Matematica I

MATEMÀTICA I ING. CARLOS OLIVA GUEVARA E-mail: [email protected]

Introducción a las matemáticas

“Las Matemáticas de ayer, hoy y para el mañana” • La matemática es como un juego y para ello hay que conocer las reglas del mismo. • La matemática es una ciencia que tiene mas de 2000 años. • Son el lenguaje y la ciencia de los patrones numéricos. • Es la ciencia básica indispensable en el cambio y transformación continua del universo

Objetivos • • •

Ordenar el pensamiento. Definición de axiomas Plantear y desarrollar ejercicios y problemas

•

Las Matemáticas son el arte de dar el mismo nombre a cosas distintas. Nuestro objetivo no ha de ser encontrar parecidos y diferencias, sino descubrir similitudes escondidas bajo discrepancias aparentes.

•

El estudiante ha de construir y reconstruir un conjunto de competencias generales y específicas, referidas a la actividad intelectual, tales que le permitan un desempeño exitoso en las subsiguientes fases de su formación profesional.

•

Elaborar los hábitos de disciplina y competencias cognoscitivas que les permitan formarse como profesionales altamente calificados, según los parámetros de calidad actuales.

LÒGICA • Razonar, pensar, analizar, observar, discutir….. La lógica es el estudio de los métodos y principios usados al distinguir entre los argumentos correctos (buenos) y los argumentos incorrectos (malos). El estudio de la lógica, especialmente la lógica simbólica como el estudio de cualquier ciencia exacta incrementara la capacidad de razonamiento. El razonamiento es la clase especial de pensamiento llamada interferencia, en la que se sacan conclusiones partiendo de premisas. Lo lógico no se interesa en el proceso real de razonamiento. A el le importa la corrección del proceso completado. Su pregunta siempre es: ¿se sigue la conclusión de las premisas usadas o supuestas? Si las premisas son un fundamento adecuado para aceptar la conclusión, si afirmar que las premisas son verdaderas garantiza afirmar la verdad de la conclusión, entonces el razonamiento es correcto. De otra manera es incorrecto. Los métodos y técnicas del lógico se interesa en todo razonamiento, sin atender al contenido del mismo, sino solo desde este punto de vista especial.

LÒGICA PENSAMIENTO El pensamiento es la actividad y creación de la mente, dícese de todo aquello que es traído a existencia mediante la actividad del intelecto. El término pensamiento es comúnmente utilizado como forma genérica que define todos los productos que la mente puede generar incluyendo las actividades racionales del intelecto o las abstracciones de la imaginación; todo aquello que sea de naturaleza mental es considerado pensamiento, bien sean estos abstractos, racionales, creativos, artísticos, etc. El pensamiento podemos definirlo también como la actividad mental no rutinaria que requiere esfuerzo, o como lo que ocurre en la experiencia cuando un organismo se enfrenta a un problema, lo conoce y lo resuelve. Podríamos también definirlo como la capacidad de anticipar las consecuencias de la conducta sin realizarla. El pensamiento implica una actividad global del sistema cognitivo con intervención de los mecanismos de memoria, atención, procesos de comprensión, aprendizaje, etc. Es una experiencia interna e intrasubjetiva. El pensamiento tiene una serie de características particulares, que lo diferencian de otros procesos, como por ejemplo, que no necesita de la presencia de las cosas para que éstas existan, pero la más importante es su función de resolver problemas y razonar

UNIDAD I I. LÒGICA PROPOSICIONAL II. TEORIA DE CONJUNTOS

Semana # 1

1.Lógica proposicional 2.Proposición lógica 3.Enunciados, variables 4.Clases de proposiciones: simples y compuestas 5.Operaciones lógicas

Proposiciones Lógicas  Son enunciados u oraciones con sentido completo. Se los denota por variables proposicionales Tipos de enunciados. cerrados abiertos variables Variables proposicionales (p, q, r, s,….etc) Valor de verdad. (V o F), (1 o 0)

Clases de proposiciones Lógicas

I. Simples o atómicas ej. Unix es un sistema operativo ej.

El multitester es un dispositivo electrónico

II. Compuestas o moleculares ej.

Unix es un sistema operativo y Word es un software ej. Si m es par y n es entero entonces (n) m es positivo

OPERACIONES LÒGICAS • OPERADORES LÒGICOS La negación: ( ~ ) ~p La conjunciòn: (Λ ) La disyunción inclusiva: (v ) La disyunción exclusiva: (∆ ) o q • El condicional: (→ ) entonces q • El bicondicional: (↔ ) solo si q • La negación conjunta: (↓ ) ni p ni q • • • •

no

p

pΛ q pv q p∆ q

pyq poq o p

p→q

si p

p↔q

p si y

p ↓ q

Tabla de verdad clásica p

q ∼ p ∼ q p ∧q

p v q

V

V

V

V

VVV

V

F

V

F

F

V

F

F

F

F

p ∆q

p→q

p↔q

p↑q

p↓q

VVV

VFV

VVV

VVV

VFV

VFV

VFF

VVF

VVF

VFF

VFF

VVF

VFF

V

FFV

FVV

FVV

FVV

FFV

FVV

FFV

F

FFF

FFF

F FF

FVF

FVF

FVF

FVF

Ejercicios Establecer la fórmula molecular de las siguientes expresiones lógicas: 1.Escribimos a máquina o manuscribimos si y solo si no tenemos una computadora 2.O bien 2<4 o bien m>n 3.Unix y Linux son sistemas operativos si solo si autocad y ms Project son programas 4.2 es múltiplo de 4 o es divisor de 6 siempre que 2 sea un número primo 5.Si Word es un procesador de texto entonces o bien Excel es una hoja de cálculo o es un sistema operativo 6.Si llega el verano hace calor e iremos a la playa 7.Julio no es Ingeniero ni abogado pero si es contador 8.Si salimos temprano iremos de paseo no salimos temprano no iremos de paseo 9.Si y solo si estoy enfermo iré al médico o si no iré a jugar fútbol y basquet 10.Si no hay calor y no hay agua y no hay oxigeno y no hay nitrogeno y no hay carbono, no hay fotosíntesis

Ejercicios Establecer la fórmula molecular de las siguientes expresiones lógicas y determinar su valor de verdad. 1.Si 3> 1 y (– 2 )3 = – 8 entonces 1 es primo 2.Unix y Windows Xp. son sistemas operativos si solo si Word y Excel son software 3.Linux es un sistema operativo mientras que el multitester es un dispositivo electrónico. 4.2 es múltiplo de 8 o es divisor de 4 si y solo si 2 es natural o 2 no es primo 5.Si 2<3 y 2 no es un real entonces o bien 2 es par o ( 2 ! ) =1 6.Word es un procesador de texto si y solo si o bien Excel es una hoja de cálculo o bien es un sistema operativo 7.Geoogle no es un buscador informático pero si es parte lógica a menos que el mouse sea parte física

Semana # 2

1. Tablas de verdad 2. Algebra proposicional

Construcción de tablas de verdad Recomendación para construir una tabla de verdad 1. Ver cuántas proposiciones simples existen en la expresión molecular, para realizar las combinaciones 2. Observar en que operador estará de verdad 3. Empezar en orden jerárquico a los conectivos lógicos y también en orden a primero los paréntesis, corchete, llaves, negaciones, etc.

Construcción de tablas de verdad Ej. 1 p

q

(p→q) v (p↔q)

V

V

V

V

V

V

F

F

F

F

F

V

V

V

F

F

F

V

V

V

Rta

Construcción de tablas de verdad Ej. 2

p

q

r

{(p∆q)

v

~ ( p ↔ ~ q )} → ~ r

V

V

V

F

V

V

F

V

V

V

V

F

F

V

V

F

F

F

V

F

V

V

V

F

V

V

V

V

F

F

V

V

F

V

F

F

F

V

V

V

V

F

V

V

V

F

V

F

V

V

F

V

F

F

F

F

V

F

V

V

F

V

V

F

F

F

F

V

V

F

F

F Rta

Tautología Contradicción y Contingencia.

Semana # 3 Tautología:

Son expresiones moleculares siempre verdaderas Ej1. p v ~ p Ej2. (p → q ) v p

Contradicción:

Son expresiones moleculares siempre Falsas Ej. p ∧ ~p Son expresiones moleculares que pueden ser verdaderas o falsas Ej. ( p v ~p)→q

Contingencia:

Construir la tabla de verdad y diga si es tautología contradicción o contingencia Ej. 1 p

q

(p→q)

v ~ (p ↔ q)

V

V

V

V

F

V

V

F

F

V

V

F

F

V

V

V

V

F

F

F

V

V

F

V Tautologia

Construir la tabla de verdad y diga si es tautología contradicción o contingencia Ej. 2 p

q

{( p v q ) → ~ (p ∆ q)} ↔ ~ {( p v q ) Λ ~ (p ↑ q)}

V

V

V

V

V

F

F F

V

V V

F

V

F

V

F

F

V

F V

V

F F

V

F

V

V

F

F

V

F V

V

F F

V

F

F

F

V

V

F

V V

F

F F

V

Contingencia

LEYES LÒGICAS Semana # 4  Sirven para transformar expresiones moleculares en otras equivalentes.  Se aplican en circuitos lógicos y en circuitos digitales. ej. Reducir aplicando leyes lógicas 1.

q ∧[ q ∨(~ q ∧p) ]

por absorción

Solución: q ∧( q ∨ p ) q

por absorción

CIRCUITOS LÒGICOS A) Circuitos en serie p

q

B) Circuitos en paralelo p q

función Booleana p q p^q 1 1 1 0 0 1 0 0

p ∧q 1 0 0 0

función Booleana pVq

p q 1 1 0 0

1 0 1 0

pvq 1 1 1 0

Ejemplos de Aplicación: 1.Grafique el circuito equivalente a: [ ( p ∧ q) v r ] ∧(s v ∼ r) p r

q

s ∼ r

2.Reducir el circuito al menor equivalente y analizarlo para que sea a) cerrado y b) abierto p q ∼ q p

∼ q

∼ q

•Funcion Booleana: [ ( p ∧ q) v ( p ∧∼ q) ] ∧(∼ q v ∼ q) •Reduciendo por leyes lógicas: p ∧∼ q •Circuito equivalente p •Analisis:

∼ q

a) para que sea cerrado (pasa corriente) p: 1 q: 0 b) para que sea abierto (no pasa corriente) p: 1 q: 1 p: 0 q: 1 o 0

CIRCUITOS DIGITALES Semana # 5 a b 1 1 0 0

1 0 1 0

a.b 0 0 1 1

0 1 0 1 NOT

1 0 0 0 AND

a+b 1 1 1 0 OR

a b 0 1 1 0 OREX

a‫סּ‬b 1 0 0 1 NOREX

a+b 0 0 0 1 NOR

a.b 0 1 1 1 NAND

Puertas Básicas

Otras puertas

Ej. 2.

Describa como esta compuesto el circuito

LÓGICA CUANTIFICACIONAL

Semana # 6 Es otra forma de conseguir valores de verdad utilizando cuantificadores existenciales y universales en funciones proposicionales.

FUNCIÓN PROPOSICIONAL Son enunciados abiertos de la forma p(x) en la cual para evaluar se necesita reemplazar a la variable valores convenidos que pertenezcan a un cierto dominio.

EJEMPLO DE APLICACIÓN: Dadas las funciones proposicionales p(x): x2 ≤ 9 q(x): x2 +1= 2x r(x) : x 2< 4 Determinar el valor de verdad de la siguiente expresión [ ( p( 2 ) ∧ q(-1) ) ↔ ~ p(-3) ] ∆ ~ r (2) P(2): Q(–1): P(–3): R(2):

(2) 2 ≤ 9 (–1) 2 +1= 2(–1) (–3) 2 ≤ 9 (2) 2 < 4

EVALUANDO:

…(V) …(F) …(V) …(F)

[ (V ∧F) ↔ ~ (V) ] ∆ ~ (F) [ F ↔ F] ∆ V V ∆V F

Tipos De Cuantificadores Hay 2 clases de cuantificadores:

a)

Cuantificador Existencial ( ∃ )

b)

Cuantificador Universal ( ∀ )

Ej. 1 ∃ x N/ x>3 Se lee: existe un “x” que pertenece a los números naturales tal que “x” sea mayor que 3

Ej. 2 ∀ x ∈R / x 2 +1 = 0 Se lee: para todo “x” que pertenece a los números reales, se cumple que x 2 +1 = 0

CAPÍTULO II TEORÍA DE CONJUNTOS

Semana # 7

Noción de Conjunto Es la agrupación de elementos bien definidos y que tienen una característica en común. Ejemplos: A = {i, d, a, t} Se lee: A es el conjunto cuyos elementos son las letras de la palabra idat B = {0, 1, 2, 3, 4, 5} Se lee: B es el conjunto cuyos elementos son los números naturales menores que 6

Relación De Pertenencia (∈ ) Se hace de elemento a conjunto; y se denota por x

Relación De Inclusiòn

(

∈

A, caso contrario x

∉

A

⊂)

Se hace de conjunto a conjunto y se denota por A ⊂ B, caso contrario A ⊄ B Ej.

Dado los conjuntos:

A = { 1, 2, 3, 4, 6 } ; B = { 2, 3 } y C = { 0, 3, 4 }

Responder : V o F las siguientes proposiciones 1.3 2.B 3.B

∈A  ( V ⊂A  ( V ∈A  ( F

) ) )

4. C ⊄ A 5. {6} ⊂ A 6. 0 y 3 ∉ C

(V) (V) (F)

Determinación de conjuntos

Cardinal y conjunto potencia Cardinal de un conjunto:

n(A) o Card(A) Es la cantidad de elementos que tiene dicho conjunto Ej.

A = { 1, 2, 4 };  n(A) = 3

Ej.

B = { m, n,1, 2, 3 };  n(B) = 5

Conjunto Potencia: P(A) Es aquel conjunto cuyos elementos son sub conjuntos que se pueden formar con los elementos de A Calculo del n° de elementos de P(A):

n(P(A)) = 2n(A)

A = {1,5};

b)

hallar:

a)n(P(A)) = 2n(A) = b)P(A) = {{1},{5},{1,5},{ }}

a) n(P(A) 22 = 4

P(A)

ALGEBRA DE CONJUNTOS Unión: A∪

B

A  B ={x / x ∈ A ∨ x ∈B} Intersección: A∩ B

A  B ={x / x ∈ A ∧ x ∈B} Diferencia: A – B

A − B = {x / x ∈ A ∧ x ∉ B} B − A = {x / x ∈ B ∧ x ∉ A}

Diferencia simétrica: A∆ B A∆B ={x / x ∈( A − B ) ∨ x ∈( B − A)}

Complemento: AI AI = {x / x ∈ (U − A)}

Semana # 8

CONJUNTOS ESPECIALES CONJUNTO UNIVERSAL: (U)

Semana # 8

aciona a todos los elementos que es tan siend considerad os en Intersección: A∩ B

A  B ={x / x ∈ A ∧ x ∈B} Diferencia: A – B

A − B = {x / x ∈ A ∧ x ∉ B} B − A = {x / x ∈ B ∧ x ∉ A}

Diferencia simétrica: A∆ B A∆B ={x / x ∈( A − B ) ∨ x ∈( B − A)}

Complemento: AI AI = {x / x ∈ (U − A)}

Ej. Si: A={1, 2, 3, 5 }; B= { 0, 2, 3, 4 }; U = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 } Hallar:

A  B ={0,1,2,3,4} A  B ={2,3} A −B ={1,5} B −A ={0,4} A ∆B ={0,1,4,5} A! ={0,4,6} B! ={1,5,6}

( A  B )!

={0,1,4,5,6}

nP ( A∆ B ) =2 4 =16 P ( B −A) ={{ 0}, {4}, {0,4}, {}}

PRODUCTO CARTESIANO (AxB)

Semana # 9 Dados dos conjuntos arbitrarios no vacíos A y B se define el producto cartesiano A x B como el conjunto:

AxB = { (a, b) / a ∈ A ∧ b ∈ B Ejemplo: Sean: A = {1, 2} entonces:

y

}

B = {3, 5, 6}

AxB = { ( 1, 3) , (1, 5), (1, 6), (2,3), (2, 5), (2, 6)} BxA = { ( 3,1) , (3, 2), (5,1), (5, 2), (6,1), (6, 2)}

Nro . De Elementos Del Producto Cartesiano AxB

Esta dada por:

n(AxB) = n(A) x n(B)

En el ejemplo:

n(AxB) = 2 x 3 = 6

Semana # 10

EXAMEN PARCIAL

UNIDAD II I.RELACIONES Y FUNCIONES II.SUCESIONES NUMERICAS III.NUMEROS REALES • Ecuaciones • Inecuaciones • Valor absoluto

RELACIONES BINARIAS Semana # 11 Son subconjuntos que se pueden formar con los elementos de un producto cartesiano AxB CÀLCULO DEL No DE R.B. EN AxB No de R.B. = 2n(A).n(B) EJ.

Dado A= {1} ; B = {2,4}

Nª de R.B = 22 = 4 R1 = { (1,2) } R2 = { (1,4) } R3 = { (1,2); (1,4) } R4 = { }

 AxB = { (1,2); (1,4)}

Ej. Dado los conjuntos: Determinar: a) b) c) d) Soluciòn: a) b) c) d)

A = {(x+4) / x∈ N; x < 4} B = {(x+2)/ x∈ Z; – 2< x < 3 }

R1 = {(x,y) ∈AxB / x = y+3} R2 = {(x,y) ∈BxA / x + y = 7} R3 = {(x,y) ∈AxA / x < y} R4 = {(x,y) ∈BxB / x > y} A = {4, 5, 6, 7} B = {1, 2, 3, 4} R1 = {(4,1); (5,2); (6,3); (7,4)} R2 = {(1,6); (2,5); (3,4)} R3 = {(4,5); (4,6); (4,7); (5,6);(5,7);(6,7)} R4 = {(2,1); (3,1); (3,2); (4,1);(4,2);(4,3)}

DOMINIO Y RANGO DE UNA RELACIÒN = ( )

D O M IN IO D R D :omR D R x = x /(A ⊆ ,xB ) A {y∈

}

R A N G O R R :R anR = ( ) R R = y { xy ∈ /(A ⊆ ,xB ) B E jem plo Sea R : D R

= {2,3

R R = {3,4,7

}

}

(2,3)= ;(2 ,4);(3,7) {

}

}

RELACIÒN INVERSA Definición:

Si una relación tiene inversa, esta se denota por: R-1 y se define como:

R −1 = { (b, a ) /( a, b) ∈ R}

Si R = {( 2,3); ( 2,4); (3,5)}

R −1 = {(3,2); ( 4,2); (5,3)}

PROPIEDADES DE LAS RELACIONES BINARIAS

Semana # 12 1. PROPIEDAD REFLEXIVA

R sera reflexiva ↔∃ a( a, )∈R ∀ , a∈ A 2. PROPIEDAD SIMÈTRICA

R sera simetrica si ∃ (a ,b ) ∈ R → ∃(b ,a ) ∈ r 3. PROPIEDAD TRANSITIVA

R sera transitiva si∃ ( ,a )b ∈ R∧ ∃( ,b )c ∈ R → ( ∃ ,a )c ∈R 4. PROPIEDAD DE EQUIVALENCIA

R sera de equivalencia si esta cumple con las ant eriores es decir debe ser( reflexiva, simetrica y transit iva )

Ejercicios Resueltos:

Si A = {2,3,4,6}; det er min ar las siguientes relaciones R1 = {( x, y ) ∈ AxA / ( x ≤ y ) y sea reflexiva }

R1 = {(2,2); (3,3); (4,4); (6,6); ( 2,3); ( 2,4); (2,6); (3,4); (3,6); (4,6)} R2 = {( x, y ) ∈ AxA / ( x + y ) sea impar y sea simétrica R2 = {( 2,3); (3,2); (3,4); (4,3); (3,6); (6,3)}

}

R3 = {( x, y ) ∈ AxA / sea transitiva y contenga 5 elementos R3 = {(2;3); (3,4); (2,4); (3,6); ( 2,6)}

R4 = {( x, y ) ∈ AxA / sea de equivalenc ia de 8 elementos R4 = {( 2,2); (33 ); (4,4); (6,6); (2,3); (3,2); (2,4); (4,2)}

}

}

FUNCIONES Semana # 13 DEFINICIÓN Dado dos conjuntos A y B no vacíos, podemos determinar una relación binaria R de A en B llamada función de A en B si y solo si verifica que:

I . f ⊆ AxB II. Si : (a, b) ∈ f y (a, c) ∈ f → b = c Es decir si dos pares ordenados tienen sus primeras componentes iguales, para que sea función sus segundas componentes también deben ser iguales.

Ejemplo de aplicación 1. Sea A = {1, 2, 3} y B = {2, 3, 4, 5} Diga cual de las siguientes relaciones son funciones de A en B R 1 = {(1,2); (2,3); (3,5)}

Si es función ∈

R2 = {(1,2); (2,3); (2,5)}

No es función

Porque (2,3) y (2,5) tienen las mismas primeras componentes iguales pero sus segundas componentes son diferentes 3 ≠ 5 R3 = {(1,2); (2,4); (3,4)}

Si es función

R4 = {(1,2); (3,2)}

Si es función

R 5 = {(1,2); (2,3); (2,5), (3,5)}; No es función Porque (2,3)

∈

R5, pero 3 ≠ 5

DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCIÓN

Dada una función f de A en B, el dominio es el conjunto de todas las primeras componentes y el rango es el conjunto de todas las segundas componentes de los pares ordenados de f. Es decir:

Dom (f) = Ran (f) =

Ejm.

{ x /( x, y ) ∈ f } ⊆ A { y /( x, y) ∈ f } ⊆ B Si :

F = { (2, 3); (3, 4); (3, 5) }

DF = { 2, 3}

RF = { 3, 4, 5}

Dada la función Evaluar:

f (2x–1)

= 4x2 – 3

f [ f(2)]

Solución: Se recomienda hacer un cambio de variable en 2x – 1 = y



x = (y+1)/2

entonces la nueva función será: f (y) = 4 [(y+1)/2]2 – 3 = (y+1)2 – 3 = y2 + 2y – 1 

f (y) = y2 + 2y – 1

Ahora evaluamos: Ahora

f (2) = (2)2 + 2(2) – 1



f (2) = 7

f [ f(2)] = f (7) = (7)2 + 2(7) – 1



f (7) = 62

TEORIA DE SUCESIONES NUMERICAS

Semana # 14 OBJETIVO Presentar una teoría básica de determinación y tipos de sucesiones así como también el estudio de las progresiones aritméticas y geométricas. Aquí detallamos una teoría intuitiva de convergencia de las sucesiones y una solución sencilla en los ejercicios y problemas.

DEFINICIÓN Se denomina sucesión de números reales a toda función f: N → R, es decir que para cada natural n > 0, le corresponde a la función un número real R = f(n).

PROGRESIÓN ARITMÉTICA

(p.a)

Definición Una p.a es una sucesión de números, en la cual un término diferente al primero restado de su inmediato anterior es siempre una constante denominada razón (r). Sea ÷ a1, a2, a3,………a n–1 , an…………. Se cumple que: a2 – a1 = a3 – a2 = a4 – a3 = ………….. La razón será:

r = an – a n–1

Nota:

r>0 r<0

Si Si

→ →

la p.a es creciente la p.a. es decreciente

Fórmulas y propiedades 1. Razón: r = an – an–1 2. Término enésimo: an = a1 + (n – 1) r 3. Número de términos: n = (an – a1)/r + 1 4. Término central: tc = (an+ a1)/2 Suma de los n primeros términos: (sn) • a) sn = [ 2 a1 + (n – 1)r ] (n/2) b) sn = (a1 + an)(n/2) c) sn = (tc) (n/2) si n es impar

PROGRESIÓN GEOMÉTRICA DEFINICIÓN

Es una sucesión de términos, en la cual uno de ellos diferente al primero dividido de su inmediato anterior es siempre una constante denominada razón (q). Sea ÷÷ t1, t2, t3,………t n–1 , tn, .………….

La razón será: Nota: Si Si Si

q = tn / t n–1

q>1 → la p.g. es creciente 0 < q < 1 → la p.g. es decreciente q<0 → la p.g es alternada

Fórmulas y propiedades 1. 2. 3. 4.

razón: q = tn / tn–1 término enésimo: tn = t1 .qn–1 término central: tc = √t1.tn Suma de los n primeros términos: (sn) sn = t1.(q n – 1 )/(q – 1 )

Ejercicios de (p.a) 1). ÷ 2, 4, 6, 8,......... .. 122 a ) a21 b) n

halar :

c ) sn d ) s15

soluciòn : observamos que : a1 = 2; r = 2; an = 122 a ) a21 = 2 + (21 −1).( 2) → a21 = 42 122 − 2 +1 = 60 +1 → n = 61 2 2 +122 c) sn = s61 = ( ).( 61) = 62 .61 → s61 = 3782 2  2(2) + (15 −1).( 2)  d ) s15 =  .(15 ) = 16 .15 → s15 = 240  2  

b) n =

Ejercicios de (p.g) 1). ÷÷2, 4, 8,16 ,....... a ) t7 soluciòn

b) n :

c)

2048

1024

:

s6

t1 =2 ; q =2;

a ) t 7 =2( 2) 7 −1 =2( 2) 6 b) 2048

hallar t n =2048

→ t 7 =128

=2( 2) n −1 =( 2) n −1

210 =2 n −1

→ n −1 =10

∴ n =11

2 6 −1 64 −1 c ) s6 =2( ) =2( ) =2(63 ) 2 −1 1 → s6 =126

SISTEMA DE LOS NÚMEROS REALES

Semana # 15 INTRODUCCIÓN El sistema de los números reales que ahora conocemos es el resultado de un enorme esfuerzo de reflexión y trabajo de los hombres de ciencias, en particular de los grandes matemáticos de la humanidad. Los enteros positivos como el 1, 2, 3, 4, ..... pueden encontrarse desde el comienzo de nuestra civilización. Enteros tan grandes como 100000 se usaban en Egipto aproximadamente en los años 300 antes de Cristo. Un sistema de axiomas describen completamente los números reales. Partiendo de estos axiomas se deducen todas las propiedades de los números reales. Este método, llamado método axiomático del desarrollo de los números, también fue usado en el estudio y desarrollo de la geometría euclidiana: Un conjunto de axiomas para los números reales da inicio al estudio del sistema de los números reales, al cual se le llama Campo de los Números Reales.

OBJETIVO Describir una gama de axiomas de los números reales que tienen por finalidad derivarse en una serie de propiedades básicas, para resolver ecuaciones e inecuaciones ya sea con valor o sin valor absoluto.

ECUACIONES DE PRIMER GRADO Son de la forma : ax + b = 0; a ∈ R, b ∈ R ∧ a ≠ 0

ejercicios 1).

resueltos

:

2( x + 3) − x = 4(5 − x) + 2 2x + 6− x = 2 0 − 4x + 2 x + 6 = 2 2 − 4x 5x = 1 6 x = 1 6

2).

/5

x − 1 2( x − 3 / 2) + 1= 4− 2 8− x + 1 2x − 3+ 1= 2 9− x 2x − 2 = 2 4x − 4 = 9− x 5x = 1 3 x = 1 3 /5

3).

x −1 x − =x +2 2 3 3 x −3 −2 x =x +2 6 x −3 =6 x +12 −15 =5 x x =− 3

4). 5{x −3[x +2( x −1 / 2) ]} −x =2 x +3 5[x −3(3 x −1) ] =3 x +3 5( − 8 x +3) =3 x +3 −40 x +15 =3 x +3 −43 x =− 12 x =12 / 43

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES ax + by = c.......... .( I ) mx + ny = p.......... ( II )

De orden 2x2 ejercicios

resueltos

:

3).

2x + 3y = 13 .......... (I ) x− y = − 1.......... ( II ) ( II ) x3 → 3x − 3y = − 3 ........(

1).

III )

(I ) + ( II ) : 5 x = 10 x = 2 en ( I ) : 2( 2) + 3y = 13 3y = 9

2x − y = 6 .......... x= y + 2 ..........

( II ) en ( I ) : 2( y + 2) − y = 6 2y + 4− y = 6 y = 2 en ( II ) :

2x − 3y = 4 ..........

x = 2+ 2 x = 4

y = 3 2).

(I ) ( II )

.( I )

3x + 2y = 2 .......... .( II ) ( I ) x2 : 4 x − 6y = 8 .........( III ) ( II ) x3 : 9 x + 6y = 6 .........( IV ) ( III ) + ( IV ) :13 x = 14 x = 14 / 13 en ( II ) : 3(14 / 13 ) + 2y = 2 2y = 2− 42 / 13 2y = 16 / 13 y = 8 / 13

4).

2x − y = 3..........

.( I )

3x + 2y = 2 ..........

.( II )

( I ) x2 : 4 x − 2y = 6 .........( ( II ) + ( III ) : 7 x = 8 x = 8/7 E n ( II ) :

3(8 / 7 ) + 2y = 2 2y = 2− 2 4 /7 2y = − 1 0 /7 y = − 5/7

III )

Problemas sobre sistemas de ecuaciones lineales

1. Julio dice a Rosa mi edad es el triple de tu edad y dentro de 5 años solo será el doble ¿Qué edad tenía Julio cuando nació Rosa 2. L a suma de lo dígitos de un número de 2 cifras es 7, si se invierte el número este excede al primero en 9 unidades. Determinar el complemento de dicho número 3. Por 2 IBM y 3 COMPAQ se paga $ 5400 . Si el precio de una IBM excede a la de una COMPAQ en $200. ¿ determinar el monto mínimo que se requiere para comprar una de cada marca?

ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO Semana # 16 Son de la forma : ax 2 + bx + c = 0; a ∈ R, b ∈ R , c ∈ R; ∧ a ≠ 0

− b ± b 2 − 4ac Soluciòn General : x = 2a

Anàlisis del discriminante : (∆ ) ∆ = b − 4ac 2

si : ∆ > 0; las raìces son reales si : ∆ = 0; las raìces son iguales si : ∆ < 0; las raìces son imaginarias

Propiedades de las ecuaciones de segundo grado

Pr opiedades :

sea x1 y x2 las raìces de la ecuaciòn :

ax 2 + bx + c = 0; podemos aplicar : x1 + x2 = − b / a x1.x2 = c / a ( x1 + x2 ) 2 − ( x1 − x2 ) 2 = 4 x1 x2 Ejm . dada la ecuaciòn :

x2 − 2x + 6 = 0

hallar : ( x1 + x2 ) x1x2 ; siendo x1 y x2 las raìces de la ecuaciòn → x1 + x2 = −(−2) / 1 → x1 + x2 = 2 → x1 x2 = 6 / 1

→ x1 x2 = 6

∴ ( x1 + x2 ) x1 x2 = 2 6 = 64

Resolver ∗aplicando

la siguiente aspa

x 2 −2 x −3 =0

:

simple

x 2 −2 x −3 =0 x −3 x +1 ( x −3)( x +1) =0 ∗aplicando

ecuaciòn

la soluciòn

c.s. ={−1,3} general

:

a =1; b =− 2; c =− 3

−( − 2) ± ( − 2) 2 −4(1)( − 3) x= 2(1) 2 ± 16 2 ±4 x= = 2 2 2 +4 2 −4 x= =3 ∨ x = =− 1 2 2

→c.s. ={−1,3}

5). Hallar el valor de " m" para que las raìces de la ecuaciòn : x 2 + mx − 4 = 0 ;

sean iguales

condiciòn : para que las raìces sean iguales ∆ = b 2 − 4ac = = > ∆ = m 2 − 4(1)( −4) = 0 m2 − 42 = 0 (m − 4)( m + 4) = 0 → c.s. = { − 4,4}

∆=0

DESIGUALDADES E INECUACIONES

Semana # 17

DESIGUALDADES

Se dice que el número “a” es menor que “b” si en una recta de los reales “a” esta a la izquierda de “b” –∞

+∞ R a

b

Se denota por: (a < b) Propiedades: 1).

S i

a < b → a± m < b± m

; m∈R

am 0  , ∀ a / m bm   Si a b / m   3). Si : a d a −c b >0 →1 / a <1 / b 5). Si : a

b


c

b 1  →  b >c si 0
1.) a) x a)

e je r c ic io s r e s u e lto s : s i (2 x − 1) ∈ <− 3, 5] ;h a lla r

b)

3x + 4

c) 5 − 4x

− 3< 2x − 1≤ 5 − 3+ 1< 2x ≤ 5+ 1 − 2 < 2x ≤ 6 − 1< x ≤ 3

b)

3x + 4 x (3)

p a r tim o s

→ x∈ <− 1, 3] d e

:

− 1< x ≤ 3 → − 3< 3x ≤ 9

+ ( 4) → 1< 3x + 4 ≤ 1 3 c)

5− 4x

p a r tim o s d e − 1< x ≤ 3

→ (3 x + 4) ∈ <1, 1 3

]

:

x(− 4) → 4 rel="nofollow"> − 4x ≥ − 1 2 + (5) → 9 > 5− 4x ≥ − 7

→ (5 − 4 x) ∈ [− 7,9 >

INECUACIONES Inecuaciones de primer grado Son de la forma:

ax + b < 0; donde: a ∈ R, b ∈ R y a ≠ 0

Ejercicios: (resolver) Ejemplo 1. 2( x − 3) + 3( x − 2 / 3) ≤ 1− (x − 1) + x so lu cu ò n 2x − 6+ 3x − 2 ≤ 1− x+ 1+ x 5x − 8≤ 2 5x ≤ 1 0 x ≤ 2 = = >

x∈ <− ∞ , 2]

Ejemplo 2. 2( x − 2) + 3( x +2 / 3) >5 − 2( x − 1) +x solucuòn 2x − 4+ 3 x +2 >5 − 2 x +2 +x 5x − 2 >7 −x 5 x +x >7 +2 6 x >9 x >3 / 2

= = >

x∈ < 3 / 2, + ∞ >

Ejemplo 3.

x− 1 x −2 − ≥x + 1 3 2 2 x −2 −3 x +6 ≥x + 1 6 4 −x ≥x + 1 6 4 −x ≥6 x +6 −7 x ≥2 x ≤− 2/7 = = > <− ∞, −2 / 7 ]

INECUACIONES Inecuaciones de Segundo grado Son de la forma:

ax + bx + c < 0; donde: a ∈ R, b ∈ R , c ∈ R y a ≠ 0 2

Ejercicios: (resolver)

Ejemplo 2. Hallar el conjunto solución de

x2 – x– 6 ≥ 0

Solución: de

x2 – x– 6 ≥ 0;

por aspa simple

(x+2) (x – 3) ≥ 0 ab ≥ O ⇔ (a ≥ 0 ∧b ≥ 0) ∨(a ≤ 0 ∧b ≤ 0)

Aplicando 2:

⇒ (x+2) ≥ 0 ∧x – 3 ≥ 0 ∨ (x+2 ≤ 0 ∧x – 3 ≤ 0) ⇒ (x ≥ – 2 ∧x ≥ 3 ) ∨ (x ≤ – 2 ∧x ≤ 3) ⇒ ( x ≥ 3 ) ∨ (x ≤ – 2 )

x ∈< −∞ ,−2] ∨ [ 3,+∞ > −2

3

Ejm de inecuacion

es fraccionar

x −1 ≤0 x se trabaja como producto : ( x −1)( x ) ≤ 0 →x ∈ < 0,1]

1).

2).

x 2 −2 x −3 ≥0 x −4

( x −3)( x + 1)( x −4) ≥0

x ∈[ −1, 3]∨ < 4,+∞ >

ias

VALOR ABSOLUTO DEFINICIÒN:

Semana # 18

Al valor absoluto de un número real x, lo denotaremos por

 x; si x ≥ 0 x = − x; si x < 0 Ejemplos:

 3 = 3  – 3 = 3

1.Propiedades Básicas

a ≥ a; ∀x ∈ R a ≥ 0; ∀x ∈ R

a = −a

a.b = a b

a a = ; b≠ 0 b b

a+b ≤ a + b

Pr opiedades para resolver ecuaciones e inecuacion es 1. a = 0 ↔ a = 0 2. a = b ↔ a = b ∨ a = −b 3. a = b ↔ b ≥ 0 ∧ [ a = b ∨ a = −b] 4. a ≤ b ↔ −b ≤ a ≤ b 5. a ≥ b ↔ a ≥ b ∨ a ≤ −b 1). 2 x −4 =0 2 x −4 =0 2 x =4 →x =2 2). 3 x −1 = x −3 3 x −1 =x −3 ∨3 x −1 =−( x −3) 3 x −x =−3 +1 ∨3 x −1 =−x +3 2 x =−2 ∨4 x =4 x =−1 ∨ x =1 →C .S . ={−1,1}

3). 2 x + 1 = x − 1

x − 1 ≥ 0 ∧ [ 2 x + 1 = x − 1 ∨ 2 x + 1 = −( x − 1)] x ≥ 1 ∧ [ x = −2 ∨ 3 x = 0]

x ≥ 1 ∧ ( x = −2 ∨ x = 0) no exixte int er sec ciòn entonces c.s. = {

} =φ

).

2 x −5 < 7 − 7 < 2 x −5 < 7 − 2 < 2 x <12 −1 < x < 6 → x ∈< −1,6 >

5). 4 − 3 x ≤ 5 −5 ≤ 4 −3x ≤ 5 − 5 − 4 ≤ −3 x ≤ 5 − 4 − 9 ≤ −3 x ≤1 multiplica mos por (−1 / 3) y la desigualda d se invierte 3 ≥ x ≥ −1 / 3 x ∈< −1 / 3, 3]

6). 3 x − 2 ≥ 5 3x − 2 ≥ 5 ∨ 3x − 2 ≤ −5 3x ≥ 7 ∨ 3x ≤ −3

x ≥ 7 / 3 ∨ x ≤ − 1 → x ∈ < −∞ ,−1] [ 7 / 3,+ ∞ >

7). 1 − 2 x > 7 1 − 2 x > 7 ∨ 1 − 2 x < −7 − 2 x > 6 ∨ − 2 x < −8 x < −3 ∨ x > 4

→ x ∈ < −∞ ,− 3 >  < 4,+ ∞ >

Ing _ C.O.G/