Etapa5 Aporte Individual

𝑅𝑒𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝐻𝑖𝑑𝑟á𝑢𝑙𝑖𝑐𝑎 𝑅𝐻 = 0.62 𝑚2 /𝑠 𝐶𝑎𝑢𝑑𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝐸𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 𝑄𝑖 = 5.5 𝑚3 /𝑠 Á𝑟𝑒𝑎 𝑇𝑟𝑎𝑠𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎𝑙 𝑑𝑒𝑙 𝑡𝑎𝑛𝑞𝑢𝑒 𝐴 = 10 𝑚2 𝐴𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑎 ℎ0 = 0.15 𝑚 𝐴𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑎 ℎ = 7.85 𝑚

Para cada modelo seleccionado, el estudiante desarrolla las siguientes actividades:

1. Exprese el modelo matemático del sistema no lineal mediante una ecuación diferencial. Para el sistema de llenado del tanque tenemos una variación de la altura con respecto al tiempo, la cual va a dar como resultado una acumulación:

𝐴𝑐𝑢𝑚𝑢𝑙𝑎𝑐𝑖ó𝑛 = 𝑄𝑖 − 𝑄𝑜

En función del tiempo se puede expresar como: 𝑑𝑉 = 𝑄𝑖 − 𝑄𝑜 𝑑𝑡 El caudal se puede calcular como: 𝑄 =𝑣∗𝐴

Donde A es constante y v es la velocidad, la cual se calcula aplicando el Teorema de Bernoulli. 1 𝑚𝑣 2 = 𝑚𝑔ℎ 2 Ahora se despeja la velocidad: 𝑣 = √2𝑔ℎ Por tanto, reemplazando la velocidad en la ecuación para el caudal, se tiene que: 𝑄 = 𝐴 ∗ √2𝑔ℎ Para efectos prácticos, el caudal de entrada se supone constante. Para el caudal de salida, se supone una válvula inteligente: 𝑄𝑠 = 𝐴𝐶𝑞 √2𝑔ℎ Donde Cq es el coeficiente de descarga de la válvula. Se reemplaza en la ecuación: 𝑑𝑉 𝑑ℎ =𝐴 = 𝑞𝑖 − 𝑎 ∗ 𝐶𝑞 √2𝑔ℎ 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑ℎ 1 = (𝑞 − 𝑎 ∗ 𝐶𝑞 √2𝑔ℎ) 𝑑𝑡 𝐴 𝑖 Asociando la constante hidráulica: 𝑎 ∗ 𝐶𝑞 √2𝑔ℎ 2√ℎ𝑜

=

1 𝑅𝐻

Reemplazando en la ecuación diferencial: (ℎ − ℎ0 ) 𝑑ℎ 1 = (𝑞𝑖 − 𝑞(ℎ0 ) + ) 𝑑𝑡 𝐴 𝑅𝐻 𝐴

𝑑ℎ (ℎ − ℎ0 ) + = 𝑞𝑖 − 𝑞0 (ℎ0 ) 𝑑𝑡 𝑅𝐻

Con el objetivo de organizar mejor la ecuación diferencial, se sustituyen las diferencias por: 𝑄 = 𝑞𝑖 − 𝑞0 ℎ0 𝐻 = ℎ − ℎ0 Si se sustituye en la ecuación: 𝐴

𝑑𝐻 𝐻 + =𝑄 𝑑𝑡 𝑅𝐻

Se despeja la derivada: 𝑑𝐻 𝑄 𝐻 = − 𝑑𝑡 𝐴 𝐴𝑅𝐻

2. Exprese el modelo matemático del sistema no lineal en el espacio de estados mediante variables de estados. La ecuación de estado es: 𝑑𝐻 𝑄 𝐻 = − 𝑑𝑡 𝐴 𝐴𝑅𝐻 La ecuación anterior la podemos escribir como ecuación de estado de la siguiente manera [

𝑑ℎ(𝑡) 1 1 ] = [− ] [ℎ(𝑡)] + [ ] 𝑄𝑖 𝑑𝑡 𝐴𝑅𝐻 𝐴

La salida del sistema es la altura del agua en el tanque, por ende, 𝑦 = [1][ℎ(𝑡)] Las ecuaciones de estado son: [

𝑑ℎ(𝑡) 1 1 ] = [− ] [ℎ(𝑡)] + [ ] 𝑄𝑖 𝑑𝑡 𝐴𝑅𝐻 𝐴 𝑦 = [1][ℎ(𝑡)]

3. Exprese el modelo matemático linealizado mediante una ecuación diferencial.

𝑑ℎ ℎ = 0,55 − 𝑑𝑡 6,2

4. Exprese el modelo matemático del sistema mediante una función de transferencia.

𝐺(𝑠) =

𝐻(𝑠) 𝑄(𝑠)

La ecuación diferencial que describe al sistema es: 𝑑ℎ 𝑄𝑖 𝐻 = − 𝑑𝑡 𝐴 𝐴𝑅𝐻

Basándose en la ecuación diferencial, es posible obtener una función de transferencia en el plano de Laplace: 𝐴 ∗ 𝑠 ∗ 𝐻(𝑠) + 𝐺(𝑠) =

1 ∗ 𝐻(𝑠) = 𝑄(𝑠) 𝑅𝐻

𝐻(𝑠) 1 = 𝑄(𝑠) 𝐴 ∗ 𝑠 + 1 𝑅𝐻

Normalizando: 𝐺(𝑠) =

1/𝐴 1 𝑠+𝐴∗𝑅 𝐻

Reemplazando los datos en la función de transferencia: 𝐺(𝑠) =

0,1 𝑠 + 0,1613

5. Represente el sistema linealizado mediante un diagrama de bloques.

𝑄𝑆

0,1 𝑠 + 0,1818

𝐻𝑆

6. Determine el error en estado estacionario del sistema. El error de estado estacionario se encuentra al realimentar el sistema, introducir una señal escalón unitario y ver el límite cuando 𝑡 → ∞ 1 𝐺(𝑠) 𝑒𝑒𝑒 = lim 𝑠 ⋅ ⋅ 𝑠→0 𝑠 1 + 𝐺(𝑠)

𝑒𝑒𝑒 = lim

𝑠→0 𝑠 2

0,1𝑠 + 0,01613 + 0,4226𝑠 + 0,04214

𝑒𝑒𝑒 = 0,3828 7. A partir de la ecuación característica del sistema, determine la estabilidad del mismo. Para analizar la estabilidad del calculan los polos de la función de transferencia 𝑠+

1 =0 𝐴𝑅𝐻

𝑠=−

1 𝐴𝑅𝐻

En este caso el valor del polo es, 𝑠 = −0,1613 La raíz del sistema es real negativa, lo que indica que el sistema es Estable.

Practica El sistema a simular se muestra a continuación, para simularlo se usó la función de transferencia obtenida, y las variables de entrada son el caudal de entrada y dos segundos después el escalón unitario.

Los resultados de la simulación son mostrados a continuación, en azul se muestra la señal de salida, mientras en rojo se muestra la señal de entrada.