Fase Ii_luis C Salazar_ Aporte Individual Señales Y Sistemas 1(autoguardado).docx

Señales y Sistemas

Luis Carlos Salazar Herrera Cc 80.550.342

Tutor Milton Osvaldo Amarillo

Grupo: 203042_17

Universidad Nacional Abierta y a Distancia UNAD Zipaquirá 30 octubre de 2017

Introducción

Este trabajo busca resolver los problemas planteados en la fase II de la materia señales y sistemas mediante la aplicación de las series de Fourier para lo cual hay que contar con nociones previas estudiadas en clase, donde su aplicación busca representar la frecuencia de una señal. Básicamente la Transformada de Fourier se encarga de transformar una señal del dominio del tiempo, al dominio de la frecuencia, de donde se puede realizar su anti transformada y volver al dominio temporal. Estudiaremos a lo largo de este trabajo la Serie de Fourier mediante la resolución de algunos ejercicos.

Objetivos



Aplicar operaciones de convolución en tiempo discreto y en tiempo continuo.



Realizar operaciones en entornos gráficos, analíticos y computacionales.



Solucionar los diferentes problemas propuestos en clase mediante la aplicación de conceptos de series y trasformadas de Fourier, usando herramientas analíticas y/o computacionales.

EJERCICIOS PROPUESTOS 1. Usando como guía el ejemplo 6.2 de la página 134 del libro guía (Ámbar, Tema a estudiar: Convolución analítica), determine analíticamente la convolución entre x(t) y h(t) descritas a continuación:

x(t) = 10e−3t u(t)

h(t) =

3 u(t − a) eat

Dónde: la constante “a” corresponde con el último digito del número de su grupo, si este digito es cero, utilice a=3. Para este caso el valor sera a=7 porque mi grupo es el 17 Simplifico 𝑥(𝑡) = 10𝑒 −3𝑡 𝑢(𝑡) ℎ(𝑡) = 3𝑒 −7𝑡 𝑢(𝑡 − 7) ∞

𝑦(𝑡) = 𝑥(𝑡) ∗ ℎ(𝑡) = ∫ 𝑥(𝜆)ℎ(𝑡 − 𝜆)𝑑𝜆 −∞ ∞

𝑦(𝑡) = 𝑥(𝑡) ∗ ℎ(𝑡) = ∫ 10𝑒 −3𝑡 𝑢(𝑡) ∗ 3𝑒 −7𝑡 𝑢(𝑡 − 7) 𝑑𝜆 −∞

Se remplaza (𝑡) → 𝑥(𝜆) 𝑦 ℎ(𝑡) → ℎ(𝑡 − 𝜆)

𝑥(𝑡) = 10𝑒 −3𝑡 𝑢(𝑡) ℎ(𝑡) =

3 𝑢(𝑡 − 7) = 3𝑒 −7𝑡 𝑢(𝑡 − 7) 𝑒 7𝑡 𝑥(𝜆) = 10𝑒 −3𝜆 𝑢(𝜆)

ℎ(𝑡 − 𝜆) = 3𝑒 −7(𝑡−𝜆) 𝑢(𝑡 − 𝜆 − 7)

∞

𝑦(𝑡) = ∫ 10𝑒 −3𝜆 𝑢(𝜆) ∙ 3𝑒 −7(𝑡−𝜆) 𝑢(𝑡 − 𝜆 − 7)𝑑𝜆 −∞

∞

𝑦(𝑡) = 30 ∙ ∫ 𝑒 −3𝜆 𝑢(𝜆) ∙ 𝑒 −7𝑡+7𝜆 𝑢(𝑡 − 𝜆 − 7)𝑑𝜆 −∞ ∞

𝑦(𝑡) = 30𝑒 −7𝑡 ∙ ∫ 𝑒 −3𝜆 𝑢(𝜆) ∙ 𝑒 +7𝜆 𝑢(𝑡 − 𝜆 − 7)𝑑𝜆 −∞

Limites λ = 0 t−7=λ

𝑡−7

𝑡−7

𝑦(𝑡) = 30𝑒 −7𝑡 ∙ ∫

𝑒 −3𝜆 ∙ 𝑒 +7𝜆 𝑑𝜆 = 30𝑒 −7𝑡 ∙ ∫

0

0

𝑒 𝜆 𝑑𝜆

𝑦(𝑡) = 30𝑒 −7𝑡 ((𝑒 1(𝑡−7) ) − 1) = 30𝑒 −7𝑡 (𝑒 𝑡−7 − 1 ) 𝑦(𝑡) = 30𝑒 −3𝑡−7 − 30𝑒 −7𝑡 𝑦(𝑡) = (30𝑒 −3𝑡−7 − 30𝑒 −7𝑡 )𝑢(𝑡 + 7)

2. Usando como guía el ejemplo 7.3 de la página 173 del libro guía (Ambar, Tema a estudiar: Convolución discreta), determine la respuesta de un filtro FIR (h[n]), a la entrada x[n] ̂ , 4,7] x[n] = [−1, −2 h[n] = [2, 1̂, 1,3]

3. Dibuje unos cuantos periodos de cada una de las siguientes señales periódicas y calcule el coeficiente indicado de la serie de Fourier. Posteriormente resuelva el ejercicio usando software y verifique sus resultados teóricos. Tema a estudiar: Coeficientes de la serie de Fourier (Ambardar, capítulo 8):

a) 𝑎𝑘 b) 𝑏𝑘

para 𝑥(𝑡) = −2 ∗ 𝑟𝑒𝑐𝑡(𝑡 + 𝑏) con T=10 para 𝑥(𝑡) = 𝑎𝑡, 0 ≤ 𝑡 ≤ 1 con T=3

Dónde: la constante “a” corresponde con el último digito del número de su grupo, y la constante “b” corresponde con el último dígito de su código universitario (documento de identidad), si “a” es cero, o “b” es cero utilice a=3, o b=3 según sea el caso. Para el ítem “b”, se debe presentar solo una propuesta de solución en el trabajo grupal, en el caso del ítem “a” se deben recopilar las soluciones de todos los integrantes que hayan participado en el trabajo. a) 𝑎𝑘 para 𝑥(𝑡) = −2 ∗ 𝑟𝑒𝑐𝑡(𝑡 + 𝑏) = -2t-4 80550342.

𝑎0 =

con T=10 b=2 ya que mi número de cedula es

1 10/2 1 10/2 (−2𝑡 − 4) 𝑑𝑡 ∫ 𝑥(𝑡) 𝑑𝑡 = ∫ 𝑇 −10/2 10 −10/2 𝑎0 𝑎0 𝑎0 𝑎0 Calculo los límites,

𝑎0 𝑎0

𝑎0 𝑡/2

2

𝑎0 = 𝑇 ∫−𝑡/2 𝑥(𝑡) ∗ cos(𝑤 ∗ 𝑛 ∗ 𝑡) 𝑑𝑡

donde , 𝑊 =

2𝜋 𝑇

=

2𝜋 10

=

𝜋 5

𝑎𝑛= 𝑎𝑛 𝑎𝑛 Aplicar integracion por sustitución

𝑎𝑛 𝑎𝑛 Aplicar integración por partes 𝑎𝑛

donde ,

𝑎𝑛 Sustituir

𝑎𝑛 𝑎𝑛

donde ,

𝑎𝑛

Simplifico 𝑎𝑛 Calculo los limites,

Límite superior menos límite inferior

𝑎𝑛 Simplifico

𝑎𝑛 𝑎𝑛 𝑎𝑛 SIMULACIÓN

b) 𝑏𝑘 para 𝑥(𝑡) = 𝑎𝑡, 0 ≤ 𝑡 ≤ 1 con T=3 donde a= 7 que es el último número de mi grupo de trabajo. 𝑎0 =

1 𝑡/2 1 3/2 ∫ 𝑥(𝑡) 𝑑𝑡 = ∫ (7𝑡) 𝑑𝑡 𝑇 −𝑡/2 3 −3/2

𝑎0 𝑎0

2

𝑡/2

𝑏𝑛 = 𝑇 ∫−𝑡/2 𝑥(𝑡) ∗ sen(𝑤 ∗ 𝑛 ∗ 𝑡) 𝑑𝑡 donde, 𝑊 = 𝑏𝑛 =

Aplicar integración por sustitución

𝑏𝑛 𝑏𝑛 Aplicar integración por partes, 𝑏𝑛 𝑏𝑛

donde, Sustituir,

𝑏𝑛 Simplificar,

𝑏𝑛 Calculo los limites,

Sustituir

𝑏𝑛 Simplificar

2𝜋 𝑇

=

2𝜋 3

𝑏𝑛

Límite superior menos límite inferior

𝑏𝑛

𝑏𝑛

𝑏𝑛 𝑏𝑛

SIMULACIÓN

Conclusiones 

Se analizó y realizo problema de convolución en tiempo discreto y en tiempo continuo.



Se realizó operaciones utilizando entornos gráficos, analíticos y computacionales.



Se dio solución a los diferentes problemas propuestos mediante la aplicación de conceptos de series y trasformadas de Fourier.

Referencias Bibliograficas

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Series de Fourier. (2008). In A. Ambardar, Procesamiento de señales analógicas y digitales (2nd ed., p. 197). Mexico City: Cengage Learning. Recuperado de http://go.galegroup.com/ps/i.do?id=GALE%7CCX4060300081&v=2.1&u=unad&it=r &p=GVRL&sw=w&asid=2bd27e3e9ede734f0c9539e4258be694 Convolución Continua. (2008). In A. Ambardar, Procesamiento de señales analógicas y digitales (2nd ed., p. 130). Mexico City: Cengage Learning. Recuperado de http://go.galegroup.com/ps/i.do?id=GALE%7CCX4060300056&v=2.1&u=unad&it=r &p=GVRL&sw=w&asid=77455168e5e332d949cbb0cb8aaa2e07 Convolución Discreta. (2008). In A. Ambardar, Procesamiento de señales analógicas y digitales (2nd ed., p. 169). Mexico City: Cengage Learning. Recuperado de http://go.galegroup.com/ps/i.do?id=GALE%7CCX4060300069&v=2.1&u=unad&it=r &p=GVRL&sw=w&asid=9216176bfe3118887d3ff0ec6f6606e8 Transformada de Fourier. (2008). In A. Ambardar, Procesamiento de señales analógicas y digitales (2nd ed., p. 248). Mexico City: Cengage Learning. Recuperado de http://go.galegroup.com/ps/i.do?id=GALE%7CCX4060300096&v=2.1&u=unad&it=r &p=GVRL&sw=w&asid=9216176bfe3118887d3ff0ec6f6606e8