Analise Matematica I

ANÁLISE MATEMÁTICA I

TEORIA E EXERCÍCIOS ANA SÁ BENTO LOURO

2003

´Indice 1 No¸co ˜es Topol´ ogicas, Indu¸c˜ ao Matem´ atica e Sucess˜ oes 1.1 No¸co˜es topol´ogicas em R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Indu¸ca˜o matem´atica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Sucess˜oes de n´ umeros reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Fun¸co ˜es Reais de Vari´ avel Real: Limites e Continuidade 2.1 Generalidades sobre fun¸co˜es reais de vari´avel real . . . . . . . . . . . . 2.2 Limites. Limites relativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Continuidade: propriedades das fun¸co˜es cont´ınuas. Teorema de Bolzano 2.4 Continuidade uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Fun¸co ˜es Reais de Vari´ avel Real: C´ alculo Diferencial 3.1 Derivadas. Regras de deriva¸ca˜o. . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Teoremas Fundamentais: Rolle, Darboux, Lagrange e Cauchy. 3.3 Indetermina¸co˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Teorema de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5 Aplica¸co˜es da f´ormula de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Fun¸co ˜es Reais de Vari´ avel Real: Primitiva¸c˜ ao 4.1 Primitivas imediatas . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Primitiva¸ca˜o por partes e por substitui¸ca˜o . . . 4.3 Primitiva¸ca˜o de fun¸co˜es racionais . . . . . . . . 4.4 Primitiva¸ca˜o de fun¸co˜es alg´ebricas irracionais . 4.5 Primitiva¸ca˜o de fun¸co˜es transcendentes . . . . .

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1 1 5 7

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13 13 16 23 30

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37 37 46 52 57 61

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67 67 72 75 85 91

5 Fun¸co ˜es Reais de Vari´ avel Real: C´ alculo Integral 5.1 Integral de Riemann: Defini¸ca˜o e propriedades . . . 5.2 Classes de fun¸co˜es integr´aveis . . . . . . . . . . . . 5.3 Teoremas Fundamentais . . . . . . . . . . . . . . . ´ 5.4 Areas de figuras planas . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5 Integrais impr´oprios . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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95 95 104 106 108 113

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´ INDICE

ii

6 Exerc´ıcios 6.1 Fun¸co˜es Trigonom´etricas Inversas . . . . . . . . 6.2 No¸co˜es Topol´ogicas . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3 Indu¸ca˜o Matem´atica . . . . . . . . . . . . . . . 6.4 Sucess˜oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5 Continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.6 Continuidade Uniforme . . . . . . . . . . . . . . 6.7 Diferenciabilidade. Teoremas de Rolle, Lagrange 6.8 F´ormula de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . 6.9 Estudo de uma fun¸ca˜o . . . . . . . . . . . . . . 6.10 Primitiva¸ca˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.11 Integrais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.12 C´alculo de a´reas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.13 Integrais Impr´oprios . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . e . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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139 . 139 . 142 . 145 . 146 . 152 . 155 . 157 . 163 . 165 . 168 . 173 . 177 . 178

Cap´ıtulo 1 No¸co ˜es Topol´ ogicas, Indu¸c˜ ao Matem´ atica e Sucess˜ oes 1.1

No¸co ˜es topol´ ogicas em R

Defini¸c˜ ao 1.1.1 Sejam a ∈ R, ε > 0. Chama-se vizinhan¸ ca ε de a ao conjunto V ε (a) = ]a − ε, a + ε[. Defini¸c˜ ao 1.1.2 Sejam a ∈ R e A um conjunto de n´ umeros reais. Diz-se que a ´e interior a A se existir uma vizinhan¸ca de a contida em A. Diz-se que a ´e fronteiro a A se toda a vizinhan¸ca de a intersecta A e R \ A. Diz-se que a ´e exterior a A se existir uma vizinhan¸ca de a contida em R \ A. NOTA: Um ponto ´e exterior a A se, e s´o se, ´e interior a R \ A. Defini¸c˜ ao 1.1.3 O conjunto dos pontos interiores a A chama-se interior de A e representa-se por int(A). O conjunto dos pontos exteriores a A chama-se exterior de A e representa-se por ext(A). O conjunto dos pontos fronteiros a A chama-se fronteira de A e representa-se por fr(A). NOTA: Qualquer que seja A ⊂ R tem-se: int(A) ∩ ext(A) = ∅, int(A) ∩ fr(A) = ∅, fr(A) ∩ ext(A) = ∅ e int(A) ∪ fr(A) ∪ ext(A) = R. EXEMPLO 1: Sejam A =]0, 1], B = [0, 1], C = [0, 1[, D =]0, 1[. Ent˜ao int(A) = int(B) = int(C) = int(D) =]0, 1[, fr(A) = fr(B) = fr(C) = fr(D) = {0, 1}, ext(A) = ext(B) = ext(C) = ext(D) =] − ∞, 0[∪]1, +∞[. ¾ ½ 1 , n ∈ N . Ent˜ao int(A) = ∅, ext(A) = R \ (A ∪ {0}) e EXEMPLO 2: Seja A = n fr(A) = A ∪ {0}. EXEMPLO 3: Seja A = Q. Ent˜ao int(A) = ext(A) = ∅, fr(A) = R.

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1. No¸ co ˜es Topol´ ogicas, Indu¸ c˜ ao Matem´ atica e Sucess˜ oes

Defini¸c˜ ao 1.1.4 Seja A um subconjunto de R. Diz-se que A ´e aberto se A = int(A). Defini¸c˜ ao 1.1.5 Seja A um subconjunto de R. Chama-se fecho ou aderˆ encia de A ao conjunto A = A ∪ fr(A). Diz-se que x ´e aderente a A se x ∈ A. A diz-se fechado se A = A. NOTAS: 1. Das defini¸co˜es, conclui-se facilmente que A = int(A) ∪ fr(A). 2. A ´e fechado se, e s´o se, fr(A) ⊂ A. 3. A ´e fechado se, e s´o se, R \ A ´e aberto, isto ´e, R \ A = int(R \ A) = ext(A). EXEMPLO 1: Sejam A =]0, 1], B = [0, 1], C = [0, 1[, D =]0, 1[. B ´e fechado, D ´e aberto, A e C n˜ao s˜ao fechados nem abertos. ½ ¾ 1 EXEMPLO 2: A = , n ∈ N n˜ao ´e fechado nem aberto (note que fr(A) = A ∪ {0}). n ½ ¾ 1 EXEMPLO 3: A = , n ∈ N ∪ {0} ´e fechado. n Defini¸c˜ ao 1.1.6 Sejam a ∈ R e A um subconjunto de R. Diz-se que a ´e ponto de acumula¸ ca ˜o de A se toda a vizinhan¸ca de a intersecta A \ {a}. Ao conjunto dos pontos de acumula¸ca˜o de A chama-se derivado de A. Diz-se que a ´e ponto isolado de A se a ∈ A e existe uma vizinhan¸ca de a que n˜ao intersecta A \ {a}. EXEMPLO 1: Seja A = de A s˜ao isolados.

½

¾ 1 , n ∈ N . 0 ´e ponto de acumula¸ca˜o de A. Todos os pontos n

EXEMPLO 2: Seja A = [0, 1[∪{2}. O conjunto dos pontos de acumula¸ca˜o de A ´e [0, 1]. 2 ´e ponto isolado de A. NOTA: Se a ∈ int(A), ent˜ao a ´e ponto de acumula¸ca˜o de A. Defini¸c˜ ao 1.1.7 Sejam x ∈ R e A um subconjunto de R. Diz-se que x ´e majorante de A se x ≥ a, ∀a ∈ A. Diz-se que x ´e minorante de A se x ≤ a, ∀a ∈ A. Defini¸c˜ ao 1.1.8 Seja A um subconjunto de R. Diz-se que A ´e majorado se admitir majorantes. Diz-se que A ´e minorado se admitir minorantes. Se A for majorado e minorado, diz-se que A ´e limitado.

1.1 No¸ co ˜es topol´ ogicas em R

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EXEMPLO 1: A = {x ∈ R : x2 < 1} ´e limitado. EXEMPLO 2: ] − ∞, 1[ ´e majorado. EXEMPLO 3: [1, +∞[ ´e minorado. EXEMPLO 4: A = {x ∈ R : |x| > 1} n˜ao ´e majorado nem minorado. Teorema 1.1.1 A ´e limitado se, e s´o se, ∃M > 0, |x| ≤ M, ∀x ∈ A. Demonstra¸ca˜o: Se A for limitado, sejam ν um minorante de A e µ um majorante de A; se M for o maior dos dois n´ umeros |ν| e |µ|, ent˜ao |x| ≤ M, ∀x ∈ A (se µ = ν = 0, toma-se M > 0, qualquer). Reciprocamente, se ∃M > 0, |x| ≤ M, ∀x ∈ A, isto ´e, −M ≤ x ≤ M, ∀x ∈ A, ent˜ao M ´e majorante de A e −M ´e minorante de A. Defini¸c˜ ao 1.1.9 Seja A um subconjunto majorado de R. Diz-se que β ´e o supremo de A se β for majorante de A e for menor que todos os outros majorantes de A (isto ´e, se β for o menor dos majorantes de A); representa-se por β = sup(A). Se β, supremo de A, pertencer a A, diz-se que β ´e o m´ aximo de A; neste caso, representa-se por β = max(A). Defini¸c˜ ao 1.1.10 Seja A um subconjunto minorado de R. Diz-se que α ´e o ´ınfimo de A se α for minorante de A e for maior que todos os outros minorantes de A (isto ´e, se α for o maior dos minorantes de A); representa-se por α = inf(A). Se α, ´ınfimo de A, pertencer a A, diz-se que α ´e o m´ınimo de A; neste caso, representa-se por α = min(A). EXEMPLO 1: Seja A = {x ∈ R : x2 < 1}. Ent˜ao inf(A) = −1 e sup(A) = 1. A n˜ao tem m´aximo nem m´ınimo. EXEMPLO 2: Seja A =] − 1, 1]. Ent˜ao inf(A) = −1 e sup(A) = max(A) = 1. EXEMPLO 3: sup(] − ∞, 1[) = 1. N˜ao existe ´ınfimo deste conjunto. Teorema 1.1.2 Em R, todo o conjunto majorado tem supremo e todo o conjunto minorado tem ´ınfimo. N˜ao daremos aqui a demonstra¸ca˜o do Teorema. Isso levar-nos-ia a um estudo mais profundo do conjunto dos n´ umeros reais, que n˜ao est´a nos prop´ositos deste curso. Teorema 1.1.3 Seja A um subconjunto de R. Ent˜ao β = sup(A) se, e s´o se, β ´e majorante de A e ∀ε > 0, ∃x ∈ A : x > β − ε. Analogamente, α = inf(A) se, e s´o se, α ´e minorante de A e ∀ε > 0, ∃x ∈ A : x < α + ε.

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1. No¸ co ˜es Topol´ ogicas, Indu¸ c˜ ao Matem´ atica e Sucess˜ oes

Demonstra¸ca˜o: Demonstraremos a propriedade para o supremo. Para o ´ınfimo proceder-se-ia de modo an´alogo. Vamos primeiro demonstrar que se β = sup(A) ent˜ao β ´e majorante de A e ∀ε > 0, ∃x ∈ A : x > β − ε. F´a-lo-emos pela contra-rec´ıproca, isto ´e, negando a tese chegaremos a` nega¸ca˜o da hip´otese (trata-se da bem conhecida proposi¸ca˜o da l´ogica formal A ⇒ B equivalente a ∼ B ⇒ ∼ A). Se β n˜ao for majorante de A, β n˜ao ´e o supremo de A (defini¸ca˜o de supremo) e o problema fica resolvido. Se ∃ε > 0, ∀x ∈ A, x ≤ β−ε, ent˜ao β n˜ao ´e o supremo de A visto que β − ε ´e majorante de A e β − ε < β. Reciprocamente, vamos mostrar que se β ´e majorante de A e ∀ε > 0, ∃x ∈ A : x > β − ε, ent˜ao β = sup(A). Usamos, de novo, a contra-rec´ıproca. Se β n˜ao for o supremo de A, ent˜ao ou n˜ao ´e majorante ou ´e majorante mas existe, pelo menos, outro majorante de A menor que β. No u ´ltimo caso, seja γ esse majorante. Ent˜ao, fazendo ε = β − γ (> 0) temos ∀x ∈ A, x ≤ γ = β − ε, que ´e a nega¸ca˜o da hip´otese.

1.2 Indu¸ c˜ ao matem´ atica

1.2

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Indu¸c˜ ao matem´ atica

Para demonstrar que certas propriedades s˜ao v´alidas no conjunto dos n´ umeros naturais, N, usa-se o Princ´ıpio de Indu¸c˜ ao Matem´ atica que passamos a enunciar: Uma propriedade ´e v´alida para todos os n´ umeros naturais se: 1. A propriedade ´e v´alida para n = 1, 2. Para todo o n natural, se a propriedade ´e v´alida para n, ent˜ao ela ´e v´alida para n + 1. EXEMPLO 1:Vamos mostrar, usando o Princ´ıpio de Indu¸ca˜o Matem´atica, a f´ormula da soma de uma progress˜ao geom´etrica: se a 6= 1 ent˜ao

n X

1 − an a =a , 1−a p=1

∀n ∈ N

p

1−a . 1−a 2. Se admitirmos que a propriedade ´e v´alida para n, ent˜ao: µ ¶ n+1 n X X 1 − an 1 − an n+1 n p p n+1 +a =a +a = a = a +a =a 1−a 1−a p=1 p=1

1. Se n = 1, a f´ormula ´e trivial: a = a1 = a

1 − an + an − an+1 1 − an+1 =a 1−a 1−a EXEMPLO 2: Usando o Princ´ıpio de Indu¸ca˜o Matem´atica, vamos demonstrar a seguinte igualdade (Bin´omio de Newton): =a

n X

n

(a + b) =

n

∀a, b ∈ R, ∀n ∈ N

Cp an−p bp ,

p=0

1) Se n = 1, a propriedade ´e v´alida: a + b = 1 C0 a + 1 C1 b. 2) Vamos agora admitir que a propriedade ´e v´alida para n; ent˜ao (a + b)

n+1

n

= (a + b) (a + b) = (a + b)

n X

n

Cp an−p bp =

p=0

=

n X

n

Cp a

n+1−p p

b +

=

n X p=0

n

Cp an−p bp+1 =

p=0

p=0

(fazendo p + 1 = s)

n X

n

Cp a

n+1−p p

b +

n+1 X s=1

n

Cs−1 an−s+1 bs =

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1. No¸ co ˜es Topol´ ogicas, Indu¸ c˜ ao Matem´ atica e Sucess˜ oes

(como s ´e vari´avel muda, podemos substitu´ı-la por p) =

n X

n

Cp a

n+1−p p

b +

p=0

=a

n+1

+

n+1 X

n

p=1

n X

n

Cp a

n+1−p p

b +b

n+1

=a

+

n X

n

Cp−1 an−p+1 bp =

p=1

p=1

n+1

Cp−1 an−p+1 bp =

+b

n+1

+

n X

( n Cp + n Cp−1 ) an+1−p bp =

p=1

=a

n+1

+b

n+1

+

n X

n+1

Cp an+1−p bp =

p=1

=

n+1 X p=0

n+1

Cp an+1−p bp

1.3 Sucess˜ oes de n´ umeros reais

1.3

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Sucess˜ oes de n´ umeros reais

Defini¸c˜ ao 1.3.1 Chama-se sucess˜ ao de n´ umeros reais a toda a aplica¸ca˜o de N em R. Os elementos do contradom´ınio chamam-se termos da sucess˜ao. Ao contradom´ınio chama-se conjunto dos termos da sucess˜ao. ´ usual designarem-se os termos da sucess˜ao por un , em detrimento da nota¸ca˜o NOTA: E u(n), habitual para as aplica¸co˜es em geral. Defini¸c˜ ao 1.3.2 A express˜ao designat´oria que define a sucess˜ao chama-se termo geral da sucess˜ao. EXEMPLO 1: un = n2 EXEMPLO 2: un = cos(n). ´ o caso da defini¸ca˜o NOTA: Podem-se definir sucess˜oes sem explicitar o termo geral. E por recorrˆencia. Exemplo: u1 = 1, u2 = 2, un+2 = un+1 + un (sucess˜ao dos n´ umeros de Fibonacci). Por vezes d˜ao-se apenas alguns termos da sucess˜ao que induzem o leitor a “inferir” os restantes. Exemplo: 1, 1, 2, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 4, . . . Defini¸c˜ ao 1.3.3 Uma sucess˜ao diz-se limitada superiormente se o conjunto dos seus termos for majorado; diz-se limitada inferiormente se o conjunto dos seus termos for minorado; diz-se limitada se o conjunto dos seus termos for limitado. EXEMPLO 1: un = n2 ´e limitada inferiormente, mas n˜ao superiormente. EXEMPLO 2: un = −n ´e limitada superiormente, mas n˜ao inferiormente. EXEMPLO 3: un = (−n)n n˜ao ´e limitada superiormente nem inferiormente. EXEMPLO 4: un = cos(n) ´e limitada. Defini¸c˜ ao 1.3.4 Dadas duas sucess˜oes de n´ umeros reais u e v, chama-se soma, diferen¸ ca e produto de u e v `as sucess˜oes u+v, u−v e uv de termos gerais, respectivamente, un + vn , un − vn e un vn . Se vn 6= 0, ∀n ∈ N, chama-se sucess˜ao quociente de u e v `a sucess˜ao u/v de termo geral un /vn . Defini¸c˜ ao 1.3.5 Uma sucess˜ao u diz-se crescente se un ≤ un+1 , ∀n ∈ N; diz-se estritamente crescente se un < un+1 , ∀n ∈ N; diz-se decrescente se un ≥ un+1 , ∀n ∈ N; diz-se estritamente decrescente se un > un+1 , ∀n ∈ N; diz-se mon´ otona se for crescente ou decrescente; diz-se estritamente mon´ otona se for estritamente crescente ou estritamente decrescente.

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1. No¸ co ˜es Topol´ ogicas, Indu¸ c˜ ao Matem´ atica e Sucess˜ oes

EXEMPLO 1: un = n2 ´e estritamente crescente. EXEMPLO 2: un = −n ´e estritamente decrescente. EXEMPLO 3: un = (−n)n n˜ao ´e mon´otona. Dadas duas sucess˜oes u e v, se v ´e uma sucess˜ao de n´ umeros naturais, a composi¸ca˜o u ◦ v ainda ´e uma sucess˜ao, de termo geral uvn . Por exemplo, se u ´e a sucess˜ao 1, 2, 1, 3, 1, 4, . . . e vn = 2n − 1, ent˜ao uvn = 1; se zn = 2n, ent˜ao uzn = n + 1; se sn = 4, ent˜ao usn = 3. Defini¸c˜ ao 1.3.6 Dadas duas sucess˜oes u e w, dizemos que w ´e subsucess˜ ao de u se existir v, sucess˜ao de n´ umeros naturais, estritamente crescente, tal que w = u ◦ v. EXEMPLOS: Das sucess˜oes consideradas anteriormente, u ◦ v e u ◦ z s˜ao subsucess˜oes de u, mas u ◦ s n˜ao ´e subsucess˜ao de u. NOTAS: 1. Toda a subsucess˜ao de uma sucess˜ao limitada ´e limitada. 2. Uma sucess˜ao pode n˜ao ser limitada e ter subsucess˜oes limitadas. Exemplo: ( n, se n par 1 un = , se n ´ımpar n 3. Toda a subsucess˜ao de uma sucess˜ao mon´otona ´e mon´otona. Defini¸c˜ ao 1.3.7 Diz-se que a sucess˜ao u ´e um infinitamente grande (ou que tende para +∞), e representa-se un → +∞, se ∀L ∈ R+ , ∃p ∈ N : n > p ⇒ un > L. Diz-se que u ´e um infinitamente grande em m´ odulo se |un | → +∞, isto ´e, ∀L ∈ R+ , ∃p ∈ N : n > p ⇒ |un | > L. Diz-se que u tende para −∞, e representa-se un → −∞, se ∀L ∈ R+ , ∃p ∈ N : n > p ⇒ un < −L. EXEMPLO 1: un = n2 → +∞. EXEMPLO 2: un = −n → −∞. EXEMPLO 3: Seja un = (−n)n . Ent˜ao |un | = nn → +∞.

1.3 Sucess˜ oes de n´ umeros reais

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NOTAS: 1. Se u ´e tal que un → +∞, un → −∞ ou |un | → +∞ ent˜ao u ´e n˜ao limitada. A rec´ıproca n˜ao ´e verdadeira. Por exemplo, a sucess˜ao ( n, se n par 1 un = , se n ´ımpar n ´e n˜ao limitada e un 6→ +∞, un 6→ −∞, |un | 6→ +∞ 2. O facto de un → +∞ n˜ao implica que u seja crescente (nem que exista uma ordem a partir da qual seja crescente). Exemplo: un = n + (−1)n . Das defini¸co˜es, conclui-se imediatamente que Teorema 1.3.1 Sejam u e v sucess˜oes tais que, a partir de certa ordem, un ≤ vn . Ent˜ao, a) un → +∞ ⇒ vn → +∞, b) vn → −∞ ⇒ un → −∞. Defini¸c˜ ao 1.3.8 Sejam u uma sucess˜ao e a ∈ R. Diz-se que u converge para a (ou tende para a ou, ainda, que o limite da sucess˜ao ´e a), e representa-se u n → a, se ∀ε > 0 ∃p ∈ N : n > p ⇒ |un − a| < ε. µ ¶ 1 1 (se EXEMPLO: un = → 0. De facto, seja ε > 0, qualquer; se tomarmos p = Int n ε x ∈ R, chamamos parte inteira de x ao maior inteiro menor ou igual a x e representamo-la 1 1 por Int(x)) ent˜ao, para n > p tem-se ≤ < ε. n p+1 NOTAS: 1. Em linguagem de vizinhan¸cas, a defini¸ca˜o ´e equivalente a: ∀ε > 0 ∃p ∈ N : n > p ⇒ un ∈ Vε (a). 2. Poder´ıamos escrever ainda, de forma equivalente, ∀ε > 0 ∃p ∈ N : |un − a| < ε, ∀n > p. 3. Consideremos o conjunto R = R ∪ {−∞, +∞}, em que −∞ e +∞ s˜ao dois objectos matem´aticos, n˜ao reais e distintos um do outro. Podemos introduzir, neste conjunto, a rela¸ca˜o de ordem: i) se x, y ∈ R, x < y em R se, e s´o se, x < y em R. ii) −∞ < x < +∞, ∀x ∈ R.

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1. No¸ co ˜es Topol´ ogicas, Indu¸ c˜ ao Matem´ atica e Sucess˜ oes

O conjunto R, com esta rela¸ca˜o de ordem, designa-se por recta acabada. Podemos estender a no¸ca˜o de vizinhan¸ca a R. Seja ε ∈ R, ε > 0. Se a ∈ R, chama-se vizinhan¸ca ε de a ao conjunto Vε (a) =]a − ε, a + ε[ (que coincide, pois, ¤ 1 com ¤a vizinhan¸ca em R). Chama-se vizinhan¸ca ε de +∞ ao conjunto V (+∞) = , +∞ . ε£ ε £ 1 Chama-se vizinhan¸ca ε de −∞ ao conjunto Vε (−∞) = −∞, − ε . Com as defini¸co˜es dadas atr´as, podemos unificar, do ponto de vista formal, as defini¸co˜es 1.3.7 e 1.3.8: xn → a (a ∈ R) se, e s´o se,

∀ε > 0 ∃p ∈ N : n > p ⇒ un ∈ Vε (a).

Defini¸c˜ ao 1.3.9 Diz-se que a sucess˜ao u ´e um infinit´ esimo se un → 0. ´ evidente, a partir das defini¸co˜es, que un → a ´e equivalente a un − a ´e um NOTA: E infinit´esimo. Teorema 1.3.2 (Unicidade do limite) Se un → a e un → b ent˜ao a = b. Teorema 1.3.3 Se un → 0 e v ´e uma sucess˜ao limitada, ent˜ao un vn → 0. Demonstra¸ca˜o: Seja M > 0 tal que |vn | ≤ M, ∀n ∈ N. Dado δ > 0, qualquer, seja p ∈ N, tal que |un | < δ/M, ∀n > p. Ent˜ao |un vn | < δ, ∀n > p. Teorema 1.3.4 Toda a sucess˜ao convergente ´e limitada. NOTA: A rec´ıproca n˜ao ´e verdadeira. Por exemplo, a sucess˜ao un = cos(nπ) ´e limitada, mas n˜ao ´e convergente. Teorema 1.3.5 (Teorema das sucess˜oes enquadradas) Se un → a, vn → a e, a partir de certa ordem, un ≤ wn ≤ vn , ent˜ao wn → a. Demonstra¸ca˜o: Seja ε > 0, qualquer. Ent˜ao ∃p1 ∈ N : n > p1 ⇒ a − ε < un < a + ε, ∃p2 ∈ N : n > p2 ⇒ a − ε < vn < a + ε, ∃p3 ∈ N : n > p3 ⇒ un ≤ wn ≤ vn . Seja p = max{p1 , p2 , p3 }. Se n > p, ent˜ao a − ε < un ≤ wn ≤ vn < a + ε. Teorema 1.3.6 Toda a subsucess˜ao de uma sucess˜ao convergente ´e convergente para o mesmo limite. Teorema 1.3.7 Sejam u e v duas sucess˜oes convergentes, un → a, vn → b. Ent˜ao u + v, u − v e uv s˜ao convergentes e un + vn → a + b, un − vn → a − b e un vn → a b. Se vn 6= 0, ∀n ∈ N e b 6= 0, ent˜ao u/v ´e convergente e un /vn → a/b. Teorema 1.3.8 Um conjunto X ⊂ R ´e fechado se, e s´o se, todos os limites das sucess˜oes convergentes, de elementos de X, pertencem a X.

1.3 Sucess˜ oes de n´ umeros reais

11

Teorema 1.3.9 Toda a sucess˜ao mon´otona limitada ´e convergente. NOTA: A rec´ıproca n˜ao ´e verdadeira, isto ´e, h´a sucess˜oes n˜ao mon´otonas que s˜ao con1 vergentes. Exemplo: a sucess˜ao un = (−1)n converge para 0 e n˜ao ´e mon´otona. n Teorema 1.3.10 Toda a sucess˜ao limitada tem subsucess˜oes convergentes. Defini¸c˜ ao 1.3.10 Diz-se que a ∈ R ´e sublimite da sucess˜ao u se existir uma subsucess˜ao de u que converge para a. EXEMPLO: −1 e 1 s˜ao sublimites da sucess˜ao un = (−1)n +

1 . n

NOTAS: Seja S o conjunto dos sublimites da sucess˜ao u. 1. Pelo Teorema 1.3.10, se u ´e limitada, S 6= ∅; 2. S pode ser vazio; exemplo: un = n; 3. Se u for convergente, S ´e um conjunto singular (isto ´e, s´o com um elemento). 4. S pode ser singular e u n˜ao ser convergente; exemplo: ( 1 , se n par un = n n, se n ´ımpar. 5. S pode ser um conjunto infinito; por exemplo, dada a sucess˜ao 1, 1, 2, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 4, 1, 2, 3, 4, 5, . . . ent˜ao S = N. Teorema 1.3.11 O conjunto dos sublimites de uma sucess˜ao limitada tem m´aximo e m´ınimo. Defini¸c˜ ao 1.3.11 Sejam u uma sucess˜ao limitada e S o conjunto dos sublimites de u. Chama-se limite m´ aximo ou limite superior de u ao m´aximo de S e representa-se lim un = lim sup un = max(S). Chama-se limite m´ınimo ou limite inferior de u ao m´ınimo de S e representa-se lim un = lim inf un = min(S). Se u n˜ao for limitada superiormente, define-se lim un = +∞. Se u n˜ao for limitada inferiormente, define-se lim un = −∞. Se un → +∞ define-se lim un = lim un = +∞. Se un → −∞ define-se lim un = lim un = −∞. Teorema 1.3.12 Uma sucess˜ao limitada ´e convergente se, e s´o se, lim un = lim un .

12

1. No¸ co ˜es Topol´ ogicas, Indu¸ c˜ ao Matem´ atica e Sucess˜ oes

Defini¸c˜ ao 1.3.12 Uma sucess˜ao u diz-se de Cauchy (ou fundamental) se ∀ε > 0 ∃p ∈ N : m, n > p ⇒ |un − um | < ε. ¯1 1 1¯ EXEMPLO: un = ´e sucess˜ao de Cauchy. De facto, sejam m, n > p; ent˜ao ¯ − ¯ ≤ n n m 1 1 1 2 2 1 + < + = . Seja ε > 0, qualquer; para concluir, basta tomarmos p > . n m p p p ε NOTA: Na defini¸ca˜o de sucess˜ao convergente, introduzimos um elemento externo a` sucess˜ao, o limite. A sucess˜ao converge se, a partir de certa ordem, todos os elementos da sucess˜ao “est˜ao perto” do limite. Na defini¸ca˜o de sucess˜ao de Cauchy apenas comparamos os elementos da sucess˜ao uns com os outros. Dizemos que a sucess˜ao ´e de Cauchy se, a partir de certa ordem, todos os elementos da sucess˜ao “est˜ao perto” uns dos outros. Teorema 1.3.13 Uma sucess˜ao real ´e convergente se, e s´o se, for de Cauchy. NOTA: Este teorema permite-nos mostrar que uma sucess˜ao ´e convergente sem ter que calcular o seu limite. Consideremos a sucess˜ao: un = 1 +

1 1 1 + 2 + ··· + 2 2 2 3 n

Podemos tomar, sem perda de generalidade, n > m; ent˜ao ¯ |un − um | = ¯

1 1¯ 1 1 1 1 + + ··· + 2¯ = + + ··· + 2 ≤ 2 2 2 2 (m + 1) (m + 2) n (m + 1) (m + 2) n

1 1 1 + + ··· + = m(m + 1) (m + 1)(m + 2) (n − 1)n µ ¶ µ ¶ µ ¶ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = + + ··· = − − − − ≤ m m+1 m+1 m+2 n−1 n m n m ≤

1 Se p > e n ≥ m > p, obtemos |un − um | < ε pelo que a sucess˜ao ´e de Cauchy, portanto ε convergente.

Cap´ıtulo 2 Fun¸co ˜es Reais de Vari´ avel Real: Limites e Continuidade 2.1

Generalidades sobre fun¸co ˜es reais de vari´ avel real

Defini¸c˜ ao 2.1.1 a) Dados dois conjuntos A e B chama-se fun¸ ca ˜o definida em A com valores em B, a toda a correspondˆencia entre A e B que a cada elemento de A fa¸ca corresponder um e um s´o elemento de B. Ao conjunto A chama-se dom´ınio da fun¸ca˜o. b) Representa-se a fun¸ca˜o por y = f (x) em que x ´e a vari´ avel independente e toma valores em A (x ∈ A) e y ´e a vari´ avel dependente, pois os seus valores dependem dos valores que toma a vari´avel x, que toma valores em B (y ∈ B). ` express˜ao ou f´ormula que traduz o modo como a vari´avel y depende da vari´avel x c) A chama-se express˜ ao anal´ıtica ou representa¸ ca ˜o anal´ıtica da fun¸ca˜o f . d) Uma fun¸ca˜o f diz-se real de vari´ avel real quando A ⊂ R e B ⊂ R. Defini¸c˜ ao 2.1.2 Seja f uma fun¸ca˜o real de vari´avel real. a) Chama-se dom´ınio de defini¸ ca ˜o ou de existˆ encia de f ao conjunto dos valores reais que tˆem imagem pela fun¸ca˜o f , isto ´e, ao conjunto dos n´ umeros reais para os quais a express˜ao anal´ıtica de f est´a bem definida. b) Chama-se contradom´ınio de f ao conjunto dos valores reais que s˜ao imagem pela fun¸ca˜o f dos elementos do dom´ınio. Defini¸c˜ ao 2.1.3 Dada uma fun¸ca˜o f : D ⊂ R → R, chama-se gr´ afico da fun¸ca˜o f ao conjunto {(x, y) : x ∈ D, y ∈ R, y = f (x)}.

14

2. Fun¸ co ˜es Reais de Vari´ avel Real: Limites e Continuidade

Defini¸c˜ ao 2.1.4 Uma fun¸ca˜o f : D ⊂ R → R diz-se: a) crescente se x < y =⇒ f (x) ≤ f (y). b) estritamente crescente se x < y =⇒ f (x) < f (y). c) decrescente se x < y =⇒ f (x) ≥ f (y). d) estritamente decrescente se x < y =⇒ f (x) > f (y). Defini¸c˜ ao 2.1.5 Uma fun¸ca˜o diz-se a) mon´ otona se ´e crescente ou decrescente. b) estritamente mon´ otona se ´e estritamente crescente ou estritamente decrescente. Defini¸c˜ ao 2.1.6 Uma fun¸ca˜o f : D ⊂ R → R diz-se: a) par se f (x) = f (−x), ∀x ∈ D. b) ´ımpar se f (x) = −f (−x), ∀x ∈ D. Defini¸c˜ ao 2.1.7 Sejam f : D ⊂ R → R e c ∈ D. Diz-se que f (c) ´e um m´ aximo de f se f (x) ≤ f (c), ∀x ∈ D. A c chama-se ponto de m´ aximo. Defini¸c˜ ao 2.1.8 Sejam f : D ⊂ R → R e c ∈ D. Diz-se que f (c) ´e um m´ınimo de f se f (x) ≥ f (c), ∀x ∈ D. A c chama-se ponto de m´ınimo. Estes valores tˆem a designa¸ca˜o comum de extremos de f . A Figura 2.1 ilustra as defini¸co˜es anteriores.

Figura 2.1: Extremos de uma fun¸ca ˜o.

2.1 Generalidades sobre fun¸ co ˜es reais de vari´ avel real

15

Defini¸c˜ ao 2.1.9 Uma fun¸ca˜o f : D ⊂ R → R diz-se limitada se ∃M ∈ R+ : |f (x)| ≤ M,

∀x ∈ D.

Por outras palavras, f ´e fun¸ca˜o limitada se o seu contradom´ınio ´e um conjunto limitado. Defini¸c˜ ao 2.1.10 Chamam-se zeros da fun¸ca˜o f os elementos x do dom´ınio tais que f (x) = 0. Defini¸c˜ ao 2.1.11 Sejam f : D ⊂ R → R e A ⊂ D. A restri¸ ca ˜o de f a A, designada por f|A , ´e a aplica¸ca˜o de A em R tal que f|A (x) = f (x) para cada x ∈ A. Defini¸c˜ ao 2.1.12 Uma fun¸ca˜o f : D ⊂ R → B ⊂ R diz-se: a) injectiva se x 6= y =⇒ f (x) 6= f (y). b) sobrejectiva se ∀y ∈ B, ∃x ∈ D : f (x) = y. c) bijectiva se ´e injectiva e sobrejectiva.

16

2. Fun¸ co ˜es Reais de Vari´ avel Real: Limites e Continuidade

2.2

Limites. Limites relativos

Defini¸c˜ ao 2.2.1 Seja f : D ⊂ R → R e a um ponto aderente ao dom´ınio de f . Diz-se que b ´e limite de f no ponto a (ou quando x tende para a), e escreve-se lim f (x) = b, x→a se ∀δ > 0 ∃ε > 0 : x ∈ D ∧ |x − a| < ε ⇒ |f (x) − b| < δ. Em termos de vizinhan¸cas: lim f (x) = b ⇔ ∀δ > 0 ∃ε > 0 : x ∈ Vε (a) ∩ D ⇒ f (x) ∈ Vδ (b).

x→a

A Figura 2.2 sugere a interpreta¸ca˜o geom´etrica de lim f (x) = b. x→a

y

b+d b b-d

x

a-e a a+e

Figura 2.2: Interpreta¸ca ˜o geom´etrica de lim f (x) = b. x→a

Defini¸c˜ ao 2.2.2 Seja f : D ⊂ R → R e suponhamos que D n˜ao ´e majorado. Diz-se que o limite de f quando x → +∞ ´e b se ∀δ > 0 ∃ε > 0 : x ∈ D ∧ x >

1 ⇒ |f (x) − b| < δ ε

e escreve-se lim f (x) = b. x→+∞

Defini¸c˜ ao 2.2.3 Seja f : D ⊂ R → R e suponhamos que D n˜ao ´e minorado. Diz-se que o limite de f quando x → −∞ ´e b se 1 ∀δ > 0 ∃ε > 0 : x ∈ D ∧ x < − ⇒ |f (x) − b| < δ ε e escreve-se lim f (x) = b. x→−∞

2.2 Limites. Limites relativos

17

Defini¸c˜ ao 2.2.4 Seja f : D ⊂ R → R e a um ponto aderente ao dom´ınio de f . Diz-se que o limite de f em a ´e +∞ se 1 ∀δ > 0 ∃ε > 0 : x ∈ D ∧ |x − a| < ε ⇒ f (x) > δ e escreve-se lim f (x) = +∞. x→a

Defini¸c˜ ao 2.2.5 Seja f : D ⊂ R → R e a um ponto aderente ao dom´ınio de f . Diz-se que o limite de f em a ´e −∞ se 1 ∀δ > 0 ∃ε > 0 : x ∈ D ∧ |x − a| < ε ⇒ f (x) < − δ e escreve-se lim f (x) = −∞. x→a

NOTA: As defini¸co˜es de lim f (x) = +∞, lim f (x) = +∞, lim f (x) = −∞ e x→+∞

x→−∞

x→+∞

lim f (x) = −∞, podem dar-se de forma an´aloga. Em todo o caso, se tivermos em

x→−∞

conta a defini¸ca˜o de vizinhan¸ca em R (ver p´agina 9), podemos unificar todas as defini¸co˜es do seguinte modo: se a, b ∈ R, diz-se que lim f (x) = b se x→a

∀δ > 0 ∃ε > 0 : x ∈ Vε (a) ∩ D ⇒ f (x) ∈ Vδ (b).

Teorema 2.2.1 Se f : D ⊂ R → R e a ∈ R ´e um ponto aderente a D, ent˜ao lim f (x) = b x→a

se, e s´o se, para cada sucess˜ao (xn ) de limite a, (xn ) ⊂ D, a sucess˜ao (f (xn )) tem por limite b. NOTA: Observe-se que n˜ao exigimos que a seja ponto de acumula¸ca˜o de D. Se a ´e ponto isolado de D ent˜ao f tem limite igual a f (a) quando x → a. De facto, as u ´nicas sucess˜oes de pontos do dom´ınio que tendem para a s˜ao as sucess˜oes que, a partir de certa ordem, s˜ao constantemente iguais a a. Teorema 2.2.2 O limite de f em a, quando existe, ´e u ´nico. NOTAS: 1. Este teorema permite-nos usar a express˜ao “b ´e o limite de f (x) quando x tende para a”, em vez de “b ´e limite de f (x) quando x tende para a” e permite que se use a nota¸ca˜o lim f (x) = b. x→a

2. Se a ∈ D (isto ´e, f est´a definida em a), o limite b, se existe, coincide com f (a). Com efeito, neste caso, a verifica as condi¸co˜es a ∈ D e |a − a| < ε ∀ε > 0, o que implica que |f (a) − b| < δ, ∀δ > 0, ou seja, f (a) = b. EXEMPLO: Consideremos a fun¸ca˜o f : R → R definida por ½ 2 x , se x 6= 0 f (x) = 1, se x = 0 (ver Figura 2.3).

18

2. Fun¸ co ˜es Reais de Vari´ avel Real: Limites e Continuidade

Figura 2.3

N˜ao existe lim f (x). Como o dom´ınio de f ´e R o limite, se existisse teria de ser igual x→0

a f (0), como vimos na observa¸ca˜o anterior. Ter´ıamos ent˜ao de provar que ∀δ > 0 ∃ε > 0 : |x| < ε ⇒ |f (x) − 1| < δ. Mas, se δ = 21 , qualquer que seja ε > 0, existe sempre x tal que |x| < ε e f (x) < 12 , o que implica que |f (x) − 1| > 12 . Teorema 2.2.3 Se lim f (x) = b e lim g(x) = c ent˜ao: x→a

x→a

a) lim [f (x) + g(x)] = b + c; x→a

b) lim [f (x) − g(x)] = b − c; x→a

c) lim [f (x)g(x)] = b c; x→a

d) Se c 6= 0, lim

x→a

b f (x) = . g(x) c

Teorema 2.2.4 Se lim f (x) = 0 e g ´e uma fun¸ca˜o limitada numa vizinhan¸ca de a ent˜ao x→a

lim [f (x)g(x)] = 0.

x→a

NOTA: O facto de g ser limitada ´e essencial. Por exemplo, se f (x) = x e g(x) = lim f (x)g(x) = 1 6= 0, o que n˜ao contradiz o teorema, visto g n˜ao ser limitada.

1 , x

x→0

Teorema 2.2.5 Sejam f : D ⊂ R → R e g : E ⊂ R → R tais que g(E) ⊂ D. Se lim g(x) = b e lim f (x) = c ent˜ao lim (f ◦ g)(x) = c. x→a

x→b

x→a

2.2 Limites. Limites relativos

19

Defini¸c˜ ao 2.2.6 Sejam f : D ⊂ R → R e B um subconjunto pr´oprio de D (isto ´e, B ⊂ D e B 6= D). Suponhamos que a ´e um ponto aderente a B. Diz-se que f tem limite b, quando x tende para a, segundo B, ou que b ´e o limite relativo a B de f quando x tende para a, se o limite da restri¸ca˜o de f a B quando x tende para a ´e b. Designa-se este limite por lim f (x) = b. lim f (x) = b ou x→a, x∈B

x→a x∈B

S˜ao importantes os limites relativos que se seguem: 1. B = D \ {a}. Diz-se ent˜ao que f (x) tende para b quando x tende para a por valores diferentes de a: lim f (x) = b. x→a x 6= a

2. B = {x : x ∈ D ∧ x < a}. Neste caso escreve-se lim f (x) = b

x→a x
ou

lim f (x) = b

x→a−

ou

f (a− ) = b

ou

f (a+ ) = b

e diz-se limite ` a esquerda de f no ponto a. 3. B = {x : x ∈ D ∧ x rel="nofollow"> a}. Neste caso escreve-se lim f (x) = b

x→a x>a

ou

lim f (x) = b

x→a+

e diz-se limite ` a direita de f no ponto a. Os limites a` esquerda e a` direita recebem a designa¸ca˜o comum de limites laterais. Para se poderem definir estes limites, o ponto a tem que ser ponto de acumula¸ca˜o de B. NOTAS: 1. lim− f (x) = lim+ f (x) = b ⇔ x→a

x→a

lim f (x) = b. Mas pode existir s´o um dos limites

x→a x 6= a

laterais (ou os dois com valores distintos) sem que exista

lim f (x).

x→a x 6= a

2. lim− f (x) = lim+ f (x) = b n˜ao implica que lim f (x) = b a n˜ao ser que f (a) = b. No x→a

x→a

x→a

exemplo da p´agina 17, f (0− ) = f (0+ ) = 0 e f (0) = 1.

3.

lim f (x) n˜ao se distingue de lim f (x) quando a 6∈ D, devendo ent˜ao a ser ponto

x→a x 6= a

de acumula¸ca˜o de D.

x→a

20

2. Fun¸ co ˜es Reais de Vari´ avel Real: Limites e Continuidade

EXEMPLO 1: Consideremos a fun¸ca˜o f : R → R definida por ½ 0, se x < 2 f (x) = 1, se x ≥ 2 (ver Figura 2.4)

Figura 2.4

Verifica-se que lim− f (x) = 0 e lim+ f (x) = 1. Portanto, x→2

x→2

consequentemente, tamb´em n˜ao existe lim f (x).

lim f (x) n˜ao existe, e

x→2 x 6= 2

x→2

Se a < 2 ent˜ao lim+ f (x) = lim− f (x) = lim f (x) = lim f (x) = 0. x→a

x→a

x→a

x→a x 6= a

Se a > 2 ent˜ao lim+ f (x) = lim− f (x) = lim f (x) = lim f (x) = 1. x→a

x→a

x→a

x→a x 6= a

EXEMPLO 2: Consideremos a fun¸ca˜o f : R → R definida por ½ |x − 4|, se x 6= 4 f (x) = 2, se x = 4 (ver Figura 2.5)

Figura 2.5

2.2 Limites. Limites relativos

21

Verifica-se que lim− f (x) = 0 e lim+ f (x) = 0. Portanto, x→4

x→4

existe lim f (x) porque f (4) = 2 6= 0.

lim f (x) = 0, mas n˜ao

x→4 x 6= 4

x→4

EXEMPLO 3: Em R temos: 1 1 1 a) lim− = −∞ e lim+ = +∞; lim n˜ao existe. x→a x − a x→a x − a x→a x − a b) lim− x→a

1 1 1 = +∞ e lim+ = +∞; lim = +∞. 2 2 x→a (x − a)2 x→a (x − a) (x − a)

1 1 = 0 = lim . x→+∞ x x→−∞ x ¶y µ 1 1 = e. d) lim+ (1 + x) x = lim 1 + y→+∞ x→0 y

c) lim

Teorema 2.2.6 Seja f : D ⊂ R → R uma fun¸ca˜o mon´otona limitada. Ent˜ao existem os limites laterais f (a− ) e f (a+ ) em todo o ponto a onde esses limites possam ser definidos. Demonstra¸ca˜o: Suponhamos, por exemplo, que f ´e crescente. Seja A = {x : x ∈ D ∧ x < a}.

Se a ∈ A queremos provar que existe f (a− ), isto ´e, queremos provar que existe um b ∈ R tal que ∀δ > 0 ∃ε > 0 |x−a| < ε ∧ x < a ⇒ |f (x)−b| < δ. Como, por hip´otese, f ´e limitada, isto ´e, f (D) ´e um conjunto limitado e A ⊂ D, temos que f (A) ´e um conjunto limitado. Pelo Teorema 1.1.2, f (A) tem supremo. Seja b = sup f (A) = sup f (x). Pelo x∈A

Teorema 1.1.3, ∀δ > 0 ∃x0 ∈ A : f (x0 ) > b − δ.

Como f ´e crescente Podemos ent˜ao escrever

f (x) ≥ f (x0 ) > b − δ ∀x ∈]x0 , a[ ∩ A.

|f (x) − b| < δ ∀x : x ∈ A ∧ |x − a| < a − x0 . Fazendo ε = a − x0 , conclu´ımos que ∀δ > 0 ∃ε > 0 : x ∈ A ∧ |x − a| < ε ⇒ |f (x) − b| < δ, isto ´e, lim− f (x) = b. x→a

Para provar que existe f (a+ ) considera-se o inf f (x).

x∈D x>a

inf

x∈D x>a

f (x) e conclui-se que f (a+ ) =

22

2. Fun¸ co ˜es Reais de Vari´ avel Real: Limites e Continuidade

´ condi¸ca˜o necess´aria e suficiente para que f tenha limite finito no ponto Teorema 2.2.7 E a que ∀δ > 0 ∃ε > 0 ∀x, y ∈ Vε (a) |f (x) − f (y)| < δ.

2.3 Continuidade: propriedades das fun¸ co ˜es cont´ınuas. Teorema de Bolzano

2.3

23

Continuidade: propriedades das fun¸co ˜es cont´ınuas. Teorema de Bolzano

Defini¸c˜ ao 2.3.1 Sejam f : D ⊂ R → R e a ∈ D. Diz-se que f ´e cont´ınua em a se existir lim f (x). x→a

Como vimos anteriormente, o facto de a ∈ D implica que lim f (x) = f (a). Podemos x→a escrever f ´e cont´ınua em a se ∀δ > 0 ∃ε > 0 : x ∈ D ∧ |x − a| < ε ⇒ |f (x) − f (a)| < δ, ou, em termos de vizinhan¸cas ∀δ > 0 ∃ε > 0 : x ∈ Vε (a) ∩ D ⇒ f (x) ∈ Vδ (f (a)). Os pontos em que uma fun¸ca˜o n˜ao ´e cont´ınua dizem-se pontos de descontinuidade. Defini¸c˜ ao 2.3.2 Sejam f : D ⊂ R → R e a ∈ D. a) f ´e cont´ınua ` a esquerda em a se f (a− ) = lim− f (x) = f (a). x→a

b) f ´e cont´ınua ` a direita em a se f (a+ ) = lim+ f (x) = f (a). x→a

NOTAS: 1. Se f for cont´ınua a` esquerda e a` direita no ponto a ent˜ao f ´e cont´ınua em a. 2. Se a for um ponto isolado, resulta da defini¸ca˜o que f ´e cont´ınua em a. Teorema 2.3.1 Toda a fun¸ca˜o constante ´e cont´ınua em todos os pontos do seu dom´ınio. Do Teorema 2.2.3, conclui-se facilmente: Teorema 2.3.2 Se f e g s˜ao cont´ınuas no ponto a ent˜ao f + g, f − g e f g s˜ao cont´ınuas f nesse ponto; se g(a) 6= 0 ent˜ao tamb´em ´e cont´ınua em a. g Analogamente, do Teorema 2.2.5 se deduz: Teorema 2.3.3 Sejam f : D ⊂ R → R e g : E ⊂ R → R tais que g(E) ⊂ D. Se g ´e cont´ınua no ponto t0 e f ´e cont´ınua no ponto x0 = g(t0 ), ent˜ao f ◦ g ´e cont´ınua em t0 . Defini¸c˜ ao 2.3.3 Uma fun¸ca˜o f diz-se cont´ınua no conjunto B ⊂ D se ´e cont´ınua em todos os pontos de B.

24

2. Fun¸ co ˜es Reais de Vari´ avel Real: Limites e Continuidade

Teorema 2.3.4 (Teorema do valor interm´ edio de Bolzano) Seja f uma fun¸ca˜o cont´ınua num intervalo I, a e b dois pontos de I tais que f (a) 6= f (b). Ent˜ao, qualquer que seja o n´ umero k estritamente compreendido entre f (a) e f (b), existe pelo menos um ponto c, estritamente compreendido entre a e b, tal que f (c) = k. Demonstra¸ca˜o: Podemos supor, sem perda de generalidade, que a < b. Consideremos o intervalo [a, b]. Como f (a) 6= f (b) teremos f (a) < f (b) ou f (a) > f (b). Admitamos que f (a) < f (b). Seja k tal que f (a) < k < f (b). Seja o conjunto C = {x : x ∈ [a, b] ∧ f (x) < k}. Como f (a) < k, a ∈ C, pelo que C 6= ∅. Visto que b ´e um majorante de C podemos afirmar, pelo Teorema 1.1.2 que existe c = sup C. Como C ⊂ [a, b], c ∈ [a, b]. Dado que f ´e cont´ınua em [a, b] e c ´e aderente a C, existem todos os limites relativos tendo-se, em particular, lim f (x) = lim f (x) = f (c).

x→c

x→c x∈C

Mas se x ∈ C, f (x) < k, o que implica que lim f (x) = lim f (x) ≤ k, donde x→c

x→c x∈C

f (c) ≤ k

(2.1)

Por outro lado, c ´e um ponto aderente a [a, b] \ C. Como b ∈ [a, b] \ C este conjunto ´e n˜ao vazio e f (x) = f (c). lim f (x) = lim x→c

x→c x ∈ [a, b] \ C

Mas se x ∈ [a, b] \ C, ent˜ao f (x) ≥ k, o que implica que lim f (x) =

x→c

lim

x→c x ∈ [a, b] \ C

f (x) ≥ k,

donde f (c) ≥ k.

(2.2)

De (2.1) e (2.2) conclui-se que f (c) = k. NOTA: Se f n˜ao for cont´ınua em [a, b], pode existir k ∈ [f (a), f (b)] tal que 6 ∃c ∈ [a, b] : f (c) = k (ver Figura 2.6). EXEMPLO: Seja f (x) = x3 − x2 + x. Usando o teorema anterior podemos provar que existe c tal que f (c) = 10. De facto, como f ´e cont´ınua em R podemos considerar a sua restri¸ca˜o ao intervalo [0, 3] e facilmente se verifica que f (0) = 0 < 10 < f (3) = 21.

2.3 Continuidade: propriedades das fun¸ co ˜es cont´ınuas. Teorema de Bolzano

25

y

f(b) k f(a) a

b

x

Figura 2.6

Corol´ ario 1 Se f ´e cont´ınua em [a, b] e f (a) · f (b) < 0, ent˜ao existe c ∈]a, b[ tal que f (c) = 0. Demonstra¸ca˜o: Podemos supor, sem perda de generalidade, que f (a) < 0 e f (b) > 0. Ent˜ao f (a) < 0 < f (b). Como f ´e cont´ınua em [a, b], o teorema anterior permite afirmar que ∃c ∈]a, b[: f (c) = 0. Corol´ ario 2 A imagem de um intervalo, por uma fun¸ca˜o cont´ınua, ´e tamb´em um intervalo. Demonstra¸ca˜o: Seja f : I ⊂ R → R. Se f (x) = c, ∀x ∈ I, isto ´e, se f ´e constante, o seu contradom´ınio reduz-se a um ponto, intervalo do tipo [c, c], n˜ao havendo, portanto, nada mais a provar. Como facilmente se verifica, um conjunto J que contenha, pelo menos, dois pontos, ´e um intervalo se, e s´o se, verifica a propriedade: α, β ∈ J ∧ α < β =⇒ [α, β] ⊂ J que ´e ainda equivalente a: α, β ∈ J ∧ α < k < β =⇒ k ∈ J. Suponhamos que f n˜ao ´e constante, que α, β ∈ f (I) e α < k < β; por defini¸ca˜o, existem a, b ∈ I tais que α = f (a) < k < f (b) = β. Pelo Teorema de Bolzano existe c, estritamente compreendido entre a e b (portanto, c ∈ I), tal que f (c) = k, isto ´e, k ∈ f (I). NOTA: O intervalo f (I) pode ser de tipo diferente do intervalo I como se pode ver nos seguintes exemplos:

26

2. Fun¸ co ˜es Reais de Vari´ avel Real: Limites e Continuidade

1) f :] − ∞, +∞[→ [−1, 1], f (x) = sen(x)

2) f :] − ∞, +∞[→]0, 1], f (x) =

x2

1 +1

3) f :] − π2 , π2 [→] − ∞, +∞[, f (x) = tg(x)

Teorema 2.3.5 (Teorema de Weierstrass) Se f ´e uma fun¸ca˜o cont´ınua num intervalo fechado e limitado I, ent˜ao f (I) ´e tamb´em um intervalo fechado e limitado. Demonstra¸ca˜o: Pelo Corol´ario 2 do Teorema de Bolzano sabemos que f (I) ´e um intervalo. Resta-nos ent˜ao provar que ´e fechado e limitado. Dividimos a demonstra¸ca˜o em duas partes.

2.3 Continuidade: propriedades das fun¸ co ˜es cont´ınuas. Teorema de Bolzano

27

a) f (I) ´e limitado. b) f (I) ´e fechado. a) Suponhamos que f (I) n˜ao ´e limitado. Ent˜ao para cada n ∈ N existe xn ∈ I tal que |f (xn )| ≥ n. Como I ´e limitado a sucess˜ao (xn ) tamb´em ´e limitada, portanto, (xn ) tem uma subsucess˜ao (xnk ) convergente (Teorema 1.3.10). Seja x = lim f (xnk ); x ∈ I porque n

I ´e fechado. Visto que f ´e cont´ınua, lim f (xnk ) = f (x), mas esta conclus˜ao ´e incompat´ıvel n

com a suposi¸ca˜o |f (xn )| ≥ n ∀n ∈ N (Teorema 1.3.4) b) Temos de provar que existem x0 e x1 ∈ I tais que f (x0 ) = sup f (x) e f (x1 ) = x∈I

inf f (x).

x∈I

Suponhamos que n˜ao existe x0 ∈ I tal que f (x0 ) = sup f (x), isto ´e, L = sup f (x) n˜ao x∈I

x∈I

´e atingido. Ent˜ao L − f (x) 6= 0, ∀x ∈ I. Portanto, g(x) =

1 L − f (x)

´e uma fun¸ca˜o cont´ınua em I. Prov´amos em a) que toda a fun¸ca˜o cont´ınua num intervalo limitado ´e limitada o que implica que g ´e limitada. Pelo Teorema 1.1.3 temos que ∀δ > 0 ∃c ∈ I : f (c) > L − δ ⇒ ∀δ > 0 ∃c ∈ I : L − f (c) < δ 1 1 ⇒ ∀δ > 0 ∃c ∈ I : g(c) = > L − f (c) δ o que contradiz o facto de g ser limitada. Analogamente, se prova a existˆencia de x1 ∈ I tal que f (x1 ) = inf f (x). Portanto, f (I) ´e fechado. x∈I

Corol´ ario 1 Toda a fun¸ca˜o cont´ınua num intervalo fechado e limitado tem, nesse intervalo, um m´aximo e um m´ınimo. NOTAS: 1. Os dois resultados anteriores mantˆem-se v´alidos se substituirmos “intervalo fechado limitado” por “conjunto fechado limitado n˜ao vazio”. 2. A hip´otese intervalo (ou conjunto) fechado ´e necess´aria como se pode ver pelos exemplos seguintes: 1) Seja f (x) = x. f ´e cont´ınua em ] − 1, 1[ e n˜ao tem nesse intervalo m´aximo nem m´ınimo. ( 1 , se x 6= 0 2) A fun¸ca˜o g(x) = ´e cont´ınua em ]0, 1], mas n˜ao tem m´aximo x 0, se x = 0 nesse intervalo.

28

2. Fun¸ co ˜es Reais de Vari´ avel Real: Limites e Continuidade

1 3) A fun¸ca˜o h(x) = sen x nesse intervalo.

µ ¶ 1 ´e cont´ınua em ]0, 1] e n˜ao tem m´aximo nem m´ınimo x

Teorema 2.3.6 Se f ´e uma fun¸ca˜o cont´ınua e injectiva num intervalo I, ent˜ao a fun¸ca˜o inversa ´e tamb´em cont´ınua. Defini¸c˜ ao 2.3.4 Sejam F e f duas fun¸co˜es de dom´ınios DF e Df , respectivamente. Diz-se que F ´e um prolongamento de f se Df ⊂ DF e F (x) = f (x), ∀x ∈ Df . Defini¸c˜ ao 2.3.5 Seja a um ponto aderente a D (dom´ınio de f ). Diz-se que f ´e prolong´ avel por continuidade ao ponto a se existir um prolongamento F de f , com dom´ınio D ∪ {a}, sendo F cont´ınua em a. Teorema 2.3.7 Para que uma fun¸ca˜o f seja prolong´avel por continuidade ao ponto a, ´e necess´ario e suficiente que tenha limite nesse ponto. Existindo o limite, o prolongamento por continuidade ´e a fun¸ca˜o g : Df ∪({a} → R f (x), se x ∈ Df g(x) = lim f (x), se x = a x→a

EXEMPLO: Consideremos a fun¸ca˜o f : R \ {0} → R definida por f (x) =

Figura 2.7). Sabemos que lim f (x) = 1.

sen(x) (ver x

x→0

Figura 2.7

Pelo teorema anterior f ´e prolong´avel por continuidade ao ponto 0 e o prolongamento ´e a fun¸ca˜o g : R → R definida por: g(x) =

(

sen(x) , se x 6= 0 x 1, se x = 0

Defini¸c˜ ao 2.3.6 Diz-se que f tem uma descontinuidade remov´ıvel no ponto a se existir uma fun¸ca˜o g cont´ınua em a, que apenas difere de f em a.

2.3 Continuidade: propriedades das fun¸ co ˜es cont´ınuas. Teorema de Bolzano

EXEMPLO: Seja

  x2 − 2x − 3 , se x 6= 3 f (x) =  3, x − 3 se x = 3

Como lim f (x) = 4, f tem uma descontinuidade remov´ıvel em x = 3. A fun¸ca˜o x→3 x 6= 3

´e cont´ınua no seu dom´ınio.

  x2 − 2x − 3 , se x 6= 3 g(x) =  4, x − 3 se x = 3

29

30

2.4

2. Fun¸ co ˜es Reais de Vari´ avel Real: Limites e Continuidade

Continuidade uniforme

Seja f uma fun¸ca˜o definida e cont´ınua em D ⊂ R. Por defini¸ca˜o de continuidade sabemos que para cada x0 ∈ D se tem ∀δ > 0 ∃ε > 0 x ∈ D ∧ |x − x0 | < ε ⇒ |f (x) − f (x0 )| < δ. Sabemos tamb´em que para um δ > 0 e x0 ∈ D o ε > 0 que existe n˜ao ´e u ´nico, pois se 0 < ε1 < ε ent˜ao |x − x0 | < ε1 ⇒ |x − x0 | < ε e, portanto, |x − x0 | < ε1 ⇒ |f (x) − f (x0 )| < δ. Seja δ > 0 um n´ umero fixo. Consideremos o subconjunto de D formado pelos pontos x1 , x2 , . . . , xk . Por defini¸ca˜o de continuidade sabemos que existe um conjunto {ε1 , ε2 , . . . , εk }, εi > 0, ∀i = 1, 2, . . . , k, tais que x ∈ D ∧ |x − x1 | < ε1 ⇒ |f (x) − f (x1 )| < δ x ∈ D ∧ |x − x2 | < ε2 ⇒ |f (x) − f (x2 )| < δ .. . x ∈ D ∧ |x − xk | < εk ⇒ |f (x) − f (xk )| < δ. Dado que ´e finito, o conjunto {ε1 , ε2 , . . . , εk } tem m´ınimo ε > 0. Para este valor s˜ao verdadeiras as implica¸co˜es: x ∈ D ∧ |x − xi | < ε ⇒ |f (x) − f (xi )| < δ, i = 1, 2, . . . , k, isto ´e, conseguimos arranjar vizinhan¸cas “uniformes” (de amplitude 2ε) dos pontos x 1 , x2 , . . . , xk de tal modo que as imagens dos pontos dessas vizinhan¸cas est˜ao a uma distˆancia inferior a δ do f (xi ) correspondente. E se o conjunto dos pontos escolhido fosse infinito? Seria ainda poss´ıvel, dado δ > 0, escolher um n´ umero ε > 0 nas condi¸co˜es anteriores? A resposta ´e, em geral, negativa. Vejamos um exemplo. 1 Seja f (x) = e D =]0, 2[ (veja-se a Figura 2.8). x

Figura 2.8

2.4 Continuidade uniforme

31

Figura 2.9

32

2. Fun¸ co ˜es Reais de Vari´ avel Real: Limites e Continuidade

1 , n = 1, 2, 3, . . .} e seja δ > 0. Observando n δ a defini¸ca˜o de limite, para cada n, o maior εn que podemos tomar ´e εn = n(n + δ) δ } = 0, pelo que n˜ao existe ε > 0 tal que (Figura 2.9). Ora inf{εn : εn = n(n + δ) Consideremos o conjunto {xn : xn =

|x − xn | < ε ⇒ |f (x) − f (xn )| < δ, n = 1, 2, 3, . . . Conclu´ımos assim que dado δ > 0 n˜ao podemos escolher ε > 0 que, na defini¸ca˜o de limite, seja v´alido simultaneamente para todos os xi , i = 1, 2, 3, . . .. Defini¸c˜ ao 2.4.1 Sejam f : D ⊂ R → R e A ⊂ D. Diz-se que f ´e uniformemente cont´ınua em A se ∀δ > 0 ∃ε > 0 ∀x, y ∈ A,

|x − y| < ε ⇒ |f (x) − f (y)| < δ.

EXEMPLO 1: A fun¸ca˜o f (x) = sen(x) ´e uniformemente cont´ınua em R, isto ´e, ´e verdadeira a proposi¸ca˜o ∀δ > 0 ∃ε > 0 ∀x, y ∈ R,

|x − y| < ε ⇒ |sen(x) − sen(y)| < δ.

De facto, sendo δ > 0 bastar´a escolher ε = δ e sabendo que |sen(x)| ≤ |x| ∀x ∈ R temos: ¯ µ ¶ µ ¶¯ ¯ ¯ x + y x − y ¯ |sen(x) − sen(y)| = ¯¯2 cos sen ¯ 2 2 ¯ µ µ ¶¯ ¯ ¶¯ ¯ ¯¯ ¯ x − y x + y ¯ ¯sen ¯ = 2 ¯¯cos ¯¯ ¯ 2 2 ¯ µ ¶¯ ¯ ¯ x − y ¯ ≤ 2 ¯¯sen ¯ 2

¯ ¯ ¯x − y ¯ ¯ ¯ = |x − y|. ≤ 2¯ 2 ¯

1 EXEMPLO 2: A fun¸ca˜o f (x) = n˜ao ´e uniformemente cont´ınua em ]0, 2[, como vimos x atr´as. EXEMPLO 3: A fun¸ca˜o f (x) = x2 (Figura 2.10) n˜ao ´e uniformemente cont´ınua em R, isto ´e, ´e falsa a proposi¸ca˜o ∀δ > 0 ∃ε > 0 ∀x, y ∈ R,

|x − y| < ε ⇒ |x2 − y 2 | < δ.

Da igualdade |x2 − y 2 | = |x − y||x + y| podemos concluir que x e y podem estar t˜ao pr´oximos quanto se queira e a diferen¸ca entre as suas imagens ser arbitrariamente grande

2.4 Continuidade uniforme

33

Figura 2.10

(basta pensar em pontos x e y cuja diferen¸ca seja sempre inferior a ε, mas que estejam arbitrariamente longe da origem). Os gr´aficos da Figura 2.11 procuram ilustrar esta situa¸ca˜o.

Figura 2.11

34

2. Fun¸ co ˜es Reais de Vari´ avel Real: Limites e Continuidade

EXEMPLO 4: Provemos, a partir da defini¸ca˜o, que a fun¸ca˜o f (x) = 7 − x2 ´e uniformemente cont´ınua em [−10, 1], isto ´e, que ´e verdadeira a proposi¸ca˜o ∀δ > 0 ∃ε > 0 ∀x, y ∈ [−10, 1],

|x − y| < ε ⇒ |7 − x2 − (7 − y 2 )| < δ.

Seja δ > 0. Como |7 − x2 − (7 − y 2 )| = | − x2 + y 2 | = |x − y||x + y| ≤ 20|x − y|, teremos se ε <

|x − y| < ε ⇒ |7 − x2 − (7 − y 2 )| < δ

δ . 20

Defini¸c˜ ao 2.4.2 Sejam f : D ⊂ R → R e A ⊂ D. Diz-se que f ´e lipschitziana em A se ∃M > 0 : |f (x) − f (y)| ≤ M |x − y|, ∀x, y ∈ A. Teorema 2.4.1 Sejam f : D ⊂ R → R e A ⊂ D. Se f ´e lipschitziana em A, ent˜ao f ´e uniformemente cont´ınua em A. Demonstra¸ca˜o: Usando a defini¸ca˜o, basta tomar ε =

δ . M

EXEMPLO 1: A fun¸ca˜o f (x) = x2 ´e lipschitziana em [0, 1]. De facto, |x2 − y 2 | = |x + y| |x − y| ≤ (|x| + |y|) |x − y| ≤ 2 |x − y| ∀x, y ∈ [0, 1]. A fun¸ca˜o ´e pois uniformemente cont´ınua em [0, 1]. Vimos atr´as que f (x) = x2 n˜ao ´e uniformemente cont´ınua em R. ´ claro que se O facto da fun¸ca˜o ser uniformemente cont´ınua depende do conjunto. E uma fun¸ca˜o for uniformemente cont´ınua num conjunto C ´e uniformemente cont´ınua em todos os subconjuntos de C. EXEMPLO 2: Os c´alculos efectuados atr´as permitem-nos concluir que f (x) = 7 − x2 ´e lipschitziana em [−10, 1]. Teorema 2.4.2 Sejam f : D ⊂ R → R e A ⊂ D. f ´e uniformemente cont´ınua em A se, e s´o se, para quaisquer sucess˜oes (xn ) e (yn ) de elementos de A tais que lim (xn − yn ) = 0 se tem tamb´em lim (f (xn ) − f (yn )) = 0.

n

n

1 no intervalo ]0, 1]. Sejam EXEMPLO 1: Consideremos novamente a fun¸ca˜o f (x) = x 1 1 , n ∈ N. S˜ao sucess˜oes de elementos do intervalo ]0, 1] e lim(xn − yn ) xn = e yn = n 2n

2.4 Continuidade uniforme

35

¶ 1 1 1 − = 0. No entanto, lim(f (xn ) − f (yn )) = lim(n − 2n) = = lim = lim n 2n 2n lim(−n) = −∞, o que implica, pelo teorema anterior, que f n˜ao ´e uniformemente cont´ınua no intervalo considerado. µ

2 EXEMPLO umeros reais xn = √ 2: Seja f (x) = x . Considerando as sucess˜oes de n´ e yn = n temos √ √ lim(xn − yn ) = lim( √ n + 1 − n) √ √ √ ( n + 1 − n)( n + 1 + n) √ = lim √ ( n + 1 + n) n+1−n = lim √ √ =0 n+1+ n

e

√

n+1

¡√ √ ¢ lim(f (xn ) − f (yn )) = lim ( n + 1)2 − ( n)2 = lim (n + 1 − n) = 1,

portanto, f n˜ao ´e uniformemente cont´ınua em R como t´ınhamos visto. ´ evidente que se f ´e uniformemente cont´ınua em A ent˜ao a restri¸ca˜o de f a A ´e E cont´ınua em A. A rec´ıproca n˜ao ´e verdadeira, tendo-se, no entanto, o seguinte teorema: Teorema 2.4.3 (Teorema de Cantor) Toda a fun¸ca˜o cont´ınua num conjunto fechado limitado ´e uniformemente cont´ınua. Demonstra¸ca˜o: Suponhamos que f ´e cont´ınua, mas n˜ao uniformemente cont´ınua, em X, fechado limitado. Sendo falsa a proposi¸ca˜o ∀δ > 0 ∃ε > 0 ∀x, y ∈ X,

|x − y| < ε ⇒ |f (x) − f (y)| < δ

podemos afirmar que existe δ > 0 tal que, para qualquer ε > 0, existem x, y ∈ X, para os quais se verifica |x − y| < ε ∧ |f (x) − f (y)| ≥ δ. Fixemos ε nos valores ε1 = 1, ε2 = 12 , . . . , εn = n1 . Teremos ent˜ao ∃x1 , y1 ∈ X : |x1 − y1 | < 1 ⇒ |f (x1 ) − f (y1 )| ≥ δ ∃x2 , y2 ∈ X : |x2 − y2 | < 12 ⇒ |f (x2 ) − f (y2 )| ≥ δ ... ∃xn , yn ∈ X : |x2 − y2 | < n1 ⇒ |f (xn ) − f (yn )| ≥ δ. Como (xn ) ´e uma sucess˜ao de elementos de X e este conjunto ´e limitado podemos concluir que (xn ) ´e limitada. Pelo Teorema 1.3.10, (xn ) tem uma subsucess˜ao (xnk )

36

2. Fun¸ co ˜es Reais de Vari´ avel Real: Limites e Continuidade

convergente para um certo x ∈ R; al´em disso, x ∈ X porque X ´e fechado. Mas |xnk −ynk | < 1 , o que implica que ynk → x. Como f ´e cont´ınua em X temos nk lim f (xnk ) = lim f (ynk ) = f (x), o que implica que lim (f (xnk ) − f (ynk )) = 0, o que contradiz |f (xnk ) − f (ynk )| ≥ δ > 0. EXEMPLO: Seja f uma fun¸ca˜o cont´ınua em R. Provemos que f ´e uniformemente cont´ınua em todo o subconjunto limitado de R. Seja A ⊂ R um conjunto limitado. Se A for fechado, estamos nas condi¸co˜es do Teorema de Cantor. Suponhamos que A n˜ao ´e fechado e l = inf(A) e L = sup(A). Consideremos o ´ um subconjunto fechado limitado de R. Como f ´e cont´ınua em R, f ´e intervalo [l, L]. E cont´ınua em [l, L]. Pelo Teorema de Cantor, f ´e uniformemente cont´ınua nesse intervalo, sendo, portanto, uniformemente cont´ınua em A ⊂ [l, L].

Cap´ıtulo 3 Fun¸co ˜es Reais de Vari´ avel Real: C´ alculo Diferencial 3.1

Derivadas. Regras de deriva¸c˜ ao.

Defini¸c˜ ao 3.1.1 Sejam f : D ⊂ R → R e a um ponto interior a D. Chama-se derivada de f no ponto a ao limite, se existir (em R), lim

x→a

f (x) − f (a) x−a

f (a + h) − f (a) · h df (a). Se f tem derivada finita no Designa-se a derivada de f no ponto a por f 0 (a) ou dx ponto a, diz-se que f ´e diferenci´ avel em a. ou, fazendo x − a = h,

lim

h→0

Designando por P e Qi , i = 1, 2, 3, 4, respectivamente, os pontos do gr´afico de f que tˆem abcissas a e xi , a raz˜ao f (xi ) − f (a) xi − a

´e o declive da recta P Qi , secante ao gr´afico de f (veja-se a Figura 3.1). Se f ´e diferenci´avel no ponto a, chama-se tangente ao gr´afico de f no ponto (a, f (a)) a` recta que passa por este ponto e tem declive igual a f 0 (a); a recta tangente ter´a ent˜ao a equa¸ca˜o: y = f (a) + f 0 (a)(x − a). Defini¸c˜ ao 3.1.2 Sejam f : D ⊂ R → R e a um ponto interior a D. Chama-se derivada a esquerda de f no ponto a ao limite, se existir (em R), ` lim−

x→a

f (x) − f (a) x−a

38

3. Fun¸ co ˜es Reais de Vari´ avel Real: C´ alculo Diferencial

Figura 3.1: Interpreta¸ca ˜o geom´etrica da derivada.

ou, fazendo x − a = h, lim−

h→0

f (a + h) − f (a) , h

e designa-se por f 0 (a− ). Chama-se derivada ` a direita de f no ponto a ao limite, se existir (em R), lim+

x→a

ou, fazendo x − a = h, lim+

h→0

f (x) − f (a) x−a

f (a + h) − f (a) , h

e designa-se por f 0 (a+ ). ´ evidente que f 0 (a) existe se, e s´o se, existem e s˜ao iguais f 0 (a+ ) e f 0 (a− ). NOTA: E EXEMPLO 1: Consideremos a fun¸ca˜o f : R → R definida por ½ x, se x ≥ 0 f (x) = |x| = −x, se x < 0 cujo gr´afico se apresenta na Figura 3.2. x f (x) − f (0) = lim+ = 1; x→0 x→0 x−0 x f (x) − f (0) −x f 0 (0− ) = lim− = lim− = −1. x→0 x→0 x−0 x

f 0 (0+ ) = lim+

Como f 0 (0+ ) 6= f 0 (0− ), f n˜ao tem derivada no ponto 0.

3.1 Derivadas. Regras de deriva¸ c˜ ao.

39

Figura 3.2

EXEMPLO 2: A fun¸ca˜o f : R → R definida por ( ¡ ¢ x sen x1 , se x 6= 0 f (x) = 0, se x = 0 n˜ao tem derivadas laterais em x = 0 (ver Figura 3.3). De facto, a fun¸ca˜o definida por ¡ ¢ µ ¶ x sen x1 f (x) − f (0) 1 = = sen x−0 x x n˜ao tem limite quando x → 0, n˜ao existindo sequer limites laterais.

Figura 3.3

EXEMPLO 3: A fun¸ca˜o f : R → R definida por f (x) = +∞ em x = 0, pois

√ 3

x (ver Figura 3.4) tem derivada

40

3. Fun¸ co ˜es Reais de Vari´ avel Real: C´ alculo Diferencial

√ 3

x = f (0 ) = lim+ x→0 x √ 3 x 0 − = f (0 ) = lim− x→0 x 0

+

f n˜ao ´e, pois, diferenci´avel em 0.

lim+

x→0

lim−

x→0

r 3

r 3

x = x3

1 lim+ √ = +∞ 3 x→0 x2

x = x3

1 lim− √ = +∞ 3 x→0 x2

Figura 3.4

√ 3 EXEMPLO 4: A fun¸ca˜o f : R → R definida por f (x) = x2 , e cujo gr´afico se apresenta na Figura 3.5, n˜ao tem derivada em 0. De facto, r √ 3 2 2 1 x 3 x = lim+ √ = lim+ = +∞ f 0 (0+ ) = lim+ 3 3 x→0 x→0 x→0 x x x r √ 3 2 2 x 1 3 x = lim− = lim− √ f 0 (0− ) = lim− = −∞ 3 3 x→0 x→0 x→0 x x x

Figura 3.5

3.1 Derivadas. Regras de deriva¸ c˜ ao.

41

Teorema 3.1.1 Sejam f : D ⊂ R → R e a um ponto interior a D. Se f ´e diferenci´avel no ponto a, ent˜ao f ´e cont´ınua em a. Demonstra¸ca˜o: Podemos escrever f (x) = f (a) + (x − a) Ent˜ao

µ

f (x) − f (a) lim f (x) = lim f (a) + (x − a) x→a x→a x−a

¶

f (x) − f (a) x−a

∀x ∈ D \ {a}.

= f (a) + 0.f 0 (a) = f (a),

ou seja, f ´e cont´ınua no ponto a. NOTAS: 1. Uma fun¸ca˜o pode ser cont´ınua num dado ponto e n˜ao ter derivada nesse ponto (ver o exemplo anterior). 2. Se a derivada for infinita, a fun¸ca˜o pode n˜ao ser cont´ınua. Teorema 3.1.2 Se f e g s˜ao fun¸co˜es diferenci´aveis em a, ent˜ao f + g e f · g s˜ao fun¸co˜es diferenci´aveis em a, e (f + g)0 (a) = f 0 (a) + g 0 (a) (f · g)0 (a) = f 0 (a) · g(a) + f (a) · g 0 (a).

Se, al´em disso, g(a) 6= 0, ent˜ao f /g ´e diferenci´avel em a e µ ¶0 f f 0 (a) · g(a) − f (a) · g 0 (a) . (a) = g (g(a))2 Demonstra¸ca˜o: Sendo finitas as derivadas f 0 (a) e g 0 (a), teremos no caso da soma: (f + g)(x) − (f + g)(a) x→a x−a

(f + g)0 (a) = lim

= lim

f (x) + g(x) − f (a) − g(a) x−a

= lim

µ

x→a

x→a

f (x) − f (a) g(x) − g(a) + x−a x−a

¶

g(x) − g(a) f (x) − f (a) + lim x→a x→a x−a x−a

= lim

= f 0 (a) + g 0 (a) o que mostra que f + g ´e diferenci´avel em a.

42

3. Fun¸ co ˜es Reais de Vari´ avel Real: C´ alculo Diferencial

Para o produto, temos (f · g)(x) − (f · g)(a) x→a x−a

(f · g)0 (a) = lim

f (x) · g(x) − f (a) · g(a) x→a x−a

= lim

f (x) · g(x) − f (a) · g(x) + f (a) · g(x) − f (a) · g(a) x→a x−a

= lim

= lim

x→a

(f (x) − f (a)) · g(x) + f (a) · (g(x) − g(a)) x−a µ

g(x) − g(a) f (x) − f (a) + f (a) · = lim g(x) · x→a x−a x−a

¶

f (x) − f (a) g(x) − g(a) + f (a) · lim x→a x→a x−a x−a

= lim g(x) · lim x→a

= g(a) · f 0 (a) + f (a) · g 0 (a) onde se usou o facto de a diferenciabilidade de g em a implicar a sua continuidade no mesmo ponto. Finalmente, para o quociente podemos come¸car por considerar o caso particular de f ser a fun¸ca˜o constante com o valor 1 em todos os pontos do seu dom´ınio. Obtemos ent˜ao: µ ¶ µ ¶ 1 1 1 1 µ ¶0 (x) − (a) − 1 g g g(x) g(a) = lim (a) = lim x→a x→a g x−a x−a g(a) − g(x) ¶ µ g(x) − g(a) 1 g(x) · g(a) = lim = lim · − x→a x→a x−a x−a g(x) · g(a) = −

1 1 g(x) − g(a) 1 1 · lim · lim =− · · g 0 (a) g(a) x→a g(x) x→a x−a g(a) g(a)

= −

g 0 (a) . (g(a))2

Portanto, notando que

1 f = f · , temos: g g

3.1 Derivadas. Regras de deriva¸ c˜ ao.

43

µ ¶ µ ¶0 µ ¶0 1 f 1 0 (a) = f (a) · (a) (a) + f (a) · g g g f 0 (a) · g(a) − f (a) · g 0 (a) . (g(a))2

=

Corol´ ario 1 Se f1 , f2 , . . . , fp s˜ao fun¸co˜es diferenci´aveis no ponto a, a sua soma e o seu produto tamb´em o s˜ao e verificam-se as igualdades: (f1 + f2 + · · · + fp )0 (a) = f10 (a) + f20 (a) + · · · + fp0 (a) 0

(f1 · f2 · · · fp ) (a) =

p X i=1

f1 (a) · · · fi0 (a) · · · fp (a).

Em particular, se p ∈ N e f ´e diferenci´avel em a tamb´em o ´e a fun¸ca˜o h(x) = (f (x)) p e tem-se h0 (a) = p · (f (a))p−1 · f 0 (a). Teorema 3.1.3 Se g : E → R ´e diferenci´avel no ponto a e f : D → R ´e diferenci´avel no ponto b = g(a), ent˜ao f ◦ g ´e diferenci´avel em a e (f ◦ g)0 (a) = f 0 (b) · g 0 (a) = f 0 (g(a)) · g 0 (a). Teorema 3.1.4 Sejam I um intervalo, f : I → R uma fun¸ca˜o estritamente mon´otona e cont´ınua, g : J = f (I) → R a sua inversa. Se f ´e diferenci´avel no ponto a e f 0 (a) 6= 0, ent˜ao g ´e diferenci´avel em b = f (a) e g 0 (b) =

1 f 0 (a)

=

1 f 0 (g(b))

.

EXEMPLO 1: Consideremos a fun¸ca˜o g(x) = arc sen(x), fun¸ca˜o inversa da fun¸ca˜o f (x) = sen(x) no intervalo [− π2 , π2 ]. Teremos ent˜ao g 0 (x) =

1 f 0 (g(x))

=

1 1 1 1 = =p =√ . 2 cos(g(x)) cos(arc sen(x)) 1 − x2 1 − sen (arc sen(x))

EXEMPLO 2: Consideremos a fun¸ca˜o g(x) = arc cos(x), fun¸ca˜o inversa da fun¸ca˜o f (x) = cos(x) no intervalo [0, π]. Teremos ent˜ao 1

1 1 =− sen(g(x)) sen(arc cos(x)) 1 1 = −√ . = −p 1 − x2 1 − cos2 (arc cos(x))

g 0 (x) =

f 0 (g(x))

=−

44

3. Fun¸ co ˜es Reais de Vari´ avel Real: C´ alculo Diferencial

De forma an´aloga se pode mostrar que (arc tg(x))0 =

1 1 + x2

e (arc cotg(x))0 = −

1 . 1 + x2

Se f : D ⊂ R → R ´e uma fun¸ca˜o diferenci´avel em todos os pontos de A ⊂ D, podemos definir a fun¸ca˜o que a cada x de A faz corresponder f 0 (x). Obtemos, assim, uma nova fun¸ca˜o, de dom´ınio A, que representamos por f 0 e a que chamamos fun¸c˜ ao derivada (ou apenas derivada) de f em A. De modo an´alogo, se f 0 for diferenci´avel em A, definimos f 00 = (f 0 )0 (segunda derivada); se f 00 for diferenci´avel em A, definimos f 000 = (f 00 )0 , . . . se f (n−1) (derivada de ordem n − 1) for diferenci´avel em A, definimos f (n) = (f (n−1) )0 , derivada de ordem n de f em A. Defini¸c˜ ao 3.1.3 Se f 0 for cont´ınua em A, dizemos que f ´e de classe C1 em A e representamos por f ∈ C 1 (A). Se n ∈ N e f (n) ´e cont´ınua em A, dizemos que f ´e de classe Cn em A e representamos por f ∈ C n (A). Se f ∈ C n (A), ∀n ∈ N, dizemos que f ´e de classe C∞ e representamos por f ∈ C ∞ (A). EXEMPLO 1: As fun¸co˜es f (x) = cos(x), g(x) = sen(x) e h(x) = ex s˜ao de classe C ∞ em R. EXEMPLO 2: A fun¸ca˜o

´e diferenci´avel em R,

µ ¶   x2 sen 1 , x f (x) =  0,

se x 6= 0 se x = 0

µ ¶ µ ¶   2 x sen 1 − cos 1 , x x f 0 (x) =  0,

se x 6= 0 se x = 0

e f 0 n˜ao ´e cont´ınua em 0. Temos, assim, f ∈ / C 1 (R).

EXEMPLO 3: Se f (n) (x) e g (n) (x) existem, tem-se obviamente, (f + g)(n) (x) = f (n) (x) + g (n) (x).

3.1 Derivadas. Regras de deriva¸ c˜ ao.

45

EXEMPLO 4: A derivada de ordem n do produto de duas fun¸co˜es obt´em-se pela f´ ormula de Leibnitz: n X (n) n (f g) (x) = Cp f (p) (x) g (n−p) (x), p=0

onde se convenciona f (0) (x) = f (x). A demonstra¸ca˜o desta propriedade faz-se facilmente, por indu¸ca˜o em n, usando a regra de deriva¸ca˜o do produto. Defini¸c˜ ao 3.1.4 Seja f : D ⊂ R → R, diferenci´avel num ponto a interior a D. Chamase diferencial da fun¸ca˜o f no ponto a `a aplica¸ca˜o linear df (a) : R → R dada por df (a)(h) = f 0 (a) · h. Teorema 3.1.5 Sejam f e g duas fun¸co˜es diferenci´aveis. Ent˜ao: a) d(f + g) = df + dg b) d(f g) = g df + f dg c) d(f n ) = n f n−1 df f g df − f dg d) d( ) = g g2 e) d((g ◦ f )(x)) = g 0 (f (x)) · df (x)

46

3. Fun¸ co ˜es Reais de Vari´ avel Real: C´ alculo Diferencial

3.2

Teoremas Fundamentais: Rolle, Darboux, Lagrange e Cauchy.

Defini¸c˜ ao 3.2.1 Seja f : D ⊂ R → R. a) Diz-se que f tem um m´ınimo local (ou relativo) em a ∈ D (ou que f (a) ´e um m´ınimo local, ou relativo, de f ) se existir uma vizinhan¸ca V de a tal que f (x) ≥ f (a), ∀x ∈ V ∩ D. b) Diz-se que f tem um m´ aximo local (ou relativo) em a ∈ D (ou que f (a) ´e um m´aximo local, ou relativo, de f ) se existir uma vizinhan¸ca V de a tal que f (x) ≤ f (a), ∀x ∈ V ∩ D. Aos m´aximos e m´ınimos relativos d´a-se a designa¸ca˜o comum de extremos relativos (ver Figura 3.6).

Figura 3.6: Extremos relativos.

Teorema 3.2.1 Seja f : D ⊂ R → R. Se f (a) for m´ınimo relativo e existirem derivadas laterais em a, ent˜ao f 0 (a− ) ≤ 0 e f 0 (a+ ) ≥ 0. Se f for diferenci´avel em a, ent˜ao f 0 (a) = 0. Demonstra¸ca˜o: Se f (a) ´e um m´ınimo relativo ent˜ao, por defini¸ca˜o, ∃ε > 0 : f (x) ≥ f (a) ∀x ∈ Vε (a) ∩ D. Mas f (x) − f (a) ≤ 0 ∀x ∈]a − ε, a[ ∩ D, x−a o que implica que lim−

x→a 0

−

isto ´e, f (a ) ≤ 0.

f (x) − f (a) ≤ 0, x−a

3.2 Teoremas Fundamentais: Rolle, Darboux, Lagrange e Cauchy.

47

Analogamente,

o que implica que

f (x) − f (a) ≥ 0 ∀x ∈]a, a + ε[ ∩ D, x−a lim+

x→a 0

+

isto ´e, f (a ) ≥ 0.

f (x) − f (a) ≥ 0, x−a

Teorema 3.2.2 Se f (a) for m´aximo relativo e existirem derivadas laterais em a, ent˜ao f 0 (a− ) ≥ 0 e f 0 (a+ ) ≤ 0. Se f for diferenci´avel em a, ent˜ao f 0 (a) = 0. NOTA: Se f ´e diferenci´avel, a condi¸ca˜o f 0 (a) = 0 ´e necess´aria, mas n˜ao suficiente para que f tenha um extremo em a. Consideremos, por exemplo, a fun¸ca˜o f (x) = x3 ; f 0 (0) = 0 e f n˜ao tem extremo em 0. Teorema 3.2.3 (Teorema de Rolle) Seja f uma fun¸ca˜o cont´ınua no intervalo [a, b] (a, b ∈ R, a < b) e diferenci´avel em ]a, b[. Se f (a) = f (b), ent˜ao existe c ∈]a, b[ tal que f 0 (c) = 0. Demonstra¸ca˜o: Pelo Teorema de Weierstrass, a fun¸ca˜o f , cont´ınua no intervalo [a, b], tem m´aximo M e m´ınimo m neste intervalo. Se M = m ent˜ao f ´e constante em [a, b] e, portanto, f 0 (x) = 0 ∀x ∈]a, b[, n˜ao havendo mais nada a provar. Se M 6= m, a hip´otese f (a) = f (b) implica que ou o m´aximo ou o m´ınimo ´e atingido num ponto c ∈]a, b[. Ent˜ao, pelos teoremas anteriores, f 0 (c) = 0. Geometricamente, o teorema afirma que na representa¸ca˜o gr´afica da fun¸ca˜o h´a pelo menos um ponto em que a tangente ´e paralela ao eixo dos xx (ver Figura 3.7).

Figura 3.7: Interpreta¸ca ˜o geom´etrica do Teorema de Rolle.

Corol´ ario 1 Entre dois zeros de uma fun¸ca˜o diferenci´avel num intervalo h´a, pelo menos, um zero da sua derivada.

48

3. Fun¸ co ˜es Reais de Vari´ avel Real: C´ alculo Diferencial

Corol´ ario 2 Entre dois zeros consecutivos da derivada de uma fun¸ca˜o diferenci´avel num intervalo existe, no m´aximo, um zero da fun¸ca˜o. Teorema 3.2.4 (Teorema de Darboux) Seja I ⊂ R um intervalo aberto, f : I → R uma fun¸ca˜o diferenci´avel em I. Se existirem a, b ∈ I, a < b, tais que f 0 (a) 6= f 0 (b) ent˜ao, para todo o k entre f 0 (a) e f 0 (b), existe c ∈]a, b[ tal que f 0 (c) = k. Demonstra¸ca˜o: Come¸camos por fazer a demonstra¸ca˜o num caso especial e, usando este, passaremos ao caso geral. Suponhamos que f 0 (a) < k = 0 < f 0 (b). (3.1) Como f ´e diferenci´avel em I, ´e cont´ınua em I, pelo que ´e cont´ınua em [a, b] e, portanto, f (x) − f (a) < 0, existe f tem um ponto de m´ınimo em [a, b]. Visto que f 0 (a) = lim x→a x−a f (x) − f (a) ε1 > 0 tal que < 0, ∀x ∈]a, a + ε1 [, pelo que f (x) < f (a), ∀x ∈]a, a + ε1 [. x−a Analogamente se mostra que existe ε2 > 0 tal que f (x) < f (b), ∀x ∈]b − ε2 , b[. Conclui-se, assim, que nem a nem b s˜ao ponto de m´ınimo de f em [a, b], isto ´e, existe c ∈]a, b[ onde f atinge o seu m´ınimo em [a, b]; como f ´e diferenci´avel, f 0 (c) = 0. Fica assim demonstrado o teorema no caso especial de (3.1). Obviamente, a demonstra¸ca˜o no caso f 0 (a) > k = 0 > f 0 (b)

(3.2)

seria semelhante (mostrar-se-ia, neste caso, que existe um ponto de m´aximo diferente de a e b). Passemos ao caso geral. Suponhamos que f 0 (a) < k < f 0 (b).

(3.3)

A fun¸ca˜o g(x) = f (x)−kx ´e diferenci´avel em I (g 0 (x) = f 0 (x)−k) e g 0 (a) = f 0 (a)−k < 0 < f 0 (b) − k; estamos assim nas condi¸co˜es do caso (3.1): existe c ∈]a, b[ tal que g 0 (c) = 0, isto ´e, f 0 (c) = k. O caso f 0 (a) > k > f 0 (b) (3.4) resolve-se com a mesma t´ecnica, usando (3.2).

3.2 Teoremas Fundamentais: Rolle, Darboux, Lagrange e Cauchy.

49

NOTAS: 1. Apenas com a condi¸ca˜o de diferenciabilidade no intervalo (n˜ao se pede que a derivada seja cont´ınua!), mostra-se que a derivada verifica uma propriedade semelhante a` do Teorema de Bolzano. 2. A derivada pode n˜ao ser cont´ınua. Por exemplo, a fun¸ca˜o:  µ ¶ 1  2 , se x 6= 0 x sen f (x) = x  0, se x = 0 ´e diferenci´avel em R:

 

µ ¶ µ ¶ 1 1 2 x sen − cos , se x 6= 0 0 f (x) = x x  0, se x = 0

e f 0 n˜ao ´e cont´ınua em 0.

Teorema 3.2.5 (Teorema de Lagrange) Seja f uma fun¸ca˜o cont´ınua no intervalo [a, b] (a, b ∈ R, a < b) e diferenci´avel em ]a, b[. Ent˜ao existe c ∈]a, b[ tal que f 0 (c) =

f (b) − f (a) . b−a

Demonstra¸ca˜o: A fun¸ca˜o f (b) − f (a) x b−a ´e cont´ınua em [a, b] e diferenci´avel em ]a, b[. Al´em disso, ϕ(a) = ϕ(b). Pelo Teorema de Rolle existe c ∈]a, b[ tal que ϕ0 (c) = 0. Mas ϕ(x) = f (x) −

ϕ0 (x) = f 0 (x) −

f (b) − f (a) , b−a

o que implica ϕ0 (c) = 0 ⇔ f 0 (c) −

f (b) − f (a) f (b) − f (a) = 0 ⇔ f 0 (c) = . b−a b−a

Geometricamente, o teorema anterior afirma que na representa¸ca˜o gr´afica da fun¸ca˜o h´a pelo menos um ponto em que a tangente ´e paralela a` corda que une os pontos (a, f (a)) e (b, f (b)) (ver Figura 3.8). NOTA: O Teorema de Rolle ´e um caso particular deste teorema. Trata-se do caso em que f (a) = f (b).

50

3. Fun¸ co ˜es Reais de Vari´ avel Real: C´ alculo Diferencial

Figura 3.8: Interpreta¸ca ˜o geom´etrica do Teorema de Lagrange.

Corol´ ario 1 Se f tem derivada nula em todos os pontos de um intervalo, ent˜ao ´e constante nesse intervalo. Corol´ ario 2 Se f e g s˜ao duas fun¸co˜es diferenci´aveis num intervalo I e se f 0 (x) = g 0 (x), ∀x ∈ I, ent˜ao a diferen¸ca f − g ´e constante em I. Corol´ ario 3 Se I ´e um intervalo e f 0 (x) ≥ 0 (respectivamente, f 0 (x) ≤ 0), ∀x ∈ I, ent˜ao f ´e crescente (respectivamente, decrescente) em I; se f 0 (x) > 0 (respectivamente, f 0 (x) < 0) ∀x ∈ I, ent˜ao f ´e estritamente crescente (respectivamente, decrescente) em I. Teorema 3.2.6 (Teorema do valor m´ edio de Cauchy) Se f e g s˜ao fun¸co˜es cont´ınuas em [a, b], diferenci´aveis em ]a, b[ e g 0 (x) n˜ao se anula em ]a, b[, ent˜ao existe c ∈]a, b[ tal que f 0 (c) f (b) − f (a) = . 0 g (c) g(b) − g(a)

Demonstra¸ca˜o: Consideremos a fun¸ca˜o ϕ(x) = f (x) −

f (b) − f (a) g(x). g(b) − g(a)

Pelo Teorema de Rolle, g(a) 6= g(b) visto que g 0 (x) 6= 0 ∀x ∈]a, b[, pelo que ϕ est´a bem definida; al´em disso, ϕ ´e cont´ınua em [a, b] e diferenci´avel em ]a, b[. Como ϕ(a) = ϕ(b), pelo Teorema de Rolle existe c ∈]a, b[ tal que ϕ0 (c) = 0. Mas ϕ0 (x) = f 0 (x) −

f (b) − f (a) 0 g (x) g(b) − g(a)

o que implica ϕ0 (c) = 0 ⇔ f 0 (c) −

f (b) − f (a) 0 f (b) − f (a) 0 g (c) = 0 ⇔ f 0 (c) = g (c). g(b) − g(a) g(b) − g(a)

3.2 Teoremas Fundamentais: Rolle, Darboux, Lagrange e Cauchy.

Como g 0 (x) 6= 0 ∀x ∈]a, b[ e c ∈]a, b[ temos f (b) − f (a) f 0 (c) = . 0 g (c) g(b) − g(a) NOTA: O Teorema de Lagrange ´e um caso particular deste teorema com g(x) = x.

51

52

3. Fun¸ co ˜es Reais de Vari´ avel Real: C´ alculo Diferencial

3.3

Indetermina¸co ˜es

A partir do Teorema de Cauchy pode-se demonstrar a seguinte regra que ´e muito usada f 0 ∞ no c´alculo do limite de um quociente quando assume a forma ou . g 0 ∞ Teorema 3.3.1 (Regra de Cauchy) Sejam f e g duas fun¸co˜es diferenci´aveis em ]a, b[ (a < b) tais que a) g 0 (x) 6= 0, ∀x ∈]a, b[, b) lim f (x) = lim g(x) = 0 ou lim f (x) = lim g(x) = +∞; x→a

x→a

ent˜ao, se existir lim

x→a

x→a

x→a

f (x) f 0 (x) , tamb´em existe lim e estes limites s˜ao iguais. 0 x→a g(x) g (x)

Corol´ ario 1 Sejam I um intervalo aberto, c ∈ I, f e g duas fun¸co˜es diferenci´aveis em I \ {c}. Se g 0 (x) 6= 0, ∀x ∈ I \ {c}, e lim f (x) = lim g(x) = 0 ou lim f (x) = lim g(x) = x→c x→c x→c x→c +∞, ent˜ao f 0 (x) f (x) = lim 0 lim x→c g (x) x→c g(x) x6=c x6=c sempre que o segundo limite exista (em R). NOTA: Conv´em notar que pode existir lim

x→a

acontece com as fun¸co˜es

f (x) f 0 (x) ´ e n˜ao existir lim 0 . E o que x→a g (x) g(x)

µ ¶ 1 , g(x) = x. f (x) = x cos x µ ¶ µ ¶ µ ¶ f (x) f 0 (x) 1 1 1 De facto, lim =0e 0 + sen pelo que n˜ao = lim x cos = 2x cos x→0 g(x) x→0 x g (x) x x f 0 (x) existe lim 0 . x→0 g (x) 2

sen(x) EXEMPLO 1: Consideremos a fun¸ca˜o h definida por . Ao calcular lim h(x) enx→0 x 0 contramos a indetermina¸ca˜o . Sendo f (x) = sen(x) e g(x) = x, estamos nas condi¸co˜es 0 da regra de Cauchy. Como lim

x→0

f 0 (x) = lim cos(x) = 1, g 0 (x) x→0

podemos concluir que lim h(x) = 1. x→0

3.3 Indetermina¸ co ˜es

53

ex − 1 ex − 1 0 . No c´alculo de lim surge a indetermina¸ca˜o . x→0 x x 0 Tomando f (x) = ex − 1 e g(x) = x estamos nas condi¸co˜es da regra de Cauchy. Como EXEMPLO 2: Seja h(x) =

(ex − 1)0 = lim ex = 1 x→0 x→0 (x)0 lim

ex − 1 = 1. x→0 x

podemos concluir que lim

∞ tg(x) − 5 obtemos a indetermina¸ca˜o · x→ 2 x→ 2 sec(x) + 4 ∞ Considerando f (x) = tg(x) − 5 e g(x) = sec(x) + 4, estamos nas condi¸co˜es da regra de Cauchy. Como

EXEMPLO 3: Ao calcular limπ h(x) = limπ

f 0 (x) sec2 (x) sec(x) 1 = limπ = limπ = limπ = 1, limπ 0 x→ 2 sec(x) tg(x) x→ 2 tg(x) x→ 2 sen(x) x→ 2 g (x) podemos concluir que limπ

x→ 2

tg(x) − 5 = 1. sec(x) + 4

3x − 2 x 3x − 2 x EXEMPLO 4: Seja h(x) = . Ao calcular lim encontramos a indetermix→0 x x 0 na¸ca˜o . Considerando f (x) = 3x − 2x , g(x) = x e aplicando a regra de Cauchy obtemos 0 µ ¶ 3 3x − 2 x = log , lim x→0 x 2 pois

f 0 (x) lim 0 = lim (3x log(3) − 2x log(2)) = log(3) − log(2) = log x→0 g (x) x→0

µ ¶ 3 . 2

EXEMPLO 5 : A indetermina¸ca˜o 0 × ∞ surge ao calcularmos lim+ h(x) = lim+ xα log(x), x→0

com α > 0. Como

lim+ h(x) = lim+ xα log(x) = lim+

x→0

e

x→0

(log(x))0 lim+ ¡ 1 ¢0 = lim+

x→0

xα

podemos concluir que lim+ h(x) = 0. x→0

x→0

log(x)

x→0

1 x α − xα+1

= − lim+ x→0

1 xα

xα = 0, α

x→0

54

3. Fun¸ co ˜es Reais de Vari´ avel Real: C´ alculo Diferencial

NOTAS: 1. Pode-se demonstrar a partir da Regra de Cauchy o seguinte resultado, u ´til quando se pretende estudar a diferenciabilidade de uma fun¸ca˜o: Sejam f uma fun¸ca˜o cont´ınua num intervalo I e a um ponto de I. Se f ´e diferenci´avel num intervalo ]a, b[⊂ I e existe lim+ f 0 (x) ent˜ao f tem derivada a` direita no ponto a e f 0 (a+ ) = lim+ f 0 (x). x→a

x→a

f (x) − f (a) e aplicar a regra de Cauchy. Para tal basta notar que f (a ) = lim+ x→a x−a Obviamente, existe um resultado an´alogo para a derivada a` esquerda. 0

+

2. Os s´ımbolos 0 × ∞ e ∞ − ∞ que podem surgir no c´alculo do limite de um produto 0 ∞ f · g ou de uma soma f + g reduzem-se a ou pelas transforma¸co˜es: 0 ∞ f ·g =

f g = 1 1 g f

1 1 + f g e f +g = 1 f ·g

Outra regra importante no estudo de limites, mas que ´e aplic´avel somente ao s´ımbolo 0 , ´e a seguinte: 0 Teorema 3.3.2 (Regra de l’Hospital) Sejam f e g duas fun¸co˜es definidas num intervalo I, diferenci´aveis em a ∈ I e f (x) g(x) 6= 0, ∀x ∈ I \ {a}. Se f (a) = g(a) = 0 e g 0 (a) 6= 0, ent˜ao tem limite g(x) no ponto a e f (x) f 0 (a) lim = 0 . x→a g(x) g (a) As indetermina¸co˜es 1∞ , 00 e ∞0 surgem do c´alculo de limites de fun¸co˜es f g e reduzemse a`s indetermina¸co˜es do tipo 0 × ∞ fazendo: g f g = e log(f ) = e g · log(f ) .

Da continuidade da fun¸ca˜o exponencial conclui-se que: lim

x→a

h

i lim g(x) · log(f (x)) g(x) (f (x)) = e x→a .

EXEMPLO 1: Consideremos a fun¸ca˜o h(x) = xx . A indetermina¸ca˜o que surge ao calcular lim+ h(x) ´e do tipo 00 que podemos converter numa do tipo 0 × ∞:

x→0

3.3 Indetermina¸ co ˜es

55

lim x log(x) lim+ xx = e x→0+ = e0 = 1,

x→0

tendo em conta o que mostr´amos atr´as (exemplo 5 da p´agina 53). EXEMPLO 2: Vimos num exemplo anterior que lim x→0 1 µ ¶ sen(x) x2 lim surge a indetermina¸ca˜o 1∞ . x→0 x lim

x→0

µ

sen(x) = 1, portanto, ao calcular x

¶ µ 1 sen(x) ¶1 lim 2 log sen(x) x2 x = e x→0 x ; x

neste u ´ltimo limite surge a indetermina¸ca˜o 0 × ∞ que podemos converter em

e

lim

x→0

1 log x2

µ

sen(x) x

¶

log

=e

lim

x→0

³

sen(x) x 2 x

´

0 fazendo 0

.

Como

lim

e

x→0

³

log

³

sen(x) x 2 0

(x )

´´0

=e

lim

x→0

³

´ sen(x) 0 x sen(x) x

2x

temos novamente a indetermina¸ca˜o 2x2 sen(x) obtemos lim

x→0

x→0

x→0

2x

x cos(x) − sen(x) 2x2 sen(x) , = e x→0 lim

0 . Considerando f (x) = x cos(x) − sen(x) e g(x) = 0

f 0 (x) −sen(x) = lim 0 g (x) x→0 4 sen(x) + 2x cos(x)

aparecendo ainda a indetermina¸ca˜o lim

=e

lim

x cos(x)−sen(x) x sen(x) x2

0 . Tendo em conta que 0

(−sen(x))0 − cos(x) 1 = lim =− , 0 x→0 6 cos(x) − 2x sen(x) (4 sen(x) + 2x cos(x)) 6

podemos concluir que lim

x→0

µ

¶1 1 sen(x) x2 = e− 6 . x

56

3. Fun¸ co ˜es Reais de Vari´ avel Real: C´ alculo Diferencial

µ ¶tg(x) 1 surge a indetermina¸ca˜o ∞0 . Como EXEMPLO 3: No c´alculo de lim+ x→0 x µ ¶

1 µ ¶tg(x) lim tg(x) log 1 + x lim = ex→0 x→0+ x

¡ ¢ log x1 lim = ex→0+ cotg(x)

∞ temos que e neste limite a indetermina¸ca˜o ´e primeiro do tipo 0 × ∞ e depois do tipo ∞ o limite pedido ´e 1 pois 1 ¡ ¢¢0 − log x1 sen2 (x) x lim lim − lim 0 2 x ex→0+ (cotg(x)) = ex→0+ cosec (x) = ex→0+ = e0 = 1. ¡

3.4 Teorema de Taylor

3.4

57

Teorema de Taylor

Teorema 3.4.1 (Teorema de Taylor) Seja f uma fun¸ca˜o definida num intervalo [a, b] (a < b), com derivadas cont´ınuas at´e `a ordem n − 1 em [a, b] e com derivada de ordem n definida em ]a, b[. Ent˜ao, existe um ponto c ∈]a, b[ tal que f (b) = f (a)+(b−a) f 0 (a)+

(b − a)n−1 (n−1) (b − a)n (n) (b − a)2 00 f (a)+· · ·+ f (a)+ f (c) 2! (n − 1)! n!

(∗)

Demonstra¸ca˜o: Consideremos a fun¸ca˜o (b − x)2 00 ϕ(x) = f (b) − [f (x) + (b − x)f (x) + f (x)+ 2! n n−1 (b − x) (b − x) f (n−1) (x) + A], +··· + (n − 1)! n! 0

sendo A uma constante escolhida por forma que ϕ(a) = 0. ϕ est´a nas condi¸co˜es do Teorema de Rolle: por constru¸ca˜o, ´e uma fun¸ca˜o cont´ınua em [a, b], diferenci´avel em ]a, b[ e ϕ(a) = 0 = ϕ(b). Ent˜ao existe c ∈]a, b[ tal que ϕ 0 (c) = 0. Mas

ϕ0 (x) = −[ f 0 (x) − f 0 (x) + (b − x)f 00 (x) − (b − x)f 00 (x) + · · · − +

(b − x)n−1 (b − x)n−1 (n) f (x) − A] (n − 1)! (n − 1)! ·

(b − x)n−1 (n) (b − x)n−1 = − f (x) − A (n − 1)! (n − 1)!

(b − x)n−2 (n−1) f (x)+ (n − 2)!

¸

¤ (b − x)n−1 £ = A − f (n) (x) (n − 1)!

Ent˜ao

ϕ0 (c) = 0 ⇔

¤ (b − c)n−1 £ A − f (n) (c) = 0 ⇔ (b − c)n−1 = 0 ∨ f (n) (c) − A = 0. (n − 1)!

Como c ∈]a, b[ vem f (n) (c) = A. Por constru¸ca˜o de ϕ temos ϕ(a) = 0, portanto, (b − a)2 00 0 = ϕ(a) = f (b) − [f (a) + (b − a)f 0 (a) + f (a)+ 2! n n−1 (b − a) (b − a) (n) +··· + f (n−1) (a) + f (c)], (n − 1)! n! e obtemos assim (∗).

58

3. Fun¸ co ˜es Reais de Vari´ avel Real: C´ alculo Diferencial

NOTA: A hip´otese a < b ´e desnecess´aria, como facilmente se observa na demonstra¸ca˜o. Apenas foi introduzida para facilitar o enunciado. A express˜ao (∗) chama-se f´ ormula de Taylor de ordem n de f . Fazendo no enunciado do teorema b = a + h, vem f (a + h) = f (a) + h f 0 (a) +

h2 00 hn−1 hn (n) f (a) + · · · + f (n−1) (a) + f (a + θh), 2! (n − 1)! n!

sendo 0 < θ < 1. hn (n) (b − a)n (n) Ao termo f (a + θh) ou f (c) chama-se resto de Lagrange da f´ormula n! n! de Taylor. No caso em que a = 0, a f´ormula de Taylor ´e conhecida por f´ ormula de MacLaurin: f (x) = f (0) + f 0 (0) x + f 00 (0) sendo 0 < c < x ou x < c < 0.

x2 xn−1 xn + · · · + f (n−1) (0) + f (n) (c) , 2! (n − 1)! n!

EXEMPLO 1: Vamos escrever a f´ormula de MacLaurin, com resto de ordem 4, da fun¸ca˜o f (x) = ex sen(x). Como f ´e uma fun¸ca˜o de classe C ∞ (R) podemos escrever a sua f´ormula de MacLaurin de qualquer ordem. Em particular, para n = 4 existe c entre 0 e x tal que f (x) = f (0) + f 0 (0) x + f 00 (0)

x3 x4 x2 + f 000 (0) + f (IV ) (c) . 2! 3! 4!

Calculemos as derivadas de f .

Logo,

f 0 (x) = ex (sen(x) + cos(x)) f 00 (x) = 2ex cos(x) f 000 (x) = 2ex (cos(x) − sen(x)) f (4) (x) = −4ex sen(x) ex sen(x) = x + 2

⇒ f 0 (0) = 1 ⇒ f 00 (0) = 2 ⇒ f 000 (0) = 2 ⇒ f (4) (c) = −4ec sen(c)

x2 x3 x4 x3 x4 +2 − 4ec sen(c) = x + x2 + − ec sen(c) 2! 3! 4! 3 6

com c entre 0 e x. EXEMPLO 2: Calculemos, usando a f´ormula de Taylor, o limite log(| cos(x)|) + lim

x→π

(x − π)

(x − π)2 2 · 2

3.4 Teorema de Taylor

59

´ uma fun¸ca˜o de classe C ∞ em D = Consideremos a fun¸ca˜o f (x) = log(| cos(x)|). E {x ∈ R : cos(x) 6= 0}. Como π ∈ D, podemos escrever a f´ormula de Taylor de ordem 3 de f em potˆencias de x − π: existe c entre x e π tal que f (x) = f (π) + f 0 (π) (x − π) + f 00 (π)

(x − π)2 (x − π)3 + f 000 (c) 2! 3!

Como f (π) = 0 e sen(x) = −tg(x) ⇒ f 0 (π) = 0 cos(x) 1 ⇒ f 00 (π) = −1 f 00 (x) = − 2 (cos(x)) 2 sen(x) 2 sen(c) f 000 (x) = − ⇒ f 000 (c) = − 3 (cos(x)) (cos(c))3 f 0 (x) = −

temos f (x) = −

2 sen(c) (x − π)3 (x − π)2 sen(c) (x − π)3 (x − π)2 − · = − − · 2! (cos(c))3 3! 2 (cos(c))3 3

Calculemos o limite pedido. (x − π)2 sen(c) (x − π)3 (x − π)2 (x − π)2 − · − + 2 (cos(c))3 3 2 2 lim = lim 2 2 x→π x→π (x − π) (x − π) sen(c) (x − π)3 µ ¶ − · sen(c) x − π sen(π) π − π (cos(c))3 3 = lim =− = lim − · · =0 2 3 x→π x→π (x − π) (cos(c)) 3 (cos(π))3 3 log(| cos(x)|) +

visto que quando x → π tamb´em c → π. EXEMPLO 3: Escrevamos a f´ormula de Taylor de ordem 2 da fun¸ca˜o f (x) =

1 1 + log(x)

em torno do ponto 1 e mostremos que (x − 1)2 f (x) < 1 − (x − 1) + 3 ∀x > 1. 2 A fun¸ca˜o f ´e de classe C ∞ em D = {x ∈ R+ : 1 + log(x) 6= 0}. Como 1 ∈ D podemos escrever a f´ormula de Taylor de ordem 2 de f em potˆencias de x − 1: existe c entre x e 1 tal que (x − 1)2 f (x) = f (1) + f 0 (1) (x − 1) + f 00 (c) 2!

60

3. Fun¸ co ˜es Reais de Vari´ avel Real: C´ alculo Diferencial

Como f (1) = 1 e 1 ⇒ f 0 (1) = −1 x (1 + log(x))2 3 + log(c) 3 + log(x) 00 f 00 (x) = 2 ⇒ f (c) = x (1 + log(x))3 c2 (1 + log(c))3 f 0 (x) = −

temos f (x) = 1 − (x − 1) +

3 + log(c) (x − 1)2 · c2 (1 + log(c))3 2!

Podemos escrever 2 + 1 + log(c) 2 1 3 + log(c) = 2 = 2 + 2 3 3 3 + log(c)) c (1 + log(c)) c (1 + log(c)) c (1 + log(c))2

c2 (1

Se x > 1 ent˜ao 1 < c < x, pelo que 1 + log(c) > 1 + log(1) = 1, c2 (1 + log(c))3 > 1 e c2 (1 + log(c))2 > 1. Ent˜ao c2 (1

2 <2 + log(c))3

e

portanto, f (x) < 1 − (x − 1) + 3

c2 (1

1 <1 + log(c))2

(x − 1)2 ∀x > 1. 2

3.5 Aplica¸ co ˜es da f´ ormula de Taylor

3.5

61

Aplica¸co ˜es da f´ ormula de Taylor ` a determina¸c˜ ao de extremos, sentidos de concavidade e pontos de inflex˜ ao

Sabemos que os m´aximos e os m´ınimos de uma fun¸ca˜o diferenci´avel podem ser calculados recorrendo a` primeira derivada, tendo em aten¸ca˜o que derivada positiva implica fun¸ca˜o crescente e derivada negativa implica fun¸ca˜o decrescente. A f´ormula de Taylor tamb´em nos permite calcular os extremos de uma fun¸ca˜o a partir das derivadas de ordem superior. Teorema 3.5.1 Seja f : D → R uma fun¸ca˜o cont´ınua num ponto a, interior a D. a) Se f (a) > 0, ent˜ao existe uma vizinhan¸ca V de a tal que f (x) > 0, ∀x ∈ V . b) Se f (a) < 0, ent˜ao existe uma vizinhan¸ca V de a tal que f (x) < 0, ∀x ∈ V . Demonstra¸ca˜o: Faremos apenas a demonstra¸ca˜o da al´ınea a). Se f ´e cont´ınua em a ent˜ao, por defini¸ca˜o, ∀δ > 0 ∃ε > 0 : |x − a| < ε ⇒ |f (x) − f (a)| < δ. Como f (a) > 0, fazendo δ = f (a), obtemos ∃ε > 0 : |x − a| < ε ⇒ |f (x) − f (a)| < f (a). Mas

|f (x) − f (a)| < f (a) ⇔ −f (a) < f (x) − f (a) < f (a) ⇔ −f (a) + f (a) < f (x) < f (a) + f (a) ⇔ 0 < f (x) < 2f (a),

ou seja, f (x) > 0 ∀x ∈ Vε (a). Defini¸c˜ ao 3.5.1 Diz-se que a ´e um ponto de estacionaridade de f se f 0 (a) = 0. Teorema 3.5.2 Seja f uma fun¸ca˜o classe C n num intervalo I e a um ponto interior a I. Se f 0 (a) = f 00 (a) = · · · = f (n−1) (a) = 0 e f (n) (a) 6= 0 ent˜ao a) se n ´e ´ımpar, f n˜ao tem extremo relativo em a; b) se n ´e par, f tem m´aximo relativo em a se f (n) (a) < 0 e tem m´ınimo relativo em a se f (n) (a) > 0.

62

3. Fun¸ co ˜es Reais de Vari´ avel Real: C´ alculo Diferencial

Demonstra¸ca˜o: Se queremos provar a existˆencia de extremo relativo no ponto a, temos de estudar o sinal de f (x) − f (a). Sabemos que se existir uma vizinhan¸ca de a onde f (x) − f (a) mant´em o sinal ent˜ao f (a) ´e extremo relativo de f , e que se tal n˜ao acontecer ent˜ao f (a) n˜ao ´e extremo relativo. Como f (n) (x) ´e cont´ınua e f (n) (a) 6= 0, existe uma vizinhan¸ca V de a, V ⊂ I, onde (n) f (x) toma o sinal de f (n) (a), isto ´e, se f (n) (a) > 0 ent˜ao f (n) (x) > 0 ∀x ∈ V , se f (n) (a) < 0 ent˜ao f (n) (x) < 0 ∀x ∈ V . Seja x ∈ V . Visto que f ´e n vezes diferenci´avel em I e V ⊂ I, pelo Teorema de Taylor existe c ∈ V tal que (x − a)n−1 (x − a)n (x − a)2 (n−1) (n) +· · ·+f (a) +f (c) . f (x) = f (a)+f (a) (x−a)+f (a) 2! (n − 1)! n! 0

00

Por hip´otese, f 0 (a) = f 00 (a) = · · · = f (n−1) (a) = 0, portanto, f (x) = f (a) + f (n) (c)

(x − a)n , n!

ou seja,

(x − a)n · n! Se n ´e ´ımpar e f (n) (a) > 0 ent˜ao f (x) − f (a) < 0 se x < a, x ∈ V , e f (x) − f (a) > 0 se x > a, x ∈ V , ou seja, f (a) n˜ao ´e extremo relativo. Se n ´e ´ımpar e f (n) (a) < 0 obtemos rela¸co˜es an´alogas, com as desigualdades invertidas. Se n ´e par e f (n) (a) > 0 ent˜ao f (x) − f (a) > 0 ∀x ∈ V \ {a}, o que implica que f (a) ´e m´ınimo relativo. Se n ´e par e f (n) (a) < 0 ent˜ao f (x) − f (a) < 0 ∀x ∈ V \ {a}, o que implica que f (a) ´e m´aximo relativo. f (x) − f (a) = f (n) (c)

EXEMPLO 1: Seja f (x) = x3 −

3 2 x. 2

f 0 (x) = 0 ⇔ 3x2 − 3x = 0 ⇔ 3x(x − 1) = 0 ⇔ x = 0 ∨ x = 1. Como f 00 (x) = 3(2x − 1) temos f 00 (0) = −3 e f 00 (1) = 3. Pelo teorema anterior conclu´ımos que f (0) ´e um m´aximo relativo e f (1) ´e um m´ınimo relativo. 1 EXEMPLO 2: Seja f (x) = x − sen(x). 2 f 0 (x) = 0 ⇔

1 1 π π − cos(x) = 0 ⇔ cos(x) = ⇔ x = + 2kπ ∨ x = − + 2kπ, k ∈ Z. 2 2 3 3 √

√

Como f 00 (x) = sen(x) temos f 00 ( π3 + 2kπ) = 23 e f 00 (− π3 + 2kπ) = − 23 . Pelo teorema anterior conclu´ımos que f ( π3 + 2kπ) ´e m´ınimo relativo ∀k ∈ Z e f (− π3 + 2kπ) ´e m´aximo relativo, ∀k ∈ Z.

3.5 Aplica¸ co ˜es da f´ ormula de Taylor

EXEMPLO 3: Seja f (x) = f 0 (x) = 0 ⇔ Como f 00 (x) = 2

63

x4 + 1 . x2 2(x4 − 1) = 0 ⇔ x4 − 1 = 0 ⇔ x = −1 ∨ x = 1. x3

x4 + 3 > 0, ∀x ∈ R \ {0} temos que f (−1) = f (1) ´e m´ınimo relativo. x4

EXEMPLO 4: Seja f (x) = x2 (x − 1)3 . 2 f 0 (x) = 0 ⇔ x(x − 1)2 (5x − 2) = 0 ⇔ x = 0 ∨ x = 1 ∨ x = · 5 18 Como f 00 (x) = 2(x − 1)(10x2 − 8x + 1) temos f 00 (0) = −2 e f 00 ( 25 ) = 25 · Pelo teorema 2 anterior conclu´ımos que f (0) ´e um m´aximo relativo e f ( 5 ) ´e um m´ınimo relativo. Mas f 00 (1) = 0, portanto, temos de calcular f 000 . Como f 000 (x) = 6(10x2 − 12x + 3), f 000 (1) = 6 o que implica que f (1) n˜ao ´e extremo de f .

EXEMPLO 5: Seja f (x) = 2 cos(x) + sen(2x). f 0 (x) = 0 ⇔ −2 (2 sen2 (x) + sen(x) − 1) = 0 1 ⇔ −4 (sen(x) + 1)(sen(x) − ) = 0 2 1 ⇔ sen(x) = −1 ∨ sen(x) = 2 3 π 5 ⇔ x = π + 2kπ ∨ x = + 2kπ ∨ x = π + 2kπ, k ∈ Z. 2 6 6 √ √ Como f 00 (x) = −2 cos(x)(4sen(x) + 1) temos f 00 ( π6 + 2kπ) = −3 3 e f 00 ( 65 π + 2kπ) = 3 3, o que implica que f ( π6 +2kπ) ´e m´aximo relativo de f e f ( 56 π +2kπ) ´e m´ınimo relativo de f , qualquer que seja k ∈ Z. Mas f 00 ( 23 π + 2kπ) = 0 pelo que recorremos a` terceira derivada: f 000 (x) = 16 sen2 (x) + 2 sen(x) − 8, portanto, f 000 ( 32 π + 2kπ) = 6, podendo concluir-se que f ( 23 π + 2kπ) n˜ao ´e extremo. Defini¸c˜ ao 3.5.2 Dadas duas fun¸co˜es f e g, definidas num intervalo I, diz-se que o gr´afico de f fica acima do gr´afico de g num ponto a ∈ I se f (a) > g(a) e fica abaixo do gr´afico de g num ponto b ∈ I se f (b) < g(b). Se J ⊂ I e f (x) > g(x), ∀x ∈ J, diz-se que o gr´afico de f fica acima do gr´afico de g em J e se f (x) < g(x), ∀x ∈ J, diz-se que o gr´afico de f fica abaixo do gr´afico de g em J. Seja f uma fun¸ca˜o definida e diferenci´avel num intervalo I. Queremos determinar a posi¸ca˜o do gr´afico de f em rela¸ca˜o a` tangente a esse gr´afico num ponto a ∈ int(I). Trata-se, portanto, de estudar a diferen¸ca r(x) = f (x) − (f (a) + f 0 (a) (x − a)).

64

3. Fun¸ co ˜es Reais de Vari´ avel Real: C´ alculo Diferencial

y f(a)+f ´(a) (x-a)

f

f(a) f(b) f(b)+f ´(b) (x-b)

b

a

x

Figura 3.9

Defini¸c˜ ao 3.5.3 Seja f uma fun¸ca˜o definida num intervalo I, diferenci´avel em a ∈ I e seja r(x) = f (x) − (f (a) + f 0 (a) (x − a)). a) Se existir uma vizinhan¸ca V de a, V ⊂ I, tal que r(x) > 0, ∀x ∈ V \ {a}, diz-se que f tem a concavidade voltada para cima em a; b) Se existir uma vizinhan¸ca V de a, V ⊂ I, tal que r(x) < 0, ∀x ∈ V \ {a}, diz-se que f tem a concavidade voltada para baixo em a. c) Se existir uma vizinhan¸ca V = ]a − ε, a + ε[ ⊂ I de a tal que r(x) > 0 ∀x ∈ ]a − ε, a[ e r(x) < 0 ∀x ∈ ]a, a + ε[

ou

r(x) < 0 ∀x ∈ ]a − ε, a[ e r(x) > 0 ∀x ∈ ]a, a + ε[, diz-se que o gr´afico de f tem um ponto de inflex˜ ao em (a, f (a)). A Figura 3.9 sugere a interpreta¸ca˜o gr´afica das defini¸co˜es anteriores. Teorema 3.5.3 Sejam I um intervalo e f ∈ C 2 (I). O gr´afico de f tem a concavidade voltada para cima (respectivamente, para baixo) em todos os pontos x, interiores a I, tais que f 00 (x) > 0 (respectivamente, f 00 (x) < 0). Demonstra¸ca˜o: Seja a um ponto interior a I tal que f 00 (a) 6= 0. Como f ∈ C 2 (I) e f 00 (a) 6= 0, existe uma vizinhan¸ca V de a, V ⊂ I, onde f 00 (x) toma o sinal de f 00 (a), isto ´e, se f 00 (a) > 0 ent˜ao f 00 (x) > 0, ∀x ∈ V , se f 00 (a) < 0 ent˜ao f 00 (x) < 0, ∀x ∈ V . Seja x ∈ V . Pelo Teorema de Taylor, existe c ∈ V tal que f (x) = f (a) + f 0 (a) (x − a) + f 00 (c) Queremos estudar o sinal de r(x):

(x − a)2 · 2!

3.5 Aplica¸ co ˜es da f´ ormula de Taylor

65

r(x) = f (x) − (f (a) + f 0 (a) (x − a)) (x − a)2 = f (a) + f 0 (a) (x − a) + f 00 (c) − (f (a) + f 0 (a) (x − a)) 2! (x − a)2 = f 00 (c) · 2! O sinal de r(x) depende apenas do sinal de f 00 (c) que, por sua vez, tem o sinal de f (a). Se f 00 (a) > 0 ent˜ao r(x) > 0, o que significa que f tem a concavidade voltada para cima. Se f 00 (a) < 0 ent˜ao r(x) < 0, o que significa que f tem a concavidade voltada para baixo. 00

Corol´ ario 1 Se f ∈ C 2 (I) e tem um ponto de inflex˜ao num ponto a, interior a I, ent˜ao f 00 (a) = 0. Teorema 3.5.4 Sejam I um intervalo e f ∈ C n (I), n > 2. Se a ´e um ponto interior a I tal que f 00 (a) = f 000 (a) = · · · = f (n−1) (a) = 0 e f (n) (a) 6= 0

ent˜ao

a) se n ´e par, f tem a concavidade voltada para cima se f (n) (a) > 0 e tem a concavidade voltada para baixo se f (n) (a) < 0; b) se n ´e ´ımpar, a ´e ponto de inflex˜ao. Demonstra¸ca˜o: Como f (n) (x) ´e cont´ınua e f (n) (a) 6= 0, existe uma vizinhan¸ca V de a, V ⊂ I, onde f (n) (x) toma o sinal de f (n) (a), isto ´e, se f (n) (a) > 0 ent˜ao f (n) (x) > 0, ∀x ∈ V , se f (n) (a) < 0 ent˜ao f (n) (x) < 0, ∀x ∈ V . Seja x ∈ V . Como f ´e n vezes diferenci´avel em I e V ⊂ I, pelo Teorema de Taylor existe c ∈ V tal que f (x) = f (a)+f 0 (a) (x−a)+f 00 (a)

(x − a)2 (x − a)n−1 (x − a)n +· · ·+f (n−1) (a) +f (n) (c) · 2! (n − 1)! n!

Por hip´otese, f 00 (a) = f 000 (a) = · · · = f (n−1) (a) = 0, portanto, f (x) = f (a) + f 0 (a) (x − a) + f (n) (c)

(x − a)n · n!

Queremos estudar o sinal de r(x): r(x) = f (x) − (f (a) + f 0 (a) (x − a))

= f (a) + f 0 (a) (x − a) + f (n) (c) (x − a)n = f (n) (c) n!

(x − a)n − (f (a) + f 0 (a) (x − a)) n!

66

3. Fun¸ co ˜es Reais de Vari´ avel Real: C´ alculo Diferencial

a) Se n ´e par ent˜ao (x − a)n > 0, ∀x ∈ V \ {a}, o que implica que o sinal de r ´e o sinal de f (n) (c). Assim, se f (n) (a) > 0, r(x) > 0 e f tem a concavidade voltada para cima; f (n) (a) < 0, r(x) < 0 e f tem a concavidade voltada para baixo. b) Se n ´e ´ımpar ent˜ao (x − a)n > 0, ∀x > a e (x − a)n < 0, ∀x < a. Mas isto implica que o sinal de r muda quando se passa de valores menores do que a para valores maiores do que a. Portanto, a ´e ponto de inflex˜ao. EXEMPLO 1: Seja f (x) = x + sen(x). Como f 0 (x) = 1 + cos(x) temos f 00 (x) = 0 ⇔ sen(x) = 0 ⇔ x = kπ, k ∈ Z.

Mas f 000 (x) = − cos(x), portanto, f 000 (kπ) = 1 se k ´e ´ımpar e f 000 (kπ) = −1 se k ´e par. Conclu´ımos, pelo teorema anterior, que kπ, k ∈ Z ´e ponto de inflex˜ao. EXEMPLO 2: Consideremos novamente a fun¸ca˜o f (x) = x2 (x − 1)3 . Como f 00 (x) = 2(x − 1)(10x2 − 8x + 1) temos √ √ 4+ 6 4− 6 00 f (x) = 0 ⇔ x = 1 ∨ x = ∨x= · 10 10 Mas f 000 (x) = 6(10x2 − 12x + 3), portanto,

√ √ 6− 6 6+ 6 f (x) = 0 ⇔ x = ∨x= , 10 10 000

√

√

o que implica que f 000 (1) 6= 0, f 000 ( 4−10 6 ) 6= 0 e f 000 ( 4+10 6 ) 6= 0. Pelo teorema anterior conclu´ımos que estes trˆes pontos s˜ao pontos de inflex˜ao.

Cap´ıtulo 4 Fun¸co ˜es Reais de Vari´ avel Real: Primitiva¸c˜ ao 4.1

Primitivas imediatas

Defini¸c˜ ao 4.1.1 Sejam f e F duas fun¸co˜es definidas num intervalo I. Diz-se que F ´e uma primitiva de f em I se F 0 (x) = f (x), ∀x ∈ I. EXEMPLO 1: Como (sen(x))0 = cos(x) temos que sen(x) ´e primitiva de cos(x). EXEMPLO 2: De (x2 )0 = 2x conclu´ımos que x2 ´e primitiva de 2x. Defini¸c˜ ao 4.1.2 Uma fun¸ca˜o f diz-se primitiv´ avel num intervalo I se existir uma primitiva de f , definida em I. NOTA: H´a fun¸co˜es que n˜ao s˜ao primitiv´aveis. Por exemplo, a fun¸ca˜o f : R → R definida por ½ 0, se x < 2 f (x) = 1, se x ≥ 2

n˜ao ´e primitiv´avel em R. De facto, a existˆencia de uma fun¸ca˜o F : R → R tal que F 0 (x) = f (x), ∀x ∈ R, contradiz o Teorema de Darboux: f n˜ao toma nenhum valor entre 0 e 1. Teorema 4.1.1 Se F ´e primitiva de f , num intervalo I, ent˜ao, qualquer que seja C ∈ R, a fun¸ca˜o G(x) = F (x) + C ´e tamb´em primitiva de f em I. Demonstra¸ca˜o: Basta notar que G0 (x) = F 0 (x) + C 0 = F 0 (x) = f (x). Teorema 4.1.2 Se F e G s˜ao duas primitivas de f num intervalo I, ent˜ao F − G ´e constante em I.

68

4. Fun¸ co ˜es Reais de Vari´ avel Real: Primitiva¸ c˜ ao

Demonstra¸ca˜o: Usa-se o Corol´ario 2 do Teorema de Lagrange, notando que F 0 (x) = G0 (x) = f (x), ∀x ∈ I. NOTAS: 1. Como consequˆencia dos teoremas anteriores temos que todas as primitivas de f s˜ao da forma F + C com F uma primitiva de f e C ∈ R. 2. Se F ´e uma primitiva de f no intervalo I, designamos por P f qualquer primitiva de f em I, isto ´e, P f = F + C, com C ∈ R, qualquer. Geometricamente:

Figura 4.1

Defini¸c˜ ao 4.1.3 Chamam-se primitivas imediatas as que se deduzem directamente de uma regra de deriva¸ca˜o. A partir das regras de deriva¸ca˜o obt´em-se facilmente: Teorema 4.1.3 Sejam f e g duas fun¸co˜es primitiv´aveis num intervalo I e a ∈ R. Ent˜ao a) P a f (x) = a P f (x);

b) P (f (x) + g(x)) = P f (x) + P g(x). Apresentamos a seguir uma tabela com algumas primitivas imediatas.

f (x) α

x ,

P f (x)

α 6= −1

(u(x))α u0 (x), 1 x

α 6= −1

xα+1 +C α+1 (u(x))α+1 +C α+1 log(|x|) + C

4.1 Primitivas imediatas

69

f (x)

P f (x)

u0 (x) u(x)

log(|u(x)|) + C

ex

ex + C

eu(x) u0 (x)

eu(x) + C

ax , (a > 0)

ax +C log(a)

au(x) u0 (x), (a > 0)

au(x) +C log(a)

cos(x)

sen(x) + C

cos(u(x)) u0 (x)

sen(u(x)) + C

sen(x)

− cos(x) + C

sen(u(x)) u0 (x)

− cos(u(x)) + C

1 1 − x2 u0 (x)

√ p

1 − (u(x))2 1 1 − x2 u0 (x)

−√

−p 1 − (u(x))2 1 1 + x2 u0 (x) 1 + (u(x))2

arc sen(x) + C arc sen(u(x)) + C arc cos(x) + C arc cos(u(x)) + C arc tg(x) + C arc tg(u(x)) + C

sec2 (x)

tg(x) + C

sec2 (u(x)) u0 (x)

tg(u(x)) + C

70

4. Fun¸ co ˜es Reais de Vari´ avel Real: Primitiva¸ c˜ ao

f (x)

P f (x)

cosec2 (x)

−cotg(x) + C

cosec2 (u(x)) u0 (x) −cotg(u(x)) + C EXEMPLOS: P (x2 + x + 1) = P x2 + P x + P 1 =

x3 x2 + + x + C; 3 2

1 + cos(2x) 1 1 P cos (x) = P = (P 1 + P cos(2x)) = 2 2 2 2

µ ¶ sen(2x) x+ + C; 2

1 √ √ (x2 + 3) 3 +1 3 1 3 3 2 2 P 2x x + 3 = P 2x(x + 3) 3 = + C = (x2 + 3) x2 + 3 + C; 1 4 + 1 3

P

3x2 = log |x3 + 1| + C; 3 x +1

1 1 P e5x = P 5 e5x = e5x + C; 5 5 P 10x cos(5x2 + 7) = sen(5x2 + 7) + C; P

2 = arc tg(2x) + C; 1 + (2x)2

2 P (cos(x) − 2 e3x ) = P cos(x) − 2P e3x = sen(x) − e3x + C; 3 1

1 (x3 − 1)− 3 +1 1p x2 3 2 3 − 13 = + C = (x3 − 1)2 + C. P √ · = P x (x − 1) 1 3 3 3 2 + 1 − x −1 3 Teorema 4.1.4 Seja f uma fun¸ca˜o primitiv´avel num intervalo I. Ent˜ao, para cada x0 ∈ I e cada y0 ∈ R, existe uma, e uma s´o, primitiva F de f tal que F (x0 ) = y0 . Em particular, existe uma, e uma s´o, primitiva de f que se anula em x0 . √ EXEMPLO 1: Calculemos f sabendo que f 0 (x) = x x e f (1) = 2. Comecemos por calcular as primitivas F de f 0 , pois f ´e uma dessas fun¸co˜es. 2 5 F (x) = x 2 + C. 5

4.1 Primitivas imediatas

71

Mas f (1) = 2 ⇔

2 8 +C =2⇔C = , 5 5

2 5 8 portanto, f (x) = x 2 + · 5 5 EXEMPLO 2: Pretendemos calcular f sabendo que f 00 (x) = 12x2 + 6x − 4, f (0) = 4 e f (1) = 5. A fun¸ca˜o f pertence ao conjunto das fun¸co˜es F tais que F 0 (x) = 4x3 + 3x2 − 4x + C e, portanto, ser´a uma fun¸ca˜o da forma F (x) = x4 + x3 − 2x2 + Cx + C1 . Como ½ ½ C1 = 4 f (0) = 4 ⇔ C = 1 f (1) = 5

ent˜ao f (x) = x4 + x3 − 2x2 + x + 4.

72

4.2

4. Fun¸ co ˜es Reais de Vari´ avel Real: Primitiva¸ c˜ ao

M´ etodos gerais de primitiva¸c˜ ao: Primitiva¸c˜ ao por partes e por substitui¸c˜ ao

Teorema 4.2.1 (Primitiva¸c˜ ao por partes) Sejam I um intervalo, F uma primitiva de f em I e g uma fun¸ca˜o diferenci´avel em I. Ent˜ao P (f g) = F g − P (F g 0 ) Demonstra¸ca˜o: Pela regra da deriva¸ca˜o do produto (F g)0 = F 0 g + F g 0 = f g + F g 0 , o que implica que f g = (F g)0 − F g 0 e, portanto, P (f g) = F g − P (F g 0 ). EXEMPLO 1: Seja h(x) = x log(x). Calculemos a primitiva de h por partes: consideremos f (x) = x e g(x) = log(x). µ 2 ¶ x 1 1 x2 x2 x2 x2 log(x) − P · log(x) − P (x) = log(x) − + C. P (x log(x)) = = 2 2 x 2 2 2 4 EXEMPLO 2: Podemos primitivar a fun¸ca˜o h(x) = log(x) usando este m´etodo. Sejam f (x) = 1 e g(x) = log(x). µ ¶ 1 P (log(x)) = P (1. log(x)) = x log(x) − P x = x log(x) − P (1) = x log(x) − x + C. x EXEMPLO 3: Seja h(x) = cos(x) log(sen(x)). Sejam f (x) = cos(x) e g(x) = log(sen(x)). Ent˜ao µ ¶ cos(x) P (cos(x) log(sen(x))) = sen(x) log(sen(x)) − P sen(x) sen(x) = sen(x) log(sen(x)) − P (cos(x)) = sen(x) log(sen(x)) − sen(x) + C. EXEMPLO 4: Para calcular a primitiva de h(x) = cos(log(x)) consideremos f (x) = 1 e g(x) = cos(log(x)). Ent˜ao P (cos(log(x))) = x cos(log(x)) + P sen(log(x)). Esta u ´ltima primitiva calcula-se novamente por partes obtendo-se P (cos(log(x))) = x cos(log(x)) + x sen(log(x)) − P cos(log(x)), e, portanto, 2 P (cos(log(x))) = x cos(log(x)) + x sen(log(x)),

4.2 Primitiva¸ c˜ ao por partes e por substitui¸ c˜ ao

ou seja, P (cos(log(x))) =

73

x (cos(log(x)) + sen(log(x))) + C. 2

EXEMPLO 5: Sejam h(x) = log3 (x), f (x) = 1 e g(x) = log3 (x). P (1. log3 (x)) = x log3 (x) − P (3 log2 (x)). Primitivando novamente por partes, e usando o resultado obtido anteriormente para P (log(x)), obtemos P (1. log3 (x)) = x log3 (x) − 3 (x log2 (x) − P (2 log(x))) = x log3 (x) − 3x log2 (x) + 6x log(x) − 6x + C. Teorema 4.2.2 (Primitiva¸c˜ ao por substitui¸c˜ ao) Sejam f uma fun¸ca˜o primitiv´avel num intervalo J e ϕ uma fun¸ca˜o bijectiva e diferenci´avel no intervalo I tal que ϕ(I) = J. Seja Φ(t) = P (f (ϕ(t))ϕ0 (t)). Ent˜ao a fun¸ca˜o F (x) = Φ(ϕ−1 (x)) ´e uma primitiva de f em J. Demonstra¸ca˜o: Seja F uma primitiva de f . Como, por hip´otese, x = ϕ(t) temos F (x) = F (ϕ(t)). Pela regra de deriva¸ca˜o da fun¸ca˜o composta (F (ϕ(t)))0 = F 0 (ϕ(t))ϕ0 (t) = f (ϕ(t))ϕ0 (t) = Φ0 (t), porque design´amos por Φ(t) uma primitiva de f (ϕ(t))ϕ0 (t). Como F (ϕ(t)) e Φ(t) s˜ao ambas primitivas de f (ϕ(t))ϕ0 (t) sabemos que F (ϕ(t)) − Φ(t) = C,

C constante real,

ou ainda, F (ϕ(t)) = Φ(t) + C, o que implica que F (x) = Φ(ϕ−1 (x)) + C. EXEMPLO 1: Seja f (x) = √ isto ´e, ϕ(t) = 1 + t2 = x. P (f (ϕ(t)).ϕ0 (t)) = P

√ x3 . Para calcular a primitiva de f fa¸camos x − 1 = t, x−1

(1 + t2 )3 t5 t7 2t = 2 P (1+t2 )3 = 2 P (1+3t2 +3t4 +t6 ) = 2(t+t3 +3 + ). t 5 7

Assim, µ ¶ √ √ x3 3 √ 1 √ 3 5 7 =2 x − 1 + ( x − 1) + ( x − 1) + ( x − 1) + C. P√ 5 7 x−1

74

4. Fun¸ co ˜es Reais de Vari´ avel Real: Primitiva¸ c˜ ao

EXEMPLO 2: Consideremos f (x) = ex = t, isto ´e, ϕ(t) = log(t).

ex

P (f (ϕ(t)).ϕ0 (t)) = P

1 · Podemos calcular a sua primitiva fazendo + e−x

1 1 1 · =P = arc tg(t). −1 t+t t 1 + t2

Consequentemente, P f (x) = arc tg(ex ) + C. NOTA: Usamos, por vezes a nota¸ca˜o P f (x) = {Pt f (ϕ(t))ϕ0 (t)} t=ϕ−1 (x) .

4.3 Primitiva¸ c˜ ao de fun¸ co ˜es racionais

4.3

75

Primitiva¸c˜ ao de fun¸co ˜es racionais

Sejam P (x) = an xn + · · · + a1 x + a0 e Q(x) = bm xm + · · · + b1 x + b0 , n, m ∈ N0 , an 6= 0, bm 6= 0, dois polin´ omios com coeficientes aj , bj ∈ R; n e m os graus de P e Q, respectivamente. Defini¸c˜ ao 4.3.1 Chama-se fun¸ ca ˜o racional toda a fun¸ca˜o f : D ⊂ R → R que pode ser expressa na forma P (x) f (x) = Q(x) em que P e Q s˜ao polin´omios e D = {x ∈ R : Q(x) 6= 0}. Defini¸c˜ ao 4.3.2 Dois polin´omios P e Q dizem-se iguais, e escreve-se P = Q, se P (x) = Q(x), ∀x ∈ R. Verifica-se facilmente que, sendo P (x) = an xn + · · · + a1 x + a0 e Q(x) = bm xm + · · · + b1 x + b0 , se tem P (x) = Q(x), ∀x ∈ R ⇔ n = m ∧ an = bm , . . . , a1 = b1 , a0 = b0 . Dados dois polin´omios P e Q, de graus n e m, respectivamente, n > m, existem polin´omios M e R tais que P (x) = M (x) Q(x) + R(x) e grau de R < grau de Q. M diz-se o polin´omio quociente e R o polin´omio resto. Defini¸c˜ ao 4.3.3 Um polin´omio P de grau maior ou igual a 1 diz-se redut´ıvel se existem polin´omios P1 e P2 tais que grau de Pi < grau de P (i = 1, 2) e P (x) = P1 (x)P2 (x). O polin´omio P diz-se irredut´ıvel se n˜ao for redut´ıvel. ´ poss´ıvel determinar quais s˜ao precisamente os polin´omios irredut´ıveis. Considere-se, E sem perda de generalidade, os polin´ omios unit´ arios (com coeficiente an = 1): P (x) = n n−1 x + an−1 x + · · · + a 1 x + a0 . • Todos os polin´omios de grau 1, P (x) = x − a, s˜ao irredut´ıveis. • Um polin´omio de grau 2, P (x) = x2 + bx + c ´e irredut´ıvel se, e s´o se, n˜ao tem ra´ızes reais, isto ´e, b2 − 4ac < 0. Assim os polin´omios de grau 2 irredut´ıveis s˜ao precisamente os polin´omios da forma P (x) = (x − α)2 + β 2 , α, β ∈ R, β 6= 0, associado a`s duas ra´ızes complexas conjugadas α ± iβ.

76

4. Fun¸ co ˜es Reais de Vari´ avel Real: Primitiva¸ c˜ ao

• Os u ´nicos polin´omios irredut´ıveis s˜ao os considerados e mostra-se que todo o polin´omio P (x) com grau maior ou igual a 1 ´e produto de polin´omios irredut´ıveis: P (x) = (x − a1 )n1 · · · (x − ap )np [(x − α1 )2 + β12 ]m1 · · · [(x − αq )2 + βq2 ]mq em que ni , mj ∈ N representam o grau de multiplicidade do correspondente factor em P . Defini¸c˜ ao 4.3.4 Uma fun¸ca˜o racional f (x) =

P (x) diz-se irredut´ıvel se P e Q n˜ao Q(x)

tiverem ra´ızes comuns. Dada uma fun¸ca˜o racional irredut´ıvel, podemos ter dois casos: 1o O grau do polin´omio P ´e maior ou igual ao grau do polin´omio Q. 2o O grau do polin´omio P ´e menor do que o grau do polin´omio Q. No primeiro caso, fazendo a divis˜ao dos polin´omios obtemos P (x) = M (x) Q(x) + R(x), em que M e R s˜ao polin´omios, sendo M o quociente e R o resto (que tem grau inferior ao grau de Q). Temos ent˜ao R(x) P (x) = M (x) + Q(x) Q(x) o que implica que P

µ

P (x) Q(x)

¶

= P (M (x)) + P

µ

R(x) Q(x)

¶

·

A primitiva de M ´e imediata por ser a primitiva de um polin´omio. A segunda ´e a primitiva de uma fun¸ca˜o racional, em que o grau do numerador ´e menor do que o do denominador. Conclu´ımos, assim, que basta estudar o caso das fun¸co˜es racionais irredut´ıveis em que o grau do numerador ´e menor do que o grau do denominador, isto ´e, ficamos reduzidos ao 2o caso atr´as considerado. Os teoremas seguintes, que n˜ao demonstraremos, permitem-nos decompor uma fun¸ca˜o racional irredut´ıvel do 2o caso na soma de fun¸co˜es racionais cujas primitivas s˜ao “f´aceis” de calcular (ou mesmo primitivas imediatas). A primitiva¸ca˜o de fun¸co˜es racionais irredut´ıveis fica, pois, completamente resolvida. Comecemos por analisar os casos em que Q admite apenas ra´ızes reais. Temos o seguinte teorema: Teorema 4.3.1 Se

P (x) ´e uma fun¸ca˜o racional irredut´ıvel, se o grau de P ´e menor que Q(x)

o grau de Q e se Q(x) = a0 (x − a1 )n1 (x − a2 )n2 . . . (x − ap )np ,

4.3 Primitiva¸ c˜ ao de fun¸ co ˜es racionais

77

com a1 , a2 , . . . , ap n´ umeros reais distintos e n1 , n2 , . . . , np ∈ N, ent˜ao a fun¸ca˜o ´e decompon´ıvel numa soma da forma B np A1 B1 A n1 P (x) + ··· + + ··· + = + ··· + n n p 1 Q(x) (x − a1 ) x − a1 (x − anp ) x − a np onde An1 , . . . , A1 , . . . , Bnp , . . . , B1 s˜ao n´ umeros reais. NOTA: Nas condi¸co˜es do Teorema 4.3.1, qualquer das parcelas em que se decomp˜oe a fun¸ca˜o tem primitiva imediata: P

A A 1 = · , se p 6= 1 p (x − a) 1 − p (x − a)p−1 P

A = A log |x − a| x−a

1o caso: Q tem ra´ızes reais de multiplicidade 1, isto ´e, Q decomp˜oe-se em factores do tipo A x − a com a ∈ R. A cada raiz a de Q associa-se uma parcela do tipo , com A x−a constante a determinar. 4x2 + x + 1 · x3 − x Como o n´ umero de ra´ızes de um polin´omio n˜ao ultrapassa o seu grau e x3 − x admite as ra´ızes x = 0, x = −1 e x = 1, podemos concluir que estas ra´ızes tˆem multiplicidade 1. Ent˜ao 4x2 + x + 1 A B C = + + 3 x −x x x−1 x+1

EXEMPLO: Calculemos a primitiva da fun¸ca˜o f definida por f (x) =

=

A(x2 − 1) + Bx(x + 1) + Cx(x − 1) x3 − x

=

(A + B + C)x2 + (B − C)x − A x3 − x

Pelo m´etodo dos coeficientes indeterminados temos    A+B+C = 4  B+C = 5 B−C = 1 B−C = 1 ⇔   −A = 1 A = −1

⇔

Assim:

4x2 + x + 1 −1 3 2 = + + x3 − x x x−1 x+1

  B = 3 C = 2  A = −1

78

4. Fun¸ co ˜es Reais de Vari´ avel Real: Primitiva¸ c˜ ao

e P

µ

4x2 + x + 1 x3 − x

¶

= P

µ

−1 x

¶

+P

µ

3 x−1

¶

+P

µ

2 x+1

¶

= − log |x| + 3 log |x − 1| + 2 log |x + 1| + C ¯ µ¯ ¶ ¯ (x − 1)3 ¯ 2 ¯ ¯ = log ¯ ¯ (x + 1) + C. x

2o caso: Q tem ra´ızes reais de multiplicidade p, p > 1, isto ´e, Q admite x − a, com a ∈ R, como divisor p vezes. Na decomposi¸ca˜o, a cada raiz a de Q de multiplicidade p vai corresponder uma soma de p parcelas com a seguinte forma: Ap−1 A1 Ap + + ··· + , p p−1 (x − a) (x − a) x−a com Ap , Ap−1 , . . . , A1 constantes a determinar. 2x3 + 5x2 + 6x + 2 · x(x + 1)3 Como x(x + 1)3 admite as ra´ızes x = 0, x = −1 e x + 1 aparece 3 vezes na factoriza¸ca˜o do polin´omio, podemos concluir que estas ra´ızes tˆem multiplicidade 1 e multiplicidade 3, respectivamente. Ent˜ao

EXEMPLO: Calculemos a primitiva da fun¸ca˜o f definida por f (x) =

2x3 + 5x2 + 6x + 2 A B C D = + + + x(x + 1)3 x (x + 1)3 (x + 1)2 x + 1 =

A(x + 1)3 + Bx + Cx(x + 1) + Dx(x + 1)2 x(x + 1)3

=

(A + D)x3 + (3A + C + 2D)x2 + (3A + B + C + D)x + A x(x + 1)3

Pelo m´etodo dos coeficientes indeterminados temos   D = 0 A + D = 2       C = −1 3A + C + 2D = 5 ⇔ B = 1 3A + B + C + D = 6       A = 2 A = 2

Assim:

2x3 + 5x2 + 6x + 2 2 −1 1 = + + 3 3 x(x + 1) x (x + 1) (x + 1)2

4.3 Primitiva¸ c˜ ao de fun¸ co ˜es racionais

e P

µ

2x3 + 5x2 + 6x + 2 x(x + 1)3

¶

79

µ ¶ ¶ µ ¶ µ 2 1 1 = P −P +P x (x + 1)3 (x + 1)2 = 2 log |x| −

1 1 1 + +C 2 (x + 1)2 x + 1

= log (x2 ) −

1 1 1 + + C. 2 2 (x + 1) x+1

Vejamos agora os casos em que o polin´omio Q admite ra´ızes complexas. P (x) ´e uma fun¸ca˜o racional irredut´ıvel, se o grau de P ´e menor que Q(x) o grau de Q e se α + iβ (α, β ∈ R) ´e uma raiz de Q, de multiplicidade r, ent˜ao

Teorema 4.3.2 Se

Mr x + N r M1 x + N 1 H(x) P (x) = + ··· + + ∗ 2 2 r 2 2 Q(x) [(x − α) + β ] (x − α) + β Q (x) onde H e Q∗ s˜ao polin´omios tais que o grau de H ´e menor que o grau de Q∗, Mr , Nr , . . . , M1 , N1 , s˜ao n´ umeros reais e nem α + iβ nem α − iβ s˜ao ra´ızes do polin´omio Q ∗ . 1o caso: Q tem ra´ızes complexas de multiplicidade 1, isto ´e, Q admite como divisores polin´omios de grau 2, (uma u ´nica vez cada polin´omio), que n˜ao tˆem ra´ızes reais. Na decomposi¸ca˜o, a cada par de ra´ızes (α + iβ, α − iβ) vai corresponder uma parcela com a seguinte forma: Ax + B (x − α)2 + β 2 com A e B constantes a determinar.

EXEMPLO: Calculemos a primitiva da fun¸ca˜o f definida por f (x) = Como

x2 + 2 · (x − 1)(x2 + x + 1)

√ 1 3 (x − 1)(x2 + x + 1) = 0 ⇔ x = 1 ∨ x = − ± i 2 2 podemos concluir que estas ra´ızes tˆem multiplicidade 1. Ent˜ao x2 + 2 A Bx + C = + 2 (x − 1)(x + x + 1) x − 1 (x + 12 )2 +

3 4

=

A(x2 + x + 1) + (Bx + C)(x − 1) (x − 1)(x2 + x + 1)

=

(A + B)x2 + (A − B + C)x + A − C (x − 1)(x2 + x + 1)

80

4. Fun¸ co ˜es Reais de Vari´ avel Real: Primitiva¸ c˜ ao

Pelo m´etodo dos coeficientes indeterminados temos   = 1  A+B  A = 1 A−B+C = 0 B = 0 ⇔   A−C = 2 C = −1

Assim:

e

1 −1 x2 + 2 = + 2 (x − 1)(x + x + 1) x − 1 (x + 12 )2 + 34 µ ¶ µ ¶ µ ¶ x2 + 2 1 −1 P = P +P (x − 1)(x2 + x + 1) x−1 (x + 12 )2 + 34 = log |x − 1| − P

A primitiva

µ

1 1 2 (x + 2 ) +

3 4

¶

.

µ

¶ 1 P (x + 12 )2 + 34 √ √ 1 1 3 3 calcula-se fazendo a substitui¸ca˜o x + = t, isto ´e, ϕ(t) = t − · (No caso geral, 2 2 2 2 sendo a + ib a raiz, a substitui¸ca˜o ´e x − a = bt). Ent˜ao à √ ! 3 2 1 2 1 0 √ = √ arc tg(t), · =√ P 2 P f (ϕ(t)).ϕ (t) = P 3 2 3 2 3 t +1 3 ( t) + 2

portanto, P Finalmente,

µ

1 1 2 (x + 2 ) +

4

3 4

¶

2 = √ arc tg 3

2 P f (x) = log |x − 1| − √ arc tg 3

µ

µ

1 2 √ x+ √ 3 3

1 2 √ x+ √ 3 3

¶

¶

.

+ C.

2o caso: Q tem ra´ızes complexas de multiplicidade p, p > 1, isto ´e, Q admite como divisores polin´omios de grau 2 que n˜ao tˆem ra´ızes reais, aparecendo p vezes cada polin´omio na factoriza¸ca˜o de Q. Na decomposi¸ca˜o, a cada par de ra´ızes (α+iβ, α−iβ) vai corresponder uma soma de parcelas com a seguinte forma: Ap x + B p Ap−1 x + Bp−1 A1 x + B 1 + + ··· + 2 2 p 2 2 p−1 ((x − α) + β ) ((x − α) + β ) (x − α)2 + β 2 com Ap , Ap−1 , . . . , A1 , Bp , Bp−1 , . . . , B1 constantes a determinar. EXEMPLO: Calculemos a primitiva da fun¸ca˜o f definida por f (x) =

x4 − x3 + 6x2 − 4x + 7 · (x − 1)(x2 + 2)2

4.3 Primitiva¸ c˜ ao de fun¸ co ˜es racionais

Como

81

√ (x − 1)(x2 + 2)2 = 0 ⇔ x = 1 ∨ x = ±i 2

e (x − 1)(x2 + 2)2 tem grau 5, podemos concluir que estas ra´ızes tˆem multiplicidade 1 e multiplicidade 2, respectivamente. Ent˜ao A Dx + E x4 − x3 + 6x2 − 4x + 7 Bx + C = + 2 + 2 2 2 2 (x − 1)(x + 2) x − 1 (x + 2) x +2 =

A(x2 + 2)2 + (Bx + C)(x − 1) + (Dx + E)(x − 1)(x2 + 2) (x − 1)(x2 + 2)2

Pelo m´etodo dos coeficientes indeterminados temos  A = 1      B = 1 C = −1   D = 0    E = −1

Assim:

e P

µ

1 −1 x−1 x4 − x3 + 6x2 − 4x + 7 = + 2 + 2 2 2 2 (x − 1)(x + 2) x − 1 (x + 2) x +2

x4 − x3 + 6x2 − 4x + 7 (x − 1)(x2 + 2)2

¶

A primitiva

= P

µ

1 x−1

¶

+P

µ

x−1 (x2 + 2)2

= log |x − 1| + P

µ

= log |x − 1| + P

µ

x−1 (x2 + 2)2

¶

= log |x − 1| + P

µ

x−1 (x2 + 2)2

¶

x−1 (x2 + 2)2

¶

¶

+P

−P

Ã

−1 2 x +2 1 2

1+

x2 2

¶

!





√1 2

1   −√ P  ³ ´2  2 1 + √x2 1 − √ arc tg 2

à ! ¶ x−1 x−1 =P P √ 2 (x2 + 2)2 (x2 + 2 )2 √ √ calcula-se fazendo a substitui¸ca˜o x = 2 t, isto ´e, ϕ(t) = 2 t. Ent˜ao µ

µ

µ

x √ 2

¶

.

82

4. Fun¸ co ˜es Reais de Vari´ avel Real: Primitiva¸ c˜ ao

P f (ϕ(t)).ϕ0 (t) = P

Ã√

2t − 1 √ · 2 (2t2 + 2)2

!

! Ã√ √ 2 2t − 1 P = 4 (t2 + 1)2 à √ ! √ 1 2 2t = P − 4 (t2 + 1)2 (t2 + 1)2 ! √ à √ 2 2t 1 = P 2 −P 2 4 (t + 1)2 (t + 1)2 ! √ Ã√ 2 2 1 2 −2 = P 2t(t + 1) − P 2 4 2 (t + 1)2 ! √ à √ 2 2 2 2 2 1 + t − t = − (t + 1)−1 − P 4 2 (t2 + 1)2 √ µ ¶ 1 1 1 + t2 t2 2 = − 2 P 2 − −P 2 4t +1 4 (t + 1)2 (t + 1)2 √ µ ¶ 1 1 1 2 t 2t = − 2 P 2 − −P 4t +1 4 t +1 2 (t2 + 1)2

√ µ µ ¶¶ 1 1 1 t 1 1 2 = − 2 arc tg(t) − − 2 − +P 4t +1 4 t +1 2 2 t2 + 1

√ √ √ 1 1 t 2 2 2 = − 2 − arc tg(t) − + arc tg(t) 2 4t +1 4 4 2(t + 1) 8 √ 2t + 2 2 = − 2 − arc tg(t), 8(t + 1) 8 √

portanto, P Finalmente,

µ

x−1 (x2 + 2)2

¶

√ ¶ µ 2 x+2 x − arc tg √ . =− 4(x2 + 2) 8 2

√ ¶ µ x+2 5 2 x − P f (x) = log |x − 1| − arc tg √ + C. 8 4(x2 + 2) 2

4.3 Primitiva¸ c˜ ao de fun¸ co ˜es racionais

83

P (x) admite uma decomposi¸ca˜o da forma que aparece neste teorema, a sua Q(x) primitiva pode ser calculada recorrendo a primitivas de fun¸co˜es da forma NOTA: Se

Ax + B (x − α)2 + β 2

Cx + D , p > 1. [(x − α)2 + β 2 ]p

e

Temos no primeiro caso, usando a substitui¸ca˜o x − α = βt, ½ ¾ A(α + βt) + B Ax + B = Pt ·β P (x − α)2 + β 2 β 2 t2 + β 2 t= x−α β

Pt

A (α + βt) + B A α + B + A βt ·β =P 2 2 2 β t +β β(t2 + 1) A βt Aα+B + P β(t2 + 1) β(t2 + 1)

=P

=

Aα+B 1 t P 2 +AP 2 β t +1 t +1

=

Aα+B A arctg(t) + log(t2 + 1) β 2

Portanto, Aα+B Ax + B = P arctg (x − α)2 + β 2 β

µ

x−α β

¶

A + log 2

"µ

x−α β

¶2

#

+ 1 + C.

No segundo caso, usando a mesma substitui¸ca˜o, ½ ¾ Cx + D C(α + βt) + D P = Pt ·β . [(x − α)2 + β 2 ]p (β 2 t2 + β 2 )p t= x−α β

Pt

C α + D + C βt C (α + βt) + D ·β =P 2 2 2 p (β t + β ) β 2p−1 (t2 + 1)p =P

C α+D C βt + P 2p−1 2 p + 1) β (t + 1)p

β 2p−1 (t2

=

1 C t C α+D P 2 + 2p−2 P 2 2p−1 p β (t + 1) β (t + 1)p

=

1 C 1 1 C α+D P 2 − 2p−2 · · 2 2p−1 p β (t + 1) 2β p − 1 (t + 1)p−1

84

4. Fun¸ co ˜es Reais de Vari´ avel Real: Primitiva¸ c˜ ao

Resta-nos calcular P Mas

1 · (t2 + 1)p

1 1 + t 2 − t2 1 t2 = = − (t2 + 1)p (t2 + 1)p (t2 + 1)p−1 (t2 + 1)p o que implica que

P

1 t2 1 = P − P (t2 + 1)p (t2 + 1)p−1 (t2 + 1)p =P =P =

(t2 (t2

1 t 2t −P · 2 p−1 + 1) 2 (t + 1)p t 1 1 + −P p−1 2 p−1 + 1) 2(p − 1)(t + 1) 2(p − 1)(t2 + 1)p−1

t 2p − 3 1 + , P 2 2 p−1 2(p − 1)(t + 1) 2p − 2 (t + 1)p−1

isto ´e, o c´alculo da primitiva de

(t2

1 ficou apenas dependente do c´alculo da primitiva + 1)p

1 , que por sua vez pode, de modo an´alogo, fazer-se depender do c´alculo da + 1)p−1 1 1 primitiva de 2 , e assim sucessivamente at´e chegarmos a` primitiva de que p−2 (t + 1) 1 + t2 ´e imediata. de

(t2

Teorema 4.3.3 Se

P (x) ´e uma fun¸ca˜o racional irredut´ıvel, se o grau de P ´e menor que Q(x)

o grau de Q e se Q(x) = a0 (x − a)p · · · (x − b)q [(x − α)2 + β 2 ]r · · · [(x − γ)2 + δ 2 ]s ent˜ao a fun¸ca˜o ´e decompon´ıvel numa soma da forma P (x) Ap A1 Bq B1 = + ··· + + ··· + + ··· + + p q Q(x) (x − a) x−a (x − b) x−b +

Mr x + N r M1 x + N 1 + · · · + + ···+ [(x − α)2 + β 2 ]r (x − α)2 + β 2 +

V1 x + Z 1 Vs x + Z s + ··· + 2 2 s [(x − γ) + δ ] (x − γ)2 + δ 2

onde Ap , . . . , A1 , Bq , . . . , B1 , Mr , Nr , . . . , M1 , N1 , Vs , Zs , . . . , V1 , Z1 s˜ao n´ umeros reais.

4.4 Primitiva¸ c˜ ao de fun¸ co ˜es alg´ ebricas irracionais

4.4

85

Primitiva¸c˜ ao de fun¸co ˜es alg´ ebricas irracionais

Vejamos agora alguns tipos de fun¸co˜es cuja primitiva¸ca˜o pode reduzir-se a` primitiva¸ca˜o de fun¸co˜es racionais com uma substitui¸ca˜o adequada. Introduza-se em primeiro lugar a no¸ca˜o de polin´omio e fun¸ca˜o racional em v´arias vari´aveis. Defini¸c˜ ao 4.4.1 Designa-se por polin´ omio em duas vari´ aveis , x e y, com coeficientes reais, a aplica¸ca˜o P : R × R → R, dada por P (x, y) = amn xm y n + · · · + a11 xy + a10 x + a01 y + a00 , com m, n ∈ N0 , aij ∈ R. Define-se o grau de P como o maior inteiro i + j tal que aij 6= 0. Mais geralmente define-se, de modo an´alogo, polin´ omio em p vari´ aveis u 1 , . . . , up , → R, dada por como a aplica¸ca˜o P : R × · · · × R | {z } p vezes X P (u1 , . . . , up ) = ai1 ...ip ui11 . . . uipp , i1 ,...,ip

i1 , . . . , ip ∈ N0 , ai1 ...ip ∈ R e

X

uma soma finita em i1 , . . . , ip .

i1 ,...,ip

Defini¸c˜ ao 4.4.2 Se P (u1 , . . . , up ) e Q(u1 , . . . , up ) s˜ao dois polin´omios em p vari´aveis, chama-se fun¸ ca ˜o racional em p vari´ aveis a uma aplica¸ca˜o da forma R(u1 , . . . , up ) =

P (u1 , . . . , up ) Q(u1 , . . . , up )

definida nos elementos (u1 , . . . , up ) ∈ R · · × R} tais que Q(u1 , . . . , up ) 6= 0. | × ·{z p vezes

Analisemos ent˜ao algumas classes de fun¸co˜es suscept´ıveis de serem racionalizadas por convenientes mudan¸cas de vari´avel. No que se segue R designa uma fun¸ca˜o racional dos seus argumentos. Express˜ao m

p

Substitui¸ca˜o r

f (x) = R(x n , x q , . . . , x s )

x = tµ µ = m.m.c.{n, q, . . . , s}

³ ¡ ¡ x+b ¢ rs ´ ¢ m ¡ a x+b ¢ pq x+b n f (x) = R x, ac x+d , c x+d , . . . , ac x+d

= tµ µ = m.m.c.{n, q, . . . , s}

f (x) = xα (a + b xβ )γ

xβ = t

a x+b c x+d

86

4. Fun¸ co ˜es Reais de Vari´ avel Real: Primitiva¸ c˜ ao

EXEMPLO 1: Consideremos a fun¸ca˜o f (x) = √ usar ´e x = ϕ(t) = t6 e a primitiva a calcular ´e

1 1 √ = 1 ca˜o a 1 · A substitui¸ 3 x+ x x2 + x3

¶ µ 6t5 t3 1 1 5 2 · 6t = P 2 =6P =6 P t −t+1− P f (ϕ(t))ϕ (t) = P 3 t + t2 t (t + 1) t+1 t+1 µ 3 ¶ t t2 =6 − + t − log |t + 1| = 2t3 − 3t2 + 6t − 6 log |t + 1| 3 2 tendo-se assim √ √ √ √ 1 √ = 3 x − 3 3 x + 6 6 x − 6 log( 6 x + 1) + C. P√ 3 x+ x √ 2x + 3 √ · A substitui¸ca˜o 2x + 3 = t4 permite resolver o EXEMPLO 2: Seja f (x) = 1 − 4 2x + 3 problema. Temos ¶ µ t2 t5 1 0 3 4 3 2 P f (ϕ(t))ϕ (t) = P · 2t = −2 P = −2P t + t + t + t + 1 + 1−t t−1 t−1 µ 5 ¶ t t4 t3 t2 = −2 + + + + t + log |t − 1| 5 4 3 2 e 0

√ √ √ µ √ ( 4 2x + 3)5 ( 4 2x + 3)4 ( 4 2x + 3)3 ( 4 2x + 3)2 √ P f (x) = −2 + + + + 4 2x + 3 5 4 3 2 ¶ √ + log( 4 2x + 3) + C

p√ 2 3 x2 + 2. Fa¸camos a substitui¸ca˜o x 3 = t. Obtemos: √ 1 3 1 3 3 P f (ϕ(t))ϕ0 (t) = P t 2 (2 + t) 2 t 2 = P t2 2 + t 2 2 que, como vimos anteriormente (exemplo 2), se resolve fazendo a substitui¸ca˜o 2 + t = z 2 , isto ´e,

EXEMPLO 3: Seja f (x) = x

√ ª 3 3© P t2 2 + t = Pz (z 2 − 2)2 · z · 2z z=√2+t 2 2 ª 3© Pz 2(z 6 − 4z 4 + 4z 2 ) z=√2+t = 2 ½ 7 ¾ z5 z3 z = 3 −4 +4 7 5 3 z=√2+t ³√ ´7 12 ³√ ´5 ´3 3 ³√ = 2+t − 2+t +4 2+t 7 5

4.4 Primitiva¸ c˜ ao de fun¸ co ˜es alg´ ebricas irracionais

87

tendo-se finalmente q√ µq ¶7 ¶5 ¶3 µq µq 12 3 2 2 2 3 2 − +4 + C. x +2= x3 + 2 x3 + 2 x3 + 2 Px 7 5

Express˜ao

Substitui¸ca˜o √

a x2 + b x + c =

√

ax + t

se a > 0 √ f (x) = R(x,

√

a x2 + b x + c)

a x2 + b x + c = t x +

√

c

se c > 0 √

a x2 + b x + c = t (x − α) √ ou a x2 + b x + c = t (x − β) se α e β s˜ao zeros reais distintos de a x2 + b x + c 1 EXEMPLO 1: Consideremos a fun¸ca˜o f (x) = √ . Como a = 3 podemos 2 x 3x − x + 1 √ √ usar a substitui¸ca˜o 3x2 − x + 1 = 3 x + t, tendo-se: √ 3x2 − x√+ 1 = 3x2 + 2 3xt + t2 −x − 2 3xt = t2 − 1 1 − t2 √ = ϕ(t) x= 1 + 2 3t √ √ −2 3t2 − 2t − 2 3 0 √ o que implica ϕ (t) = · (2 3t + 1)2 A primitiva a calcular ´e √ √ 1 −2 3t2 − 2t − 2 3 µ ¶· √ P √ 1 − t2 1 − t2 (2 3t + 1)2 √ √ +t 3· 1 + 2 3t 1 + 2 3t √ √ −2 3t2 − 2t − 2 3 √ = P√ 3(1 − t2 )2 + t(1 − t2 )(2 3t + 1 √ √ −2( 3t2 + t + 3) √ √ = P √ ( 3 − 3t2 + 2 3t2 + t)(1 − t2 )

88

4. Fun¸ co ˜es Reais de Vari´ avel Real: Primitiva¸ c˜ ao

1 = −2P = −2P 1 − t2

o que implica que

µ

1 2

1 2

¶

+ 1+t ¯ ¯ ¯1 − t¯ ¯ = log |1 − t| − log |1 + t| = log ¯¯ 1 + t¯ 1−t

¯ ¯ ¯ 1 − √3x2 − x + 1 + √3x ¯ 1 ¯ ¯ √ ¯ + C. √ = log ¯ P √ 2 2 ¯ x 3x − x + 1 1 + 3x − x + 1 − 3x ¯

1 · Tendo em conta que x −x2 + 4x − 3 √ −x2 + 4x − 3 = 0 ⇔ x = 1 ∨ x = 3 podemos usar a substitui¸ca˜o −x2 + 4x − 3 = t(x − 3). EXEMPLO 2: Primitivemos a fun¸ca˜o f (x) =

√

√ −x2 + 4x − 3 = t(x − 3) p −(x − 3)(x − 1) = t(x − 3)

−(x − 3)(x − 1) = t2 (x − 3)2 −(x − 1) = t2 (x − 3) x=

3t2 + 1 = ϕ(t) t2 + 1

4t · + 1)2 A primitiva a calcular ´e

o que implica ϕ0 (t) =

(t2

1 4t µ 2 ¶· 2 3t + 1 3t + 1 (t + 1)2 · t − 3 t2 + 1 t2 + 1 4 = P 2 (3t + 1)(3t2 + 1 − 3t2 − 3) √ −2 2 = P 2 = − √ arc tg( 3t) 3t + 1 3 P

2

o que implica que √ 1 2 P √ = − √ arc tg( 3 · x −x2 + 4x − 3 3

√

−x2 + 4x − 3 ) + C. x−3

4.4 Primitiva¸ c˜ ao de fun¸ co ˜es alg´ ebricas irracionais

Express˜ao √ a2 − x 2 √ x2 − a 2 √ x2 + a 2

EXEMPLO 1: Seja f (x) = ϕ0 (t) = 3 cos(t) e

√

89

Substitui¸ca˜o x = a cos(t) ou x = a sen(t) x = a sec(t) ou x = a cosec(t) x = a tg(t) ou x = a cotg(t)

9 − x2 · Fa¸camos a substitui¸ca˜o x = 3 sen(t) = ϕ(t). Temos x2

p p 9 − 9 sen2 (t) 1 − sen2 (t) P f (ϕ(t))ϕ (t) = P · 3 cos(t) = P · cos(t) 9 sen2 (t) sen2 (t) cos2 (t) = P cotg2 (t) = P (cosec2 (t) − 1) = P sen2 (t) 0

= −cotg(t) − t e, assim, √ √ x x x 9 − x2 9 − x2 P = −cotg(arc sen( )) − arc sen( ) + C = − − arc sen( ) + C 2 x 3 3 x 3 EXEMPLO 2: Consideremos a fun¸ca˜o f (x) = ϕ(t). Temos ϕ0 (t) = 4 sec(t) tg(t) e

x3

√

1 e a substitui¸ca˜o x = 4 sec(t) = x2 − 16

1 p · 4 sec(t) tg(t) 43 sec3 (t) 16 sec2 (t) − 16 tg(t) tg(t) p = P =P 3 2 4 sec (t) tg(t) 43 sec2 (t) sec2 (t) − 1 1 1 1 = 3P = P cos2 (t) 4 sec2 (t) 43 µ ¶ t sen(2 t) 1 + = 3 4 2 4

P f (ϕ(t))ϕ0 (t) = P

e, assim, 1 1 √ P = 3 4 x3 x2 − 16

µ

sen(2 arc sec( x4 )) 1 x arc sec( ) + 2 4 4

EXEMPLO 3: Para calcular as primitivas de f (x) =

x2

√

¶

+C

1 podemos fazer a subsx2 + 4

90

4. Fun¸ co ˜es Reais de Vari´ avel Real: Primitiva¸ c˜ ao

titui¸ca˜o x = 2 tg(t) = ϕ(t). Temos ϕ0 (t) = 2 sec2 (t) e 1 p · 2 sec2 (t) 2 2 4 tg (t) 4 tg (t) + 4 sec2 (t) sec2 (t) p = P = P 4 tg2 (t) sec(t) 4 tg2 (t) tg2 (t) + 1 1 1 sec(t) P 2 = P cotg(t) cosec(t) = 4 tg (t) 4 1 = − cosec(t) 4

P f (ϕ(t))ϕ0 (t) = P

e, assim, 1 1 x 1 √ P = − cosec(arc tg( )) + C = − 4 2 4 x2 x 2 + 4

√

x2 + 4 +C x

4.5 Primitiva¸ c˜ ao de fun¸ co ˜es transcendentes

4.5

91

Primitiva¸c˜ ao de fun¸co ˜es transcendentes

A substitui¸ca˜o tg

Express˜ao

Substitui¸ca˜o

f (x) = R(sen(x), cos(x))

tg( x2 ) = t

f (x) = R(sen(x), cos(x)) R(−y, −z) = R(y, z), ∀y, z

tg(x) = t

f (x) = R(ex )

ex = t

³x´ 2

= t conduz a uma fun¸ca˜o racional de t. De facto, de

sen(x) = 2 sen

³x´

. cos

³x´

tg

1 2 =2q ·q ¢ ¡ ¡ ¢ 1 + tg2 x2 1 + tg2 x2

2 2 ¡ ¢ tg x2 2t ¡ ¢= = 2 2 x 1 + t2 1 + tg 2

e

³x´

³x´

− sen2 2 2 ¡ ¢ 2 x 1 − tg 2 1 − t2 ¢ ¡ = = 1 + t2 1 + tg2 x2

cos(x) = cos2

¡x¢

¡ ¢ tg2 x2 1 ¡ ¢− ¡ ¢ = 1 + tg2 x2 1 + tg2 x2

conclui-se, tendo em conta que tg

³x´ 2

= t ⇒ x = 2 arc tg(t) = ϕ(t) ⇒ ϕ0 (t) =

P f (x) =

½

Pt R

µ

2t 1 − t2 , 1 + t2 1 + t2

¶

2 . 1 + t2

2 , 1 + t2

¾

tg( x2 )=t

A substitui¸ca˜o indicada serve no caso geral, mas em certos casos particulares s˜ao prefer´ıveis outras substitui¸co˜es. Assim, por exemplo, se R(sen(x), cos(x)) ´e fun¸ca˜o par em sen(x) e cos(x) (isto ´e, se n˜ao se altera ao mudarmos simultaneamente sen(x) para −sen(x) e cos(x) para − cos(x)), pode fazer-se a substitui¸ca˜o tg(x) = t, ou seja, ϕ(t) = arc tg(t) e sen(x) = √

t 1 + t2

e

cos(x) = √

EXEMPLO 1: Calculemos as primitivas de f (x) =

1 · 1 + t2

1 · A substitui¸ca˜o indicada 2 cos(x) + 1

92

´e tg

4. Fun¸ co ˜es Reais de Vari´ avel Real: Primitiva¸ c˜ ao

³x´ 2

= t: 1 2 2 =P · 2 2 1−t 1+t 3 − t2 + 1 2 1 +µt2 ¶ 1 1 1 = √ P √ +√ 3 3−t 3+t ¯ ¯√ ¯ 3 + t¯ √ √ 1 1 ¯ ¯ = √ (− log | 3 − t| + log | 3 + t|) = √ log ¯ √ ¯ ¯ 3 − t¯ 3 3 P

o que implica que

³ ´¯ ¯√ ¯ 3 + tg x ¯ ¯ 1 1 2 ´ ¯¯ + C. ³x = √ log ¯¯ √ P ¯ 2 cos(x) + 1 3 ¯ ¯ 3 − tg 2

EXEMPLO 2: Para calcular as primitivas de f (x) =

cos2 (x)

tui¸ca˜o tg(x) = t e obtemos P

e, portanto,

1 2

·

1 1 =P 2 1+t 1 − t2

t 1 − 2 1 +µt 1 + t2 ¶ 1 1 1 P + = 2 1−t 1+t ¯ ¯ ¯1 + t¯ 1 1 ¯ ¯ (− log |1 − t| + log |1 + t|) = log ¯ = 2 2 1 − t¯ ¯ ¯ ¯ 1 + tg(x) ¯ 1 1 ¯+C P = log ¯¯ cos2 (x) − sen2 (x) 2 1 − tg(x) ¯

1 usa-se a substitui¸ca˜o ex = t: +1 ¯ ¯ ¯ t ¯ 1 1 −1 1 ¯ ¯ P · =P + P = − log |1 + t| + log |t| = log ¯ t+1 t 1+t t 1 + t¯

EXEMPLO 3: Para primitivar a fun¸ca˜o f (x) =

e

1 fazemos a substi− sen2 (x)

1 P x = log e +1

µ

ex

ex ex + 1

¶

+ C.

As fun¸co˜es do tipo f (x) = sen(ax)sen(bx), com a e b constantes, |a| 6= |b|, podem primitivar-se tendo em conta que sen(ax).sen(bx) =

1 [cos(a − b)x − cos(a + b)x] 2

4.5 Primitiva¸ c˜ ao de fun¸ co ˜es transcendentes

93

e conclui-se que P sen(ax).sen(bx) = De modo an´alogo, P cos(ax). cos(bx) =

sen(a − b)x sen(a + b)x − +C 2(a − b) 2(a + b) sen(a − b)x sen(a + b)x + +C 2(a − b) 2(a + b)

Se pretendermos primitivar um produto de v´arios factores sen(am x) e cos(bn x) podemos come¸car por substituir por uma soma o produto de dois dos factores; depois substituem-se por somas os novos produtos obtidos por associa¸ca˜o de novos pares de factores; e assim sucessivamente at´e esgotar todos os factores. EXEMPLO: P sen(3x) cos(5x)sen(6x) 1 = P (sen(8x) + sen(−2x)) sen(6x) 2 1 1 1 1 P (cos(2x) − cos(14x)) − P (cos(−4x) − cos(8x)) = 2 2 2 2 1 1 1 1 = P cos(2x) − P cos(14x) − P cos(4x) + P cos(8x) 4µ 4 4 4¶ sen(14x) sen(4x) sen(8x) +C = 18 sen(2x) − − + 7 2 4

As fun¸co˜es do tipo f (x) = p(x)eax , onde p ´e um polin´omio de grau n em x e a ´e uma constante, primitivam-se por partes: 1 1 P p(x)eax = eax p(x) − P eax p0 (x). a a A primitiva que aparece no segundo membro ´e ainda do mesmo tipo, mas mais simples, pois o grau de p0 (x) ´e inferior em uma unidade ao grau de p(x). Aplicando novamente o mesmo processo at´e chegar a um polin´omio de grau zero, obt´em-se µ ¶ (n) p0 (x) p00 (x) (x) eax np p(x) − P f (x) = + 2 + · · · + (−1) + C. a a a an EXEMPLO: Primitivemos a fun¸ca˜o f (x) = (x2 + 2x + 1)e3x . 1 1 P (x2 + 2x + 1)e3x = (x2 + 2x + 1)e3x − P (2x + 2)e3x 3 3 ¶ µ 1 1 1 = (x2 + 2x + 1)e3x − (2x + 2)e3x + P 2e3x 3 3 3 µ ¶ 1 3x 1 2 = (x2 + 2x + 1) − (2x + 2) + + C. e 3 3 9

94

4. Fun¸ co ˜es Reais de Vari´ avel Real: Primitiva¸ c˜ ao

As primitivas que obtivemos foram sempre fun¸co˜es elementares, isto ´e, fun¸co˜es alg´ebricas, a fun¸ca˜o exponencial, as fun¸co˜es trigonom´etricas e as trigonom´etricas inversas e, de um modo geral, as fun¸co˜es que se possam obter por composi¸ca˜o destas em n´ umero finito. Por outras palavras, aprendemos a calcular primitivas de fun¸co˜es elementarmente primitiv´aveis. Nem todas as fun¸co˜es est˜ao nesta situa¸ca˜o. No entanto, Teorema 4.5.4 Toda a fun¸ca˜o cont´ınua num intervalo [a, b] ´e primitiv´avel nesse intervalo.

Cap´ıtulo 5 Fun¸co ˜es Reais de Vari´ avel Real: C´ alculo Integral 5.1

Integral de Riemann: Defini¸c˜ ao e propriedades

Defini¸c˜ ao 5.1.1 Sejam a, b ∈ R, a < b. Dados n + 2 pontos a = x0 < x1 < x2 < · · · < xn−1 < xn < xn+1 = b, ao conjunto dos subintervalos da forma [xi , xi+1 ], i = 0, 1, . . . , n, chama-se parti¸ ca ˜o de [a, b]. NOTAS: 1. A parti¸ca˜o ´e um conjunto de subconjuntos, mais precisamente: P = {[xi , xi+1 ] : i ∈ N0 , 0 ≤ i ≤ n}.

O nome parti¸ca˜o resulta de ∪ni=0 [xi , xi+1 ] = [a, b] e do facto de dados dois quaisquer elementos de P a sua intersec¸ca˜o ou ´e vazia ou se reduz a um ponto.

2. A parti¸ca˜o P fica bem definida pelo conjunto P = {a = x0 , x1 , x2 , . . . , xn−1 , xn , xn+1 = ´ claro que, b} pelo que podemos identificar a parti¸ca˜o P com o conjunto P . E pelo modo como definimos a parti¸ca˜o, consideramos o conjunto P ordenado, isto ´e, xi < xi+1 , i = 0, 1, . . . , n. Defini¸c˜ ao 5.1.2 Sejam a, b ∈ R, a < b. Dadas duas parti¸co˜es P1 e P2 , diz-se que P1 ´e mais fina que P2 se todos os elementos de P1 est˜ao contidos em elementos de P2 . NOTA: Tendo em conta a Nota 2, a seguir a` defini¸ca˜o anterior, se P1 e P2 forem os conjuntos de pontos que definem P1 e P2 , respectivamente, a Defini¸ca˜o 5.1.2 poderia ser enunciada do seguinte modo: P1 ´e mais fina que P2 se P2 ⊂ P1 .

Proposi¸c˜ ao 1 Sejam a, b ∈ R, a < b. Dadas duas parti¸co˜es de [a, b], P 1 e P2 , existe uma parti¸ca˜o de [a, b], P3 , mais fina que P1 e P2 . Demonstra¸ca˜o: Tendo em conta a Nota 2 a seguir a` Defini¸ca˜o 5.1.1 e a nota a seguir a` Defini¸ca˜o 5.1.2, se P1 e P2 s˜ao os conjuntos de pontos que definem P1 e P2 , basta tomar a parti¸ca˜o P3 definida por P3 = P1 ∪ P2 .

96

5. Fun¸ co ˜es Reais de Vari´ avel Real: C´ alculo Integral

Defini¸c˜ ao 5.1.3 Sejam a, b ∈ R, a < b, f : [a, b] → R uma fun¸ca˜o limitada e P uma parti¸ca˜o de [a, b]. Chama-se soma inferior de Darboux de f , relativa `a parti¸ca˜o P a n X sP (f ) = (xi+1 − xi ) i=0

inf

x∈[xi ,xi+1 ]

f (x).

Chama-se soma superior de Darboux de f , relativa `a parti¸ca˜o P a SP (f ) =

n X i=0

(xi+1 − xi )

sup

f (x).

x∈[xi ,xi+1 ]

NOTAS: 1. As somas superior e inferior est˜ao bem definidas. Como f ´e limitada em [a, b], f ´e limitada em [xi , xi+1 ], isto ´e, o conjunto {f (x) : x ∈ [xi , xi+1 ]} ´e limitado e, portanto, tem ´ınfimo e supremo. ´ o´bvio que sP (f ) ≤ SP (f ). Veremos que esta propriedade se pode generalizar: para 2. E uma fun¸ca˜o limitada em [a, b], qualquer soma superior ´e maior ou igual a qualquer soma inferior. 3. Se f ´e uma fun¸ca˜o n˜ao negativa em [a, b], dada uma parti¸ca˜o P, a soma inferior de Darboux ´e igual a` soma das a´reas dos rectˆangulos cujos lados tˆem comprimento xi+1 − xi e inf f (x) (ver Figura 5.1). x∈[xi ,xi+1 ]

y

a

x 1 x 2 x 3 x 4 x5 x 6 x 7 x 8

x 9 x 10 b

x

Figura 5.1: Soma inferior de Darboux.

Analogamente, a soma superior de Darboux ´e igual a` soma das a´reas dos rectˆangulos cujos lados tˆem comprimento xi+1 − xi e sup f (x) (ver Figura 5.2). x∈[xi ,xi+1 ]

5.1 Integral de Riemann: Defini¸ c˜ ao e propriedades

97

Figura 5.2: Soma superior de Darboux.

Proposi¸c˜ ao 2 Sejam a, b ∈ R, a < b, f : [a, b] → R uma fun¸ca˜o limitada, P 1 e P2 duas parti¸co˜es de [a, b], P1 mais fina que P2 . Ent˜ao: sP2 (f ) ≤ sP1 (f ) ≤ SP1 (f ) ≤ SP2 (f ). Demonstra¸ca˜o: Da Defini¸ca˜o 5.1.2, para cada [xi , xi+1 ] ∈ P2 , existem [yj , yj+1 ] ∈ P1 , j = i ki , . . . , pi , tais que ∪pj=k [yj , yj+1 ] = [xi , xi+1 ]. Ent˜ao i inf

x∈[xi ,xi+1 ]

pelo que

pi X

j=ki

=

(yj+1 − yj )

f (x) ≤

inf

inf

x∈[xi ,xi+1 ]

f (x)

X

j=ki

f (x) ≥

f (x), j = ki , . . . , pi ,

pi X

(yj+1 − yj )

x∈[xi ,xi+1 ]

(yj+1 − yj ) = (xi+1 − xi )

x∈[xi ,xi+1 ]

x∈[yj ,yj+1 ] pi

inf

x∈[yj ,yj+1 ]

j=ki

inf

f (x) =

inf

f (x).

Somando estas express˜oes (de i = 0 a i = n) obt´em-se sP2 (f ) ≤ sP1 (f ). Analogamente se obtinha SP1 (f ) ≤ SP2 (f ). A proposi¸ca˜o fica demonstrada tendo em conta que sP1 (f ) ≤ SP1 (f ) (ver Nota 2 a seguir a` Defini¸ca˜o 5.1.3). Proposi¸c˜ ao 3 Sejam a, b ∈ R, a < b, f : [a, b] → R uma fun¸ca˜o limitada, P 1 e P2 duas parti¸co˜es de [a, b]. Ent˜ao: sP1 (f ) ≤ SP2 (f ) e sP2 (f ) ≤ SP1 (f ). Demonstra¸ca˜o: Pela Proposi¸ca˜o 1 existe uma parti¸ca˜o P3 mais fina que P1 e P2 . Pela Proposi¸ca˜o 2, sP1 (f ) ≤ sP3 (f ) ≤ SP3 (f ) ≤ SP2 (f ) e sP2 (f ) ≤ sP3 (f ) ≤ SP3 (f ) ≤ SP1 (f ). NOTA: Resulta desta proposi¸ca˜o que se a, b ∈ R, a < b, f : [a, b] → R ´e uma fun¸ca˜o limitada, o conjunto das somas superiores ´e minorado (todas as somas inferiores s˜ao minorantes) e o conjunto das somas inferiores ´e majorado (todas as somas superiores s˜ao majorantes); estes conjuntos tˆem, pois, ´ınfimo e supremo, respectivamente.

98

5. Fun¸ co ˜es Reais de Vari´ avel Real: C´ alculo Integral

Defini¸c˜ ao 5.1.4 Sejam a, b ∈ R, a < b e f : [a, b] → R uma fun¸ca˜o limitada. Ao ´ınfimo do conjunto das somas superiores de f chama-se integral superior de f em Rb [a, b] e representa-se por a f (x) dx. Ao supremo do conjunto das somas inferiores de f Rb Rb chama-se integral inferior de f em [a, b] e representa-se por a f (x) dx. Se a f (x) dx = Rb f (x) dx, diz-se que f ´e integr´ avel `a Riemann em [a, b]; a este n´ umero chama-se ina Rb Rb Rb tegral de f em [a, b] e representa-se a f (x) dx = a f (x) dx = a f (x) dx. NOTAS:

1. Sejam a, b ∈ R, a < b e f : [a, b] → R uma fun¸ca˜o limitada. O integral superior de f em [a, b] e o integral inferior de f em [a, b] existem (ver nota antes da defini¸ca˜o). No entanto a fun¸ca˜o pode n˜ao ser integr´avel; consideremos, por exemplo, a fun¸ca˜o     1, x ∈ [0, 1] ∩ Q f (x) =    0, x ∈ [0, 1] \ Q

Como entre quaisquer dois pontos existem racionais e irracionais,Z dada uma par1 ti¸ca˜o qualquer, P, inf f (x) = 0 e sup f (x) = 1, pelo que f (x) dx = 0 e x∈[xi ,xi+1 ]

Z

x∈[xi ,xi+1 ]

0

1

f (x) dx = 1. 0

2. Se f ´e cont´ınua, n˜ao negativa e integr´avel em [a, b], o integral de f ´e igual a` a´rea da figura limitada pelo gr´afico de f e pelas rectas x = a, x = b e y = 0 (eixo dos xx) (ver Figura 5.3). Para nos convencermos deste facto, basta ter em conta as figuras 5.1 e 5.2 e a defini¸ca˜o. O integral ´e o ´ınfimo do conjunto das somas superiores, que s˜ao todas maiores ou iguais que aquela a´rea (ver Figura 5.2), portanto o integral ´e maior ou igual que a a´rea da figura referida. Por outro lado, o integral tamb´em ´e o supremo do conjunto das somas inferiores, que s˜ao todas menores ou iguais que aquela a´rea (ver Figura 5.1) portanto o integral ´e menor ou igual que a a´rea da figura referida. Conclui-se assim que o integral ´e igual a` a´rea da figura.

Proposi¸c˜ ao 4 Se a < b e f (x) = c, ∀x ∈ [a, b], ent˜ao

Rb a

f (x) dx = c (b − a)

Demonstra¸ca˜o: Qualquer que seja a parti¸ca˜o P, sP (f ) = SP (f ) = c (b − a). Proposi¸c˜ ao 5 Se a < b e f, g : [a, b] → R s˜ao duas func˜oes integr´aveis em [a, b] tais que Rb Rb f (x) ≤ g(x), ∀x ∈ [a, b], ent˜ao a f (x) dx ≤ a g(x) dx.

5.1 Integral de Riemann: Defini¸ c˜ ao e propriedades

99

Figura 5.3: O integral ´ e igual a` a´rea da figura indicada.

Demonstra¸ca˜o: Qualquer que seja a parti¸ca˜o P, sP (f ) ≤ sP (g) pelo que, os integrais, (que, por hip´otese, existem e s˜ao iguais aos supremos dos conjuntos das somas inferiores) verificam a desigualdade. Proposi¸c˜ ao 6 Sejam a, b ∈ R, a < b e f : [a, b] → R uma fun¸ca˜o limitada. f ´e integr´avel se, e s´o se, para todo o ε > 0 existe uma parti¸ca˜o P tal que SP (f ) − sP (f ) < ε. Demonstra¸ca˜o: Suponhamos que f ´e integr´avel e seja ε > 0, qualquer. Visto que o integral ´e o supremo do conjunto das somas inferiores, existe uma parti¸ca˜o P1 tal que sP1 (f ) >

Z

b a

f (x) dx − ε/2;

(5.1)

analogamente, visto que o integral ´e o ´ınfimo do conjunto das somas superiores, existe uma parti¸ca˜o P2 tal que Z b SP2 (f ) < f (x) dx + ε/2. (5.2) a

Rb

Ent˜ao, SP2 (f ) − ε/2 < a f (x) dx < sP1 (f ) + ε/2 donde obtemos SP2 (f ) < sP1 (f ) + ε. Se tomarmos uma parti¸ca˜o P, mais fina que P1 e P2 ent˜ao, pela Proposi¸ca˜o 2, SP (f ) ≤ SP2 (f ) < sP1 (f ) + ε ≤ sP (f ) + ε. Reciprocamente, suponhamos que para todo o ε > 0 existe uma parti¸ca˜o P tal que Rb SP (f ) − sP (f ) < ε, isto ´e, SP (f ) < sP (f ) + ε. Ent˜ao, a f (x) dx ≤ SP (f ) < sP (f ) + ε ≤ Rb Rb Rb f (x) dx + ε, pelo que, para todo o ε > 0, 0 ≤ a f (x) dx − a f (x) dx ≤ ε, o que s´o ´e a Rb Rb poss´ıvel se a f (x) dx = a f (x) dx. Proposi¸c˜ ao 7 Se a < b e f, g : [a, b] → R s˜ao duas func˜oes integr´aveis em [a, b] ent˜ao Rb Rb Rb f + g ´e integr´avel em [a, b] e a (f + g)(x) dx = a f (x) dx + a g(x) dx.

100

5. Fun¸ co ˜es Reais de Vari´ avel Real: C´ alculo Integral

Demonstra¸ca˜o: Visto que, para cada i, inf

x∈[xi ,xi+1 ]

f (x) ≤ f (x) ≤

x∈[xi ,xi+1 ]

g(x) ≤ g(x) ≤

x∈[xi ,xi+1 ]

sup

f (x), ∀x ∈ [xi , xi+1 ]

e inf

x∈[xi ,xi+1 ]

sup

g(x), ∀x ∈ [xi , xi+1 ],

ent˜ao inf

x∈[xi ,xi+1 ]

f (x)+

inf

x∈[xi ,xi+1 ]

g(x) ≤ f (x)+g(x) ≤

sup

f (x)+

x∈[xi ,xi+1 ]

sup x∈[xi ,xi+1 ]

g(x), ∀x ∈ [xi , xi+1 ],

pelo que inf

x∈[xi ,xi+1 ]

≤

f (x) +

sup x∈[xi ,xi+1 ]

inf

x∈[xi ,xi+1 ]

g(x) ≤

(f (x) + g(x)) ≤

inf

x∈[xi ,xi+1 ]

sup x∈[xi ,xi+1 ]

(f (x) + g(x)) ≤

f (x) +

sup

g(x)

x∈[xi ,xi+1 ]

Usando estas desigualdades e recorrendo a` defini¸ca˜o, obtemos, para qualquer parti¸ca˜o, sP (f ) + sP (g) ≤ sP (f + g) ≤ SP (f + g) ≤ SP (f ) + SP (g)

(5.3)

Seja ε > 0, qualquer. Pela Proposi¸ca˜o 6 (desigualdades 5.1 e 5.2) existem parti¸co˜es P1 , P2 , P3 e P4 tais que Z b Z b ε ε f (x) dx − ≤ sP1 (f ) ≤ SP2 (f ) ≤ f (x) dx + 2 2 a a e

Z

Z b ε ε g(x) dx − ≤ sP3 (g) ≤ SP4 (g) ≤ g(x) dx + 2 2 a a Se considerarmos uma parti¸ca˜o P mais fina que P1 , P2 , P3 e P4 , as u ´ltimas desigualdades continuam v´alidas, com as Pi substitu´ıdas por P e, adicionando, Z b Z b Z b Z b f (x) dx+ g(x) dx−ε ≤ sP (f )+sP (g) ≤ SP (f )+SP (g) ≤ f (x) dx+ g(x) dx+ε a

b

a

a

a

Usando agora as desigualdades 5.3, obtemos Z b Z b Z b Z b g(x) dx + ε. f (x) dx + g(x) dx − ε ≤ sP (f + g) ≤ SP (f + g) ≤ f (x) dx + a

a

a

a

Rb Rb Conclu´ımos assim que a f (x) dx + a g(x) dx ´e o supremo das somas inferiores e o Rb Rb Rb ´ınfimo das somas superiores de f + g, isto ´e, a f (x) dx + a g(x) dx = a (f (x) + g(x)) dx. Proposi¸c˜ ao 8 Se a < b, se f : [a, b] → R ´e integr´avel em [a, b] e c ∈ R, ent˜ao c f ´e Rb Rb integr´avel em [a, b] e a (c f )(x) dx = c a f (x) dx.

5.1 Integral de Riemann: Defini¸ c˜ ao e propriedades

101

Demonstra¸ca˜o: Se c = 0, cf ≡ 0 em [a, b] e aplica-se a Proposi¸ca˜o 4. Se c > 0, seja P uma parti¸ca˜o de [a, b]. Como, para cada i, inf (cf (x)) = c inf (f (x))

[xi ,xi+1 ]

e

[xi ,xi+1 ]

sup (cf (x)) = c sup (f (x)), [xi ,xi+1 ]

[xi ,xi+1 ]

ent˜ao sP (cf ) = c sP (f ) e SP (cf ) = c SP (f ). Tomando o supremo das somas inferiores e o ´ınfimo das somas superiores, obtemos: Z

b

(c f )(x) dx = c a

Se c = −1,

Z

b

f (x) dx = c a

Z

b a

Z b Z b (c f )(x) dx f (x) dx = c f (x) dx = a

inf (−f (x)) = − sup (f (x)) e

[xi ,xi+1 ]

[xi ,xi+1 ]

a

sup (−f (x)) = − inf (f (x)), pelo [xi ,xi+1 ]

[xi ,xi+1 ]

que sP (−f ) = −SP (f ) e SP (−f ) = −sP (f ); ent˜ao, Z

b a

(−f )(x) dx = −

Z

b

f (x) dx a

e

Z

b a

(−f )(x) dx = −

Z

b

f (x) dx a

Rb Rb e destas igualdades conclu´ımos que a (−f )(x) dx = − a f (x) dx. Tendo em conta os casos estudados a proposi¸ca˜o fica demonstrada (se c < 0, basta observar que c = −1 (−c) e aplicar o que se mostrou anteriormente). Proposi¸c˜ ao 9 Se a < b, se f : [a, b] → R ´e integr´avel em [a, b] e se g difere de f apenas Rb Rb num ponto, ent˜ao g ´e integr´avel em [a, b] e a f (x) dx = a g(x) dx. Demonstra¸ca˜o: Seja M > 0 tal que |f (x)| ≤ M ∧ |g(x)| ≤ M, ∀x ∈ [a, b]. Dado ε > 0 qualquer, consideremos uma parti¸ca˜o P1 de [a, b] tal que Z

b a

ε f (x) dx − ≤ sP1 (f ) ≤ SP1 (f ) ≤ 2

Z

b a

ε f (x) dx + . 2

ε Tomemos uma parti¸ca˜o P, mais fina que P1 , tal que xi+1 − xi < , i = 0, . . . , n. Como 8M f e g diferem apenas num ponto, digamos c, as respectivas somas superiores e inferiores diferem (eventualmente) apenas nas parcelas que contˆem c (duas no caso de c ser um dos xi , uma no caso contr´ario). Como |f (c) − g(c)| ≤ 2M , as somas superiores e inferiores diferem, quando muito de ε/2. Ent˜ao, Z

b a

f (x) dx − ε ≤ sP (g) ≤ SP (g) ≤

Z

b

f (x) dx + ε, a

donde deduzimos o resultado. Corol´ ario 1 Se a < b, se f : [a, b] → R ´e integr´avel em [a, b] e se g difere de f apenas Rb Rb num n´ umero finito de pontos, ent˜ao g ´e integr´avel em [a, b] e a f (x) dx = a g(x) dx.

102

5. Fun¸ co ˜es Reais de Vari´ avel Real: C´ alculo Integral

Demonstra¸ca˜o: Se g difere de f em m pontos, p1 , p2 , . . . , pm , basta aplicar a proposi¸ca˜o m vezes: considera-se a fun¸ca˜o f1 que ´e igual a f excepto em p1 , onde ´e igual a g, e aplica-se a proposi¸ca˜o; considera-se a fun¸ca˜o f2 que ´e igual a f1 excepto em p2 , onde ´e igual a g, e aplica-se a Proposi¸ca˜o; assim sucessivamente, at´e chegarmos a fm , que ´e igual a g. Proposi¸c˜ ao 10 Se a ≤ c < d ≤ b e se f : [a, b] → R ´e integr´avel em [a, b], ent˜ao f ´e Rb Rd integr´avel em [c, d] e c f (x) dx = a g(x) dx onde     f (x), se x ∈ [c, d] g(x) =    0, se x ∈ / [c, d] Demonstra¸ca˜o: Dado ε > 0 qualquer, consideremos uma parti¸ca˜o P1 de [a, b] tal que SP1 (f ) − sP1 (f ) < ε/2 (Proposi¸ca˜o 6). Se ao conjunto dos pontos que definem P1 acrescentarmos c e d, obtemos uma parti¸ca˜o P, mais fina que P1 , pelo que SP (f )−sP (f ) < ε/2. Se considerarmos agora a parti¸ca˜o P 0 de [c, d], que se obt´em de P por considerar apenas os elementos contidos em [c, d], verifica-se obviamente SP 0 (f ) − sP 0 (f ) < ε/2. Pela Proposi¸ca˜o 6, deduzimos que f ´e integr´avel em [c, d]. Falta-nos demonstrar a igualdade dos integrais. Supomos que a < c < d < b. Se a = c ou d = b, as adapta¸co˜es (de facto, simplifica¸co˜es) s˜ao evidentes. Procedemos, agora, de modo semelhante ao da demonstra¸ca˜o da Proposi¸ca˜o 9. Sejam M tal que |g(x)| ≤ M, ∀x ∈ [a, b] e P2 uma parti¸ca˜o de [a, b], mais fina que P, tal que os elementos de P2 em que c ´e extremo direito e os elementos de P2 em que d ´e extremo esquerdo tˆem comprimento menor ou igual a ε/(2M ). Se P20 ´e a parti¸ca˜o de [c, d] que se obt´em de P2 por considerar apenas os elementos contidos em [c, d], sP20 (f ) e sP2 (g) apenas diferem (eventualmente) em duas parcelas: as que correspondem ao elemento de P2 em que c ´e extremo direito e ao elemento de P2 em que d ´e extremo esquerdo. O mesmo acontece em rela¸ca˜o a SP20 (f ) e SP2 (g). Ent˜ao, sP20 (f ) − ε ≤ sP2 (g) ≤ SP2 (g) ≤ SP20 (f ) + ε Z b Z d g(x) dx. f (x) dx = pelo que conclu´ımos que c

a

Proposi¸c˜ ao 11 Se a < c < b e f : [a, b] → R ´e integr´avel em [a, b], ent˜ao Rc Rb f (x) dx + c f (x) dx. a

Demonstra¸ca˜o: Consideremos as fun¸co˜es     f (x), x ∈ [a, c] g(x) =    0, x ∈]c, b]

e

h(x) =

    0,

   f (x),

Rb a

f (x) dx =

x ∈ [a, c[ x ∈ [c, b]

5.1 Integral de Riemann: Defini¸ c˜ ao e propriedades

103

Obviamente, f = g + h. Pelas Proposi¸co˜es 10 e 7: Z b Z b Z b Z b Z c Z b f (x) dx = (g + h)(x) dx = g(x) dx + h(x) dx = f (x) dx + f (x) dx a

a

a

a

a

c

Defini¸c˜ ao 5.1.5 Sejam a, b ∈ R, a < b e f : [a, b] → R uma fun¸ca˜o integr´avel. Define-se Z a Z b Z a f (x) dx = − f (x) dx e tamb´em f (x) dx = 0 b

a

a

Proposi¸c˜ ao 12 Quaisquer que sejam a, b, c ∈ R, sempre que os trˆes integrais existam.

Z

b

f (x) dx = a

Z

c

f (x) dx + a

Z

b

f (x) dx, c

Demonstra¸ca˜o: Se a < c < b, trata-se da Proposi¸ca˜o 11. Se c < a < b, ent˜ao, pela Rb Rc Rb Ra Rb Proposi¸ca˜o 11, c f (x) dx = c f (x) dx + a f (x) dx = − a f (x) dx + a f (x) dx, donde obtemos o resultado. Os restantes casos resolvem-se do mesmo modo. Proposi¸c˜ ao 13 Sejam a, b ∈ R e a < b. Se f, g : [a, b] → R s˜ao duas fun¸co˜es integr´aveis em [a, b], ent˜ao f g ´e integr´avel em [a, b]. N˜ao demonstraremos esta proposi¸ca˜o. A sua demonstra¸ca˜o, embora poss´ıvel a este n´ıvel, seria demasiado longa para os prop´ositos deste curso.

104

5.2

5. Fun¸ co ˜es Reais de Vari´ avel Real: C´ alculo Integral

Classes de fun¸co ˜es integr´ aveis

Teorema 5.2.1 Sejam a, b ∈ R, a < b. Se f ´e cont´ınua em [a, b] ent˜ao ´e integr´avel em [a, b]. Demonstra¸ca˜o: Pelo Teorema de Cantor, f ´e uniformemente cont´ınua em [a, b]. Dado ε > 0, qualquer, existe θ > 0 tal que ∀x, y ∈ [a, b], |x − y| < θ ⇒ |f (x) − f (y)| < ε/(b − a). Se tomarmos uma parti¸ca˜o, P, em que todos os seus elementos tenham comprimento menor que θ, ent˜ao |f (x) − f (y)| < ε/(b − a), ∀x, y ∈ [xi , xi+1 ], i = 0, . . . , n pelo que sup f (x) − inf f (x) = max f (x) − min f (x) < ε/(b − a), i = 0, . . . , n. x∈[xi ,xi+1 ]

x∈[xi ,xi+1 ]

x∈[xi ,xi+1 ]

x∈[xi ,xi+1 ]

Daqui se conclui que SP (f ) − sP (f ) = <

n X

n X i=0

i=0

(xi+1 − xi ) (

(xi+1 − xi )

sup x∈[xi ,xi+1 ]

f (x) −

inf

x∈[xi ,xi+1 ]

f (x)) <

ε ε = (b − a) = ε. b−a b−a

Pela Proposi¸ca˜o 6, f ´e integr´avel em [a, b]. Teorema 5.2.2 Sejam a, b ∈ R, a < b, f : [a, b] → R uma fun¸ca˜o limitada. Se f ´e cont´ınua em [a, b], excepto num n´ umero finito de pontos, ent˜ao ´e integr´avel em [a, b]. Demonstra¸ca˜o: Suponhamos que f ´e cont´ınua em [a, b] excepto num ponto c ∈]a, b[. Sejam ε > 0, qualquer e M > 0 tal que |f (x)| ≤ M, ∀x ∈ [a, b]. Ent˜ao pelo Teorema 5.2.1, f ´e integr´avel em [a, c − ε/(12M )] e em [c + ε/(12M ), b] (podemos sempre tomar ε suficientemente pequeno para nenhum destes intervalos ser vazio ou se reduzir a um ponto), pelo que, pela Proposi¸ca˜o 6, existem parti¸co˜es P1 e P2 de [a, c − ε/(12M )] e [c + ε/(12M ), b], respectivamente, tais que SP1 (f ) − sP1 (f ) < ε/3 e SP2 (f ) − sP2 (f ) < ε/3. Se considerarmos a parti¸ca˜o P, de [a, b], formada pelos elementos de P1 , por C = [c − ε/(12M ), c + ε/(12M )] e pelos elementos de P2 , ent˜ao SP (f ) − sP (f ) < ε (note-se que sup f (x) − inf f (x) ≤ 2 M e que o comprimento de C ´e ε/(6M )). Tendo em conta a x∈C

x∈C

Proposi¸ca˜o 6, f ´e integr´avel em [a, b]. Se f n˜ao for cont´ınua num dos extremos do intervalo, procede-se do mesmo modo, com as adapta¸co˜es evidentes. O mesmo acontece para o caso em que h´a v´arios pontos de descontinuidade. Apenas temos que considerar v´arios conjuntos “C”, um para cada ponto de descontinuidade, e adaptar as constantes. Teorema 5.2.3 Sejam a, b ∈ R, a < b e f : [a, b] → R uma fun¸ca˜o limitada. Se f ´e mon´otona em [a, b], ent˜ao ´e integr´avel em [a, b]. Demonstra¸ca˜o: Vamos fazer a demonstra¸ca˜o supondo que f ´e crescente. Para f decrescente, as t´ecnicas s˜ao as mesmas com as adapta¸co˜es evidentes.

5.2 Classes de fun¸ co ˜es integr´ aveis

105

Sejam ε > 0 e M = sup f (x) − inf f (x) = f (b) − f (a). Se M = 0, ent˜ao f ´e x∈[a,b]

x∈[a,b]

constante em [a, b], pelo que ´e integr´avel. Se M > 0, seja P uma parti¸ca˜o de [a, b] tal que todos os seus elementos tˆem comprimento menor que ε/M . Como f ´e crescente, ent˜ao inf f (x) = f (xi ) e sup f (x) = f (xi+1 ), pelo que x∈[xi ,xi+1 ]

sP =

n X i=0

x∈[xi ,xi+1 ]

n X (xi+1 − xi ) f (xi+1 ) (xi+1 − xi ) f (xi ) e SP = i=0

donde (note-se que f (xi+1 ) − f (xi ) ≥ 0) n X ε (xi+1 − xi ) (f (xi+1 ) − f (xi )) ≤ SP − s P = (f (xi+1 ) − f (xi )) = M i=0 i=0 n X

n ε ε X (f (xi+1 ) − f (xi )) = (f (b) − f (a)) = ε. = M i=0 M

Pela Proposi¸ca˜o 6, f ´e integr´avel em [a, b]. EXEMPLO: A fun¸ca˜o

f (x) =

    0,

se x = 0,

 1 1 1   , se <x≤ , n n+1 n

n∈N

tem uma infinidade de descontinuidades em [0, 1], mas ´e integr´avel, visto ser crescente.

106

5. Fun¸ co ˜es Reais de Vari´ avel Real: C´ alculo Integral

5.3

Teoremas Fundamentais

Teorema 5.3.1 (Teorema da m´ edia) Sejam a, b ∈ R e a < b. Se f : [a, b] → R ´e cont´ınua, ent˜ao existe c ∈ [a, b] tal que Z b f (x) dx = f (c) (b − a) a

Demonstra¸ca˜o: Como f ´e cont´ınua, sabemos que ´e integr´avel e que tem m´aximo e m´ınimo em [a, b]: existem x0 ∈ [a, b] e x1 ∈ [a, b] tais que f (x0 ) = min f (x) ≤ f (x) ≤ max f (x) = f (x1 ), ∀x ∈ [a, b] x∈[a,b]

x∈[a,b]

Pelas Proposi¸co˜es 4 e 5, Z b Z b Z b f (x0 ) (b − a) = f (x0 ) dx ≤ f (x) dx ≤ f (x1 ) dx = f (x1 ) (b − a) a

a

isto ´e,

Z

a

b

f (x) dx a

≤ f (x1 ). b−a Pelo Teorema de Bolzano existe c, entre x0 e x1 , tal que Z b f (x) dx a f (c) = b−a f (x0 ) ≤

Teorema 5.3.2 (Teorema Fundamental do C´ alculo Integral) Sejam a, b ∈ R, a < b. Se f : [a, b] → R ´e cont´ınua, ent˜ao a fun¸ca˜o F (x) =

Z

x

f (t) dt a

´e diferenci´avel em [a, b] e F 0 (x) = f (x), ∀x ∈ [a, b], isto ´e, F ´e uma primitiva de f (tamb´em conhecida por integral indefinido de f ). Demonstra¸ca˜o: Sejam x ∈ [a, b] (qualquer) e h ∈ R tal que x + h ∈ [a, b]. Ent˜ao F (x + h) − F (x) = =

Z

Z

x+h

Za x a

x

f (t) dt f (t) dt − a Z x+h Z f (t) dt + f (t) dt − x

x

f (t) dt = a

Pelo Teorema 5.3.1, existe c ∈ [x, x+h] tal que F (x+h)−F (x) =

pelo que

Z

F (x + h) − F (x) = lim f (c) = f (x) c→x h→0 h

F 0 (x) = lim

Z

x+h

f (t) dt. x

x+h

f (t) dt = f (c) h x

5.3 Teoremas Fundamentais

107

(note-se que, para cada h, c est´a entre x e x + h, pelo que, quando h tende para 0, c tende para x). NOTA: Do Teorema anterior obtemos, em particular, que toda a fun¸c˜ ao cont´ınua em [a, b] ´ e primitiv´ avel em [a, b]. Corol´ ario 1 (Regra de Barrow) Sejam a, b ∈ R, a < b. Se f : [a, b] → R ´e cont´ınua e G ´e uma primitiva de f em [a, b], ent˜ao Z

b a

f (x) dx = G(b) − G(a) = [G(x)]ba

Rx Demonstra¸ca˜o: Vimos no Teorema 5.3.2 que a fun¸ca˜o F (x)R= a f (t) dt ´e uma primitiva a de f . Ent˜ao G(x) − F (x) = c, ∀x ∈ [a, b]; mas F (a) = a f (t) dt = 0, pelo que c = G(a) − F (a) = G(a). Por outro lado, c = G(a) = G(b) − F (b) donde se conclui que Rb f (t) dt = F (b) = G(b) − G(a). a

Teorema 5.3.3 (Integra¸c˜ ao por partes) Sejam a, b ∈ R, a < b. Se f : [a, b] → R ´e cont´ınua em [a, b], se F ´e uma primitiva de f em [a, b] e se g ∈ C 1 ([a, b]) ent˜ao Z b Z b b f (x) g(x) dx = [F (x) g(x)]a − F (x) g 0 (x) dx a

a

Demonstra¸ca˜o: Como o produto de fun¸co˜es cont´ınuas ´e uma fun¸ca˜o cont´ınua, tanto f g com F g 0 s˜ao integr´aveis em [a, b]. Como (F g)0 (x) = F 0 (x) g(x) + F (x) g 0 (x) = f (x) g(x) + F (x) g 0 (x), pela Regra de Rb Rb Barrow, [F (x) g(x)]ba = a f (x) g(x) dx + a F (x) g 0 (x) donde se conclui o resultado pretendido. Teorema 5.3.4 (Integra¸c˜ ao por substitui¸c˜ ao) Sejam a, b ∈ R, a < b, f : [a, b] → R uma fun¸ca˜o cont´ınua em [a, b] e φ : [α, β] → [a, b] uma fun¸ca˜o de classe C 1 tal que φ(α) = a e φ(β) = b. Ent˜ao Z

b

f (x) dx = a

Z

β

f (φ(t)) φ0 (t) dt α

Demonstra¸ca˜o: Sejam G : [a, b] → R uma primitiva de f e H : [α, β] → R a fun¸ca˜o definida por H(t) = G(φ(t)). Ent˜ao H 0 (t) = G0 (φ(t)) φ0 (t) = f (φ(t)) φ0 (t), pelo que, pela Rβ Regra de Barrow, α f (φ(t)) φ0 (t) dt = H(β) − H(α) = G(φ(β)) − G(φ(α)) = G(b) − G(a) Rb e a f (x) dx = G(b) − G(a).

108

5.4

5. Fun¸ co ˜es Reais de Vari´ avel Real: C´ alculo Integral

´ Areas de figuras planas

1o CASO Se f ´e integr´avel em [a, b] e f (x) ≥ 0, ∀x ∈ [a, b], a a´rea da figura plana limitada pelas rectas x = a, x = b, pelo eixo dos xx e pelo gr´afico de f (figura 5.3) ´e dada por Rb f (x) dx, como vimos atr´as. a

π , pelo eixo dos xx 4√ Rπ π 2 e pelo gr´afico de cos(x) ´e dada por: 04 cos(x) dx = sen( ) − sen(0) = . 4 2 EXEMPLO: A a´rea da figura plana limitada pelas rectas x = 0, x =

2o CASO Se f ´e integr´avel em [a, b] e f (x) ≤ 0, ∀x ∈ [a, b], a a´rea da figura plana limitada pelas rectas x = a, x = b, pelo eixo dos xx e pelo gr´afico de f (figura 5.4) ´e dada por Rb − a f (x) dx. De facto, se considerarmos a simetria em rela¸ca˜o ao eixo dos xx, obtemos uma figura com a mesma a´rea (a simetria em rela¸ca˜o a uma recta mant´em as a´reas invariantes), que ´e limitada pelas rectas x = a, x = b, pelo eixo dos xx e pelo gr´afico de −f (figura 5.5). Visto que a fun¸ca˜o −f ´e n˜ao negativa em [a, b], estamos reduzidos ao 1 o Rb Rb caso e a a´rea ´e dada por a −f (x) dx = − a f (x) dx.

π EXEMPLO: A a´rea da figura plana limitada pelas rectas x = , x = π, pelo eixo dos xx 2 Rπ π π e pelo gr´afico de cos(x) ´e dada por: − π cos(x) dx = −(sen(π) − sen( )) = sen( ) = 1. 2 2 2

Figura 5.4

´ 5.4 Areas de figuras planas

109

Figura 5.5

NOTAS: 1. N˜ao esquecer que a a´rea de uma figura n˜ao degenerada (isto ´e, n˜ao reduzida a um ponto ou segmento de recta ou curva, etc.) ´e um n´ umero positivo. Rb 2. Em ambos os casos, 1 e 2, a a´rea ´e dada por a |f (x)| dx. 3o CASO

Figura 5.6

Se f ´e integr´avel em [a, b], a a´rea da figura plana limitada pelas rectas x = a, x = b, Rb pelo eixo dos xx e pelo gr´afico de f (figura 5.4) ´e dada por a |f (x)| dx (note-se que os casos anteriores s˜ao casos particulares deste). De facto, se f muda de sinal em [a, b] (figura 5.6), consideramos os subintervalos em que f ´e positiva (nestes subintervalos a a´rea ´e dada pelo integral de f , isto ´e de |f |) e os subintervalos em que f ´e negativa (nestes subintervalos a a´rea ´e dada pelo integral de −f , isto ´e de |f |); a a´rea total, que ´e a soma Rb de todas estas a´reas ´e, pois, dada por a |f (x)| dx (Proposi¸ca˜o 11).

110

5. Fun¸ co ˜es Reais de Vari´ avel Real: C´ alculo Integral

EXEMPLO: A a´rea da figura plana limitada pelas rectas x = 0, x = 2 π, pelo eixo dos xx R 2π R π/2 R 3π/2 e pelo gr´afico de cos(x) ´e dada por: 0 | cos(x)| dx = 0 cos(x) dx + π/2 − cos(x) dx + R 2π cos(x) dx = sen(π/2) − sen(0) + (−sen(3π/2) + sen(π/2)) + sen(2π) − sen(3π/2) = 3π/2 1 − 0 − (−1) + 1 + 0 − (−1) = 4. 4o CASO

f1

f2 Figura 5.7

Se f1 e f2 s˜ao integr´aveis em [a, b] e f1 (x) ≥ f2 (x), ∀x ∈ [a, b], a a´rea da figura plana limitada pelas rectas x = a, x = b, pelo gr´afico de f1 e pelo gr´afico de f2 (figura 5.7) ´e dada Rb Rb por a (f1 (x) − f2 (x)) dx (= a |f1 (x) − f2 (x)| dx visto que f1 (x) − f2 (x) ≥ 0, ∀x ∈ [a, b]). Vamos justificar este resultado. Seja k ∈ R tal que f2 (x) + k ≥ 0, ∀x ∈ [a, b]; ent˜ao f1 (x) + k ≥ f2 (x) + k ≥ 0, ∀x ∈ [a, b] e a a´rea pretendida ´e igual a` a´rea da figura plana limitada pelas rectas x = a, x = b, pelo gr´afico de f1 +k e pelo gr´afico de f2 +k (trata-se de uma transla¸ca˜o da figura anterior). Mas a figura plana limitada pelas rectas x = a, x = b, pelo eixo dos xx e pelo gr´afico de f1 + k cont´em a figura plana limitada pelas rectas x = a, x = b, pelo eixo dos xx e pelo gr´afico de Rf2 + k. ARa´rea pretendida R b ´e, pois, a diferen¸ca b b entre as a´reas destas duas figuras, isto ´e, a f1 (x) − a f2 (x) dx = a (f1 (x) − f2 (x)) dx.

EXEMPLO: A a´rea da figura plana limitada R 1 pelas rectas x = 0, x = 1, pelo gr´afico de f (x) = ex e pelo gr´afico de cos(x) ´e dada por 0 (ex −cos(x)) dx = e1 −sen(1)−e0 +sen(0) = e − sen(1) − 1. 5o CASO

Se f1 e f2 s˜ao integr´aveis em [a, b], a a´rea da figura plana limitada pelas rectas x = a, Rb x = b, pelo gr´afico de f1 e pelo gr´afico de f2 (figura 5.7) ´e dada por a |f1 (x) − f2 (x)| dx. Raciocinamos de modo idˆentico ao do 3o caso. Se f1 − f2 muda de sinal em [a, b] (figura 5.8), consideramos os subintervalos em que f1 ≥ f2 (nestes subintervalos a a´rea ´e dada pelo integral de f1 − f2 , isto ´e de |f1 − f2 |) e os subintervalos em que f1 < f2 (nestes

´ 5.4 Areas de figuras planas

111

Figura 5.8

subintervalos a a´rea ´e dada pelo integral de f2 − f1 , isto ´e de |f2 − f1 |); a a´rea total, que Rb ´e a soma de todas estas a´reas ´e, pois, dada por a |f1 (x) − f2 (x)| dx (Proposi¸ca˜o 11).

EXEMPLO: A a´rea da figura plana limitada pelas rectas x = 0, x = π, pelo gr´afico Rπ R π/4 de cos(x) e pelo gr´ a fico de sen(x) ´ e dada por: |sen(x) − cos(x)| dx = (cos(x) − 0 0 Rπ sen(x)) dx + π/4 (sen(x) − cos(x)) dx = sen(π/4) + cos(π/4) − sen(0) − cos(0) − cos(π) − √ √ √ √ √ sen(π) + cos(π/4) + sen(π/4) = 2/2 + 2/2 − 0 − 1 − (−1) − 0 + 2/2 + 2/2 = 2 2. 6o CASO

Figura 5.9

Se f1 e f2 s˜ao integr´aveis, a a´rea da figura plana limitada pelos gr´aficos de f1 e f2 (figura 5.9) ´e calculada do seguinte modo: em primeiro lugar calculamos os pontos de intersec¸ca˜o dos gr´aficos; consideramos as abcissas destes pontos, isto ´e, os y ∈ R tais que f (y) = f2 (y); sejam a o menor dos y e b o maior; a a´rea pretendida ´e dada por Rb 1 |f1 (x) − f2 (x)| dx (trata-se do 5o caso, porque as rectas x = a e x = b tˆem, cada uma, a um ponto comum com a figura). Note-se que a existˆencia de a e b ´e garantida pelo facto de a figura ser limitada.

112

5. Fun¸ co ˜es Reais de Vari´ avel Real: C´ alculo Integral

EXEMPLO: A a´rea da figuraR plana limitada pelos gr´aficos das fun¸co˜es x2 e 2 − x2 ´e dada R1 1 por −1 ((2 − x2 ) − x2 ) dx = −1 (2 − 2x2 ) dx = 2 · 1 − 2 · 1/3 − (2 · (−1) − 2 · (−1)/3) = 4 − 4/3 = 8/3.

5.5 Integrais impr´ oprios

5.5

113

Integrais impr´ oprios

Na defini¸ca˜o de integral de Riemann de uma fun¸ca˜o f num intervalo I, exige-se que o intervalo seja fechado limitado e que f seja limitada nesse intervalo. Vamos estudar generaliza¸co˜es da no¸ca˜o de integral quando n˜ao se verifica alguma destas condi¸co˜es. Para motivar a via que adopt´amos nesta generaliza¸ca˜o do conceito de integral, suponhamos que, sendo a, b ∈ R e a < b, a fun¸ca˜o f ´e integr´avel em qualquer intervalo [a, x] com x ∈ [a, b[. Nestas condi¸co˜es, se a fun¸ca˜o f for limitada em [a, b], ser´a integr´avel em [a, b] e tem-se Z x Z b f (t) dt, f (t) dt = lim− x→b

a

a

devido a` continuidade do integral indefinido. Pode, no entanto, acontecer que, n˜ao sendo f limitada em [a, b], o integral indefinido Z x f (t) dt a

tenha limite finito quando x → b− . Ent˜ao podemos fazer por defini¸ca˜o Z b Z x f (t) dt = lim− f (t) dt. x→b

a

a

De modo an´alogo, se g for uma fun¸ca˜o integr´avel no intervalo [a, x], ∀x > a, e se o integral indefinido Z x g(t) dt a

tem limite finito quando x → +∞, poderemos escrever Z +∞ Z x g(t) dt = lim g(t) dt. x→+∞

a

a

ecie: defini¸c˜ ao e crit´ erios de A. Integrais impr´ oprios de 1a esp´ convergˆ encia Defini¸c˜ ao 5.5.1 Sejam a ∈ R e f uma fun¸ca˜o definida no intervalo [a, +∞[. Suponhamos que f ´e integr´avel em qualquer intervalo [a, x] com x > a. Seja, para cada x > a, Z x f (t) dt. F (x) = a

Chama-se integral impr´ oprio de 1a esp´ ecie de f em [a, +∞[ a Z x lim f (t) dt x→+∞

a

114

5. Fun¸ co ˜es Reais de Vari´ avel Real: C´ alculo Integral

e designa-se por

Z

+∞

f (t) dt. a

a) Se F (x) tem limite finito quando x → +∞, diz-se que f Z´e integr´avel (em sentido +∞ f (t) dt existe, tem impr´oprio) no intervalo [a, +∞[ ou que o integral impr´oprio a

sentido ou ´e convergente. b) Se F (x) n˜ao tem limite ou tem limite infinito quando xZ→ +∞, diz-se que f n˜ao +∞ ´e integr´avel no intervalo [a, +∞[ ou que o integral impr´oprio f (t) dt n˜ao existe ou a

´e divergente.

EXEMPLO 1: Consideremos o integral lim

x→+∞

e este limite n˜ao existe.

Z

x 0

Z

cos(x) dx. Este integral ´e divergente porque: 0

x→+∞

Z

+∞

+∞

f (t) dt = lim [ sen(t) ]x0 = lim sen(x)

EXEMPLO 2: Consideremos o integral Como

Z

Z

+∞ 1

x→+∞

1 ´ um integral impr´oprio de 1a esp´ecie. dx. E x

x

1 1 dx = lim dt = lim [ log(t) ]x1 = lim log(x) = +∞ x→+∞ x→+∞ x→+∞ x 1 1 t o integral impr´oprio ´e divergente. Z +∞ e−x dx ´e um integral impr´oprio de 1a esp´ecie convergente: EXEMPLO 3: O integral 0

Z

+∞

e

−x

dx = lim

x→+∞

0

Nota: Se o integral

Z

Z

x

e−t dt = lim 0

x→+∞

+∞

£

−e−t

¤x 0

= lim (−e−x + 1) = 1. x→+∞

f (x) dx ´e convergente ent˜ao a

a) o limite de f quando x → +∞, se existir, ´e igual a zero; b) qualquer que seja h > 0, o integral de f no intervalo [x, x + h] (ou o valor m´edio de f no mesmo intervalo), tende para zero quando x → +∞. Z +∞ Z +∞ Teorema 5.5.1 Se f e g s˜ao tais que os integrais f (t) dt e g(t) dt s˜ao cona a Z +∞ vergentes e se α, β ∈ R, ent˜ao o integral (α f + β g)(t) dt ´e convergente e a

Z

+∞

(α f + β g)(t) dt = α a

Z

+∞

f (t) dt + β a

Z

+∞

g(t) dt. a

5.5 Integrais impr´ oprios

115

Teorema 5.5.2 Se o integral Z +∞ f (t) dt ´e convergente e

Z

+∞

f (t) dt ´e convergente e se b > a ent˜ao o integral a

b

Z

+∞

f (t) dt = a

Z

b

f (t) dt + a

Z

+∞

f (t) dt. b

Nem sempre nos interessa saber o valor do integral impr´oprio e outras vezes n˜ao ´e poss´ıvel calcul´a-lo porque a fun¸ca˜o n˜ao ´e elementarmente primitiv´avel (considere-se, por Z +∞

2

e−x dx). Precisamos ent˜ao de crit´erios que nos permitam saber

exemplo, o integral

0

se um determinado integral impr´oprio ´e ou n˜ao convergente. Esses crit´erios chamam-se crit´ erios de convergˆ encia. Z +∞ a Teorema 5.5.3 O integral impr´oprio de 1 esp´ecie f (t) dt, com f (t) ≥ 0, ∀t ≥ a, a

´e convergente se, e s´o se, existe uma constante M tal que Z x f (t) dt ≤ M, ∀x > a. a

O valor do integral impr´oprio n˜ao excede M . Z x f (t) dt. Como f (t) ≥ 0 ∀t ≥ a, F (x) ≥ 0, ∀x ≥ a. Por Demonstra¸ca˜o: Seja F (x) = a Z +∞ defini¸ca˜o, o integral f (t) dt ´e convergente se existir e for finito o limite lim F (x). x→+∞

a

A fun¸ca˜o F ´e crescente, pois se a ≤ x ≤ y vem Z Z x Z y f (t) dt = f (t) dt − F (y) − F (x) = a

a

y x

f (t) dt ≥ 0

porque f (t) ≥ 0 ∀t ≥ a. Suponhamos que F ´e limitada superiormente, isto ´e, existe uma constante M tal que F (x) ≤ M , ∀x ≥ a. Como F ´e crescente, existe e ´e finito o limite lim F (x) 1 . Al´em x→+∞

disso, lim F (x) ≤ M . x→+∞

Se F n˜ao ´e limitada superiormente ent˜ao para cada M existe sempreZum x tal que +∞ f (t) dt ´e F (x) > M . Como F ´e crescente lim F (x) = +∞, o que significa que x→+∞

a

divergente.

Toda a fun¸ca˜o real f limitada e mon´otona numa parte n˜ao majorada X de R tem limite quando x → +∞ e lim f (x) = sup f (x) ou lim f (x) = inf f (x) conforme f ´e crescente ou decrescente. 1

x→+∞

x∈X

x→+∞

x∈X

116

5. Fun¸ co ˜es Reais de Vari´ avel Real: C´ alculo Integral

Teorema 5.5.4 Sejam

Z

+∞

f (x) dx e a

Z

+∞

g(x) dx dois integrais impr´oprios de 1a b

esp´ecie com fun¸co˜es integrandas n˜ao negativas e suponhamos que existe c ∈ R tal que f (x) ≤ g(x), ∀x > c. Z +∞ Z +∞ f (x) dx ´e convergente. g(x) dx ´e convergente ent˜ao a) Se a

b

b) Se

Z

+∞

f (x) dx ´e divergente ent˜ao a

Z

+∞

g(x) dx ´e divergente. b

Demonstra¸ca˜o: Seja d = max {a, b, c}. Consideremos os integrais Z

Z

+∞

f (x) dx

e

d

+∞

g(x) dx. d

Sendo x > d temos 0≤ Se o integral

Z

Z

x

f (t) dt ≤

d

Z

x

g(t) dt.

(5.4)

d

+∞

g(t) dt ´e convergente, pelo Teorema 5.5.3 existe M1 tal que d

Z Mas por (5.4),

Z

x d

f (t) dt ≤

Z

x d

g(t) dt ≤ M1 , ∀x > d.

x d

g(t) dt, ∀x > d, pelo que

Z

+∞

f (t) dt ´e convergente, d

usando,Z novamente o Teorema 5.5.3. Z x +∞ f (t) dt n˜ao ´e limitada, o f (t) dt ´e divergente ent˜ao, pelo Teorema 5.5.3, Se d d Z +∞ Z x g(x) dx g(t) dt tamb´em n˜ao ´e limitada e, portanto, que implica, por (5.4), que d

d

´e divergente.

Corol´ ario 1 Sejam

Z

+∞

f (x) dx e a

Z

+∞

g(x) dx dois integrais impr´oprios de 1a esp´ecie b

com fun¸co˜es integrandas n˜ao negativas e suponhamos que existem c, k ∈ R tais que f (x) ≤ k g(x), ∀x > c. Z +∞ Z +∞ a) Se g(x) dx ´e convergente ent˜ao f (x) dx ´e convergente. b

b) Se

Z

a

+∞

f (x) dx ´e divergente ent˜ao a

Z

+∞

g(x) dx ´e divergente. b

5.5 Integrais impr´ oprios

117

Demonstra¸ca˜o: Basta notar que Z x Z lim k g(t) dt = lim k x→+∞

pelo que

Z

x→+∞

c

x

g(t) dt = k lim

x→+∞

c

+∞

k g(x) dx ´e convergente se, e s´o se, c

aplicando o Teorema. Z

Z

Z

x

g(t) dt c

+∞

g(x) dx ´e convergente; termina-se c

+∞

1 ´ um integral impr´oprio de 1a dx. E 3 1+x 0 esp´ecie e a fun¸ca˜o integranda ´e positiva no intervalo [0, +∞[. Como EXEMPLO 1: Consideremos o integral

(1 + x)3 ≥ 1 + x3 , ∀x ≥ 0 ⇒ 1 + x ≥

√ 3

√ 3

1 + x3 , ∀x ≥ 0 ⇒ 0 <

1 1 , ∀x ≥ 0 ≤ √ 3 1+x 1 + x3

e Z

Z x 1 1 dx = lim dt = lim [ log(1 + t) ]x0 = lim log(1 + x) = +∞, x→+∞ x→+∞ x→+∞ 1 + x 1 + t 0 0 Z +∞ 1 dx ´e divergente, conclu´ımos, pelo Teorema 5.5.4, que o isto ´e, o integral 1+x 0 integral em estudo ´e divergente. +∞

Como se pode ver pelo exemplo anterior, ´e u ´til conhecer a natureza de alguns integrais impr´oprios de modo a facilitar o uso dos crit´erios de convergˆencia. Um exemplo de tais integrais ´e o seguinte: EXEMPLO 2: Estudemos o integral impr´oprio de 1a esp´ecie Z +∞ 1 dx xα a sendo a > 0 e α ∈ R. Se α = 1

e se α 6= 1 tendo-se

Z Z

x a

x a

1 dt = [ log(t) ]xa = log(x) − log(a) t

1 dt = tα

lim

x→+∞

Z

x a

·

t−α+1 −α + 1

¸x

=

a

    +∞,

x−α+1 a−α+1 − −α + 1 −α + 1

se α ≤ 1 1 dt =  tα a−α+1   − , se α > 1 −α + 1

118

5. Fun¸ co ˜es Reais de Vari´ avel Real: C´ alculo Integral

Ent˜ao o integral converge se, e s´o se, α > 1. Z +∞ 1 ´ um integral impr´oprio de 1a √ dx. E EXEMPLO 3: Consideremos o integral 3 1 + x 0 esp´ecie e a fun¸ca˜o integranda ´e positiva no intervalo [0, +∞[. Como 1 + x3 > x3 , ∀x > 0 ⇒ Z

√

1 + x3 >

√

x3 , ∀x > 0 ⇒ 0 < √

1 1 < √ , ∀x > 0 3 1+x x3

+∞

1 √ dx ´e convergente, podemos concluir, pelo Teorema 5.5.4, que o integral em x3 1 estudo ´e convergente.

e

Teorema 5.5.5 Sejam

Z

+∞

f (x) dx e a

Z

+∞

g(x) dx dois integrais impr´oprios de 1a b

esp´ecie com fun¸co˜es integrandas positivas e suponhamos que o limite f (x) x→+∞ g(x) lim

existe finito e diferente de zero. Ent˜ao os integrais s˜ao da mesma natureza, isto ´e, s˜ao ambos convergentes ou ambos divergentes. f (x) = L, L ∈ R+ . Por defini¸ca˜o, x→+∞ g(x)

Demonstra¸ca˜o: Seja lim

Seja δ =

¯ ¯ ¯ f (x) ¯ ¯ ∀δ > 0 ∃M > 0, x ≥ M ⇒ ¯ − L¯¯ < δ. g(x)

L . Ent˜ao existe M > 0 tal que 2 ¯ ¯ ¯ f (x) ¯ L ¯ ¯ < , ∀x ≥ M, − L ¯ g(x) ¯ 2

ou seja, ∀x ≥ M ,

L f (x) L < −L< 2 g(x) 2 L f (x) 3L ⇔ < < 2 g(x) 2 L 3L ⇔ g(x) < f (x) < g(x). 2 2 −

Pelo Teorema 5.5.1 e pelo Corol´ario do Teorema 5.5.4 temos o resultado pretendido.

5.5 Integrais impr´ oprios

Teorema 5.5.6 Sejam

Z

119

+∞

f (x) dx e a

Z

+∞

g(x) dx dois integrais impr´oprios de 1a b

esp´ecie com fun¸co˜es integrandas positivas. Se lim

x→+∞

f (x) = 0, g(x)

ent˜ao a) se b) se

Z

Z

+∞

g(x) dx ´e convergente, b +∞

f (x) dx ´e divergente, a

Se

Z

Z

+∞

f (x) dx ´e convergente. a

+∞

g(x) dx ´e divergente. b

f (x) = +∞, x→+∞ g(x) lim

ent˜ao a) se b) se

Z

Z

+∞

g(x) dx ´e divergente, b

Z

+∞

f (x) dx ´e convergente, a

+∞

f (x) dx ´e divergente. a

Z

+∞

g(x) dx ´e convergente. b

Demonstra¸ca˜o: ¯ ¯ ¯ f (x) ¯ f (x) ¯ < δ. lim = 0 ⇔ ∀δ > 0 ∃M > 0 x ≥ M ⇒ ¯¯ x→+∞ g(x) g(x) ¯

Mas como as fun¸co˜es s˜ao ambas positivas, ¯ ¯ ¯ f (x) ¯ f (x) ¯ ¯ ¯ g(x) ¯ < δ ⇔ g(x) < δ ⇔ f (x) < δg(x).

O resultado ´e consequˆencia do Corol´ario do Teorema 5.5.4. Z +∞ x+1 dx ´e um integral impr´oprio de 1a esp´ecie EXEMPLO 1: O integral 4 3x − x + 2 1 Z +∞ 1 4 (note-se que 3x − x + 2 > 0, ∀x ≥ 1). Como dx ´e convergente e x3 1 lim

x→+∞

x+1 x4 + x 3 1 − x + 2 = lim = , 1 x→+∞ 3x4 − x + 2 3 x3

3x4

pelo Teorema 5.5.5 podemos concluir que o integral dado ´e convergente.

120

5. Fun¸ co ˜es Reais de Vari´ avel Real: C´ alculo Integral

EXEMPLO 2: Consideremos os integrais

Z

+∞ α −x

x e 1

dx, α ∈ R, e

integrais impr´oprios de 1a esp´ecie sendo o segundo convergente. Como

Z

+∞ 1

1 dx. S˜ao x2

xα+2 xα e−x = 0, ∀α ∈ R, = lim 1 x→+∞ ex x→+∞ x2 lim

Z

+∞

xα e−x dx ´e convergente. 1 Z +∞ 2 e−x dx ´e um integral impr´oprio de 1a esp´ecie. Como EXEMPLO 3: O integral

o integral

0

1 Z +∞ x2 1 x2 e = lim x2 = 0 e lim dx ´e convergente, podemos concluir que o integral x→+∞ e x→+∞ 1 x2 1 x2 em estudo ´e convergente. Z

+∞

|f (x)| dx ´e convergente ent˜ao o mesmo acontece ao Teorema 5.5.7 Se o integral a Z +∞ integral f (x) dx e verifica-se a desigualdade: a

¯Z ¯ ¯ ¯

+∞ a

¯ Z ¯ f (x) dx¯¯ ≤

+∞ a

|f (x)| dx.

Demonstra¸ca˜o: 0 ≤ |f (x)| − f (x) ≤ 2|f (x)|, ∀x ≥ a. Seja g(x) = |f (x)| − f (x). Visto que Z +∞ Z +∞ o integral |f (x)| dx ´e convergente, o mesmo acontece ao integral 2 |f (x)| dx e, a a Z +∞ Z +∞ (|f (x)| − f (x)) dx. g(x) dx = pelo Teorema 5.5.4, tamb´em converge o integral a Z +∞ a f (x) dx ´e convergente (Teorema 5.5.1). Como f (x) = |f (x)| − g(x) o integral a

Da desigualdade −|f (x)| ≤ f (x) ≤ |f (x)|, ∀x, deduzimos −

ou seja,

Z

+∞ a

|f (x)| dx ≤ ¯Z ¯ ¯ ¯

+∞ a

Z

+∞ a

f (x) dx ≤

¯ Z ¯ f (x) dx¯¯ ≤

Z

+∞ a

+∞ a

|f (x)| dx.

|f (x)| dx,

5.5 Integrais impr´ oprios

121

Z

+∞

f (x) dx ´e absolutamente convergente se Defini¸c˜ ao 5.5.2 Diz-se que o integral a Z +∞ Z +∞ f (x) dx ´e simples|f (x)| dx ´e convergente. Diz-se que o integral o integral a a Z +∞ mente convergente se for convergente e |f (x)| dx divergente. a

EXEMPLO: A fun¸ca˜o integranda no integral impr´oprio de 1a esp´ecie Z +∞ sen(x) dx x2 1

n˜ao ´e sempre positiva. Mas

e o integral

Z

+∞ 1

¯ ¯ ¯ sen(x) ¯ 1 ¯ ¯ ¯ x2 ¯ ≤ x2 , ∀x ≥ 1

1 dx ´e convergente. Pelo Teorema 5.5.4 o integral x2 ¯ Z +∞ ¯ ¯ sen(x) ¯ ¯ ¯ ¯ x2 ¯ dx 1

´e convergente. Pelo Teorema 5.5.7 o integral em estudo ´e convergente e diz-se absolutamente convergente. Defini¸c˜ ao 5.5.3 Sejam a ∈ R e f uma fun¸ca˜o definida no intervalo I =] − ∞, a]. Suponhamos que f ´e integr´avel em qualquer intervalo [x, a] com x < a. Seja Z a G(x) = f (t) dt. x

a) Se G(x) tem limite finito quando x → −∞, diz-se Z a que f ´e integr´avel (em sentido impr´oprio) no intervalo I ou que o integral impr´oprio f (t) dt existe, tem sentido ou −∞

´e convergente. b) Se G(x) n˜ao tem limite ou tem limite infinito quando Z ax → −∞, diz-se que f f (t) dt n˜ao existe ou ´e n˜ao ´e integr´avel no intervalo I ou que o integral impr´oprio −∞

divergente. ecie. A estes integrais tamb´em se d´a o nome de integrais impr´ oprios de 1a esp´ ´ o´bvio que o estudo dos integrais impr´oprios com intervalo de integra¸ca˜o ] − ∞, a] E ´e idˆentico ao dos integrais sobre intervalos do tipo [a, +∞[. De resto, qualquer integral Z +∞

f (x) dx

daquela forma pode reduzir-se a um desta u ´ltima: basta efectuar no integral a substitui¸ca˜o x = −t para se concluir que os integrais Z +∞ Z a f (−x) dx f (x) dx e −∞

−a

a

s˜ao ambos convergentes ou ambos divergentes e, na primeira hip´otese, s˜ao iguais.

122

5. Fun¸ co ˜es Reais de Vari´ avel Real: C´ alculo Integral

Defini¸c˜ ao 5.5.4 Seja f : R → R uma fun¸ca˜o integr´avel em qualquer intervalo limitado. Diz-se que o integral de f em R ´e convergente se existe a ∈ R tal que os dois integrais Z +∞ Z a f (x) dx f (x) dx e a

−∞

s˜ao convergentes. ´ evidente que em tal hip´otese tamb´em convergem os integrais E Z

Z

b

f (x) dx e

+∞

f (x) dx

b

−∞

qualquer que seja b ∈ R e verificar-se-˜ao as igualdades: Z

b

f (x) dx +

Z−∞ a

=

Z−∞ a

=

f (x) dx + f (x) dx +

−∞

Z

+∞

f (x) dx

Zb b Z

a

f (x) dx +

+∞

Z

a

f (x) dx + b

Z

+∞

f (x) dx a

f (x) dx a

Este facto legitima que, em caso de convergˆencia, o integral seja definido pela express˜ao: Z +∞ Z a Z +∞ f (x) dx f (x) dx + f (x) dx = a

−∞

−∞

com a ∈ R arbitr´ario. A este integral tamb´em se chama integral impr´ oprio de 1 a esp´ ecie. Z +∞ Z 0 Z +∞ −ax −ax EXEMPLO 1: Sendo a > 0, e dx = e dx + e−ax dx. Como −∞

lim

x→+∞

e lim

x→−∞

Z

Z

−∞

x

e

−at

dt = lim

0

x→+∞

0

e

−at

dt = lim

x→−∞

x

·

·

1 − e−at a

1 − e−at a

¸x

= lim

x→+∞

0

¸0

x

0

= lim

x→−∞

µ

µ

1 1 − e−ax + a a

1 1 − + e−ax a a

¶

¶

=

1 a

= +∞

o integral dado ´e divergente. EXEMPLO 2: Seja a > 0. Z Z 0 Z +∞ −a|x| −a|x| e dx + e dx = −∞

−∞

+∞

e 0

−a|x|

dx =

Z

0

e −∞

ax

dx +

Z

+∞

e−ax dx 0

5.5 Integrais impr´ oprios

Como Z lim

x→+∞

x

e

−at

0

123

1 e dt = a

lim

x→−∞

Z

0 at

e dt = lim x

o integral considerado ´e convergente e Z +∞ −∞

x→−∞

e−a|x| dx =

·

1 at e a

¸0

= lim

x

x→−∞

µ

1 1 ax − e a a

¶

=

1 a

2 . a

Z

−2 1 √ EXEMPLO 3: dx ´e um integral impr´oprio de 1a esp´ecie. Consideremos o 2−1 x Z −2 µ −∞¶ 1 integral − dx, que sabemos ser divergente. Como x −∞

lim

√

x→−∞

1 −x −1 = lim √ =1 1 x→−∞ x2 − 1 − x

x2

o integral dado tamb´em ´e divergente. EXEMPLO 4: Consideremos o integral impr´oprio de 1a esp´ecie Z +∞ x−1 dx. 4 2 −∞ 2x + 5x + 3 Como o integral se pode escrever ¶ Z +∞ Z 1 µ x−1 x−1 dx, − 4 dx + − 2x + 5x2 + 3 2x4 + 5x2 + 3 1 −∞ a temos dois integrais µ ¶impr´oprios de 1 esp´ecie com fun¸co˜es integrandas n˜ao negativas. O Z −1 1 − 3 dx ´e convergente e integral x −∞

lim

−

2x4

x→−∞

Z

1

x−1 1 x4 − x 3 + 5x2 + 3 = lim = , 4 2 1 x→−∞ 2x + 5x + 3 2 − 3 x

x−1 dx ´e convergente. + 5x2 + 3 −∞ Z +∞ x−1 De modo an´alogo se conclui que o integral dx ´e convergente. Da 4 2x + 5x2 + 3 1 convergˆencia dos dois integrais conclui-se a convergˆencia do integral dado. portanto, o integral

2x4

124

5. Fun¸ co ˜es Reais de Vari´ avel Real: C´ alculo Integral

Z

0

x dx. A fun¸ca˜o integranda ´e sen2 (x) −∞ 1 + negativa ou nula no intervalo de integra¸ca˜o, tendo-se 1 + x2 sen(x) 6= 0, ∀x ∈ ] − ∞, 0].

EXEMPLO 5: Consideremos o integral

x2

0 ≤ sen2 (x) ≤ 1 ⇔ 0 ≤ x2 sen2 (x) ≤ x2 ⇔ 1 ≤ 1 + x2 sen2 (x) ≤ 1 + x2 1 1 ⇔1≥ ≥ 2 2 1 + x sen (x) 1 + x2 −x −x ⇔ −x ≥ ≥ 2 2 1 + x sen (x) 1 + x2 Estudemos o integral divergente e

Z

0 −∞

−x dx. Este integral ´e divergente porque 1 + x2

Z

−1 −∞

−1 dx ´e x

−x 2 x2 lim 1 + x = lim =1 −1 x→−∞ x→−∞ 1 + x2 x Dada a u ´ltima desigualdade podemos concluir que o integral em estudo ´e divergente. Z +∞ Nota: Seja f integr´avel em qualquer intervalo limitado. Diz-se que f (x) dx ´e −∞

convergente em valor principal se existe (em R) o limite quando x → +∞ da fun¸ca˜o Z x F(x) = f (t) dt. −x

´ a este limite, se existir, que se chama valor principal de Cauchy do integral E Z +∞ Z +∞ f (x) dx, e que se designa por vp f (x) dx. −∞

−∞

Se o integral for convergente teremos Z +∞ Z 0 Z +∞ f (x) dx = f (x) dx + f (x) dx −∞ Z −∞ 0 Z 0 x = lim f (t) dt + lim f (t) dt x→−∞ −x x→+∞ 0 Z x f (t) dt = lim x→+∞ −x Z +∞ = vp f (x) dx. −∞

Portanto, se o integral converge ent˜ao ´e convergente em valor principal, sendo este valor igual ao integral. Mas a existˆencia do valor principal de Cauchy n˜ao implica que o

5.5 Integrais impr´ oprios

125

integral seja convergente. Por exemplo: vp

e o integral

Z

+∞ −∞

Z

+∞ −∞

1 + x3 dx = π 1 + x2

1 + x3 dx ´e divergente. 1 + x2

B. Integrais impr´ oprios de 2a esp´ ecie: defini¸c˜ ao e crit´ erios de convergˆ encia Defini¸c˜ ao 5.5.5 Suponhamos que a fun¸ca˜o f ´e integr´avel em qualquer intervalo [a, b−ε], ε > 0, mas Z n˜ao ´e integr´avel em [a, b]. Fica assim definida uma fun¸ca˜o F : [a, b[→ R, x

F (x) =

f (t) dt. Z b ecie. Se existir Ao integral f (x) dx chama-se integral impr´ oprio de 2a esp´ a

a

finito o limite

lim

x→b−

Z

x

f (t) dt a

diz-se que o integral impr´oprio ´e convergente e escreve-se Z

b a

f (x) dx = lim− x→b

Z

x

f (t) dt. a

Se o limite n˜ao existir ou n˜ao for finito diz-se que o integral impr´oprio de 2 a esp´ecie ´e divergente. Tal como no caso dos integrais impr´oprios de 1a esp´ecie, ´e u ´til o conhecimento da natureza de alguns integrais, como por exemplo: Z

b

1 dx, α ∈ R. Se α ≤ 0 trata-se de um integral de Riemann, mas α a (b − x) se α > 0 a fun¸ca˜o integranda tem limite infinito quando x tende para b e o integral s´o ter´a sentido se existir e for finito o limite Z x 1 dt. lim− α x→b a (b − t) EXEMPLO:

Se α = 1

Z

x a

1 dt = [ − log(b − t) ]xa = − log(b − x) + log(b − a) b−t

126

5. Fun¸ co ˜es Reais de Vari´ avel Real: C´ alculo Integral

e se α 6= 1 Z

x a

1 dt = (b − t)α

tendo-se lim

x→b−

Z

x a

·

¸x

(b − t)−α+1 − −α + 1

a

=−

(b − x)−α+1 (b − a)−α+1 + −α + 1 −α + 1

   +∞, se α ≥ 1 1 dx = −α+1  (b − t)α  (b − a) , se α < 1 −α + 1

Ent˜ao o integral converge se, e s´o se, α < 1.

Defini¸c˜ ao 5.5.6 Suponhamos que a fun¸ca˜o f ´e integr´avel em qualquer intervalo [a+ε, b], ε > 0, mas n˜ao ´e integr´avel em [a, b]. Fica assim definida uma fun¸ca˜o F : ]a, b] → R, Z b F (x) = f (t) dt. x Z b f (x) dx chama-se integral impr´ oprio de 2a esp´ ecie. Se existir Ao integral a

finito o limite

lim

x→a+

Z

b

f (t) dt x

diz-se que o integral impr´oprio ´e convergente e escreve-se Z

b a

f (x) dx = lim+ x→a

Z

b

f (t) dt. x

Se o limite n˜ao existir ou n˜ao for finito diz-se que o integral impr´oprio de 2 a esp´ecie ´e divergente. Z

b

1 dx, α ∈ R, ´e um integral impr´oprio de 2a esp´ecie se, α (x − a) a e s´o se, α > 0. Se α ≤ 0 trata-se de um integral de Riemann. O integral s´o ter´a sentido se existir e for finito o limite Z b 1 dt. lim+ α x→a x (t − a) EXEMPLO: O integral

Se α = 1

Z

e se α 6= 1 Z

b x

b x

1 dt = [ log(t − a) ]bx = log(b − a) − log(x − a) t−a

1 dt = (t − a)α

·

(t − a)−α+1 −α + 1

¸b

x

=

(b − a)−α+1 (x − a)−α+1 − −α + 1 −α + 1

5.5 Integrais impr´ oprios

127

tendo-se

   +∞, x se α ≥ 1 1 dx = lim+ −α+1 α  x→a a (t − a)  (b − a) , se α < 1 −α + 1 Ent˜ao o integral converge se, e s´o se, α < 1. Z

Defini¸c˜ ao 5.5.7 Suponhamos que a fun¸ca˜o f ´e integr´avel em qualquer intervalo [a + ε1 , b − ε2 ], ε1 , ε2 > 0, mas n˜ao ´e integr´avel em [a, b − ε2 ] nem em [a + ε1 , b]. Define-se Z

b

f (x) dx = a

Z

c

f (x) dx + a

Z

b

f (x) dx,

a < c < b.

c

ecie. O integral do primeiro Este integral ´e tamb´em um integral impr´ oprio de 2a esp´ membro ´e convergente se, e s´o se, os dois integrais do segundo membro forem convergentes. Se algum dos integrais do segundo membro for divergente, ent˜ao o integral do primeiro membro ´e divergente. Z

1

x dx ´e um integral impr´oprio 1 − x2 −1 limites de integra¸ca˜o. Temos de estudar os dois integrais Z 0 Z 1 x x √ √ dx e dx. 3 3 2 1−x 1 − x2 −1 0 ¸0 · µ Z 0 t 3 3 2 32 √ lim + dt = lim + − (1 − t ) = lim + − + 3 2 x→−1 x→−1 x→−1 4 4 1−t x x EXEMPLO: O integral

√ 3

de 2a esp´ecie nos dois

2 3 (1 − x2 ) 3 4

¶

=−

3 4

¸x µ ¶ · t 3 3 3 3 2 32 2 23 √ lim− = = lim− − (1 − x ) + dt = lim− − (1 − t ) 3 2 x→1 x→1 x→1 4 4 4 4 1−t 0 0 Z 1 x √ Portanto, o integral dado ´e convergente e dx = 0. 3 1 − x2 −1 Z

x

Defini¸c˜ ao 5.5.8 Se c ´e um ponto interior do intervalo [a, b] e f ´e uma fun¸ca˜o integr´avel em qualquer intervalo [a, c − ε1 ], ε1 > 0, e [c + ε2 , b], ε2 > 0, mas n˜ao ´e integr´avel em ecie [a, b], define-se o integral impr´ oprio de 2a esp´ Z

b

f (x) dx = a

Z

c

f (x) dx + a

Z

b

f (x) dx. c

O integral do primeiro membro ´e convergente se, e s´o se, os dois integrais do segundo membro forem convergentes. Se algum dos integrais do segundo membro for divergente, ent˜ao o integral do primeiro membro ´e divergente.

128

5. Fun¸ co ˜es Reais de Vari´ avel Real: C´ alculo Integral

Z

EXEMPLO: O integral

1 −1

1 √ dx ´e um integral impr´oprio de 2a esp´ecie porque 3 x2

1 = +∞. Temos de estudar os dois integrais lim √ 3 x→0 x2 Z lim

x→0−

Z

−1

1 √ dx 3 x2

e

Z

1 0

1 √ dx. 3 x2

h √ ix ¡ √ ¢ 1 3 3 √ 3 = lim dt = lim 3 t x + 3 =3 3 2 x→0− x→0− −1 t

x −1

Z

0

h √ i1 ¢ ¡ √ 1 3 3 √ dt = lim 3 t x =3 3 − 3 = lim 3 2 x→0+ x→0 x→0+ x t x Z 1 1 √ dx = 6. Portanto, o integral dado ´e convergente e 3 x2 −1 Para os integrais impr´oprios de 2a esp´ecie, os crit´erios de convergˆencia s˜ao idˆenticos aos obtidos para os integrais impr´oprios de 1a esp´ecie. As demonstra¸co˜es podem ser efectuadas de maneira semelhante, com adapta¸co˜es evidentes, pelo que as omitimos. lim+

1

Teorema 5.5.8 O integral impr´oprio de 2a esp´ecie no limite superior (inferior, respecZ b f (t) dt, com b > a e f (t) ≥ 0, ∀t ∈ ]a, b[, ´e convergente se, e s´o se, existe tivamente) a

uma constante M tal que

Z (

Z

x a

f (t) dt ≤ M, ∀a ≤ x < b

b x

Teorema 5.5.9 Sejam

f (t) dt ≤ M, ∀a < x ≤ b, respectivamente). Z

b

f (x) dx e a

Z

b

g(x) dx dois integrais impr´oprios de 2a esp´ecie a

(no mesmo limite de integra¸ca˜o) com fun¸co˜es integrandas n˜ao negativas e suponhamos que f (x) ≤ g(x), ∀a ≤ x < b (ou, ∀a < x ≤ b). a) Se

b) Se

Z Z

b

g(x) dx ´e convergente ent˜ao a b

f (x) dx ´e divergente ent˜ao a

Z

Z

b

f (x) dx ´e convergente. a

b

g(x) dx ´e divergente. a

5.5 Integrais impr´ oprios

Z

Teorema 5.5.10 Sejam

129

Z

b

f (x) dx e a

b

g(x) dx dois integrais impr´oprios de 2a esp´ecie a

(no mesmo limite de integra¸ca˜o) com fun¸co˜es integrandas positivas e suponhamos que o limite µ ¶ f (x) f (x) lim ou, lim+ x→b− g(x) x→a g(x) ´e finito e diferente de zero. Ent˜ao os integrais s˜ao da mesma natureza, isto ´e, s˜ao ambos convergentes ou ambos divergentes. EXEMPLO 1: O integral

Z

1 1 2

√

1 dx 1 − x4

´e impr´oprio de 2a esp´ecie, porque para x = 1 a fun¸ca˜o integranda se torna infinita. Consideremos o integral impr´oprio de 2a esp´ecie convergente Z 1 1 1 dx. 1 (1 − x) 2 2 Tendo em conta que 1 1 (1 − x) 2 1 1 1 − x4 = lim− lim− 1 1 1 1 = lim 1 = 1 x→1 (1 − x) 2 (1 + x) 2 (1 + x2 ) 2 x→1 x→1− (1 + x) 2 (1 + x2 ) 2 2 1 (1 − x) 2 √

podemos concluir que os dois integrais tˆem a mesma natureza, ou seja, o integral dado ´e convergente. EXEMPLO 2: O integral

Z

2

1 3

0

(2x − x2 ) 2

dx

´e um integral impr´oprio de 2a esp´ecie nos dois limites de integra¸ca˜o. Estudemos os integrais Z 1 Z 2 1 1 e 3 dx 3 dx. 2 2 0 (2x − x ) 2 1 (2x − x ) 2 Z 1 1 e divergente e Como o integral 3 dx ´ 0 x2 1 3

3

x2 1 1 (2x − x2 ) 2 = lim+ 3 lim+ 3 = lim 3 = 3 + 1 x→0 x 2 (2 − x) 2 x→0 (2 − x) 2 x→0 22 3 x2

130

5. Fun¸ co ˜es Reais de Vari´ avel Real: C´ alculo Integral

o integral

Z

2

1 3

(2x − x2 ) 2 inicialmente ´e divergente.

dx ´e divergente. Podemos ent˜ao concluir que o integral dado

1

Teorema 5.5.11 Sejam

Z

Z

b

f (x) dx e a

b

g(x) dx dois integrais impr´oprios de 2a esp´ecie a

(no mesmo limite de integra¸ca˜o) com fun¸co˜es integrandas positivas. Suponhamos que µ ¶ f (x) f (x) =0 ou, lim+ =0 . lim x→a g(x) x→b− g(x) a) Se b) Se

Z Z

Z

b

g(x) dx ´e convergente ent˜ao a b

f (x) dx ´e divergente ent˜ao a

Z

b

f (x) dx ´e convergente. a

b

g(x) dx ´e divergente. a

Suponhamos que µ

f (x) lim− = +∞ x→b g(x) a) Se b) Se

Z Z

b

g(x) dx ´e divergente ent˜ao a

Z

b

f (x) dx ´e convergente ent˜ao a

Z

¶ f (x) ou, lim+ = +∞ . x→a g(x)

b

f (x) dx ´e divergente. a

Z

b

g(x) dx ´e convergente. a

b

Teorema 5.5.12 Seja f (x) dx um integral impr´oprio de 2a esp´ecie. Se o integral a Z b Z b f (x) dx. |f (x)| dx ´e convergente o mesmo acontece ao integral a

a

a

Z

b

Defini¸c˜ ao 5.5.9 Diz-se que o integral impr´oprio de 2 esp´ecie f (x) dx ´e absolutaa Z b Z b mente convergente se o integral |f (x)| dx ´e convergente. Se o integral f (x) dx a a Z b Z b f (x) dx ´e simples|f (x)| dx ´e divergente, diz-se que o integral ´e convergente e a

a

mente convergente.

EXEMPLO: Consideremos o integral Z

1 0

cos(πx) √ dx. 1 − x2

5.5 Integrais impr´ oprios

131

´ um integral impr´oprio de 2a esp´ecie no limite superior de integra¸ca˜o, mas a fun¸ca˜o E integranda muda de sinal no intervalo de integra¸ca˜o. No entanto, ¯ ¯ ¯ cos(πx) ¯ 1 ¯√ ¯ ¯ 1 − x2 ¯ ≤ √1 − x2 , ∀ 0 ≤ x < 1. Estudemos o integral Z

0

O integral

Z

1

1 1

0

(1 − x) 2

1

1 √ dx = 1 − x2

Z

1 0

1 1 2

1

(1 − x) (1 + x) 2

dx.

dx ´e convergente e 1 1 2

1

1 1 (1 − x) (1 + x) 2 = lim− lim− 1 = √ , 1 x→1 (1 + x) 2 x→1 2 1 (1 − x) 2 Z 1 1 √ dx ´e convergente. Pelo Teorema 5.5.9, o integral o que implica que o integral 1 − x2 0 ¯ Z 1¯ ¯ cos(πx) ¯ ¯ ¯√ ¯ 1 − x2 ¯ dx 0

´e convergente. Pelo Teorema 5.5.12, o integral dado ´e convergente e diz-se absolutamente convergente.

C. Integrais impr´ oprios mistos Podem ainda considerar-se integrais impr´ oprios mistos: por exemplo, com algum limite de integra¸ca˜o infinito e em que a fun¸ca˜o integranda se torne ilimitada num n´ umero finito de pontos do intervalo de integra¸ca˜o. Neste caso, a defini¸ca˜o do integral faz-se dividindo o intervalo de integra¸ca˜o por forma que se obtenham integrais dos tipos anteriores; se os integrais assim obtidos s˜ao convergentes diz-se que o integral misto ´e convergente e o seu valor ´e igual a` soma dos valores dos integrais correspondentes aos subintervalos. Se algum dos integrais obtidos ´e divergente o integral misto ´e divergente. Z +∞ 1 dx ´e um integral impr´oprio misto porque x3 + 1 = EXEMPLO 1: O integral 3+1 x −2 (x + 1)(x2 − x + 1), podendo fazer-se a decomposi¸ca˜o Z −1 Z 1 Z +∞ Z +∞ 1 1 1 1 dx = dx + dx + dx, 3 3 3 3 x +1 x +1 −2 x + 1 −1 x + 1 1 −2

132

5. Fun¸ co ˜es Reais de Vari´ avel Real: C´ alculo Integral

o a sendo os dois primeiros ´ltimo de 1a esp´ecie. Z −1integrais do 2 membro de 2 esp´ecie e o u 1 dx ´e divergente e Como o integral −2 −x − 1 1 3 1 1+x 1 1+x lim − x + 1 = lim − 3 = lim − = lim − 2 = 2 1 x→−1 x→−1 (1 + x)(x − x + 1) x→−1 x − x + 1 x→−1 x + 1 3 1+x Z −1 1 dx ´e divergente. Ent˜ao o integral misto ´e divergente. o integral 3 −2 x + 1 Z −1 1 EXEMPLO 2: O integral e um integral impr´oprio misto, tendo-se 3 dx ´ 2 −∞ (x − 4) 5 Z −1 Z −3 Z −2 Z −1 1 1 1 1 3 dx = 3 dx + 3 dx + 3 dx. 2 2 2 2 −∞ (x − 4) 5 −3 (x − 4) 5 −2 (x − 4) 5 −∞ (x − 4) 5 O primeiro dos integrais do 2o membro ´e de 1a esp´ecie e os outros dois s˜ao de 2a esp´ecie. Consideremos o integral de 1a esp´ecie convergente Z −3 1 6 dx. −∞ x 5 Temos 1 6 3 2 x5 (x − 4) 5 = lim lim 3 = 1 1 x→−∞ (x2 − 4) 5 x→−∞ 6

Z

o que implica que o integral Z a O integral de 2 esp´ecie

x5

−3

3

dx ´e convergente.

3

dx ´e convergente e

(x2 − 4) 5 1

−∞ −2

−3

1

(−2 − x) 5 1 3

lim −

x→−2

Z

o que implica que o integral Z a O integral de 2 esp´ecie

−1 1 (x2 − 4) 5 = lim − 3 = 3 1 x→−2 (x − 2) 5 45 3 (−2 − x) 5 −3

1

e convergente. 3 dx ´ (x2 − 4) 5 1 e convergente e 3 dx ´ −2 (x + 2) 5 −1 3 −1 1 (x2 − 4) 5 = lim + lim + 3 = 3 1 x→−2 (x − 2) 5 x→−2 45 3 (x + 2) 5 −2 −1

5.5 Integrais impr´ oprios

o que implica que o integral

133

Z

−1

1

e convergente. 3 dx ´ (x2 − 4) 5 Podemos ent˜ao concluir que o integral dado ´e convergente. −2

D. A fun¸c˜ ao Gama (Γ) e a fun¸c˜ ao Beta (β) Suponhamos que queremos estudar a natureza do integral Z +∞ x3p dx x2 − 2x + 5 0

(5.5)

para todos os valores do parˆametro real p. Tendo em conta que x2 − 2x + 5 6= 0, ∀x ∈ R, este integral ´e de 1a esp´ecie se p ≥ 0 e misto se p < 0. Em qualquer caso podemos escrever Z +∞ Z 1 Z +∞ x3p x3p x3p dx = dx + dx, 2 x2 − 2x + 5 x2 − 2x + 5 0 0 x − 2x + 5 1 onde o segundo integral do 2o membro ´e sempre de 1a esp´ecie e o primeiro ´e de Riemann se p ≥ 0 e de 2a esp´ecie se p < 0. Suponhamos que p < 0. Z 1 Z 1 x3p 1 dx = dx. (5.6) 2 −3p 2 (x − 2x + 5) 0 x − 2x + 5 0 x O integral

Z

1 0

1 x−3p

1 dx converge se, e s´o se, −3p < 1, isto ´e, p > − . Como 3 1 1 1 x−3p (x2 − 2x + 5) lim+ = = lim+ 2 1 x→0 x→0 x − 2x + 5 5 −3p x

1 o integral (5.6) converge se, e s´o se, p > − . 3 Se p ≥ 0, o integral que acab´amos de estudar ´e de Riemann. Podemos ent˜ao concluir 1 que o integral (5.6) converge se, e s´o se, p > − . 3 Z +∞ 1 1 dx converge se, e s´o se, 2 − 3p > 1, isto ´e, p < e O integral 2−3p x 3 1 x3p 2 x2 lim x − 2x + 5 = lim 2 =1 1 x→+∞ x − 2x + 5 x→+∞ x2−3p

134

5. Fun¸ co ˜es Reais de Vari´ avel Real: C´ alculo Integral

1 pelo que podemos concluir que o integral de 1a esp´ecie converge se, e s´o se, p < . 3 1 1 Ent˜ao o integral (5.5) converge se, e s´o se, − < p < . 3 3 Consideremos o integral Z 3 7 dx. (5.7) α β+1 −2 (x + 2) (3 − x) ´ um integral de Riemann se α ≤ 0 e β + 1 ≤ 0 e ´e um integral impr´oprio de 2a esp´ecie E se α > 0 ou β + 1 > 0. Podemos escrever este integral na seguinte forma: Z 0 Z 3 7 7 dx + dx. α β+1 α β+1 −2 (x + 2) (3 − x) 0 (x + 2) (3 − x) Z 0 1 dx converge se, e s´o se, Estudemos o primeiro integral. Como o integral α −2 (x + 2) α < 1, e 7 α 7 7 (x + 2) (3 − x)β+1 = lim + = β+1 lim + β+1 1 x→−2 (3 − x) x→−2 5 α (x + 2) podemos concluir que o Zintegral ´e convergente se, e s´o se, α < 1 e β ∈ R. 3 1 Dado que o integral dx converge se, e s´o se, β + 1 < 1, isto ´e, β < 0, e β+1 0 (3 − x) 7 lim−

x→3

(x +

2)α (3

− x)β+1

1 (3 − x)β+1

= lim− x→3

7 7 = α α (x + 2) 5

podemos concluir que o segundo integral converge se, e s´o se, β < 0 e α ∈ R. O integral (5.7) ser´a convergente se, e s´o se, α < 1 e β < 0. Entre os integrais com parˆametros h´a dois especialmente importantes: Z 1 Z +∞ p−1 −x xp−1 (1 − x)q−1 dx, x e dx e β(p, q) = Γ(p) = 0

0

p, q ∈ R. Estes integrais, quando convergentes, definem duas fun¸co˜es: a fun¸c˜ ao Gama, no primeiro caso, e a fun¸c˜ ao Beta, no segundo. Pretendemos estudar o dom´ınio destas fun¸co˜es, isto ´e, saber para que valores dos parˆametros s˜ao convergentes os integrais que as definem. Comecemos por estudar o integral Z +∞ Γ(p) = xp−1 e−x dx (5.8) 0

5.5 Integrais impr´ oprios

135

Podemos escrever este integral do seguinte modo: Z +∞ Z 1 p−1 −x xp−1 e−x dx. x e dx + 1

0

O primeiro integral ´e de Riemann se p − 1 ≥ 0 e de 2a esp´ecie se p − 1 < 0, enquanto o segundo ´e de 1a esp´ecie qualquer Z +∞ que seja p ∈ R. 1 Sabemos que o integral dx ´e convergente. Dado que x2 1 xp−1 e−x = 0, ∀p ∈ R lim 1 x→+∞ x2 podemos concluir que o integral de 1a Zesp´ecie ´e convergente qualquer que seja p ∈ R. 1 1 dx ´e convergente se, e s´o se, 1 − p < 1, isto O integral impr´oprio de 2a esp´ecie 1−p 0 x ´e, p > 0. Al´em disso, xp−1 e−x lim+ = lim+ e−x = 1, 1 x→0 x→0 1−p x a o que implica que o integral de 2 esp´ecie ´e convergente se,e s´o se, p > 0. Ent˜ao o integral (5.8) converge se, e s´o se p > 0, isto ´e, a fun¸ca˜o Γ tem dom´ınio R + . Consideremos o integral Z 1

0

xp−1 (1 − x)q−1 dx

(5.9)

Podemos sempre escrever este integral como a soma Z 1 Z 1 2 p−1 q−1 x (1 − x) dx + xp−1 (1 − x)q−1 dx 1 2

0

onde o primeiro integral ´e de Riemann se p − 1 ≥ 0 e de 2a esp´ecie se p − 1 < 0 e o segundo ´e de Riemann se q − 1 ≥ 0 e de 2a esp´ecie se q − 1 < 0. Z 1 2 1 O integral dx converge se, e s´o se, 1 − p < 1, isto ´e, p > 0. Como 1−p 0 x xp−1 (1 − x)q−1 = lim+ (1 − x)q−1 = 1 lim+ 1 x→0 x→0 x1−p podemos concluir Z 1 que o primeiro integral ´e convergente se, e s´o se, p > 0. 1 dx converge se, e s´o se, 1 − q < 1, isto ´e, q > 0. Como O integral 1 (1 − x)1−q 2 lim−

x→1

xp−1 (1 − x)q−1 = lim− xp−1 = 1 1 x→1 1−q (1 − x)

136

5. Fun¸ co ˜es Reais de Vari´ avel Real: C´ alculo Integral

podemos concluir que o segundo integral ´e convergente se, e s´o se, q > 0. Ent˜ao o integral (5.9) converge se, e s´o se, p > 0 e q > 0, isto ´e, a fun¸ca˜o Beta tem sentido para p > 0 e q > 0.

´ E. Areas de dom´ınios ilimitados Vejamos alguns exemplos de aplica¸ca˜o dos integrais impr´oprios ao c´alculo de a´reas de dom´ınios planos ilimitados. EXEMPLO 1: Calculemos a a´rea do dom´ınio determinado pela imagem da fun¸ca˜o f (x) = 1 e o eixo dos xx (ver Figura 5.10). 1 + x2

Figura 5.10

O valor da a´rea ´e dado pelo valor do integral impr´oprio Z +∞ 1 dx. 2 −∞ 1 + x Calculando esse integral obtemos Z +∞ Z 0 Z +∞ 1 1 1 dx = dx + dx 2 2 1 + x2 −∞ 1 + x −∞ 1 + x 0 = 2

Z

+∞ 0

1 dx = 2 lim x→+∞ 1 + x2

Z

x 0

1 dt 1 + t2

= 2 lim [ arc tg(t) ]x0 = 2 lim arc tg(x) = π x→+∞

x→+∞

5.5 Integrais impr´ oprios

137

EXEMPLO 2: Calculemos a a´rea do dom´ınio determinado pela imagem da fun¸ca˜o f (x) = 1 p , as rectas x = −3 e x = 2 e o eixo dos xx (ver Figura 5.11). |x|

Figura 5.11

O valor da a´rea ´e o valor do integral impr´oprio Z 2 1 p dx. |x| −3 Z

2 −3

1 p dx = |x| =

=

Z

0 −3

1 p dx + |x|

Z

2 0

1 p dx = lim x→0− |x|

Z

x −3

1 √ dt + lim x→0+ −t

Z

2 x

1 √ dt t

h √ i2 £ √ ¤x lim− −2 −t −3 + lim+ 2 t

x→0

x→0

x

³ √ ³ √ √ ´ √ √ √ ´ lim− −2 −x + 2 3 + lim+ 2 2 − 2 x = 2 3 + 2 2

x→0

x→0

138

5. Fun¸ co ˜es Reais de Vari´ avel Real: C´ alculo Integral

Cap´ıtulo 6 Exerc´ıcios 6.1

Fun¸co ˜es Trigonom´ etricas Inversas

NOTA: Considere-se, em todos os exerc´ıcios, as restri¸co˜es principais do seno, coseno, tangente e cotangente. 1. Calcule: µ √ ¶ (a) arc sen − 23 ;

³ ³ ´´ (b) cotg arc sen 12 13 ; µ √ ¶ π (c) 3 − arc tg − 33 ;

³ ´i 1 (d) sen 2 arc cotg 43 ; h ³ ´i (e) tg 3 arc tg − 32 ; ³ ´ 1 . (f) arc tg(x) + arc tg x h

2. Calcule o n´ umero real designado por: h ³ ´i (a) sen arc cos − 12 ; ³ ¡√ ¢´ π (b) tg 4 + arc cotg 3 ; ³ ´´ ³ π (c) cos 6 − arc cos 53 ; · µ √ ¶¸ ³ ´ 3 (d) cos 2 arc tg 4 + arc sen − 23 . 3. Simplifique as seguintes express˜oes:

140

6. Exerc´ıcios

(a) sen (π + arc cos(x)); ³ ´ (b) cos2 21 arc cos(x) ; ´ ³ ) (c) cotg 2 arc cotg( x 2 , x 6= 0.

4. Mostre que:

(a) arc sen( 45 ) + arc tg( 34 ) = π 2; (b) arc tg( 21 ) + arc tg( 15 ) + arc tg( 18 ) = π 4; ³q ´ ³q ´ x 1 + (c) arc sen = arc cos x+1 x + 1 , com x ∈ R ; ´ ³q √ x + (d) arc sen x + 1 − arc tg( x) = 0, com x ∈ R .

5. Considere as fun¸co˜es reais de vari´ vel real definidas por: ³ ´ ³ ´ π π f (x) = cos 2x + 3 + 3; g(x) = 2 sen 3x − 5 ; ³ ´ x π π i(x) = 5 cotg x + 6 ; h(x) = sen( 3 ) + 3 tg( 2 ); j(x) = 3 arc sen(2x − 1); p(x) = 34 arc tg( x 3 );

m(x) = 1 − 12 arc cos(2x + 1); ³ ´ π x q(x) = 2 − 2 arc cotg 2 − 1 .

Determine o dom´ınio e o contradom´ınio de cada uma das fun¸co˜es. 6. Considere as fun¸co˜es f e g definidas em R por: ³x´ ³ ³π ´ π´ + 2 arc sen e g : x 7−→ 3 − 4 sen x + . f : x 7−→ cos 4 2 3 (a) Determine o dom´ınio e o contradom´ınio de f ;

(b) Determine uma express˜ao designat´oria que defina a fun¸ca˜o inversa da restri¸ca˜o principal de g. 7. Considere as fun¸co˜es f e g, reais de vari´avel real, tais que: µ ¶ π 3x f : x 7−→ − 2 arc cos , 3 2 g : x 7−→

1 π arc cotg (x + 3) − . 2 4

(a) Determine o dom´ınio e o contradom´ınio de f e de g; (b) Para cada uma das fun¸co˜es, caracterize a inversa da restri¸ca˜o principal.

6.1 Fun¸ co ˜es Trigonom´ etricas Inversas

141

8. Dada a fun¸ca˜o real de vari´avel real, definida por: f (x) =

π − 3 arc sen (2x) , 4

e considerando a restri¸ca˜o principal do seno, determine: (a) O dom´ınio de f ; (b) O contradom´ınio de f ; (c) Uma express˜ao de f −1 ; (d) Os zeros de f ; n o (e) x ∈ R : f (x) = π 4 .

9. Considere a fun¸ca˜o f (x) = π 3 + 2 arc sen(|2x − 1|). (a) Calcule o dom´ınio e o contradom´ınio de f ; (b) Verifique que f n˜ao tem zeros. 10. Sejam f e g fun¸co˜es reais de vari´avel real, tais que: f : x 7−→ 1 + cos (2x)

e g : x 7−→ 1 + sen (2x) .

Caracterize as fun¸co˜es inversas de f , g e f −g, considerando as respectivas restri¸co˜es principais. 11. Resolva as equa¸co˜es: µ √ ¶ ³ ´ 3 (a) arc sen(x) = 2 arc tg 4 − arc cos − 22 ; ³ ³ ´´ (b) arc cos sen 7π = 2x + π 6 2 , em [π, 2π[.

12. Determine as solu¸co˜es de cada uma das seguintes equa¸co˜es: √ (a) arc tg (x + 1) = arc sec( 2 − x); ³ ´ ³ ´ 1 x − 1 (b) arc tg x + 1 = arc cotg ; 2 ³ ´ (c) arc cos (2x2 − 1) = 2 arc cos 12 ; (d) arc cos (2x) − arc cos(x) = π 3.

142

6. Exerc´ıcios

6.2

No¸co ˜es Topol´ ogicas

1. Determine o interior, o exterior, a fronteira, o derivado, a aderˆencia, o conjunto dos minorantes, o conjunto dos majorantes, o supremo, o ´ınfimo, o m´aximo e o m´ınimo (caso existam) dos seguintes conjuntos: A = [ 2, 3 [ ∪ [ 4, 10 [, B =] 5, 7 [ ∪ {15}. 2. Determine o interior, o exterior, a fronteira, o derivado e a aderˆencia dos seguintes conjuntos: (a) A = {x ∈ R : x2 < 50};

(b) B = {x : x ´e irracional e x2 < 50}. 3. Considere o conjunto ¾ ½ (−1)n n ∧n∈N . A = x ∈ R : x = 1 + (−1) + n (a) Determine o interior, o exterior, o derivado, a fronteira e a aderˆencia de A. (b) Averig´ ue se o conjunto A ´e aberto ou fechado. 4. Determine o exterior, o interior, a fronteira e o derivado do conjunto: n √ √ o A = {x ∈ Q : |x + 3| < 5} ∪ x : x ´e irracional ∧ − 2 ≤ x ≤ 13 . 5. Dado o conjunto ½ ¾ i i (−1)n C = x ∈ R : x = 1 − n ∧ n ∈ N ∪ 31 , 34 ¾ ½ (−1)n ∧n∈N ∪ x∈R: x=2+ n2 (a) Determine a fronteira, o interior, o exterior e o derivado de C; (b) Averig´ ue se o conjunto ´e limitado. 6. S˜ao dados os conjuntos

e

Determine:

½ A= x∈R:

¯ 2 ¯ ¾ ¯ x ¯ ¯ ¯ ¯x − 2¯ ≤ 1

µ ½ ¶ ¾ 1 n+1 n B = y ∈ R : y = (−1) + (−1) 2 + ∧n∈N . n

6.2 No¸ co ˜es Topol´ ogicas

143

(a) int(A ∪ B); 0

(b) (A ∪ B) .

Relativamente a B indique quais os pontos fronteiros e averig´ ue se o conjunto ´e limitado. 7. Dados os conjuntos ½ A= x∈R: e B=

½

¯ ¯ ¯1 − ¯

¯ 1 ¯¯ x¯

¯ ¯ ¾ ¯1 ¯ 1 ¯ + 1¯ < ¯x ¯ x2

1 + 2n ∧n∈N y∈R: y= 2n

¾

(a) Determine A sob a forma de intervalos de n´ umeros reais. (b) Determine, caso existam, o supremo e o ´ınfimo de A ∩ B. 8. Dado o conjunto ) µ ½ ¶ ¾ ( µ ¶3n 1 2n + 1 B = x ∈ R : x = (−1)n+1 1 + ,n∈N ∪ x∈R: x= , n∈N n 2n − 1 determine: 0

(a) B e B; (b) int(B); (c) ext(B). Justifique que o conjunto B ´e limitado, indicando o ´ınfimo e o supremo de B. 9. Considere a fun¸ca˜o g : x 7−→ Determine Dg .

sen2 (x − ³ xπ)´ . 1 − cos 2

(a) A respeito de Dg determine o interior, o exterior, a fronteira e o derivado.

(b) Diga, justificando, se Dg ´e um conjunto aberto ou fechado. i ³ ´ h 1, 1 . , n ∈ N e B = − 10. Seja A o conjunto dos termos da sucess˜ao un = sen n π 4 2 Determine o supremo, o ´ınfimo, o interior e a fronteira do conjunto A ∪ B.

1 em R, determine a fronteira e o log(cos2 (x)) exterior de B e indique, justificando, se B ´e aberto.

11. Sendo B o dom´ınio da express˜ao

144

6. Exerc´ıcios

12. Dados os conjuntos © ª A = x ∈ R : |1 − 4x−1 | − 1 > 0 e B = {x ∈ R : |1 + 2x| ≤ 3x}

(a) Prove que A ∩ B = [ 1, 2 [.

(b) Indique, caso existam, o conjunto dos majorantes, o conjunto dos minorantes, o supremo, o ´ınfimo, o m´aximo e o m´ınimo de B. 13. Indique o supremo e o ´ınfimo, se existirem, do seguinte conjunto: ¯ ¯ ¾ ½ ¯ 4x − 5 ¯ ¯≤0 . A = x ∈ R \ {0} : x − ¯¯ x ¯ n o +m ∧m∈N . 14. Considere o conjunto B = x ∈ R : x = 1 2m Indique, se existirem, os majorantes, o ´ınfimo e o m´aximo de B. 15. Considere, em R, as seguintes condi¸co˜es: ¯¯ 2 ¯ ¯ ¯¯ x + 1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ p(x) : |x| + |x − 1| < 3 e q(x) : ¯¯ − 1¯¯ < 1. ¯ x

(a) Determine sob a forma de intervalo de R o conjunto

A = {x ∈ R : p(x)∧ ∼ q(x)} . (b) Indique, caso existam, o supremo e o ´ınfimo de A. 16. Sendo S=

(

x ∈ R : 12 |x + 1| ≥

determine a fronteira e o interior de S.

15 X k=1

)

( k |x| ) ,

6.3 Indu¸ c˜ ao Matem´ atica

6.3

145

Indu¸c˜ ao Matem´ atica

1. Prove que 1 + 3 + 5 + · · · + (2n − 1) = n2

∀n ≥ 1.

2. Prove que 1 (a) 12 + 22 + 32 + · · · + n2 = n(n + 1)(2n + 1) ∀n ≥ 1; 6 · ¸2 n(n + 1) (b) 13 + 23 + 33 + · · · + n3 = ∀n ≥ 1. 2 3. Prove que n(n2 + 5) ´e divis´ıvel por 6 qualquer que seja n ∈ N. 4. Prove que: (a) n < 2n

∀n ∈ N;

∀n ∈ N; 1 (c) 1 + 2 + 3 + · · · + n < (2n + 1)2 ∀n ∈ N; 8 ³ a ´n+1 ³ a ´n (d) Se 0 < a < b, ent˜ao < ∀n ∈ N. b b (b) 1 + 2n ≤ 3n

5. Prove que

log(a1 a2 . . . an ) = log a1 + log a2 + · · · + log an , para todo o n ≥ 2, onde cada ai ´e um real positivo. 6. Prove que

a(1 − rn ) , 1−r onde n ´e um inteiro positivo e a e r s˜ao reais, r = 6 1. a + ar + ar2 + · · · + ar n−1 =

146

6. Exerc´ıcios

6.4

Sucess˜ oes

1. Prove, por defini¸ca˜o, que as seguintes sucess˜oes (un ) s˜ao infinitamente grandes positivos, ou seja, que lim un = +∞: n

(a) un = n; (b) un = n2 ; √ (c) un = n; (d) un = 2n . 2. Prove, por defini¸ca˜o, que as seguintes sucess˜oes (un ) s˜ao infinit´esimos, ou seja, que lim un = 0: n

1 ; n 1 (b) un = 2 ; n 1 (c) un = √ ; n 1 (d) un = n . 2 (a) un =

3. Se (un ) e (vn ) s˜ao sucess˜oes convergentes, prove que: (a) lim(un + vn ) = lim un + lim vn ; (b) lim(un · vn ) = lim un · lim vn ; (c) lim(un )p = (lim un )p , p ∈ N;

(d) lim uvnn =

lim un , lim vn

∀n ∈ N e lim vn 6= 0;

(e) lim(un )1/p = (lim un )1/p , se p for par dever´a ser un ≥ 0, ∀n ∈ N; (f) lim |un | = | lim un |;

(g) (∃p ∈ N ∀n ≥ p : un > 0) ⇒ lim un ≥ 0;

(h) (∃p ∈ N ∀n ≥ p : un ≥ vn ) ⇒ lim un ≥ lim vn . 4. Sejam (un ) e (vn ) dois infinitamente grandes positivos e (wn ) um infinitamente grande negativo, prove que: (a) lim(un + vn ) = +∞; (b) lim(un · vn ) = +∞;

(c) lim(un · wn ) = −∞;

(d) lim upn = +∞ ∀p ∈ N;

6.4 Sucess˜ oes

147

(e) lim wnp = ∞ ∀p ∈ N;

(f) lim |un | = lim |wn | = +∞;

(g) Sendo (zn ) uma sucess˜ao tal que ∃p ∈ N ∀n > p zn ≥ un , prove que lim zn = +∞. 5. Considere a sucess˜ao de termo geral an , em que a ∈ R. Prove que: (a) Se a > 1, lim an = +∞; n

(b) Se a < −1, lim an = ∞; n

(c) Se |a| < 1, lim an = 0; n

(d) Se a = 1, lim an = 1; n

(e) Se a = −1, a sucess˜ao ´e divergente. 6. Calcule, se existir, o limite de cada uma das seguintes sucess˜oes: (a) un = (b) un = (c) un = (d) un = (e) un =

1−n ; 4n + 3 n2 + 2 ; 3n + 1 3n ; 4n3 + 1 −n3 + 2 ; 4n3 − 7 n2 + 3n n2 − 1 − . n+2 n

7. Sejam (xn ) ⊂ R uma sucess˜ao, xn → ∞, P (x) = a0 xp + · · · + ap e Q(x) = b0 xq + · · · + bq duas fun¸co˜es polinomiais de coeficientes reais, p, q ∈ N, a0 6= 0, b0 6= 0. Mostre que (a) lim P (xn ) = lim a0 xpn = ∞. (b)

 a 0  se p = q,   P (xn ) a0 xpn  b0 lim = = lim ∞ se p > q,  Q(xn ) b0 xqn    0 se p < q.

8. Calcule, se existir, o limite de cada uma das seguintes sucess˜oes: √ n ; (a) un = 4n + 1

148

6. Exerc´ıcios

(b) un =

√

1 2

√

n √ ; − n

√ n2 − 1; r ³√ √ ´ 1 (d) un = n+1− n n+ ; 2 1 1 1 (e) un = √ +√ + ··· + √ . 2 2 2 n +1 n +2 n +n (c) un =

n2 + 1 −

9. Diz-se que a sucess˜ao (un ) cresce mais rapidamente que a sucess˜ao (vn ) se

un → +∞. vn

(a) Prove que nn cresce mais rapidamente que n!. (b) Prove que n! cresce mais rapidamente que en . (c) Coloque por ordem decrescente, quanto a` rapidez de convergˆencia, as sucess˜oes de termos gerais: √ √ 10 n, 2n , en , n!, log(n), n, n3 , nn . 2 n, 10. Sejam (un ) e (vn ) dois infinit´esimos, vn 6= 0 ∀n ∈ N. Diz-se que (un ) ´e de ordem un superior a (vn ) se lim = 0. Ordene os seguintes infinit´esimos: vn 1 , 2n

√

1 , 10 n

1 , 2n

1 , en

1 , n!

1 , log(n)

1 √ , n

1 , n3

1 . nn

11. Calcule os limites de cada uma das seguintes sucess˜oes : ¡ n+3 ¢2n (a) un = n+1 ; ¡ n+5 ¢n (b) vn = 2n+1 ; ¢n ¡ (c) wn = 1 − n32 . 12. Mostre que

u1 + · · · + u n → u. n √ (b) Se a ∈ R, a > 0, ent˜ao lim n a = 1. √ un+1 (c) Se un > 0, ∀n ∈ N e → b, (b ∈ R, b ≥ 0) ent˜ao n un → b. un √ Observa¸ca˜o: em particular n n → 1. √ un+1 (d) n un → b 6⇒ → b, (un > 0, ∀n ∈ N). un (a) Se un → u (u ∈ R ) ent˜ao

13. Calcule, se existir

6.4 Sucess˜ oes

1 p n (n + 1)!; 2n 1p (b) lim n n(n + 1) · · · 2n. n

149

(a) lim

14. Determine p ∈ R tal que lim

s n

n! = 3. (p n)n

15. Calcule os limites das seguintes sucess˜oes: µ ¶ 1 2 (a) cos (n) sen ; n (b)

n (n − 1) (n − 2) (n − 3) ; (n + 1) (n + 2) (n + 3)

(c) (cos(x))n , x ∈ R; s µ ¶ n 2 (d) n n! ; n r 1 n (e) 1+ ; n p (f) n (n + 1)! − n!; 1 1 1 (g) √ + √ + ··· + √ ; n n+1 2n 1 1 1 +√ + ··· + √ ; (h) √ 2 2 2 n +1 n +2 n + 2n + 1 ¶n r µ 1 n n + 1 (i) 1 − ; n n 1 1 1 (j) 2 + + ··· + ; 2 n (n + 1) (2 n)2 n n n (k) √ +√ + ··· + √ . 4 4 4 n +1 n +2 n +n 16. Quando poss´ıvel dˆe exemplos de sucess˜oes un → +∞ , vn → −∞ , wn → 0, que verifiquem as condi¸co˜es indicadas nas al´ıneas seguintes: (a) un + vn → 1;

(b) un + vn → −∞; (c) un + wn → 1;

(d) un × wn → 0;

(e) vn × wn → +∞;

150

6. Exerc´ıcios

(f)

un → −1. wn

17. Sejam (xn ) e (yn ) duas sucess˜oes de n´ umeros reais tais que xn → x e yn → y. Mostre que a sucess˜ao de termo geral zn = min{xn , yn } converge e que zn → min{x, y}. 18. Estude, quanto a` convergˆencia, a sucess˜ao real definida por   u1 = 1,  un = un−1 − 1 , ∀n > 1. 2 Indique, caso exista, o limite de un .

19. Considere a sucess˜ao (un ) definida por recorrˆencia   u1 = 5

 un+1 = 5un − 4 un

(a) Prove por indu¸ca˜o que ∀n ∈ N un > 4.

(b) Prove que a sucess˜ao ´e convergente.

(c) Mostre que 4 ´e o ´ınfimo do conjunto dos termos da sucess˜ao . 20. As sucess˜oes (un ) e (vn ) verificam as seguintes condi¸co˜es: i) ∀n ∈ N 0 < un < vn

ii) vn ´e decrescente

Diga, justificando, se s˜ao verdadeiras ou falsas as seguintes afirma¸co˜es (a) vn ´e convergente. (b) un ´e convergente. (c) un ´e decrescente. 21. Determine os limites superiores e inferiores das sucess˜oes de termos gerais n

(a) n(−1) ; (b) cos(n π/3); √ √ (c) n − (−1)n n − 1; ³n π ´ (d) sen ; 4 √ √ (e) n − (−1)n n − 1; ³ n π ´ ³ ³ n π ´´n 1 ; + cos (f) 2 cos n 10 2

6.4 Sucess˜ oes

151

(−1)n n2 + 3 ; n+1 ´ ³n π + a , a ∈ R; (h) sen 2 µ ¶n 1 1 (i) + + 2 n ((−1)n 3 + 3); 3 2n (g)

(j)

((−1)n+3 − (−1)n ) n3 + 2 . 3n + 1

22. Mostre que as seguintes sucess˜oes s˜ao de Cauchy em Q: 1 ; n2 1 (b) n . 2 (a)

23. Mostre que a sucess˜ao de termo geral 1 +

1 1 + · · · + n˜ao ´e de Cauchy em Q. 2 n

24. Considere a sucess˜ao de termo geral un = usando a defini¸ca˜o de sucess˜ao de Cauchy.

n+1 . n+2

Estude a natureza da sucess˜ao

3 xn 1 , xn+1 = + ´e uma sucess˜ao em Q que verifica 2 2 xn x2n → 2. Use este resultado para mostrar que (xn ) ´e uma sucess˜ao de Cauchy em Q que n˜ao converge em Q. ˜ i ) Mostre que vn = x2 − 2 verifica 0 ≤ vn ≤ 1 ; SUGESTAO: n 4n 2 2 x − xm ii ) use a rela¸ca˜o xn − xm = n . xn + x m

25. Mostre que a sucess˜ao x1 =

152

6.5

6. Exerc´ıcios

Continuidade

, π [→ R definida por 1. Estude a continuidade da fun¸ca˜o f (x) :] −π 2 2   1, se x = 0 f (x) =  tg(x) , se x 6= 0 sen(2x)

2. Considere a fun¸ca˜o real de vari´avel real, definida por:   2x + arc cos(x), se 0 ≤ x < 1    h(x) = 2, se x = 1,     x + 5, se 1 < x ≤ 4 3 (a) Mostre que h ´e cont´ınua em todo o seu dom´ınio.

(b) Aplicando o teorema de Bolzano, mostre que: ∃c ∈]2, 4[: h(c) = c. 3. Considere a fun¸ca˜o real f (x) = 1 − x sen( x1 ) definida em R \ {0}. Seja g um prolongamento de f a R. Determine o valor a atribuir a g(0) de modo que g seja cont´ınua em x = 0. 4. Determine o valor de a e b que tornam cont´ınuas as seguintes fun¸co˜es nos pontos indicados:   3x − 7, se x ≥ 3 (a) f1 (x) = , x = 3.  ax + 3, se x < 3    x + a, se x < −2   (b) f2 (x) = x = −2, x = 1. 3ax + b, se − 2 ≤ x ≤ 1 ,     ax + 3, se x > 1   sen(x), se x ≤ 0 (c) f3 (x) = , x = 0.  ax + b, se x > 0

5. Considere a fun¸ca˜o real definida por:    x + 2a, se x ≤ 2 f (x) = x(x − 2)   2 , se x > 2 x − 5x + 6

(a) Determine o valor de a de forma a que f seja cont´ınua em x = 2.

6.5 Continuidade

153

(b) Mostre que apesar de se ter f (2) · f (4) < 0, n˜ao se pode aplicar o teorema do valor interm´edio de Bolzano no intervalo [2, 4]. sen(x) = 1, estude a continuidade em x = 0 da fun¸ca˜o x→0 x  4 3 2   x − 3x + x , se x 6= 0 sen(x) f (x) =   0, se x = 0

6. Sabendo que lim

Obs: Considere f apenas definida em [− π2 , π2 ]. r 1 − cos(x) 7. Sabendo que sen( x2 ) = ± , estude a continuidade em x = 0 da fun¸ca˜o 2  2x − sen(x)   p , se x 6= 0 1 − cos(x) f (x) =   √2, se x = 0 Obs: Considere f apenas definida em [− π2 , π2 ].

8. Mostre, recorrendo a` defini¸ca˜o, que as seguintes fun¸co˜es s˜ao cont´ınuas nos seus dom´ınios: (a) f (x) = x2 ; (b) g(x) = cos(x); (c) h(x) = x + sen(x). 9. Sejam f e g fun¸co˜es cont´ınuas em [a, b] tais que f (a) > g(a) e f (b) < g(b). Mostre que os gr´aficos de f e g se intersectam num ponto de abcissa c ∈]a, b[. 10. Sejam f e g fun¸co˜es cont´ınuas em [a, b] tais que f (a) = g(b), f (b) = g(a) e f (a) 6= g(a). Mostre que f − g tem pelo menos uma raiz pertencente ao intervalo [a, b]. 11. Seja f uma fun¸ca˜o real de vari´avel real cont´ınua em [a, b]. Sabendo que f (a) < a e f (b) > b, prove que f tem pelo menos um ponto fixo no intervalo ]a, b[. Obs: c ´e ponto fixo se f (c) = c. 12. Prove que se h : D ⊂ R → R ´e uma fun¸ca˜o cont´ınua em x = b, ponto interior a D, se tem: (a) Se h(b) > 0 ent˜ao existe uma vizinhan¸ca V de b tal que h(x) > 0, ∀x ∈ V .

(b) Se h(b) < 0 ent˜ao existe uma vizinhan¸ca V de b tal que h(x) < 0, ∀x ∈ V .

154

6. Exerc´ıcios

13. Seja f : [a, b] → R uma fun¸ca˜o cont´ınua, injectiva e tal que f (a) < f (b). Utilize o teorema do valor interm´edio de Bolzano para concluir que f ´e estritamente crescente no seu dom´ınio. Sugest˜ao: Comece por mostrar, utilizando o m´etodo de redu¸ca˜o ao absurdo, que n˜ao existe x ∈]a, b[ tal que f (x) < f (a) ou f (x) > f (b). 14. Seja f : [a, +∞[→ R uma fun¸ca˜o cont´ınua. Suponha que existe b ∈ [a, +∞[ tal que, para qualquer x > b se tem f (x) < f (a). Prove que f tem m´aximo em [a, +∞[. 15. Seja f : R → R uma fun¸ca˜o com limite finito quando x → 0 e tal que ∀x ∈ R \ {0}. Indique, justificando, o valor de lim f (x).

f (x) >0 x

x→0

16. Seja f uma fun¸ca˜o definida em R e verificando as seguintes condi¸co˜es: i) ∀x ∈ R, f (x) ∈ Z; ii) lim f (x) = c, c ∈ R. x→+∞

Recorrendo a` defini¸ca˜o de limite, justifique que: (a) c ´e um n´ umero inteiro. (b) Existe a ∈ R tal que f (x) = c, sempre que x > a. 17. Considere a fun¸ca˜o f definida por:   1 x2 + 2, se x 6∈ Z 2 f (x) =  |1 + x| + |1 − x|, se x ∈ Z Estude-a quanto a` continuidade.

18. Seja f uma fun¸ca˜o definida num conjunto X ⊂ R. Mostre que se f ´e cont´ınua em a, existe uma vizinhan¸ca de a, na qual f ´e limitada. 19. (a) Sendo g : [0, +∞[→ R cont´ınua no seu dom´ınio, mostre que a fun¸ca˜o f (x) = g(1 − x2 ) tem m´aximo e m´ınimo. (b) Se na al´ınea a) consider´assemos g definida em ]0, +∞[, poder´ıamos continuar a garantir para f a existˆencia de m´aximo e m´ınimo? Justifique. 20. Seja f uma fun¸ca˜o cont´ınua em R, com limites positivos quando x → −∞ e x → +∞ e tal que f (0) < 0. Nestas condi¸co˜es mostre que: (a) a equa¸ca˜o f (x) = 0 tem pelo menos duas ra´ızes reais. (b) ∃c ∈ R ∀x ∈ R f (c) ≤ f (x). Dˆe um exemplo de uma fun¸ca˜o que verifique todas as condi¸co˜es exigidas no enunciado – excepto na continuidade em R, que deve ser substitu´ıda pela continuidade em R \ {0} – e para a qual as afirma¸co˜es expressas nas al´ıneas a) e b) sejam falsas.

6.6 Continuidade Uniforme

6.6

155

Continuidade Uniforme

1. Estude quanto a` continuidade uniforme nos intervalos indicados as seguintes fun¸co˜es: (a) f (x) = x em R; (b) f (x) = sen2 (x) em R;   0, se x < 0 (c) f (x) =  1, se x ≥ 0

em ]a, b[, a, b ∈ R, a < b;

1 em ]a, b[ com a ≥ 0; x2 µ ¶ 1 (e) f (x) = sen em ]a, b[ com a ≥ 0. x

(d) f (x) =

2. Mostre, usando a defini¸ca˜o, que a fun¸ca˜o f definida por f (x) = (x − 1)|x + 2| ´e uniformemente cont´ınua em qualquer intervalo limitado de R. 3. Considere a fun¸ca˜o   |x2 − 7x + 10|, se x > 3 g(x) =  3 − x, se x ≤ 3

Justifique que ”g n˜ao ´e uniformemente cont´ınua no intervalo [0, 5]”. 4. Mostre, usando a defini¸ca˜o, que a fun¸ca˜o f (x) = 12 x2 − 1 ´e uniformemente cont´ınua no intervalo [2, 8]. 5. Diz-se que uma fun¸ca˜o f definida num conjunto X ⊂ R verifica a condi¸ca˜o de Lipschitz, se existe um n´ umero k > 0 tal que se tem, para quaisquer x, y ∈ X: |f (x) − f (y)| ≤ k|x − y|. Mostre que toda a fun¸ca˜o lipschitziana ´e uniformemente cont´ınua. 6. (a) Prove que o produto de duas fun¸co˜es lipschitzianas limitadas ainda ´e uma fun¸ca˜o lipschitziana. √ (b) Prove, usando a al´ınea a), que a fun¸ca˜o f (x) = x sen(x) ´e uniformemente cont´ınua em ]1, a[, ∀a ∈ R. ½ ¾ 1 1 7. Seja α ∈ , , 2, 3 . Para que valores de α ´e uniformemente cont´ınua no intervalo 3 2 [0, +∞[ a fun¸ca˜o f (x) = xα ?

156

6. Exerc´ıcios

8. Prove que, se f ´e uniformemente cont´ınua (a) A restri¸ca˜o de f a qualquer parte do seu dom´ınio ´e uniformemente cont´ınua. (b) f ´e limitada se o seu dom´ınio ´e limitado. (c) f tem limite finito em qualquer ponto de acumula¸ca˜o (finito) do seu dom´ınio. 9. Indique, das seguintes fun¸co˜es definidas em R, quais as que s˜ao uniformemente cont´ınuas: (a) f (x) = x sen(x); (b) f (x) =

x3 . 1 + x2

6.7 Diferenciabilidade. Teoremas de Rolle, Lagrange e Cauchy

6.7

157

Diferenciabilidade. Teoremas de Rolle, Lagrange e Cauchy

1. Seja f uma fun¸ca˜o diferenci´avel em R e g uma fun¸ca˜o definida por g(x) = f (ex ). (a) Defina a fun¸ca˜o derivada de g. (b) Supondo que f 0 tamb´em ´e diferenci´avel, determine g 00 (1). 2. Sendo f (x) = x4 , g uma fun¸ca˜o diferenci´avel em R e h tal que h(x) = (g ◦f )(sen(x)), defina a fun¸ca˜o derivada de h. 3. Seja f uma fun¸ca˜o diferenci´avel e injectiva e g(x) = x3 . Aplicando as regras da deriva¸ca˜o da fun¸ca˜o inversa e da fun¸ca˜o composta, determine uma express˜ao para a fun¸ca˜o derivada de (f ◦ g)−1 . 4. Calcule o diferencial das fun¸co˜es: (a) f (x) = x5 + 4x3 ; (b) f (x) = log(x); (c) f (x) = ex x2 . 5. Calcule, utilizando o diferencial, valores aproximados de: (a) 1.993 ; (b) 25.02 . p 2x − 1 e g(x) = 3 (x − 1)2 . Recorrendo ao teorema 2 x −1 de Rolle, que se pode afirmar sobre a existˆencia de pontos c1 , c2 ∈]0, 2[ tais que f 0 (c1 ) = g 0 (c2 ) = 0?

6. Considere as fun¸co˜es f (x) =

7. Mostre que f (x) = −x4 + 8x2 + 9 satisfaz as condi¸co˜es do teorema de Rolle no intervalo [−3, 3]. Determine os valores c ∈] − 3, 3[ que satisfa¸cam f 0 (c) = 0. 8. Prove, recorrendo ao teorema de Rolle, que a equa¸ca˜o 4x3 + 3x2 − 2x + 2 = 0 tem, pelo menos, uma solu¸ca˜o no intervalo ] − 2, 0[. 9. Seja f uma fun¸ca˜o cont´ınua em [a, b], diferenci´avel em ]a, b[ e tal que f (a) = f (b) = 0. Diga se a fun¸ca˜o g(x) = f (x)e−3x , no mesmo intervalo, obedece a`s condi¸co˜es do teorema de Rolle. Mostre que existe c em ]a, b[ tal que f 0 (c) = 3f (c). 10. Prove que a equa¸ca˜o x3 − 9x − 9 = 0 tem 3 ra´ızes reais. 11. Mostre que a equa¸ca˜o x3 + 2x − 1 = 0 tem apenas uma raiz real. Mostre ainda que essa raiz se encontra no intervalo ]0, 1[.

158

6. Exerc´ıcios

12. Considere a fun¸ca˜o real de vari´avel real definida por f (x) = 2(x − 1)(x − 3)(x − 5)(x − 7). Quantos zeros podemos garantir para f 0 e f 00 ? 13. Prove que, qualquer que seja k (real), a fun¸ca˜o f (x) = 2x3 − 6x + k n˜ao pode ter dois zeros no intervalo ] − 1, 1[. 14. A fun¸ca˜o f est´a definida em [0, π2 ] por:   tg(x), se 0 ≤ x < f (x) =  1, se x = π2

π 2

(a) Verifique que f ( π2 ) = f ( π4 ).

(b) Mostre que f ´e cont´ınua e diferenci´avel no intervalo ] π4 , π2 [. (c) Neste intervalo f 0 n˜ao tem zeros. Isto contradiz o teorema de Rolle? Justifique. 15. Considere as fun¸co˜es f (x) = (x − 2)2 + 1 e  2   x − 4x + 3 , se x 6= 2 x−2 g(x) =   5, se x = 2

(a) Mostre que, no intervalo [1, 3], a fun¸ca˜o f satisfaz as condi¸co˜es do teorema de Rolle e que g n˜ao satisfaz.

(b) Determine as coordenadas do ponto do gr´afico de f onde a tangente a` curva ´e horizontal. 16. Considere a seguinte fun¸ca˜o real de vari´avel real,   ex−1 , se x ≤ 1 f (x) =  1 + log(x), se x > 1. Mostre que:

(a) f ´e cont´ınua em R; (b) f tem derivada finita em R; (c) em nenhum intervalo de R ´e aplic´avel a f o teorema de Rolle. 17. Considere a fun¸ca˜o real de vari´avel real, definida por:   ex2 −x−2 , se x ∈ [−1, 2] ³x´ f (x) = 6  , se x ∈]2, 4]. arc sen π 4

6.7 Diferenciabilidade. Teoremas de Rolle, Lagrange e Cauchy

159

(a) Averig´ ue se ´e poss´ıvel aplicar o teorema de Rolle ao intervalo [−1, 2] . Em caso afirmativo determine o n´ umero de Rolle correspondente. (b) Prove que f ´e limitada. 18. Seja f uma fun¸ca˜o definida e diferenci´avel num intervalo I e g(x) = f (cos(x)) f (sen(x)). Suponhamos ainda que I cont´em os pontos −1 e 1 por forma a que g tenha por dom´ınio R. (a) Calcule g 0 (x) e mostre que, em qualquer ponto (a, b) do gr´afico de g tal que tg(a) = 1, a tangente a esse gr´afico ´e horizontal. (b) Admitindo que f era duas vezes diferenci´avel em I, o que poder´ıamos dizer sobre o n´ umero de ra´ızes da equa¸ca˜o g 00 (x) = 0? 19. Em cada um dos seguintes casos verificar se o teorema do valor m´edio de Lagrange f (b) − f (a) se aplica. Em caso afirmativo encontrar o n´ umero c em tal que f 0 (c) = . b−a 1 , x 1 (b) f (x) = , x (a) f (x) =

(c) f (x) = cos(x), (d) f (x) = tg(x), √ (e) f (x) = 1 − x2 , √ (f) f (x) = 3 x, (g) f (x) = |x|,

a = 2, b = 3 a = −1, b = 3

π 2 π 3π a= , b= 4 4 a = −1, b = 0 a = 0, b =

a = −1, b = 1

a = −1, b = 1

20. Considere a fun¸ca˜o g(x) = ex

2 −4

+ x.

(a) Determine as coordenadas dos pontos do gr´afico da fun¸ca˜o que tˆem abcissa -1, 1. (b) A fun¸ca˜o est´a nas condi¸co˜es do teorema de Lagrange no intervalo [−1, 1]? (c) Determine uma equa¸ca˜o da recta tangente ao gr´afico de g, paralela a` recta definida pelos pontos considerados em a). 21. Seja f : R → R a fun¸ca˜o definida por:   5 − x2 , se x ≤ 1 f (x) =  3 + x, se x > 1. x

(a) Mostre, a partir da derivada de f , que a fun¸ca˜o ´e cont´ınua em R.

160

6. Exerc´ıcios

(b) Aplique o teorema do valor m´edio de Lagrange ao intervalo [0, 3]. Determine os valores de c a que se refere o teorema. 22. Seja f : R → R a fun¸ca˜o definida por f (x) = sen(x) − cos(x). √ (a) Mostre que para cada x ∈ [0, π2 ], 1 ≤ f 0 (x) ≤ 2.

(b) Utilize o teorema de Lagrange para verificar que, para cada x ∈ [0, π2 ], √ −1 + x ≤ f (x) ≤ −1 + x 2.

23. Utilizando o teorema de Lagrange mostre que: (a) arc tg(x) ≤ x, ∀x ∈ R+ 0;

(b) log(x + 1) < x, x > 0; ¶ µ 1+x 1 < , x > 0; (c) log x x

(d) ex > x + 1, x > 0; x−a x−a (e) + arc tg(a) < arc tg(x) < arc tg(a) + , 2 1+x 1 + a2 (f) |sen(θ) − sen(α)| ≤ |θ − α|, ∀θ, α ∈ R;

x > a;

(g) |sen(θ)| < |θ|, ∀θ ∈ R.

24. Aplicar, caso seja poss´ıvel, o teorema de Cauchy a`s seguintes fun¸co˜es nos intervalos indicados. (a) f (x) = ex

2 −1

+ x e g(x) = 2x em [−1, 1].

(b) f (x) = cos(2x) e g(x) = sen(x) em [− π3 , π3 ]. (c) f (x) = x3 e g(x) = x2 em [−2, 2]. 25. Sejam f e g fun¸co˜es diferenci´aveis em R tais que f 0 (x) > g 0 (x) > 0, ∀x ∈ R e f (a) = g(a). Utilizando o Teorema de Cauchy, demonstre que: (a) f (x) > g(x), ∀x > a.

(b) f (x) < g(x), ∀x < a. 26. Calcule, aplicando o teorema do valor m´edio de Cauchy, o seguinte limite: lim

x→0

tg(a + x) − tg(a − x) . arc tg(a + x) − arc tg(a − x)

6.7 Diferenciabilidade. Teoremas de Rolle, Lagrange e Cauchy

161

27. Seja f uma fun¸ca˜o cont´ınua em [a, b] e diferenci´avel em ]a, b[. Demonstre as seguintes afirma¸co˜es: (a) Se f 0 (x) 6= 0, ∀x ∈]a, b[, ent˜ao f ´e injectiva em [a, b].

(b) Se f 0 (x) ≤ 0 (resp. f 0 (x) ≥ 0), ∀x ∈]a, b[ ent˜ao f ´e fun¸ca˜o decrescente (resp. crescente). 28. Sejam f e g duas fun¸co˜es cont´ınuas num intervalo [a, b] e diferenci´aveis em ]a, b[. Mostre que: (a) se f 0 (x) ≤ g 0 (x), ∀x ∈]a, b[, ent˜ao f (b) − f (a) ≤ g(b) − g(a).

(b) se |f 0 (x)| ≤ g 0 (x), ∀x ∈]a, b[, ent˜ao |f (b) − f (a)| ≤ g(b) − g(a). 29. Calcule os seguintes limites: (a) lim (1 + 3 tg2 (x))cotg(x) ; x→0

µ ¶log (1+ 12 ) x 1 (b) lim ; x→+∞ x x − tg(x) ; x→0 x − sen(x) ¢ ¡ log x+2 ¡ x ¢; (d) lim x→+∞ log x−2 x (c) lim

1

ex (e) lim+ ; x→0 cotg(x) (f) lim xsen(x) ; x→0

1

(g) lim (x + 1) log x ; x→+∞

(h) lim | cos(x)| x→π

x→0

(k) (l) (m)

;

log(sen(4x)) ; log(sen(3x)) h ³ π ´i ; lim x tg (1 − x) x→0 2 · ¸ log x −x ex √ lim + (1 − e ) ; 4 x→+∞ x · ¶x ¸ µ 1 2 lim x x + 1 − ; x→+∞ x · ¸ log x x−1 + lim (log x) ; x→1 sen(πx)

(i) lim (j)

1 x−π

162

6. Exerc´ıcios

¶ sen(x) −1 sen(x) ( x−sen(x) ) ; (n) lim x→0 x µ x ¶1 a + bx + cx x (o) lim , a, b, c ∈ R+ . x→0 3 µ

30. Determine os n´ umeros reais a e b tais que sen(ax) − x x→0 x3 + bx2 lim

seja um n´ umero real diferente de zero. 31. Determine os n´ umeros reais a e b de forma que µ ¶ cos(x) ax + b lim − = 0. x→0 log(x + 1) x

6.8 F´ ormula de Taylor

6.8

163

F´ ormula de Taylor

1. Desenvolva os polin´omios P1 (x) = x4 e P2 (x) = x3 − 2x2 + 3x + 5 em potˆencias inteiras de (x − 3) e (x − 2), respectivamente. 2. Escreva a f´ormula de Taylor de ordem n no ponto a dado, das seguintes fun¸co˜es: (a) f (x) =

1 , x2 + 3 2

a = 1, n = 3;

(b) f (x) = ex ,

a = 0, n = 4;

(c) f (x) = sen2 (x),

a = 0, n = 4;

(d) f (x) = tg(x), 1 (e) f (x) = , x

a = 0, n = 4; a = 1, n = 4.

3. Utilize a f´ormula de Taylor para aproximar a fun¸ca˜o f (x) = cos(x) por um polin´omio de grau 4. Use esse polin´omio para calcular uma aproxima¸ca˜o de cos(0.5). Obtenha uma estimativa para o erro da aproxima¸ca˜o. 4. Use a f´ormula de Taylor para estabelecer as seguintes desigualdades: (a) log(1 + x) ≥ x −

x2 x3 x4 + − , 2 3 4

x > 0;

1 (b) sen(a + h) − sen(a) − h cos(a) ≤ h2 , ∀h ∈ R; 2 3 x 1 ≤ 1 + 2x + 3x2 + 4 , x < 0. (c) 2 (1 − x) (1 − x)5 5. Escreva a f´ormula de Mac-Laurin de ordem n de cada uma das seguintes fun¸co˜es: 1−x ; ex 1 ; (b) f (x) = 1+x (c) f (x) = sen(x); (a) f (x) =

(d) f (x) = cos(x); 1 (e) f (x) = √ . 1+x 6. Observe que as fun¸co˜es f (x) = sen(x) e g(x) = kx, com k pequeno, se intersectam nas proximidades de x = π. Aplicando a f´ormula de Taylor de ordem 3 no ponto π a` fun¸ca˜o g(x) = sen(x) − kx, determine uma solu¸ca˜o aproximada de sen(x) = kx. 7. Utilize a f´ormula de Taylor para calcular os seguintes limites:

164

6. Exerc´ıcios

sen(x) − x ; x2 ex−π + cos(x) − (x − π) ; (b) lim x→π (x − π)2 (a) lim

x→0

1 − cos(x) ; x→0 x2 log(x) − x + 1 . (d) lim x→1 (x − 1)2 (c) lim

8. Seja g(x) = αe−kx + ax, com a < 0, α < 0, k > 0, constantes. Determine os extremos relativos da fun¸ca˜o g.

6.9 Estudo de uma fun¸ c˜ ao

6.9

165

Estudo de uma fun¸c˜ ao

1. Considere a fun¸ca˜o

  xex , se x ≤ 0 f (x) =  x log4 (x), se x > 0

(a) Estude a continuidade de f .

(b) Estude a diferenciabilidade de f . (c) Determine os extremos e a monotonia de f . (d) Determine os pontos de inflex˜ao e concavidades de f . (e) Determine o contradom´ınio de f . 2. Considere a fun¸ca˜o

 

2x , se x ≤ 0 1 + x2 f (x) =  1 − e3x , se x > 0

(a) Estude a continuidade de f .

(b) Estude a diferenciabilidade de f . (c) Determine os extremos e a monotonia de f . (d) Determine os pontos de inflex˜ao e concavidades de f . (e) Determine o contradom´ınio de f . 3. Seja f definida por   x2 − 4, se x ≤ −2    f (x) = | 21 (x2 + x − 2)|, se −2 < x ≤ 1    ex  , se x > 1 2

(a) Estude analiticamente f quanto a` continuidade e derivabilidade. (b) Determine os extremos relativos de f . (c) Mostre, por defini¸ca˜o, que f ´e uniformemente cont´ınua no intervalo ]0, 1]. 4. Considere a fun¸ca˜o definida por 2

|x|e1−x + 2 f (x) = . 5 (a) Estude f do ponto de vista da continuidade, derivabilidade, monotonia e extremos.

166

6. Exerc´ıcios

(b) Indique, justificando, se a fun¸ca˜o ´e uniformemente cont´ınua no intervalo ]−1, 2[. 5. Seja f definida por    πx + π2 , se x < − 12   f (x) = cos(πx), se − 12 ≤ x <     2 − x2 , se x ≥ 3 2

3 2

(a) Estude analiticamente f quanto a` continuidade e derivabilidade. (b) Determine os extremos relativos de f . (c) Esboce o gr´afico da fun¸ca˜o. (d) Mostre, usando a defini¸ca˜o, que f n˜ao ´e uniformemente cont´ınua no intervalo [2, +∞[. 6. Seja f definida por

f (x) =

   a sen(x) + 1, se x ≤ 0  

x2 log(x) + b, se 0 < x < 2     x4 + 3, se x ≥ 2

(a) Determine a e b de modo que f tenha derivada finita no ponto x = 0. (b) Mostre, por defini¸ca˜o, que f ´e uniformemente cont´ınua no intervalo [3, 4]. 7. Considere a fun¸ca˜o f definida por   |x − 1|ex , se x ≤ 2 f (x) =  (x − 2)2 + e2 , se x > 2

(a) Estude analiticamente f quanto a` continuidade e derivabilidade.

(b) Determine os extremos relativos, intervalos de monotonia e pontos de inflex˜ao de f . (c) Mostre, por defini¸ca˜o, que f ´e uniformemente cont´ınua no intervalo ]3, 4]. 8. Seja f definida por

f (x) =

   cos(π(x − 1)),  

se x < 1

2x3 − 15x2 + 36x − 28, se 1 ≤ x ≤ 4     x, se x > 4

6.9 Estudo de uma fun¸ c˜ ao

167

(a) Estude analiticamente f quanto a` continuidade e derivabilidade em todos os pontos do seu dom´ınio. (b) Determine os extremos relativos de f . (c) A fun¸ca˜o f ´e uniformemente cont´ınua no intervalo [0, 2]? E no intervalo ]2, 5]? Justifique a resposta.

168

6. Exerc´ıcios

6.10

Primitiva¸c˜ ao

1. Determine as primitivas das fun¸co˜es definidas pelas express˜oes anal´ıticas seguintes: √ (a) 2x 3 x2 + 3; (b) 5x4 + 2x2 + 3; (c) ax5 , a constante n˜ao nula; ex (d) √ ; 1 − e2x (e) cos(6x); 2 ; (f) 3x (g) sen(2x − 3); 3x (h) ; 5 + x2 √ (i) x x2 + 9 ; (j) cos x − 5e2x ; x (k) + cos(2x); 2 2x + 5 1 ; (l) √ 1 − 5x2 3 5 2 (m) − 2 + + √ ; 2x x x (n) sen(x) cos2 (x); (o)

sen(x) 1 + ; 1 + 2 cos(x) sen2 (x)

(p) (cos2 (x) + 2 cos(x)) sen(x); kx (q) , k 6= 0, ab 6= 0; a + bx2 (r) asen3 (x) + x, a 6= 0; log |x| ; x 1 . (t) x log x

(s)

2. Primitive, por partes, as fun¸co˜es definidas pelas express˜oes anal´ıticas seguintes : (a) arc tg(x); (b) x cos(x);

6.10 Primitiva¸ c˜ ao

169

(c) (x2 + x + 1) ex ; (d) (x2 + 1) cos(x); x (e) ; cos2 (x) log |x| . (f) x2 3. Primitive, por substitui¸ca˜o, usando em cada caso a substitui¸ca˜o indicada, as fun¸co˜es definidas por : (a) √

√ ( x − 1 = t);

(b)

(x = 2 sen(t));

(c) (d) (e)

x3 x−1 x2 √ 4 − x2 r 1 x+2 x+4 x+4 1 x e + e−x 1 sen(x) + cos(x)

µr

¶ x+2 =t ; x+4

(ex = t); ³x´ = t). (tg 2

4. Determine as primitivas das fun¸co˜es racionais definidas pelas express˜oes anal´ıticas seguintes : (a) (b) (c) (d) (e)

x5 ; 2x + 1 x2 + 1 ; 12 + 3x2 x+2 ; 2 3x − 12x + 12 1 ; 2 x −9 2x ; (x + 2)(x − 3)

x3 + x 2 + x + 3 ; x4 + 2x2 − 3 x4 (g) ; 2x3 − 4x2 + 8x − 16 3x (h) ; 2 −x + x + 6 t+1 ; (i) 4 t + t2 (f)

170

6. Exerc´ıcios

(j)

2x3 . (x2 + 1)2

5. Determine a primitiva da fun¸ca˜o x → x2 ex que toma o valor 1 para x = 0. 6. Determine a primitiva da fun¸ca˜o x →

9x2

3 5π que toma o valor para x = 0. + 6x + 2 4 3

7. Determine a primitiva da fun¸ca˜o x → (cos(x)) 5 sen3 (x) + x2 ex que toma o valor 7 para x = 0. 8 , f 0 (1) = −1 e lim f (x) = 1. x→+∞ (x + 1)3 ¶ µ 1 R(log x) , onde 9. (a) Mostre que, com a substitui¸ca˜o log x = t , o c´alculo de P x R designa uma fun¸ca˜o racional do seu argumento, pode fazer-se depender do c´alculo da primitiva de uma fun¸ca˜o racional em t. 4 (b) Primitive f (x) = . 3 x[(log x) − 3 log x − 2] 8. Determine a fun¸ca˜o f tal que f ”(x) =

10. Sendo g(x) = cosn (x)R(sen(x)), com n ´ımpar, onde R designa uma fun¸ca˜o racional do seu argumento , mostre que a substitui¸ca˜o sen(x) = t permite primitivar g atrav´es da primitiva de uma fun¸ca˜o racional. 11. Primitive as fun¸co˜es definidas pelas express˜oes anal´ıticas seguintes : (a) x sen(2x − 1);

(b) x arc tg(x); x (c) √ ; 1+x t+1 ; (d) √ 2 t + 2t + 3 (e) (x + 1)ex ; 3x (f) √ + tg(9x); x2 + 5 x3 + 1 ; (g) 5x2 − 10x + 50 2 (h) √ ; 9 − x2 ex + e−x ; (i) 2x e − 2ex + 1 1 ; (j) √ x x2 + 4x − 4

6.10 Primitiva¸ c˜ ao

171

(k) arc tg(5x); 1 (l) √ ; 2 + x − x2 1 √ ; (m) √ x+1+ 4x+1 (n) cos4 (ax) , a 6= 0; p (o) x5 3 (1 + x3 )2 ;

1 ; 5 + 4 cos(x) √ x − x 3 ex + x2 ; (q) x3 (r) (log x + 1)2 ;

(p)

sen(x) ; cos(x)(1 + cos2 (x)) 3x + 5 ; (t) 2x3 − 2x2 − 2x + 2 x3 (x + 3) (u) ; 3x3 + 9x2 − 12 (v) (x + 1)3 e2x ; (s)

x3 − 3x − 4 ; −4x + 2x2 − 16 2x + 1 (x) √ ; 3x + 2 2t − 1 ; (y) 4 3 t − 2t + 2t2 − 2t + 1 tg(x) (z) . 1 + cos(x)

(w)

12. Mostre por primitiva¸ca˜o que: (a) P [(sen(x))n−1 sen((n + 1)x)] = (b) P [(cos x)m cos(nx)] =

1 (sen(x))n sen(nx); n

1 [cosm (x)sen(nx) + mP [cosm−1 (x) cos((n − 1)x)]]. m+n

13. Estabele¸ca a seguinte f´ormula de recorrˆencia : P (tg(x))n =

(tg(x))n−1 − P (tg(x))n−2 , n−1

n ≥ 2.

172

14. Seja fn (x) = √

6. Exerc´ıcios

xn . Mostre que : a + bx √ 2na 2xn a + bx − P fn−1 (x). P fn (x) = (2n + 1)b (2n + 1)b

6.11 Integrais

6.11

173

Integrais

1. Tendo em conta que toda a fun¸ca˜o cont´ınua em [a,b] ´e integr´avel nesse intervalo, use a defini¸ca˜o de integral para mostrar que se tem : Z b b 2 a2 − ; (a) x dx = 2 2 a Z b (b) sen(x) dx = cos(a) − cos(b). a

2. Seja f a fun¸ca˜o definida por   0 se x ∈ Q f (x) =  1 se x 6∈ Q

Mostre que a fun¸ca˜o x → |f (x) − 21 | ´e integr´avel no intervalo [0, 1] , mas o mesmo n˜ao acontece com a fun¸ca˜o x → f (x) − 21 . 3. Calcule os seguintes integrais: Z −3 1 (a) dx; 2 −2 x − 1 Z 1 x dx; (b) 2 0 x + 3x + 2 Z π 4 (c) sec2 (x) dx; π 6

(d) (e) (f) (g) (h) (i) (j)

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

e2

e π 4

1 dx; x log x tg(x) dx;

−π 4

1 0 π 2

ex dx; 1 + e2x (1 + cos2 (x)) dx;

0 1/2

arc sen (x) dx; 0 π 4

(sen(2x))3 dx;

0 π 3

0

tg3 (x) sec(x) dx;

174

6. Exerc´ıcios

(k) (l) (m) (n) (o) (p) (q) (r) (s) (t)

Z

Z

−1 π

−π Z π

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

√ x2 4 − x2 dx;

1

−π

|sen(x)| dx; (sen(x) + | cos(x)|) dx;

π 2

sen(2x) cos(x) dx;

0 4

1 √ dx; 1+ x

0

log 2

√

0 π 2

0 3

1 dt; 3 + 2 cos t t+1 √ dt; t2 + 2t

2 4

√

1

4/3 3/4

Z

ex − 1 dx;

x dx; 2 + 4x

1 dz; z z2 + 1 √

2

e3x + e2x + 1 dx; ex − e−x 1 √ Z 0 u + 2u + 1 √ du. (v) −1/2 1 + 2 2u + 1

(u)

4. Calcule os seguintes integrais: Z π 2 (a) (x2 cos(x) + 1) cos(x) dx; 0 Z e cos(log x) dx; (b) 1

(c) (d) (e)

Z

Z

Z

1

(x3 + x2 + x + 1)ex dx; 0 π

ex sen(x) dx; 0 4 2

3x3

2x − 1 dx; + 3x + 30

6.11 Integrais

(f) (g)

Z

Z

π 3

0 π 2

175

(| cos(3x)| − xsen(x)) dx; [(sen(x))

n−1

sen((n + 1)x)] dx +

0

Z

π 2

[sen(3x) cos(5x)] dx.

0

5. Seja f uma fun¸ca˜o de classe C 0 em [−a, a]. Mostre que: Z a Z a (a) Se f (x) = f (−x) ent˜ao f (x) dx = 2 f (x) dx; −a 0 Z a (b) Se f (x) = −f (−x) ent˜ao f (x) dx = 0. −a

6. Sejam m e n dois inteiros . Mostre que:  Z π  0 se m 6= n sen(mx)sen(nx) dx = (a)  π se m = n 0 2 Z π (b) sen(nx) cos(mx) dx = 0. −π

7. (a) Seja f uma fun¸ca˜o cont´ınua e crescente em [1, +∞[. Mostre que: Z x f (t) dt < (x − 1)f (x). (x − 1)f (1) < 1

(b) Utilizando o resultado da al´ınea anterior e sendo f (t) = log(t) mostre que ex−1 < xx < (ex)x−1 . 8. Sendo f uma fun¸ca˜o real definida e diferenci´avel em [0, 1], mostre que Z

1 0

0

xf (1 − x) dx =

Z

1 0

f (x) dx − f (0).

9. Determine as derivadas das fun¸co˜es F definidas por : Z 3x+2 tet dt, no ponto em que x = 1; (a) F (x) = 0

(b) F (x) =

Z

Z

kb(x)

f (u) du, k constante; a(x) x2 +x+1

sen(t) dt, no ponto em que x = 1. t 1 Z x2 + 3 t 7 4 e (t − ) 4 dt. Determine: 10. Considere a fun¸ca˜o f (x) = t 1 (c) F (x) =

176

6. Exerc´ıcios

(a) O seu dom´ınio e a equa¸ca˜o da recta tangente a` linha que ´e a sua representa¸ca˜o gr´afica no ponto em que x = 1/2. (b) Os pontos em que a fun¸ca˜o tem extremo relativo e, em cada ponto, a natureza do extremo. 11. Calcule lim

x→0

12. Calcule

Z

1 lim+ x→0 x

x

sen(t3 ) dt 0

Z

.

x4 x

√

3t2 + 5 dt.

0

13. Seja n um inteiro n˜ao negativo e seja In =

Z

π 2

(sen(x))n dx.

0

n+1 In . n+2 (b) A partir do resultado da al´ınea anterior conclua que com k inteiro positivo se tem Z π 2 (2k − 1)(2k − 3)....3 × 1 π (sen(x))2k dx = × 2k(2k − 2)....4 × 2 2 0 e Z π 2 2k(2k − 2)....4 × 2 (sen(x))2k+1 dx = . (2k + 1)(2k − 1)...3 × 1 0 (a) Mostre que In+2 =

(c) Usando a substitui¸ca˜o x =

π 2

− t , mostre que

In =

Z

π 2

0

(cos(x))n dx.

6.12 C´ alculo de ´ areas

6.12

177

C´ alculo de ´ areas

1. Determine a a´rea de cada um dos seguintes dom´ınios: (a) Dom´ınio limitado pela par´abola y 2 = 2x − 2 e pela recta y − x + 5 = 0.

(b) Dom´ınio limitado pelas par´abolas y 2 = 4ax + 4a2 e y 2 = −4bx + 4b2 , a, b ∈ R+ .

(c) Dom´ınio limitado pelas representa¸co˜es gr´aficas das fun¸co˜es f (x) = −x3 e g(x) = −(4x2 + 12x).

(d) Dom´ınio limitado pelas representa¸co˜es gr´aficas das fun¸co˜es f (x) = x3 −6x2 +8x e g(x) = x2 − 4x.

(e) Dom´ınio limitado pelas representa¸co˜es gr´aficas das fun¸co˜es f (x) = ex e g(x) = e−x e por x = −1 e x = 2.

(f) Dom´ınio limitado pelas representa¸co˜es gr´aficas das fun¸co˜es f (x) = x3 − x e g(x) = sen(πx) e x ∈ [−1, 1]. 1 (g) Dom´ınio limitado pelas representa¸co˜es gr´aficas das fun¸co˜es f (x) = , x g(x) = ax, h(x) = bx, a, b ∈ R+ . 2. A par´abola y 2 = x + 1 determina no c´ırculo limitado pela circunferˆencia x2 + y 2 = 3 dois dom´ınios. Determine a a´rea de cada um deles.

178

6.13

6. Exerc´ıcios

Integrais Impr´ oprios

1. Calcule, se existir, o valor de cada um dos seguintes integrais impr´oprios: Z +∞ 2 (a) x e−x dx 0 Z +∞ log x dx (b) x 1 Z 6 1 p dx (c) 3 (4 − x)2 2 Z 2 1 (d) dx 2 1 x −1 Z −3 x (e) dx 2 6/5 −∞ (x − 4) Z +∞ log(3 t) dt (f) 2 t2 1 Z 1 2 x3 (x4 + 1)−3/2 dx (g) −∞ Z a 1 √ (h) dx ; a ∈ R+ 2 − x2 a a/2 Z 3a 2x dx ; a ∈ R+ (i) 2 2 )2/3 (x − a 0 Z 2 x √ (j) dx 3 2 x −4 −2 Z π/2 1 dx (k) −π/2 1 − cos(x) Z +∞ (l) t e−t dt −∞

2. Estude quanto a` convergˆencia os seguintes integrais impr´oprios: Z +∞ 2t + 3 (a) dt 4 t3 + 1 0 Z +∞ sen(x) √ dx (b) x 1 + x2 1 Z +∞ log x (c) √ dx x2 2 Z 1/2 6 x5 ex dx (d) −∞

6.13 Integrais Impr´ oprios

(e) (f)

Z

Z

π

(x2

3 1 0

Z

3

x dx − 9)1/4

1 p

179

sen(x)

dx

cos(x) √ dx x − 1 4 9 − x2 0 Z 1 log(x + 1) (h) dx x−1 0 Z +∞ −x e (i) dx 2 x −1 2 Z +∞ arctg(t) (j) dt t2 1 (g)

√ 3

3. Estude pormenorizadamente para que valores dos parˆametros reais p e q tem sentido cada um dos seguintes integrais: Z +∞ e−x xp dx (a) e

(b) (c) (d) (e) (f) (g) (h)

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

+∞

1

log2 (x) dx x1+p

1

x3 (1 − x)p dx

0 1

1 dx −p xp+1 dx x2 − 4 x + 13

x2

0

+∞ 0 π/2

(cos(x))p dx 0 2 1 0 −2

µ

2−x x−1

¶p+1

1 dx x

(−x)p dx (x + 2)q

4. Seja f uma fun¸ca˜o cont´ınua n˜ao negativa para x > a > 0 e suponha que existem constantes reais M > 0 e K > 1 tais que f (x) ≤

M , ∀x > a xK

(a) Mostre que, nestas condi¸co˜es, o integral impr´oprio

Z

+∞

f (x) dx ´e convergente. a

180

6. Exerc´ıcios

(b) Aplique Z +∞ o resultado da al´ınea anterior para mostrar que o integral impr´oprio 1 √ √ dx ´e convergente. 2 1+x 1 + x3 1 Z x 5. Determine uma representa¸ca˜o anal´ıtica da fun¸ca˜o F (x) = g(t) dt −∞

onde

  2, x2 g(x) =  2,

se |x| ≥ 1 se |x| ≤ 1

6. Determine, se existir, a a´rea do dom´ınio plano ilimitado definido por: (a) a imagem das fun¸co˜es f (x) = dos xx;

1 2 1 e g(x) = x e pelo semi-eixo positivo 1 + x2 2

(b) o eixo dos xx, as rectas x = −2 e x = 5 e a representa¸ca˜o gr´afica da fun¸ca˜o 1 h(x) = p . |x|

7. Determine, se existir, a a´rea de cada um dos seguintes dom´ınios planos ilimitados: (a) S = {(x, y) : x ≤ 0 ∧ 0 ≤ y ≤ ex } © ª (b) S = (x, y) : x ≥ −2 ∧ 0 ≤ y ≤ e−x/2

8. Exame de Recurso de An´alise Matem´atica I (15 Fev 1995): Z +∞ 1 dx (a) Calcule o valor do integral impr´oprio (x2 + 1) (x + 1) 0 Z 1 1 (b) Estude a convergˆencia do integral dx 1/3 −1 (sen(x)) 9. Exame de 2a chamada de An´alise Matem´atica I (3 Fev 1995): (a) Estude, em fun¸ca˜o do parˆametro real α, a convergˆencia do integral Z 1 xα √ dx 2 1 − x2 0 (1 + x ) Z +∞ 1 dx (b) Estude a convergˆencia do integral 2 1/3 (x − 1) (x + 1)1/3 0 10. Exame de 1a chamada de An´alise Matem´atica I (27 Jan 1995): (a) Calcule o valor do integral impr´oprio

Z

π/2 0

cos(x) p dx sen(x)

6.13 Integrais Impr´ oprios

181

(b) Estude, em fun¸ca˜o do parˆametro real α, a convergˆencia do integral Z +∞ (x − 1)α x2 α dx 1

11. Exame de Recurso de An´alise Matem´atica I (15 Abr 1994): (a) Calcule a a´rea do dom´ınio plano ilimitado definido pelo gr´afico da fun¸ca˜o 1 y= e pelo eixo dos xx. 1 + x2 (b) Estude, em fun¸ca˜o do parˆametro real α, a convergˆencia do integral Z 2 x1−2α (2 − x)α/2 dx 0

12. Exame de 2a chamada de An´alise Matem´atica I (21 Fev 1994): Indique, justificando, se s˜ao ou n˜ao convergentes os seguintes integrais Z +∞ −x e √ dx (a) x 0 Z 1 log x √ dx (b) x 0 (Nota: Na al´ınea (b), pode usar quer um crit´erio de compara¸ca˜o, quer a defini¸ca˜o). 13. Exame de 1a chamada de An´alise Matem´atica I (7 Fev 1994): Indique, justificando, se s˜ao ou n˜ao convergentes os seguintes integrais Z 2 ex (a) dx 3 1/5 0 x (1 − x) Z +∞ p 3 1/x √ dx (b) 5 x +1 0 14. Exame de 1a chamada de An´alise Matem´atica I (7 Fev 1994): Estude, em fun¸ca˜o do parˆametro real α, a convergˆencia do integral Z +∞ (x − 1)α e−x dx 1

182

6. Exerc´ıcios

Bibliografia [1] APOSTOL, T. - Calculus, Blaisdell, 1967. [2] CAMPOS FERREIRA, J. - Introdu¸ca˜o a` An´alise Matem´atica, Funda¸ca˜o Calouste Gulbenkian, 1982. [3] ELLIS, R.; GULLICK, D. - Calculus with Analytic Geometry, 5a edi¸ca˜o, Saunders College Publishing, 1994. [4] FIGUEIRA, M. - Fundamentos de An´alise Infinitesimal, Textos de Matem´atica, vol. 5, Departamento de Matem´atica, Faculdade de Ciˆencias da Universidade de Lisboa, 1996. [5] HUNT, R. - Calculus, 2a edi¸ca˜o, Harper Collins, 1994. [6] LARSON, R.; HOSTETLER, R.; EDWARDS, B. - Calculus with Analytic Geometry, 5a edi¸ca˜o, Heath, 1994. [7] SANTOS GUERREIRO, J. - Curso de An´alise Matem´atica, Livraria Escolar Editora, 1989. [8] SARRICO, C. - An´alise Matem´atica, Leituras e Exerc´ıcios, Gradiva, 1997. [9] SPIVAK, M. - Calculus, World Student Series Edition, 1967. [10] STEWART, J. - Calculus, 3a edi¸ca˜o, Brooks/Cole Publishing Company, 1995. [11] SWOKOWSKI, E. W. - C´alculo com Geometria Anal´ıtica, vol. 1, 2a edi¸ca˜o, Makron Books, McGraw-Hill, 1994. [12] TAYLOR, A.; MANN, R. - Advanced Calculus, 2a edi¸ca˜o, Xerox College Publishing, 1972.

´Indice Remissivo R, 9 aderˆencia, 2 bin´omio de Newton, 5 conjunto aberto, 2 dos termos da sucess˜ao., 7 fechado, 2 limitado, 2 majorado, 2 minorado, 2 contradom´ınio, 13 crit´erios de convergˆencia, 115 derivada, 37 a` direita, 38 a` esquerda, 37 de ordem n, 44 segunda, 44 derivado, 2 descontinuidade remov´ıvel, 28 dom´ınio, 13 de defini¸ca˜o, 13 express˜ao anal´ıtica, 13 exterior, 1 extremos, 14 extremos relativos, 46 f´ormula de Leibnitz, 45 f´ormula de MacLaurin, 58 f´ormula de Taylor, 58 fecho, 2 fronteira, 1 fun¸ca˜o, 13

´ımpar, 14 bijectiva, 15 cont´ınua, 23 a` direita, 23 a` esquerda, 23 no conjunto B, 23 crescente, 14 decrescente, 14 diferenci´avel, 37 estritamente crescente, 14 estritamente decrescente, 14 estritamente mon´otona, 14 injectiva, 15 limitada, 15 mon´otona, 14 par, 14 primitiv´avel, 67 prolong´avel por continuidade, 28 racional, 75 real de vari´avel real, 13 sobrejectiva, 15 uniformemente cont´ınua, 32 de classe C 1 , 44 de classe C n , 44 de classe C ∞ , 44 derivada, 44 integr´avel, 98 fun¸ca˜o Beta, 134 fun¸ca˜o Gama, 134 fun¸ca˜o racional em p vari´aveis, 85 irredut´ıvel, 76 gr´afico, 13 grau de multiplicidade, 76

´ INDICE REMISSIVO

indetermina¸co˜es, 52 Indu¸ca˜o matem´atica, 5 ´ınfimo, 3 infinit´esimo, 10 infinitamente grande, 8 infinitamente grande em m´odulo, 8 Integra¸ca˜o por partes, 107 por substitui¸ca˜o, 107 integral, 98 impr´oprio de 1a esp´ecie divergente, 114 impr´oprio de 1a esp´ecie, 113, 121, 122 absolutamente convergente, 121 convergente, 114 simplesmente convergente, 121 impr´oprio de 2a esp´ecie convergente, 126 impr´oprio de 2a esp´ecie, 125–127 convergente, 125 divergente, 125, 126 impr´oprio misto, 131 inferior, 98 superior, 98 interior, 1 limite, 16 a` direita, 19 a` esquerda, 19 lateral, 19 relativo, 19 limite inferior, 11 limite m´aximo, 11 limite m´ınimo, 11 limite superior, 11 lipschitziana, 34 m´aximo, 14 local, 46 relativo, 46 m´ınimo, 3, 14 local, 46 relativo, 46 majorante, 2

185

m´aximo, 3 minorante, 2 parti¸ca˜o, 95 mais fina, 95 polin´omio, 75 em duas vari´aveis, 85 em p vari´aveis, 85 grau de um, 75 irredut´ıvel, 75 redut´ıvel, 75 ponto aderente, 2 de acumula¸ca˜o, 2 exterior, 1 fronteiro, 1 interior, 1 isolado, 2 ponto de estacionaridade, 61 ponto de inflex˜ao, 64 ponto de m´aximo, 14 ponto de m´ınimo, 14 primitiva, 67 imediata, 68 primitiva¸ca˜o de fun¸co˜es irracionais, 85 de fun¸co˜es racionais, 75 por partes, 72 por substitui¸ca˜o, 73 prolongamento, 28 recta acabada, 10 recta tangente, 37 Regra de Barrow, 107 Regra de Cauchy, 52 Regra de l’Hospital, 54 representa¸ca˜o anal´ıtica, 13 resto de Lagrange, 58 restri¸ca˜o, 15 soma inferior de Darboux, 96 soma superior de Darboux, 96 subsucess˜ao, 8

186

sucess˜ao, 7 convergente, 9 crescente, 7 de Cauchy, 12 decrescente, 7 estritamente crescente, 7 estritamente decrescente, 7 estritamente mon´otona, 7 fundamental, 12 limitada, 7 limitada inferiormente, 7 limitada superiormente, 7 mon´otona, 7 supremo, 3 Teorema de Bolzano, 24 de Cantor, 35 de Cauchy, 50 de Darboux, 48 de Lagrange, 49 de Rolle, 47 de Taylor, 57 de Weierstrass, 26 da m´edia, 106 Fundamental do C´alculo Integral, 106 termo geral, 7 valor principal de Cauchy, 124 vari´avel dependente, 13 independente, 13 vizinhan¸ca, 1

´ INDICE REMISSIVO