigenfunctions dari Hermitian operator diferensial:

where the eigenvalue λ corresponds to n ( n + 1). mana eigenvalue λ sesuai dengan n (n + 1).

APLIKASI DARI POLINOMIAL LEGENDRE DALAM FISIKA The Legendre polynomials were first introduced in 1782 by Adrien-Marie Legendre as the coefficients in the expansion of the Newtonian potential Para polinomial Legendre pertama kali

4

diperkenalkan pada 1782 oleh Adrien-Marie Legendre sebagai koefisien dalam perluasan potensi Newtonian

where r and r ' are the lengths of the vectors dimana r dan r 'adalah panjang dari vektor dan

and

respectively and γ is the angle between those two vectors. masing-masing dan γ adalah

sudut antara kedua vektor. The series converges when r > r ' . Seri menyatu ketika r> r '. The expression gives the gravitational potential associated to a point mass or the Coulomb potential associated to a point charge . Ekspresi memberikan potensial gravitasi dihubungkan ke titik massa atau potensial Coulomb terkait ke titik muatan. The expansion using Legendre polynomials might be useful, for instance, when integrating this expression over a continuous mass or charge distribution. Perluasan menggunakan polinomial Legendre mungkin berguna, misalnya, ketika mengintegrasikan ekspresi ini lebih dari massa yang kontinu atau distribusi muatan. Legendre polynomials occur in the solution of Laplace equation of the potential , Polinomial Legendre terjadi dalam pemecahan persamaan Laplace dari potensi,

, in a charge-free region

of space, using the method of separation of variables , where the boundary conditions have axial symmetry (no dependence on an azimuthal angle ). , Di daerah bebas biaya ruang, dengan menggunakan metode pemisahan variabel, di mana kondisi batas mempunyai simetri aksial (tidak ada ketergantungan pada sudut azimuthal). Where Di mana

is the axis of symmetry

and θ is the angle between the position of the observer and the adalah sumbu simetri dan θ adalah sudut antara posisi pengamat dan

axis (the zenith angle), the solution for the potential will

be sumbu (sudut puncak), solusi potensial akan

5

and dan

are to be determined according to the boundary condition of each problem [ 2 ] .

harus ditentukan sesuai dengan kondisi batas setiap masalah [2].

POLINOMIAL LEGENDRE DALAM PERLUASAN MULTIPOLE Legendre polynomials are also useful in expanding functions of the form (this is the same as before, written a little differently): Polinomial Legendre juga bermanfaat dalam memperluas fungsi dari bentuk (ini adalah sama seperti sebelumnya, yang ditulis sedikit berbeda):

which arise naturally in multipole expansions . yang muncul secara alami di multipole ekspansi. The left-hand side of the equation is the generating function for the Legendre polynomials. Di sisi kiri dari persamaan adalah fungsi pembangkit untuk polinomial Legendre. As an example, the electric potential Φ( r ,θ) (in spherical coordinates ) due to a point charge located on the z -axis at z = a (Figure 2) varies like Sebagai contoh, potensi listrik Φ (r, θ) (dalam koordinat bola) akibat muatan titik yang terletak pada sumbu z pada z = a (Gambar 2) bervariasi seperti

If the radius r of the observation point P is greater than a , the potential may be expanded in the Legendre polynomials Jika jari-jari r dari titik pengamatan P adalah lebih besar daripada seorang, yang potensial dapat dikembangkan dalam polinomial Legendre

6

where we have defined η = a / r < 1 and x = cos θ . di mana kita telah mendefinisikan η = a / r <1 dan x = cos θ. This expansion is used to develop the normal multipole expansion . Perluasan ini digunakan untuk mengembangkan normal multipole ekspansi. Conversely, if the radius r of the observation point P is smaller than a , the potential may still be expanded in the Legendre polynomials as above, but with a and r exchanged. Sebaliknya, jika jari-jari r dari titik pengamatan P adalah lebih kecil daripada, potensi masih dapat diperluas dalam polinomial Legendre seperti di atas, tetapi dengan a dan r bertukar. This expansion is the basis of interior multipole expansion . Perluasan ini adalah dasar dari interior multipole ekspansi. Sifat-sifat tambahan polinomial Legendre Legendre polynomials are symmetric or antisymmetric, that is Polinomial Legendre adalah simetris atau antisymmetric, yang [1]

Since the differential equation and the orthogonality property are independent of scaling, the Legendre polynomials' definitions are "standardized" (sometimes called "normalization", but note that the actual norm is not unity) by being scaled so that Karena persamaan diferensial dan properti orthogonality independen dari scaling, maka polinomial Legendre 'definisi yang "standar" (kadang-kadang disebut "normalisasi", tetapi perhatikan bahwa norma yang sebenarnya tidak kesatuan) dengan skala sehingga

The derivative at the end point is given by Derivatif di titik akhir diberikan oleh

7

As discussed above, the Legendre polynomials obey using the three term recurrence relation known as Bonnet's recursion formula Sebagaimana dibahas di atas, polinomial Legendre mematuhi menggunakan tiga istilah yang dikenal sebagai hubungan kambuhnya Bonnet's rekursi rumus

and dan

Useful for the integration of Legendre polynomials is Berguna untuk integrasi polinomial Legendre adalah

From Bonnet's recursion formula one obtains by induction the explicit representation Dari Bonnet's rekursi formula didapatkan oleh induksi representasi eksplisit

bergeser polinomial Legendre The shifted Legendre polynomials are defined as Polinomial Legendre yang bergeser didefinisikan sebagai fungsi

Here the "shifting" function Di sini "pergeseran" (in fact, it is an affine transformation ) is chosen such that it bijectively

maps the interval [0, 1] to the interval [−1, 1], implying that the polynomials (sebenarnya, ini adalah sebuah transformasi affine) dipilih sedemikian rupa sehingga peta bijectively interval [0, 1] untuk interval [-1, 1], yang menyiratkan bahwa polinomial

are orthogonal on [0, 1]:

adalah ortogonal pada [0, 1]: 8

An explicit expression for the shifted Legendre polynomials is given by Ekspresi eksplisit untuk bergeser polinomial Legendre diberikan oleh

The analogue of Rodrigues' formula for the shifted Legendre polynomials is Analog dari Rodrigues 'rumus untuk bergeser polinomial Legendre adalah

9