Aporte Individual Angela -estepa.docx

ALGEBRA LINEAL

PRESENTADO POR: LUZ ANGELA ESTEPA VERDUGO CODIGO 1052406619

GRUPO: 100408_244

PRESENTADO A: EDWIN BLASNILO RUA TUTOR

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA (UNAD) CEAD: DUITAMA MARZO 2019

INTRUDUCCION

Con el desarrollo del presente trabajo colaborativo se busca, que el estudiante conceptualice los conceptos que definen el álgebra lineal; con el fin de comprender las aplicaciones y utilidades que tiene este campo. El Algebra Lineal, aborda temáticas y herramientas, que aplicadas correctamente, permitirán una solución a una problemática planteada. El contenido del Curso de Algebra Lineal. Permite el aprendizaje de conceptos que ayudaran a comprender el uso de las derivadas y las distintas técnicas, que hacen parte de esta área. Para el desarrollo de este trabajo denominado Tarea 1; Se propone el desarrollo de unos ejercicios relacionados con los conceptos y definiciones de las matrices; su solución se realizara, teniendo en cuenta los componentes y cálculos, necesarios para obtener los valores requeridos.

OBJETIVOS 

Conocer, el contenido expuesto en el curso de Algebra Lineal para poder, desarrollar los puntos propuestos.



Hacer, un análisis, referente a los conceptos previos e investigación. Para poder aplicar lo relacionado a este materia, familiarizándose con el concepto de vectores y matrices.



Generar en el estudiante una manera más fácil de practicar y entender lo aprendido, desarrollando y comprendiendo lo que se estudiara en el curso de Algebra Lineal

DESARROLLO DE LA ACTIVIDAD Tomando en cuenta la guía de actividades, a continuación se presentara los ejercicios a desarrollar. REALIZAR MAPA CONCEPTUAL

Matrices: algunas operaciones con vectores, vectores base, producto vectorial.

Figura 1. Mapa Conceptual del contenido de la unidad 1.

Descripción del ejercicio 2 Desarrolla los siguientes ítems luego de leer detenidamente los conceptos de la unidad 1, referentes a vectores y operaciones con vectores en R2 y R3. Presentar la solución con editor de ecuaciones. a) Hallar módulo, dirección, y sentido del siguiente vector:

h2 = a2 + b2 ⃗ | = √122 + 92 |A ⃗ | = √144 + 81 |A ⃗ | = √225 |A ⃗ | = 15 |A Dirección 9 𝛂 = tan−1 ( ) 12 𝛂 = 36,8698 𝐚 = 𝟑𝟔°

Sentido Positivo, positivo ++

Figura 1. Representación gráfica de un vector.

b) Dados los siguientes vectores en forma polar  |u| = 2 ; θ = 120° 

|v| = 3 ; θ = 60°

Realice analíticamente, las operaciones siguientes: ● v̅ − u̅ ● 5v̅ − 2 u̅

v̅ − u̅ = 3∠60° − 2 ∠120° Lo primero es presentar u y v en forma rectangular u̅ = (2cos120°)i + (2sen120°)j

v̅ = (3cos60°)i + (3sen60°)j

1 √3 u̅ = 2 (− ) i + 2 ( ) j 2 2

1 √3 v̅ = 3 ( ) i + 3 ( ) j 2 2

u̅ = −1i + √3j

3 3√3 v̅ = i + j 2 2

u̅ = (−1i, √3j) = −1 , 1.73

3 3√3 v̅ = ( i, j) = 1.5 , 2.60 2 2

Ahora se procede a realizar la diferencia de vectores u̅ − v̅ = (−1 − 1.5 , √3 −

3√3 ) 2

Ahora se procede con el otro ejercicio ̅̅̅̅ ̅̅ = 5(3∠60°) − 2(2 ∠120°) 5v − ̅̅ 2u

Lo primero es presentar u y v en forma rectangular u̅ = 2(2cos120°)i + 2(2sen120°)j 4 4√3 u̅ = 4 (− ) i + 4 ( )j 2 2 u̅ = −8i + 8√3j

u̅ = (−8i, 8√3j) = −8 , 13.85

v̅ = 5(3cos60°)i + 5(3sen60°)j 5 5√3 v̅ = 15 ( ) i + 15 ( )j 2 2 v̅ =

75 75√3 i+ j 2 2

75 75√3 v̅ = ( i, j) = 37.5 , 30.31 2 2

Ahora se procede a realizar la diferencia de vectores v̅ − u̅ = (−8 −

75 75√3 , 8√3 − ) 2 2

c) Encuentre el ángulo entre los siguientes vectores

u̅= 2i + 9j y v̅= -6i – 4j ⃗U ∗ ⃗V = −12 − 36 = −48 ⃗U ∗ ⃗V = |U ⃗⃗ ||V ⃗ | COSθ −48 = √4 + 81 ∗ √36 + 16 ∗ COSθ −48 = √85 ∗ √52 ∗ COSθ

COSθ =

θ = sin−1

−48 √85 ∗ √52 −48 √85 ∗ √52

= 136.21° d) Encuentre la distancia entre los puntos: ● (3,-4, 7) ; (3,-4,9) d = √(xb − xa )2 (yb − ya )2 + (zb − za )2 = = √(3 − 3)2 (−4 − (−4))2 + (9 − 7)2 = = √02 + 02 + 22 = √0 + 0 + 4 = √4 = 2

e) Encuentre el producto cruz u x v y el producto escalar. ● u = -7i + 9j- 8k; v = 9i + 3j -8k Ahora se procede a buscar el producto vectorial o producto cruz

u = (−7i + 9j − 8k), v = (9i + 3j − 8k) u ∗ v = (9(−8) − (−8 ∗ 3))i − (−7 ∗ 8 − (9(−8))j + (−7 ∗ 3 − (9 ∗ 9))k = −48i − 16j − 102k)

Ahora se procede a buscar el producto escalar o punto ● u = -7i + 9j- 8k; v = 9i + 3j -8k u ∗ v = −63i + 27j + 64k

Ejercicio 3: Resolución de problemas básicos sobre vectores en R2 y R3 Descripción del ejercicio 3 Tomando como referencia los temas e ítems del ejercicio 2, resuelve el siguiente problema: Una partícula experimenta tres desplazamientos sucesivos en un plano, como sigue: 4.13 m SO, 5.26 m E, y 5.94 m en una dirección de 64° NE. Elija el eje x apuntando al este y el eje y apuntando hacia el norte, y halle (a) las componentes de cada desplazamiento, (b) las componentes del desplazamiento resultante, (c) la magnitud y dirección del desplazamiento resultante, y (d) el desplazamiento que se requerirá para traer de nuevo a la partícula hasta el punto del arranque. A. AX = A cosθ AX = 4,13m cos225°

Bx = Bcosθ Bx = 5,26m cos0°

Ax = −2,9 m

Bx = 5,26m

Ay = A senθ

By = Bsenθ

Cx = C cos θ Cx = 5.94m cos26° Cx = 5.34m

Cy = Csenθ

Ay = 4.13m sen225°

By = 5,26 m senθ

Ay = −2,9m

Cy = 5,94m sen26°

By = 0 m

Cy = 2,6m

N

C: 5,94 m

E

O B: 5,26 m

A: 4.13 m S

∴ → A = Ax î + Ay ĵ

∴ → B = Bx î + By ĵ

∴ → A = (−2,9î − 2,9ĵ)m

∴ → B = (5,26î + 0ĵ)m

b. → A = (−2,9î − 2,9ĵ)m → B = (5,26î + 0ĵ)m → C = (5,3î + 2,6î)m → S = (7,7 î − 0,3ĵ)m

∴ → C = Cx î + Cy ĵ ∴ → C = (5,3î + 2,6î)m

C. S = + √Sy2 + Sy2

S = + √(7,7)2 + (−3,0)2

tanθ

Sy Sx

tanθ

s = +7,7m

−0,3 7,7

0 = −2,2°

D. el desplazamiento que se requerirá para traer de nuevo a la partícula hasta el punto del arranque es de 7,7m

Descripción del ejercicio 4 a) Exprese la matriz A como una matriz triangular superior haciendo uso únicamente de operaciones elementales: 2 1 4 A= (1 3 5) = 2 ∗ 3 ∗ 7 + 1 ∗ 5 ∗ 5 + 4 ∗ 1 ∗ (−2) − 5 ∗ 3 ∗ 4 − (−2) ∗ 5 ∗ 2 − 7 ∗ 1 ∗ 1 = 12 5 −2 7 Para esta primera no se hace Geogebra b. Calcule el determinante de las siguientes matrices a través de ley de sarus

A=

B=

C=

Para poder hallar la determinante se tomara una de las filas de la matriz A. Para este caso se tomara la fila 1. |A| = −2A11 + (−10)A12 + 7A13 + 0A14 −5 4 −1 A11 = (−1)1+1 |M11 | = |M11 | = |−10 0 0 | 0 0 6 0 4 −1 A12 = (−1)1+2 |M12 | = |M12 | = |0 0 0 | 0 0 6 0 −5 −1 A13 = (−1)1+3 |M13 | = |M13 | = |0 −10 0 | 0 0 6 0 −5 A14 = (−1)1+4 |M14 | = |M14 | = |0 −10 0 0 −5 A11 = |−10 0 0 A12 = |0 0 0 A13 = |0 0

4 0| 0

4 −1 0 0 |=0 0 6 4 −1 0 0 |=0 0 6

−5 −1 −10 0 | = 0 0 6

0 −5 4 A14 = |0 −10 0| = 0 0 0 0 |A| = −2A11 + (−10)A12 + 7A13 + 0A14 = 0 Representación en Geogebra

B= = 1 ∗ 1 ∗ 0 + 0 ∗ 4 ∗ 2 + 3 ∗ 0 ∗ 1 − 2 ∗ 1 ∗ 3 − 1 ∗ 4 ∗ 1 − 0 ∗ 0 ∗ 0 = −10

Geogebra

C= 7 ∗ 3 ∗ 10 + 9 ∗ 1 ∗ (−8) + (−5) ∗ 9 ∗ (−8) − (−8) ∗ 3 ∗ (−5) − (−8) ∗ 1 ∗ 7 − 10 ∗ 9 ∗ 9 = −376

Representación en Geogebra

Realice las siguientes operaciones si es posible: a)

B*C

1 0 3 B = | 0 1 4| 2 1 0 1 |0 2

*

7 C=| 9 −8

9 −5 3 1| −8 10

0 3 7 9 −5 −17 1 4| | 9 3 1 | = |−23 1 0 −8 −8 10 23

−15 25 −17 −29 41 | |−23 21 −9 23

−15 25 −29 41 | 21 −9

= 3760

BC=BC −17 − 15 25 ( −23 − 29 41 ) 23 − 21 − 9 Determinante de BC = 3760

b)

DET(C)*DET(A)*B 180480 0 541440 | 0 180480 721920| = −5878780526592 360960 180480 0

Determinante (C) Determinante (A) B (

180480 0 541440 0 180480 721920) 360960 180480 0

Determinante (CAB)= −5878780526592

Representación de Geogebra

f) 3 * A −2 −10 7 0 −6 −30 21 0 0 −5 4 −1 0 −15 12 −3 3∗| |=| | 0 −10 0 0 0 −30 0 0 0 0 0 6 0 0 0 18 M1=3A −6 −30 21 0 0 −15 12 −3 ( ) 0 −30 0 0 0 0 0 18 Representación en Geogebra

Ejercicio 5: Resolución de problemas básicos sobre matrices Descripción del ejercicio 3 Tomando como referencia los temas e ítems del ejercicio 4, resuelve el siguiente problema: Un hipermercado quiere ofertar tres clases de bandejas: A, B y C. La bandeja A contiene 40 g de queso manchego, 160 g de roquefort y 80 g de camembert; la bandeja B contiene 120 g de cada uno de los tres tipos de queso anteriores; y la bandeja C, contiene 150 g de queso manchego, 80 g de roquefort y 80 g de camembert. Si se quiere sacar a la venta 50 bandejas del tipo A, 80 de B y 100 de C, obtén matricialmente la cantidad que necesitarán, en kilogramos de cada una de las tres clases de quesos. Respuesta. Organizar los datos de las dos matrices, el producto da la matriz que se busca con las cantidades de gramos. A

B

C

M 40 120 150 A 50 M 26 600 R (160 120 80 ) . B ( 80 ) = R (25 600) Ca 80 120 80 C 100 Ca 21 600

En kilogramos queda de la siguiente manera M 26,6 26 600 1 . (25 600) = R (25,6 ) 100 21 600 Ca 21,6

Ejercicio 6: Resolución de problemas básicos sobre matrices Descripción del ejercicio 6 Desarrolla los siguientes ejercicios luego de leer detenidamente los conceptos de la unidad 1, referentes a matrices, operaciones con matrices y determinantes. Presentar la solución con editor de ecuaciones. Tres personas, A, B, C, quieren comprar las siguientes cantidades de fruta: A: 2 kg de peras, 1 kg de manzanas y 6 kg de naranjas. B: 2 kg de peras, 2 kg de manzanas y 4 kg de naranjas. C: 1 kg de peras, 2 kg de manzanas y 3 kg de naranjas. En el pueblo en el que viven hay dos fruterías F1 y F2. En F1, las peras cuestan 1.5 euros/ kg, las manzanas 1 euro/ kg, y las naranjas 2 euros/kg. En F2, las peras cuestan 1.8 euros/kg, las manzanas 0,8 euros/kg, y las naranjas 2 euros / kg. ● Hallar la inversa de la matriz donde se representó la cantidad de fruta (peras, manzanas y naranjas) que quiere comprar cada persona (A, B, C), por Gauss Jordán y luego por determinantes utilizando la fórmula ● Compruebe todas las respuestas en Geogebra

Solución En la siguiente matriz vemos en la primera columna está representada la cantidad de peras, en la segunda la cantidad de manzanas y en la ultima la cantidad de naranjas. Entonces la inversa de esto la obtenemos completando la matriz 216 100 (2 2 4|0 1 0) 123 001

f2 = f2 − 1f1 216 1 0 0 (0 1 − 2|−1 1 0) 1 2 3 0 0 0 1

f3 = f3 − 2 f1

f2 ↔ f3

2

f3 = f3 − 3 f2

2

f3 = f3 − 3 f3

2 1 6 1 0 0 ( 0 1 − 2 | −1 1 0 ) 3 1 1 2 0 −2 01

2 1 6 1 0 0 3 1 ( 0 2 0 |− 2 0 1) 0 1 − 2 −1 1 0

1 0 0 2 1 6 1 3 ( 0 2 0 | −2 0 0 ) 2 2 0 0 −2 −3 1 −3

2 1 6 11 0 0 3 (0 2 0|− 2 0 1) 1 1 1 0 0 1 3 −2 3

La graficas en el programa Geogebra para demostrar las respuestas anteriormente obtenidas, no se pudo realizar ya que en el programa se presentó errores que llevaban a un resultado equivocado. Se intentó usar las herramientas para poder aplicar estos procesos en el software, pero no se logró un resultado exitoso. 7.

Link de prezi: Usos del Algebra Lineal en la vida cotidiana y cómo influye el álgebra lineal en el programa de estudio. https://prezi.com/sh9mtnwiorol/?utm_campaign=share&utm_medium=copy&rc=ex0share

CONCLUSIONES

Al conocer las características y leyes que trabajan el Algebra Lineal, proporciona mayor asimilación, de conocimientos que posteriormente serán de gran utilidad para poder entender diferentes comportamientos donde se aplican las matrices. Al realizar la investigación de este trabajo se puede tener un concepto sobre los temas tratados en la materia, conocer sus parámetros, magnitudes y tener presente las técnicas de solución de una matriz, para construir bases para un desarrollo futuro.

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

DOCUMENTOS IMPRESOS 

Duran, Jorge Eliecer Rendón (2011). Algebra, trigonometría y geometría. UNAD. Bogotá



Zúñiga, Camilo Arturo (2010). Algebra Lineal. UNAD. Bogotá



N.d (2010). Manual Estilo APA. 3ª edición al español. (CEUNI). Recuperado de http://biblioinstruccion.blogspot.com



Universidad abierta y a distancia. (2018). Guía de Actividades y rubrica de evaluación – Tarea1.

DOCUMENTOS WEB  Rodriguez, Manuel. (MAELEC 8.9). (2017) Canal de YouTube de Producciones MAELEC 8.9. Recuperado de https://www.youtube.com/user/maelec89 

Rodriguez, Manuel. (4 de Septiembre de 2013). Blog de Producciones MAELEC 8.9. Recuperado de http://maelec89.blogspot.com