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SISTEMAS DINAMICOS

ETAPA 1 MODELAR EL SISTEMA DINÁMICO EN EL DOMINIO DEL TIEMPO SISTEMAS DINAMICOS

Se presentan cinco (5) modelos diferentes sobre el equipo industrial que se requiere modelar, cada estudiante selecciona un modelo diferente del sistema eléctrico para ser analizado. Por lo tanto, se requiere que indique en el foro colaborativo el modelo a usar, con el fin de no repetir modelos, es importante aclarar que no se aceptan modelos repetidos. Sistemas Eléctricos A continuación, se presenta un diagrama simplificado del nuevo equipo industrial, en el cual se tiene como variable de entrada el voltaje de alimentación (𝑡) y como variable de salida el voltaje en la bobina L 𝑒𝐿.

Circuito Mixto N°3 RLC Ecuaciones Base 𝑣(𝑡) = 𝑅1 (𝑡) 𝑑𝑖(𝑡) 𝑣(𝑡) = 𝐿 𝑑𝑡 𝑖(𝑡) = 𝑐

𝑑𝑣(𝑡) 𝑑𝑡

𝑖𝑅 =

2 3𝑒𝑐2

𝐸𝑠 𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑎𝑙 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑟 𝑒𝑙𝑒𝑣𝑎𝑑𝑎 𝑎𝑙 2 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑛𝑜 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑙.

Corrientes 𝐸𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 𝑣(𝑡) 𝑉𝑜𝑙𝑡𝑎𝑗𝑒 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑑𝑜

𝑖𝐿 (𝑡) = 𝐶𝑜𝑟𝑟𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑏𝑜𝑏𝑖𝑛𝑎

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𝑖𝑅 (𝑡) = 𝐶𝑜𝑟𝑟𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎

𝑆𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎 𝑣𝑙 (𝑡) 𝑉𝑜𝑙𝑡𝑎𝑗𝑒 𝑑𝑒 𝑠𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎

𝑖𝑐 (𝑡) = 𝐶𝑜𝑟𝑟𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑐𝑜𝑛𝑑𝑒𝑛𝑠𝑎𝑑𝑜𝑟

Malla1: Como la resistencia y el condensador están en paralelo el voltaje es el mismo 𝑒𝑐 = 𝑒𝑅

Tenemos el valor de 𝐶 = 4𝐹 1 𝑒𝑐 = 𝑐 ∫ 𝑖𝑐 𝑑𝑡 1

𝑒𝑐 = 4 ∫ 𝑖𝑐 𝑑𝑡

Reemplazamos

Para eliminar la integral aplicamos la derivada: 𝑑𝑒𝑐 𝑑𝑡

1

=

𝑑( ∫ 𝑖𝑐 𝑑𝑡) 4 𝑑𝑡

1

= 4 𝑖𝑐

𝒅𝒆𝒄 𝒅𝒕

𝟏

= 𝒊𝒄 𝟒

Ecuación 1

Malla2: De igual forma La bobina y la resistencia 1 están en paralelo por tanto:

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𝑒𝐿 = 𝑒𝑅1 𝑑𝑖𝐿 𝑑𝑖𝐿 𝑒𝐿 = 𝐿 𝑆𝑒 𝑟𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎 𝑒𝐿 = 1 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑒𝑅1 = 𝑖𝑅1 ∙ 𝑅1 𝑆𝑒 𝑟𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎 𝑒𝑅1 = 𝑖𝑅1 ∙ 1Ω = 𝑖𝑅1 𝑒𝑅1 = 𝑖𝑅1 Ecuación 2

Malla3: Por leyes de voltaje de Kirchhoff: 𝑒𝑐 + 𝑒𝑅1 − 𝑒(𝑡) = 0 𝑒(𝑡) = 𝑒𝑐 + 𝑒𝑅1 Sabíamos que 𝑒𝐿 = 𝑒𝑅1 𝑑𝑖𝐿 𝑑𝑖𝐿 =1∙ 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑖𝐿 𝑒𝑐 + 1 ∙ = 𝑒(𝑡) 𝑑𝑡 = 𝑒(𝑡) − 𝑒𝑐 Ecuación 3 𝑒𝐿 = 𝐿

𝑑𝑖𝐿 𝑑𝑡

Nodo A. Tenemos que la sumatoria de corrientes que entran es igual a las que salen. Ecuación de corrientes del nodo A: 𝑖𝑅 + 𝑖𝑐 = 𝑖𝑅1 + 𝑖𝑅2 + 𝑖𝐿 Sabemos que la corriente es la misma en un Circuito en serie: 𝑖𝑅2 = 𝑖𝐿 Reemplazando se obtiene: 𝑖𝑐 = 𝑖𝑅1 + 2𝑖𝐿 − 𝑖𝑅

𝑖𝑐 =

Se reemplaza la 𝑖𝑐 y

𝑑𝑖𝐿 𝑑𝑡

𝑑𝑖𝐿 𝑑𝑡

2

+ 2𝑖𝐿 − 3𝑒 2 Ecuación 4

en la Ecuación 1:

𝑐

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𝒅𝒆𝒄 𝟏 𝑑𝑖𝐿 2 = ( + 2𝑖𝐿 − 2 ) 𝒅𝒕 𝟒 𝑑𝑡 3𝑒𝑐 Quedaría

𝑑𝑒𝑐 𝑑𝑡

1

2

= 4 ((𝑒(𝑡) − 𝑒𝑐 ) + 2𝑖𝐿 − 3𝑒 2 ) 𝑐

Ecuaciones Diferenciales del sistema no lineal:

𝒅𝒆𝒄 𝟏 2 = (𝑒(𝑡) − 𝑒𝑐 + 2𝑖𝐿 − 2 ) 𝒅𝒕 𝟒 3𝑒𝑐 𝒅𝒊𝑳 = 𝑒(𝑡) − 𝑒𝑐 𝒅𝒕

Variables de Estado:

𝒅𝒆𝒄 𝒅𝒕

𝑑𝑖𝐿 𝑑𝑡

𝟏 𝟒

= (𝑒(𝑡) − 𝑒𝑐 + 2𝑖𝐿 −

𝟏 𝑋̇1 (𝑡) = (𝑢(𝑡) − 𝑋1 + 2𝑋2 −

2 ) 3𝑒𝑐2

𝟒

𝑋̇2 (𝑡) = 𝑢(𝑡) − 𝑋1

= 𝑒(𝑡) − 𝑒𝑐

Ecuaciones Diferenciales Linealizadas:

𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑚𝑜𝑠

2 3𝑒𝑐2 2

𝑙𝑢𝑒𝑔𝑜 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒:

𝑒𝑣𝑎𝑙𝑢𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑛 ∶

𝑑 (3𝑒 2 ) 𝑐

𝑑𝑡

=

−4 =0 3(0)3𝑐

Según lo anterior las Ecuaciones diferenciales Linealizadas son: 𝐝𝐞𝐜 𝟏 = (𝑒(𝑡) − 𝑒𝑐 + 2𝑖𝐿 ) 𝐝𝐭 𝟒

−4 3𝑒𝑐3

2 3𝑋21

)

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𝐝𝐢𝐋 = 𝑒(𝑡) − 𝑒𝑐 𝐝𝐭

Variables de Estado del sistema Linealizado:

𝑑𝑒𝑐 (𝑡) [𝑑𝑖𝑑𝑡(𝑡) ] 𝐿 𝑑𝑡

=[

1 4

1 2]

−1 0

∙[

1 𝑒𝑐 (𝑡) ] + [ 4 ] ∙ [𝑒(𝑡)] 𝑖𝐿 (𝑡) 1

𝑣 (𝑡) [𝑦] = [−1 0] ∙ [ 𝑐 ] 𝑖 (𝑡) 𝐿

Probamos la Controlabilidad: Sabemos que la matriz de Controlabilidad C’ es: 𝐶′ = [𝐵

𝐴𝐵] , donde A y B son las constantes que acompañan a las variables de estado. 1 1 1 1 + 𝐶 ′ = [4 16 2] = [4 1 1 − 1 4 𝑑𝑒𝑡𝐶 ′ = −

9 16 ] 1 − 4

1 9 5 − = − ≠ 0 𝑒𝑙 𝑆𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑒𝑠 𝐶𝑜𝑛𝑡𝑟𝑜𝑙𝑎𝑏𝑙𝑒. 16 16 8

Probamos la Observabilidad: Tenemos que las ecuaciones de estado son las siguientes: 1 1 𝑥 (𝑡) 1 𝑋̇ (𝑡) [ 1 ] = [ 4 2] ∙ [ 1 ] + [4] ∙ [𝑢(𝑡)] 𝑥2 (𝑡) 𝑋̇ 2 (𝑡) −1 0 1 𝑦(𝑡) = [−1 0] ∙ [

𝑥1 (𝑡) ] 𝑥2 (𝑡)

Sabemos que la matriz de Observabilidad O’ es: 𝑂′ = [

−1 0 𝐶 ] = [− 1 − 1] , donde A y C son las constantes que acompañan a las variables de estado. 𝐶𝐴 4 2

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El rango de la matriz de Observabilidad es Igual al número de variables de estado y su determinante es diferente de cero, por tanto es observable. 𝑑𝑒𝑡𝑂′ = 0 −

1 1 = − ≠ 0 𝑒𝑙 𝑆𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑒𝑠 𝑂𝑏𝑠𝑒𝑟𝑣𝑎𝑏𝑙𝑒. 2 2