Probabilités Classe De 3ème

   Probabilités classe de 3ème collège vivant denon saint-marcel

I) Présentation Le calcul de probabilités s'est développé à partir du 16ème siècle. Les interrogations de ses débuts portaient sur les jeux de hasard. Pierre de Fermat (1601-1665) et Blaise Pascal (16231662), mathématiciens célèbres, posèrent les bases des probabilités.

Pierre de Fermat

Blaise Pascal

Les textes officiels Le programme de 3ème a pour objectifs :  de poursuivre la mise en place de paramètres (de position et de dispersion) d'une série statistique et d’envisager ainsi la notion de résumé statistique ;  de mettre en pratique sur des exemples simples la notion de probabilité.

Pourquoi l’aléatoire au collège ? « Pour permettre au citoyen d’aborder l’incertitude et le hasard dans une perspective rationnelle »  Familiariser plus tôt les élèves avec cette branche des mathématiques qui diffère fondamentalement des autres.  Une clé essentielle pour l’analyse et la compréhension des phénomènes incertains.

objectifs Un enjeu de citoyenneté : - être capable de distinguer le  hasard « calculable » du  hasard de la contingence fortuite. - être capable d’avoir un  esprit critique face à certaines  affirmations des médias.  

- Etudier une expérience à deux épreuves. - Exprimer et appliquer des probabilités.

Connaissances

Capacités  

1.4. Notion de probabilité

- Comprendre et utiliser des  notions élémentaires de  probabilité.  - Calculer des probabilités  dans des contextes  familiers. 

[ Thèmes de convergence] 

Exemples d’activités,  commentaires 

Commentaires  spécifiques pour le socle

La notion de probabilité est abordée  à partir de situations familières  (pièces de monnaie, dés, roues de  loteries, urnes). Certaines de ces  situations permettent de rencontrer  des cas pour lesquels les probabilités  ne sont pas définies à partir de  considérations intuitives de symétrie  ou de comparaison mais sont  approximativement évaluées par les  fréquences observées  Dans le cadre du socle,  expérimentalement (approche  aucune compétence n’est  fréquentiste des probabilités). exigible dans le cas des  La notion de probabilité est utilisée  expériences à deux  pour traiter des situations de la vie  épreuves.  courante pouvant être modélisées  simplement à partir des situations  précédentes. Les situations étudiées  concernent les expériences aléatoires  à une ou à deux épreuves. 

II Définitions Vocabulaire Expérience aléatoire

Une expérience est dite « aléatoire » si elle vérifie deux conditions : - Elle conduit à des résultats possibles que l’on peut nommer. - On ne peut pas prévoir ces résultats. Remarque : Le résultat d'une expérience aléatoire s'appelle aussi une issue.

Exemple :  On lance un dé à 6 faces et on regarde quel nombre on obtient. Cette expérience est bien une expérience aléatoire car : - Les résultats (ou issues) possibles sont 1 ou 2 ou 3 ou 4 ou 5 ou 6. - Quand on lance le dé, on ne sait pas sur quelle face on va tomber.

Evénement Un événement dans une expérience aléatoire est constitué de plusieurs issues (ou résultats). Exemple : On dispose des cinq cartes suivantes. On tire une carte au hasard parmi les cinq.

Obtenir une reine est un événement. Obtenir un cœur est un autre événement.

Probabilité et fréquence Lorsqu’on répète une expérience aléatoire un grand nombre de fois, la fréquence de n’importe quel évènement de cette expérience finit par se stabiliser autour d’un nombre : la probabilité de cet événement.

Le lien fût établi par le mathématicien suisse Jacques Bernoulli (1654-1705)

Exemple : On dispose d’une pièce de monnaie.

Si on lance un très grand nombre de fois cette pièce, et que l’on compte le nombre de fois qu’elle donne pile et le nombre de fois qu’elle donne face, la fréquence de ces deux résultats va se stabiliser autour de

½.

Remarque : La probabilité d’un événement est en quelque sorte la chance que cet événement se produise. Avec l’exemple ci-dessus, on a 1 chance sur 2 d’obtenir face…

Calculer une probabilité Quand les résultats d'une expérience aléatoire ont tous la même probabilité alors la probabilité d'un événement E est égale au quotient:

P(E) =

Nb de résultats favorables à l’événement Nb de résultats possibles

Exemple : On lance un dé à 6 faces numérotées de 1 à 6. Quelle est la probabilité d'obtenir un chiffre pair ? Quand on lance un dé, il y a 6 résultats possibles. Le résultat favorable à l'événement «  obtenir un chiffre pair » est « obtenir un 2, un 4, un 6 » donc il y a 3 résultats favorables. On a alors

P (« obtenir un chiffre pair ») = 3/6

ou encore

1/2

III Propriétés 

La probabilité d’un événement est la  somme des probabilités des issues  qui réalisent cet événement - La probabilité d'un événement est toujours comprise entre 0 et 1. - La somme des probabilités associées à chaque issue est égale à 1.

V Evénements contraires L'événement contraire de l'événement A est celui qui se réalise quand A n'a pas lieu.

On a alors

P(A)+ P( non A ) = 1

Exemple : On lance un dé à 6 faces numérotées de 1 à 6. L'événement « non 2 » est constitué de 5 issues « 1 », « 3 », « 4 », « 5 », « 6 ».

On a

P(2) = 1/6

Donc P(non 2) = 5/6

VI) expériences à deux épreuves exemple:On lance deux fois de suite une pièce de monnaie. Calculer la probabilité de l’évènement E : « On obtient au moins une fois PILE. »  On schématise les différentes issues avec un arbre de probabilités.

1 2 1 2

On a

P

F

1 2

P

(P ; P)

1 1 1   2 2 4

1 2

F

(P ; F)

1 1 1 (probabilité d’obtenir pile puis face)   2 2 4

P

(F ; P)

1 1 1 (probabilité d’obtenir face puis pile)   2 2 4

1 2 1 2

P(E )

(probabilité d’obtenir deux piles)

F Sur un même chemin, on multiplie les probabilités. 1 1 1 3 = 4  4  4 = 4

La probabilité que l’évènement E se réalise est de

¾.

Expérience à deux épreuves : 2ème exemple On dispose : - d’une part, d’un dé ayant une face rouge, deux faces noires et trois faces vertes - et d’autre part, d’une pièce de monnaie (les deux, bien équilibrés). On lance le dé puis la pièce. 1. Ecrire tous les résultats possibles. 2. Déterminer la probabilité d’obtenir Vert puis Pile.

Résumé  

Résultats possibles Effectif

Probabilité

(R;P)

(R;F)

(N;P)

(N;F)

(V;P)

(V;F)

1 1 12

1 1 12

2 2 12

2 2 12

3 3 12

3 3 12

Total 12 1

Arbre :

R 1/6 2/6

N

1/2

P

1/2

F

1/2

P

1/2 3/6

V

F

1/2

P

1/2

F

Pour un grand nombre d’expériences, en moyenne : 



3/6 d’entre elles « donneront » Vert pour le lancer de dé. Parmi les lancers « Vert », la moitié d’entre eux « ira » sur Pile.



1/2 de 3/6 des expériences donneront (V;P).



La probabilité d’obtenir (V;P) est donc

1×3=1 2 6 4