Calcul Littéral Et Identités Remarquables

Calcul littéral et Identités Remarquables

Objectifs: -Factoriser et développer des expressions en utilisant les identités remarquables. -Tester la validité d’une factorisation ou d’un développement.

I. Les outils 1) La simple et la double distributivité Quelques soient les nombres relatifs a, b, c, d et k on a : kx(a+b)=kxa+kxb ( a + b ) x ( c + d )= a x c + a x d + b x c + b x d Exemples :

143 x 102 = 143 x ( 100 + 2 ) kx(a+b)=kxa+kxb

= 143 x 100 + 143 x 2 = =

14 300 14 586

+

286

102 x 209 = ( 100 + 2 ) x ( 200 + 9 ) ( a + b ) x ( c + d )= a x c + a x d + b x c + b x d

= 100 x 200 + 100 x 9 + 2 x 200 + 2 x 9 = 20 000 + 900 + 400 + 18 =

21 318

A = 3(- 6x + 4) kx(a+b)=kxa+kxb

= -18x + 12

B = (2x + 3)(3x - 4) ( a + b ) x ( c + d )= a x c + a x d + b x c + b x d

= 6x² - 8x + 9x – 12 = 6x² + x - 12

2) Règle de suppression des parenthèses Dans un calcul, on peut supprimer les parenthèses : - précédées du signe + et ce signe +, sans changer le signe des nombres à l’intérieur des parenthèses. - précédées du signe - et ce signe -, en changeant chaque nombre à l’intérieur des parenthèses en son opposé. Exemple : A = 8 + (- 3 + x ) - ( 4 - 3x ) = 8 + (- 3 + x ) - ( 4 - 3x ) = 8 – 3 + x – 4 + 3x = 4x + 1

3) Les trois identités remarquables Quelques soient les nombres relatifs a et b on a : (a + b)² = a² + 2ab + b² (a - b)² = a² - 2ab + b² (a + b)(a – b) = a² - b² Voir les démonstrations de ces identités dans le cahier d’exercices.

Exemples :

103² = ( 100 + 3 )² (a + b)² = a² + 2ab + b²

= 100² + 2 x 100 x 3 + 3² = 10 000 + 600 = 10 609

+ 9

96² = ( 100 - 4 )² (a - b)² = a² - 2ab + b²

= 100² - 2 x 100 x 4 + 4² = 10 000 - 800 + 16 = 9 216 105 x 95

= ( 100 + 5 ) x ( 100 - 5 ) (a + b)(a - b) = a² - b²

=

100² - 5²

=

10 000

=

9 975

- 25

I.Développer une expression littérale Développer une expression littérale, c’est la transformer en une somme de termes.

1) Développer une identité remarquable Exemples : Développer en utilisant les identités remarquables A = (x + 3)²

(a + b)² = a² + 2ab + b² a est représenté par x : donc a² vaut x²

= x² + 6x + 9

b est représenté par 3 : donc 2ab vaut 2 x x x 3 = 6x et

b²

vaut

3²= 9

B = (4 - 3x)²

(a - b)² = a² - 2ab + b² a est représenté par 4  : donc a² vaut 4²=16

= 16 - 24x + 9x²

b est représenté par 3x  :

C = (2x + 3)(2x - 3) = 4x²- 9

donc

2ab

et

b²

vaut vaut

2 x 4 x 3 x = 24 x (3x )²= 9x²

(a + b)(a - b) = a² - b²

a est représenté par 2x  : donc a² vaut (2x )²= 4x² b est représenté par 3  : donc b² vaut 3²= 9

2) Application à des développements plus complexes Exemples : Développer et réduire les expressions suivantes. A = (2x - 3)² + (x + 5)(3 - x ) = (2x - 3)² + (x + 5)(3 - x ) (a - b)² = a² - 2ab + b²

( a + b ) x ( c + d )= a x c + a x d + b x c + b x d

= 4x² - 12x + 9 + 3x – x ² + 15 - 5x = 3x² - 14x + 24

B = ( x - 3)( x + 3) - (4 - 3x)² = ( x - 3)( x + 3) - (4 - 3x)² (a - b)² = a² - 2ab + b²

(a + b)(a - b) = a² - b²

= x² - 9

-

( 16 - 24x + 9x² )

= x² - 9 - 16 + 24x - 9x² = -8x² + 24x - 25

Règle de suppression des parenthèses précédées du signe -

II.Factoriser une expression littérale Factoriser une expression littérale, c’est la transformer en un produit de facteurs.

1) Le facteur commun est apparent Remarque : pour factoriser, il faut trouver dans l’expression un facteur commun, puis utiliser la formule de simple distributivité. ka+kb = k(a+b) Exemples : Factoriser et réduire les expressions suivantes. A = 4x - 4y + 8 = 4x - 4y + 4x2 = 4( x - y + 2 )

B = x² + 3x - 5x² = x x x + x x 3 - x x 5x = x ( x + 3 - 5x ) = x (- 4x + 3) C = (1 - 6x)² - (1 - 6x)(2 + 5x) = (1 - 6x)(1 - 6x) - (1 - 6x)(2 + 5x) Règle de suppression des parenthèses précédées du signe -

= (1 - 6x)[ (1 - 6x) - (2 + 5x)] = (1 - 6x)[ 1 - 6x - 2 - 5x] = (1 - 6x)( - 11x - 1 )

2) Le facteur commun n’est pas apparent Remarque : pour factoriser, il faut utiliser une identité remarquable. a² + 2ab + b² = (a + b)² a² - 2ab + b² = (a - b)² a² - b² = (a + b)(a - b) Exemples : Factoriser et réduire les expressions suivantes. 4x² + 12x + 9 = (2x + 3 )² a² + 2ab + b²= (a + b)²

avec

a = 2x et b = 3

x² - 2x + 1 =

(2x x - 31 )²

a² - 2ab + b²= (a - b)²

avec

a = x et b = 1

25x² - 49 = ( 5x + 7 )( 5x - 7 ) a² - b²= (a + b) (a - b)

avec a = 5x et b = 7

A = (2x + 3)² - 64 avec a = (2x + 3) et b = 8

=[ (2x + 3) – 8

a² - b²= (a + b) (a - b)

][ (2x + 3) + 8

= [2x + 3 – 8][2x + 3 + 8] = (2x – 5)(2x + 11)

]