Aporte Individual Robotica.docx

Actividades a desarrollar

Problema

Para el desarrollo del siguiente problema se recomienda apoyarse en MATLAB.

Hallar los resultados de simulación del modelo dinámico (algoritmo computacional Newton Euler) para un robot manipulador de tres eslabones mientras que no se le aplique ningún par de torsión y nada más la gravedad esté actuando en él; las condiciones iniciales para las coordenadas generalizadas son:

𝜃1 (0) = 𝜃2 (0) = 𝜃3 (0) = 0 𝑟𝑎𝑑 𝜃1̇ (0) = 𝜃2̇ (0) = 𝜃3̇ (0) = 0 𝑟𝑎𝑑/𝑠

Tomar los parámetros geométricos e inerciales como:

𝑎1 = 𝑎2 = 1𝑚 𝑎3 = 0.5𝑚 𝑚1 = 𝑚2 = 1𝐾𝑔 𝑚3 = 0.5𝐾𝑔

Un robot se compone de varios eslabones que se conectan en forma serial mediante articulaciones. Los grados de libertad del robot (DOF) dependen del número y tipos de eslabones y articulaciones, así como de la cadena cinemática del robot, donde la posición del cuerpo puede describirse mediante tres coordenadas de translación y la orientación por medio de tres coordenadas de rotación.

Teniendo en cuenta que el robot manipulador cuenta con tres eslabones, tiene 3 grados de libertad, donde sus matrices de rotación son las siguientes.

cos(𝜃1 ) −𝑠𝑒𝑛(𝜃1 ) 0 𝑄1 = |𝑠𝑒𝑛(𝜃1 ) cos(𝜃1 ) 0| 0 0 1 𝑄2

cos(𝜃2 ) −𝑠𝑒𝑛(𝜃2 ) = |𝑠𝑒𝑛(𝜃2 ) cos(𝜃2 ) 0 0

0 0| 1

𝑄3

cos(𝜃3 ) −𝑠𝑒𝑛(𝜃3 ) = |𝑠𝑒𝑛(𝜃3 ) cos(𝜃3 ) 0 0

0 0| 1

Los vectores de posición en el origen del eslabón 𝑖 + 1 desde su centro de masa del eslabón 𝑖.

[𝑎1 ]1 = [𝑎1 cos(𝜃1 )

𝑎1 sen(𝜃1 )

0]𝑇

[𝑎2 ]2 = [𝑎2 cos(𝜃2 ) 𝑎2 sen(𝜃2 ) 0]𝑇 [𝑎3 ]3 = [𝑎3 cos(𝜃3 ) 𝑎3 sen(𝜃3 ) 0]𝑇

Definiendo los eslabones como homogéneos, los vectores [𝑑𝑖 ]𝑖 y [𝑟𝑖 ]𝑖+1 para 𝑖 = 1, 2, 3 esta dado como:

𝑇 1 1 [𝑑1 ]1 = [ 𝑎1 cos(𝜃1 ) ] 𝑎 sen(𝜃1 ) 0 2 2 1 𝑇

1 1 [𝑑2 ]2 = [ 𝑎2 cos(𝜃2 ) 𝑎 sen(𝜃2 ) 2 2 2

0]

1 1 [𝑑3 ]3 = [ 𝑎3 cos(𝜃3 ) 𝑎 sen(𝜃3 ) 2 2 3

0]

𝑇

[𝑑1 ]2 = [

𝑎1 2

0

0]

[𝑑2 ]3 = [

𝑎2 2

0

0]

[𝑑3 ]4 = [

𝑎3 2

0

0]

𝑇

𝑇

𝑇

Asumiendo que los tres eslabones son vigas tipo cuadradas con una área transversal pequeña. Por lo que la matriz de inercia de cada eslabón 𝑖 alrededor de su centro de masa se reduce a lo siguiente. 𝐼2 =

𝑚1 𝑎12 0 |0 12 0

0 0 1 0| 0 1

𝐼3 =

𝑚2 𝑎22 0 |0 12 0

0 0 1 0| 0 1

𝑚3 𝑎32 0 = |0 12 0

0 0 1 0| 0 1

𝐼4

Empleando el algoritmo recursivo de Newton-Euler para el cálculo de las velocidades y aceleraciones de eslabones, y posteriormente las fuerzas y momentos de forma recursiva empleando calculo progresivo. Se parte del cálculo de las velocidades angulares y lineales son cero, por lo que sus velocidades son las siguientes. 0 [𝜔1 ]1 = [0] 𝜃̇ 0 [𝜔̇ 1 ]1 = [0] 𝜃̈ [𝑐̇1 ]1 = 𝜃̇1

[𝑐̈1 ]1 = 𝜃̈1

𝑎1 −𝑠𝑒𝑛𝜃1 [ 𝑐𝑜𝑠𝜃1 ] 2 0

𝑎1 −𝑠𝑒𝑛𝜃1 𝑎1 𝑐𝑜𝑠𝜃1 [ 𝑐𝑜𝑠𝜃1 ] − 𝜃̇12 [𝑠𝑒𝑛𝜃1 ] 2 2 0 0

Suponiendo que la aceleración por gravedad apunta en dirección y del primer sistema, se obtiene. [𝑔]1 = [0

−𝑔

0]𝑇

Para el cálculo de las velocidades y aceleraciones del eslabón2, es necesario sustituir las velocidades y aceleraciones del eslabón1.

0 [𝜔2 ]2 = [ 0 ] 𝜃̇1 + 𝜃̇2 0 [𝜔̇ 2 ]2 = [ 0 ] 𝜃1̈ + 𝜃2̈ 𝑎2 𝑠𝑒𝑛𝜃2 (𝜃̇1 + 𝜃̇2 ) 2 𝑎2 [𝑐̇2 ]2 = 𝑎1 𝜃̇1 + 𝑐𝑜𝑠𝜃2 (𝜃̇1 + 𝜃̇2 ) 2 [ ] 0 𝑎2 𝑎2 −𝑎1 𝜃̇12 − 𝑠𝑒𝑛𝜃2 (𝜃1̈ + 𝜃2̈ ) − 𝑐𝑜𝑠𝜃2 (𝜃̇1 + 𝜃̇2 )2 2 2 𝑎2 𝑎2 [𝑐̈2 ]2 = 𝑎1 𝜃̈1 + 𝑐𝑜𝑠𝜃2 (𝜃1̈ + 𝜃2̈ ) − 𝑠𝑒𝑛𝜃2 (𝜃̇1 + 𝜃̇2 )2 2 2 [ ] 0 −

La aceleración en el segundo eslabón se encuentra dada por: [𝑔]2 = 𝑄1𝑇 [𝑔]1 = [−𝑔𝑠𝑒𝑛𝜃1

−𝑔𝑐𝑜𝑠𝜃1

0]𝑇

Apoyándonos modelo de cálculo regresivo propuesto por el autor (Kumar, 2010), en donde a partir de las velocidades y aceleraciones de cada uno de los tres eslabones, se procede a calcular los respectivos pares de torsión y fuerza para cada eslabón, iniciando por el eslabón 3 y terminando con el eslabón 1 que está sujeto a la base. Para lo cual se parte de la aplicación de las leyes de Newton para un cuerpo de masa constante se obtiene. [𝑓𝑖 ]𝑖 = 𝑚𝑖 [

𝑑𝑐𝑖̇ ] = 𝑚[𝑐̈𝑖 ]𝑖 𝑑𝑡 𝑖

La razón de cambio de la cantidad de movimiento angular sobre un centro de masa i es igual al momento ejercido en el mismo punto. [𝑛𝑖 ]𝑖 = [𝐼𝑖 ]𝑖 [𝜔̇ 𝑖 ]𝑖 + [𝜔𝑖 ]𝑖 𝑥[𝐼𝑖 ]𝑖 [𝜔̇ 𝑖 ]𝑖 A partir de las ecuaciones anteriores se procede a calcular la fuerza de inercia y el momento ejercido sobre los eslabones alrededor de su centro de masa. Esto permite escribir las ecuaciones de balance de fuerza y momento alrededor del centro de masa de cada eslabón i. [𝑓𝑖 ]𝑖 = [𝑓𝑖−1,𝑖 ] − [𝑓𝑖,𝑖+1 ] + 𝑚𝑖 [𝑔]𝑖 𝑖 𝑖

[𝑛𝑖 ]𝑖 = [𝑛𝑖−1,𝑖 ] − [𝑛𝑖,𝑖+1 ] − [𝑑𝑖 ]𝑖 𝑥[𝑓𝑖−1,𝑖 ] − [𝑟𝑖 ]𝑖 𝑥[𝑓𝑖,𝑖+1 ] 𝑖 𝑖 𝑖 𝑖 Reordenando las ecuaciones de forma recursiva, se obtiene. [𝑓𝑖−1,𝑖 ]𝑖 = [𝑓𝑖 ]𝑖 + [𝑓𝑖,𝑖+1 ]𝑖 − 𝑚𝑖 [𝑔]𝑖 [𝑛𝑖−1,𝑖 ]𝑖 = [𝑛𝑖 ]𝑖 + [𝑛𝑖,𝑖+1 ]𝑖 + [𝑑𝑖 ]𝑖 𝑥[𝑓𝑖−1,𝑖 ]𝑖 + [𝑟𝑖 ]𝑖 𝑥[𝑓𝑖,𝑖+1 ]𝑖 Para la solución de forma recursiva se parte del eslabón final cuyo momento y fuerza [𝑓𝑖−1,𝑖 ]𝑖 y [𝑛𝑖−1,𝑖 ]𝑖 representan el momento y la fuerza externa aplicadas por el eslabón final hacia el medio. Lo que significa que se parte del eslabón 3, eslabón 2 y luego se finaliza en el eslabón 1, partiendo que no existen fuerzas externas aplicadas, se obtiene. [𝑓4,3 ]3 = [𝑛4,3 ]3 = 0 Reemplazando se obtiene. [𝑓3,4 ]4 = [𝑛3,4 ]4 = 0