Matematica Aplicada Un I

Matemática Aplicada

Professora conteudista: Ângela Maria Pizzo

MATEMÁTICA APLICADA

Funções 1 FUNÇÕES

Na matemática, uma relação é apenas um conjunto de pares requisitados. Se utilizamos {} como o símbolo para o “conjunto”, temos abaixo alguns exemplos de relações entre pares ordenados: 5

• {(0.1), (55.22), (3, - 50)}; • {(0, 1), (5, 2), (- 3, 9)}; • {(- 1.7), (1, 7), (33, 7), (32, 7)}. Por vezes podemos identificar, em várias situações práticas, variáveis que estão em relação de dependência.

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Aqui, buscamos explicitar situações que envolvam essa relação de dependência, determinando, assim, suas variáveis.

Essa identificação será baseada em parte da teoria de conjuntos vista no módulo I. Lá verificamos que podemos relacionar números por meio de relações gráficas em um plano 15 cartesiano, números que de maneira geral são chamados “x” e “y” pelos matemáticos. Apesar de amplamente rejeitado, em diversos momentos de nosso dia a dia, empregamos o conceito de função, até sem perceber.

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Funções Exibiremos aqui algumas situações do nosso cotidiano nas quais podemos destacar tais relações funcionais:

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• Quando completamos velozmente o cálculo de um lanche, ao pedirmos dois salgados e um refrigerante, não sabemos imediatamente quanto iremos gastar? • Ao completarmos uma previsão de gastos residenciais e compará-los com a renda familiar, sabemos se teremos condições de adquirir um bem?

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• Ao finalizarmos um crediário, verificamos se o valor final terá um acréscimo e de quanto, isto é, iremos ou não aceitar os juros propostos pela empresa? • Ao calcularmos a quantidade de material necessária para uma reforma, podemos estimar os gasto iniciais?

É fato que o conceito de função, juntamente com sua 15 representação gráfica, é a ferramenta matemática mais potente na formatação de problemas empresariais, motivo que nos levará a estudá-lo de modo amplo. Além disso, deve ser continuamente exercitado, pois na figura de gestor a tomada de decisões, quando amparada por ferramentas matemáticas, é 20 essencial para o sucesso pretendido. Claramente, em uma relação entre pares ordenados não há absolutamente nenhuma condição especial que a estabeleça. Isto é: qualquer conjunto de números é uma relação, contanto que esses números sejam pares ordenados. 25

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Já para uma função temos condições precisas que definem sua existência. Ainda assim, funções são um tipo especial da relação.

MATEMÁTICA APLICADA Vejamos: Uma relação f: A → B é chamada de função se i. não há elemento x em A sem correspondente y em B (não podem “sobrar” elementos de A); 5

ii. qualquer elemento x de A tem um único correspondente y em B (não pode haver elemento de A “associado” a mais de um elemento de B).

Observação: No entanto, elementos distintos de A podem ser associados a um mesmo elemento de B e podem “sobrar” 10 elementos de B. Outra representação mais conveniente e muito mais utilizada é: uma função é uma relação entre duas variáveis x e y, de forma que o conjunto de valores para x seja atribuído, e a cada valor x seja associado um e somente um valor para y, 15 como y = f(x). Nesse caso: • o conjunto de valores de x é nomeado o domínio da função; 20

• as variáveis x e y são nomeadas, simultaneamente, independente e dependente. A relação entre as variáveis x e y tem uma significação de grande apelo visual, que destaca propriedades da função.

Pode-se, por meio da descrição gráfica da função, observar diretamente, por exemplo, se as variáveis estão em relação 25 crescente (isto é, aumento em x associado a aumento em y) ou se a variação de y é dependente quadrática da variação de x etc.

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Funções 1.1 Função constante

É toda a função y = k, em que k é uma constante real. Verifica-se que o gráfico dessa função é uma reta horizontal, passando pelo ponto de ordenada k.

Y

k

x 1.2 Função linear

Sendo A e B conjuntos de números reais, e m uma constante 5 real diferente de zero, dizemos que uma função f: A → B, com f (x) = m . x é uma função linear. O gráfico de uma função linear é um conjunto de pontos sobre uma reta que passa pelo ponto (0,0) ou a origem do gráfico cartesiano. y

x

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MATEMÁTICA APLICADA 1.3 Função do 1º grau

Esse tipo de função apresenta um grande número de aplicações em nosso dia a dia. Mesmo problemas muito complexos podem ser representados em primeira aproximação por esse tipo de função. Daí seu uso frequente em economia, 5 gestão de recursos humanos, descrições de mercado, por exemplo. Uma função é chamada de função afim (ou função do 1º grau) se sua sentença for dada por: y = m . x + n, sendo m e n constantes reais com m ≠ 0. 10

Verifica-se que o gráfico de uma função do 1º grau é uma reta. Assim, ele pode ser obtido por meio de dois pontos distintos. 1. a constante n é chamada de coeficiente linear e representa, no gráfico, a ordenada do ponto de intersecção da reta com o eixo y.

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2. a constante m é chamada de coeficiente angular e representa a variação de y correspondente a um aumento do valor de x igual a 1, aumento esse considerado a partir de qualquer ponto da reta; quando m > 0, o gráfico corresponde a uma função crescente, e, quando m < 0, o gráfico corresponde a uma função decrescente. Seja x1 a abscissa de um ponto qualquer da reta e seja x2 = x1 + 1. Sejam y1 e y2 as ordenadas dos pontos da reta correspondentes àquelas abscissas. Teremos

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y1 = m . x1 + n y2 = m . x2 + n

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Funções Subtraindo membro a membro as duas relações anteriores, e tendo em conta que x2 = x1 + 1, obtêm-se: 5

coeficiente angular m =

y2 − y1 x2 − x1

3. assim, conhecendo-se dois pontos de uma reta A (x1 , y1 ) e B (x2 , y2 ), o coeficiente angular m é facilmente determinado. 10

4. Da mesma forma, conhecendo-se um ponto P (x0 , y0) de uma reta e seu coeficiente angular m, a função correspondente é dada por y – y0 = m (x – x0). Ou seja: equação da reta y=m.(x - x0) + y0 Aplicações

O valor a ser pago na conta de água de uma empresa 15 depende do consumo medido no período; o tempo de uma viagem de caminhão entre duas cidades depende da velocidade média desenvolvida no trajeto. São cálculos que nos levam a um custo logístico. Quando uma indústria lança um produto no mercado, para 20 fixar seu preço, ela tem que levar em conta os custos para sua produção e sua distribuição, que dependem de diversos fatores, entre eles as despesas com energia, aluguel de prédio, custo das matérias-primas e salários. Como esses custos podem variar, a indústria tem que “equacionar” essas variáveis, a fim de compor 25 o preço do seu produto. Podemos utilizar a linguagem matemática para representar essas relações de dependência entre duas ou mais grandezas.

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MATEMÁTICA APLICADA Dizemos que: • o preço de uma peça de carne é dado em função do “peso” da peça; • a taxa de desemprego é dada em função do mês. 5

Vamos ver algumas definições úteis em uma análise gerencial e em que se utilizam os conceitos e métodos analíticos das funções:

Função demanda de mercado: a demanda (ou procura) de um determinado bem é a quantidade desse bem que os 10 consumidores pretendem adquirir num certo intervalo de tempo (dia, mês, ano...). Podemos entender a demanda como: a quantidade de produtos que compradores desejam e podem adquirir a diversos níveis de preço. Devemos observar uma relação inversa/negativa 15 entre preço e quantidade (“Lei Geral da Demanda”). O que isso significa? • quando se tratar de demanda, pense como um consumidor, ou seja: “se o preço estiver subindo eu vou comprar menos”. 20

A demanda de um bem é função de várias variáveis: preço por unidade do produto, renda do consumidor, preços de bens substitutos, gostos e outros. Supondo-se que todas as variáveis mantenham-se constantes, exceto o preço unitário do produto (p), verifica-se que o preço p relaciona-se com a quantidade 25 demandada (x). Chama-se função de demanda à relação entre p e x, indicada por p = f(x). O que regula a demanda de consumo? Fatores como: 1. preço

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Funções 2. renda 3. preço de produtos similares 4. gosto 5. expectativa 5

6. número de consumidores 7. marca 8. atendimento 9. localização 10. forma de pagamento

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11. qualidade 12. propaganda 13. status 14. etc.

Existe a função de demanda para um consumidor individual 15 e para um grupo de consumidores (nesse caso, x representa a quantidade total demandada pelo grupo, a um nível de preço p). Em geral, quando nos referimos à função de demanda, faremos referência a um grupo de consumidores e o chamaremos de função de demanda de mercado. 20

Qd= -a.P +b Onde:

• Qd é a quantidade de demanda por unidade de tempo; • P é o preço do bem. Essa função de primeiro grau é representada por uma reta 25 decrescente, já que a<0.

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MATEMÁTICA APLICADA Isso está em concordância com o gráfico de p em função de x (que chamaremos de curva de demanda). Trata-se um gráfico de uma função decrescente, pois quanto maior o preço, menor a quantidade demandada. Cada função de demanda depende 5 dos valores em que ficaram fixadas as outras variáveis (renda, preço de bens substitutos e outros). Assim, se for alterada a configuração dessas outras variáveis, teremos nova função de demanda. Função oferta de mercado: é a quantidade de produtos que 10 vendedores desejam e podem produzir para vender a diversos níveis de preço. Existe uma relação direta/positiva entre preço e quantidade (“lei geral da oferta”). 15

• quando se tratar de oferta, pense como um empresário: “se o preço estiver subindo eu vou vender mais produtos”. Quais são os fatores que influenciam a oferta feita ao mercado? 1. preço; 2. preço dos insumos;

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3. tecnologia; 4. expectativa; 5. concorrência; 6. demanda; 7. sazonalidade;

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8. impostos; 9. temperatura; 10. disponibilidade dos insumos;

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Funções 11. tecnologia; 12. religião; 13. etc. Chamamos de oferta de um bem, em certo intervalo de 5 tempo, a quantidade do bem que os vendedores desejam oferecer no mercado. A oferta é dependente de várias variáveis: preço do bem, preço dos insumos utilizados na produção, tecnologia utilizada e outros. Mantidas constantes todas as variáveis, exceto o preço do próprio bem, chamamos de função de oferta 10 a relação entre o preço do bem (p) e a quantidade ofertada (x) e a indicamos por p = g(x). Normalmente, o gráfico de p em função de x é o de uma função crescente, pois quanto maior preço, maior a quantidade ofertada. Tal gráfico é chamado “curva de oferta”. Observemos 15 que termos uma curva de oferta para cada configuração das outras variáveis que afetam a oferta. preço e quantidade de equilíbrio: é o ponto de intersecção entre as curvas de demanda e oferta. Assim, temos um preço e uma quantidade de equilíbrio; 20

Por exemplo: p

oferta 3 demanda 500

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MATEMÁTICA APLICADA receita total: seja x a quantidade vendida de um produto, chamamos de função receita o produto de x pelo preço de venda e indicamos por R; custo total: seja x a quantidade produzida de um produto, 5 o custo total de produção (ou simplesmente custo) depende de x, e a relação entre eles chamamos de função custo total (ou simplesmente função custo), e a indicamos por C. Existem custos que não dependem da quantidade produzida, tais como aluguel, seguros e outros. A soma 10 desses custos que não dependem da quantidade produzida chamamos de custo fixo e indicamos por CF. A parcela do custo que depende de x chamamos de custo variável e indicamos por CV. Assim, podemos escrever: 15

C = CF + CV

Verificamos também que, para x variando dentro de certos limites (normalmente não muito grandes), o custo variável é geralmente igual a uma constante multiplicada pela quantidade x. Essa constante é chamada “custo variável 20 por unidade”. ponto crítico (break even point) ou ponto de nivelamento: o ponto de nivelamento é o valor de x tal que R(x) = C(x); função lucro: é definida como a diferença entre a função receita R e a função custo C; assim, indicando a função lucro 25 por L, teremos: L(x) = R(x) − C(x); margem de contribuição: é a diferença entre o preço de venda e o custo variável por unidade.

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Funções Vamos, agora, resolver exercícios, repetindo e exemplificando essas definições administrativas de grande importância em atividades empresariais. 5

1. Quando o preço de venda de uma determinada mercadoria é R$ 100,00, nenhuma é vendida. Quando a mercadoria é fornecida gratuitamente, 50 são procuradas. Ache a função do 1º grau ou equação da demanda e calcule a demanda para o preço de R$ 30,00. Solução: sejam: p = preço de venda e D = demanda.

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Do enunciado, temos: 1º) p = 100 ⇒ D = 0 e 2º) p = 0 ⇒ D = 50. Como a função é do 1º grau, y = ax + b e, calculando x = p e y = D, temos: D = ap + b. Devemos achar os valores de a e b da função.

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Substituindo p = 100 e D = 0 ⇒ 0 = a.100 + b (equação I); substituindo p = 0 e D = 50 ⇒ 50 = a.0 + b ⇒ b = 50; Voltando à equação I, temos: 0 = a.100 + 50 ⇒ a = -0,5. E daí, D = - 0,5p + 50. A equação de demanda ou função demanda é: D = -0,5p + 50;

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substituindo p = 30 na equação D = - 0,5p + 50, temos: D = - 0,5. 30 + 50 = 35; assim, para o preço de R$ 30,00 a demanda é de 35 unidades.

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2. Suponha que as funções demanda e oferta sejam dadas por funções lineares, tais que:

D(p) = 34 - 5p S(p) = -8+2p

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MATEMÁTICA APLICADA Qual é o preço de equilíbrio de mercado para essas funções? De acordo com a definição dada, o equilíbrio de mercado é um par (p, y), tal que y = D(p) = S(p), ou seja: 5

34 - 5p = -8 +2p 34 + 8 = 2p + 5p 42 = 7p p=6 logo, o preço do equilíbrio é R$ 6,00.

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Para obter a quantidade de equilíbrio, basta substituir p = 6,00 em umas das funções. Utilizando a função oferta, temos:

S = - 8 + 2.6 = 4 Logo, a quantidade de equilíbrio é de 4 unidades. 15

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3. Considere a função RT = 20,5.q, onde o preço é fixo (R$20,50) e q, a quantidade de produtos vendidos (0 < q < 120 unidades). Qual a quantidade de produtos vendidos quando a receita total atinge o valor de R$1.025,00?

RT = 1.025 20,5.q = 1.025 q= 1.025 20,5 q = 50 unidades vendidas Portanto, a receita total atinge o valor de R$ 1.025,00, quando são vendidas 50 unidades do produto.

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