Mat4. Act. 5

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Nombre: Andrés Jaramillo Inclán Matrícula: 2595678 Nombre del curso: Matemáticas IV Nombre del profesor: Adriana Cantú Módulo: 3. Circunferencia y Actividad: 5. Condiciones de paralelismo y elipse. Parábola e hipérbola. perpendicularidad. Longitud de un segmento a una recta. Fecha: Miércoles 23 de septiembre de 2009 Equipo: no aplica. Bibliografía: Melba Alicia Guerra. Apoyos Visuales del Tema 5. 2009-09-07. http://cursos.tecmilenio.edu.mx/cursos/ene08/prepa/pm/pm04400/apoyos/5.swf Ejercicio: 1. a) b)

Escribe las condiciones necesarias para que se de: Paralelismo entre rectas. Perpendicularidad entre rectas.

2.

Escribe la fórmula para determinar la distancia entre un punto y una línea recta.

3. Resuelve los siguientes problemas: a) Determina la ecuación de la recta que pasa por el punto (5, -1) y que es paralela a la recta cuya ecuación es: 2x= -3y + 5. b) Determina la ecuación de la recta que pasa por el punto (2, -3) y que es perpendicular a la recta cuya ecuación es: 2y= -3x + 7. c) Determina la distancia entre el punto dado y la recta respectiva: P (5, -2); 3x – 5y – 7 = 0 P (-3, 12); 7x + 6y + 9 = 0 d) Calcula el valor de la pendiente y la ecuación de la línea recta que pasa por el punto C (-4,1) y es perpendicular a la recta que pasa por los puntos A (-2,6) y B (1,3). e) Una recta L1 pasa por el punto (-1,8) y es perpendicular a la recta L2 que tiene por ecuación 3x -4y + 9 = 0. Determina la ecuación de la recta L1. f) Encuentra la ecuación de la recta mediatriz (perpendicular y pasa por el punto medio) al segmento cuyos extremos son: A (1,4) y B (5,8). g) Verifica si el cuadrilátero con los siguientes vértices es un paralelogramo: A(0,4), B(4,0), C(0,-4) y D (-4,0). Traza su gráfica. h) Demuestra que el cuadrilátero cuyos vértices son K (0,-2), L (-4,6), M (5,6) y N (9,4) es un rectángulo. Justifica tu respuesta. I) Dados los puntos A (-2,6), B (1,3), C (-2,0) y D (-5,3) demostrar: * Por medio de pendientes que los puntos ABCD son los vértices de un paralelogramo. * Que sus diagonales se cortan en su punto medio. * Trazar la gráfica correspondiente. j) Un triángulo tiene como vértices los puntos D (5,6), E (-3,2) y F (1,-4). * Encuentra la ecuación de la mediatriz a cada uno de los lados. * Traza la gráfica donde señales con colores diferentes los lados del triángulo y sus mediatrices. 4. Calcula la distancia entre las rectas 7x – 2y + 8 = 0; 7x – 2y + 9 = 0.

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7. Un tanque abastecedor de agua potable se localiza en el punto cuyas coordenadas son (8,7). La ecuación de la tubería que trasladará el agua es 4x + y = 2 y se instalará de manera perpendicular con el tanque abastecedor. Determina la ecuación de la línea de conexión y la longitud de la tubería requerida si las unidades son kilómetros. 8. Una circunferencia tiene como centro al punto C (3, -5) y es tangente a la recta 8x + 10y -11 = 0. Calcula: 1. El radio de la circunferencia. 2. Su diámetro. 3. Su perímetro. 4. Su área. __________________________________________________________________________

Procedimientos y Resultados: 1. Escribe las condiciones necesarias para que se de: a) Paralelismo entre rectas. Leer con atención la explicación de la actividad “Dos rectas no verticales L1 y L2 son paralelas si y sólo si, sus pendientes m1 y m2 son iguales.” b) Perpendicularidad entre rectas. Leer con atención la explicación de la actividad “Dos rectas no verticales L1 y L2 son perpendiculares si y sólo si, sus pendientes son recíprocas y de signo contrario”. 2. Escribe la fórmula para determinar la distancia entre un punto y una línea recta. Leer con atención la explicación de la actividad. /Ax1+By1 + C/÷√A2+B2 3. Resuelve los siguientes problemas: a) Determina la ecuación de la recta que pasa por el punto (5, -1) y que es paralela a la recta cuya ecuación es: 2x= -3y + 5. Se debe de sacar, solo, la ecuación que se conforma por el punto (5, -1) ya que es lo que pide la ecuación. Pero para sacar la ecuación de la primera coordenada se debe conocer su pendiente a través de la segunda ecuación que convertida a general sería 2x+3y-5=0, una vez así se calcula su pendiente con m=-A/B m=-2/3 Ahora sí se utiliza la fórmula y-y1=m(x-x1) para convertir el punto (5, -1) a una ecuación general. y+1=-2/3(x-5) 3y+3=-2x+10 2x+3y+3-10=0 2x+3y-7=0 b) Determina la ecuación de la recta que pasa por el punto (2, -3) y que es perpendicular a la recta cuya ecuación es: 2y= -3x + 7. Primero se debe de sacar la pendiente de la ecuación dada, ya que la utilizaremos después.

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Para sacar la pendiente de la ecuación debemos primero convertirla a general y después usar la fórmula m=-A/B. 3x-2y-7=0 m=-A/B m=-(3/-2) m=3/2 La pendiente, en caso de que la otra líne sea perpendicular, se convierte en recíproca y negativa, en este caso -2/3 Ahora sí se utiliza la fórmula y-y1=m(x-x1) para convertir el punto (2, -3) a una ecuación general. y+3=-2/3(x-2) 3y+9=-2x+4 2x+3y+9-4=0 2x+3y+5=0 c) Determina la distancia entre el punto dado y la recta respectiva: Para las siguientes 2 operaciones, simplemente utilizaremos los pasos de la fórmula para determinar la distancia entreun punto y una línea aparte: /Ax1+By1 + C/÷√A2+B2 P (5, -2); 3x – 5y – 7 = 0 /Ax1+By1 + C/÷√A2+B2 /3(5)+(-5)(-2)-7/÷√(3)2+(-5)2 /15+10-7/÷√9+25 18÷√34 18÷5.83 3.08 P (-3, 12); 7x + 6y + 9 = 0 /Ax1+By1 + C/÷√A2+B2 /7(-3)+(6)(12)+9/÷√(7)2+(6)2

/-21+72+9/÷√49+36

60÷√85

60÷9.219 6.50 d) Calcula el valor de la pendiente y la ecuación de la línea recta que pasa por el punto C (-4,1) y es perpendicular a la recta que pasa por los puntos A (-2,6) y B (1,3). En esta ocación primero sacaremos la pendiente de los puntos A y B dados para posteriormente deducir la pendiente de la coordenada C y así sacar su ecaeción Calculando pendiente m=y2-y1/x2-x1 de los puntos AB m=3-6/1+2 m=-3/3 m=-1 Pendiente recíproca y negativa = 1 Pendiente del punto C = 1 Calculando ecuación general con fórmula y-y1=m(x-x1) del punto C y-1=1(x+4) y-1=x+4 -x+y-1-4=0 -x+y-5=0 Se escriben los resultados de la línea recta que pasa por el punto C Pendiente = 1 Ecuación = -x+y-5=0 e) Una recta L1 pasa por el punto (-1,8) y es perpendicular a la recta L2 que tiene por ecuación 3x -4y + 9 = 0. Determina la ecuación de la recta L1. Lo que se necesita, en primer lugar, es sacar la pendiente de L2 para, posteriormente, utilizarla en la ecuación que servirá para determinar la ecuación de L1 Calculando pendiente de L2 con fórmula m=-A/B m=-(3/-4) m=3/4 Pendiente recíproca = -4/3 Una vez obtenida la pendiente de la recta L1, se puede calcular la ecuación general con la ecuación y-y1=m(x-x1) y-8=-4/3(x+1)

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3y-24=-4x-4 4x+3y-24+4=0 4x+3y-20=0 El resultado es: L1 = 4x+3y-20=0 f) Encuentra la ecuación de la recta mediatriz (perpendicular y pasa por el punto medio) al segmento cuyos extremos son: A (1,4) y B (5,8). En esta ocación primero sacaremos la pendiente de los puntos A y B, para después utilizarla, en forma recíproca, en la ecuación de la mediatríz con la ayuda de un punto medio P. Calculando pendiente con m=y2-y1/x2-x1 m=8-4/5-1 m=4/4 m=1 Pendiente recíproca = -1 Calculando punto P con fórmula x1+x2/2 para la abscisa ¨x” y y1+y2/2 para la ordenada “y” x=1+5/2 x=6/2 x=3 y=4+8/2 y=12/2 y=6 P(3,6) Teniendo el punto P(3,6) y la pendiente -1, se realiza la ecuación para encontrar la forma general: y-y1=m(x-x1) y-6=-1(x-3) y-6=-x+3 x+y-6-3=0 x+y-9=0 Mediatríz = x+y-9=0 g) Verifica si el cuadrilátero con los siguientes vértices es un paralelogramo: A(0,4), B(4,0), C(0,-4) y D (-4,0). Traza su gráfica. En primer lugar, se traza la gráfica para determinar a que lados se les determinara si son paralelos o no.

Comprobaremos si los lados AB y CD son paralelos. Esto se sabrá al momento de ver que sus pendientes sean iguales Calculando pendiente AB con fórmula m=y2-y1/x2-x1

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mAB=0-4/4-0 mAB=-4/4 mAB=-1 Calculando pendiente CD con fórmula m=y2-y1/x2-x1 mCD=0+4/-4-0 mCD=4/-4 mCD=-1 Ambas pendientes son iguales, por lo tanto: El cuadrillátero es un paralelogramo h) Demuestra que el cuadrilátero cuyos vértices son K (0,-2), L (-4,6), M (5,6) y N (9,4) es un rectángulo. Justifica tu respuesta. Lo que se tiene que hacer en este inciso es gáficar la figura y posteriormente comprobar que las pendientes de dos lados que parezcan paralelos sean iguales para afirmar que en verdad si son paralelos. Gráfica

Gracias a la gráfica podemos saber que debemos de comprobar las pendientes de KL con MN Calculando pendiente KL con fórmula m=y2-y1/x2-x1 mKL=5-2/-4-0 mKL=3/-4 Calculando pendiente MN con fórmula m=y2-y1/x2-x1 mMN=4-6/9-6 mMN=-2/3 Las pendientes son claramente diferentes en la gráfica y en la ecuación, por lo tanto: El cuadrilátero no es un rectángulo I) Dados los puntos A (-2,6), B (1,3), C (-2,0) y D (-5,3) demostrar: * Por medio de pendientes que los puntos ABCD son los vértices de un paralelogramo. Por medio de la fórmula m=y2-y1/x2-x1 se comprobará la igualidad de las pendientes del lado AB con el lado CD Calculando pendiente AB con fórmula m=y2-y1/x2-x1 mAB=3-6/1+2 mAB= -3/3 mAB=-1 Calculando pendiente CD con fórmula m=y2-y1/x2-x1 mCD=3-0/-5+2 mCD=3/-3 mCD=-1 Respuesta: Si se trata de un cuadrilátero paralelogramo.

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* Que sus diagonales se cortan en su punto medio.

Respuesta: Sus diagonales cortan su punto medio (-2,3) * Trazar la gráfica correspondiente. Gráfica

Respuesta: Hecho. j) Un triángulo tiene como vértices los puntos D (5,6), E (-3,2) y F (1,-4). * Encuentra la ecuación de la mediatriz a cada uno de los lados. Se debe de sacar en primer la pendiente, después sacar el punto P entre dos vértices consecutivos y con estos datos hacer la ecuación general para cada uno de los lados, con DE, con EF y por último con DF Calculando mDE con fórmula m=y2-y1/x2-x1 mDE=2-6/-3-5 mDE=-4/-8 mDE=1/2. Se utilizará su recíproco -2/1 Calculando punto PDE con fórmula x1+x2/2 para la abscisa ¨x” y y1+y2/2 para la ordenada “y” x=5-3/2 =2/2 =1 y=6+2/2 =8/2 =4 P(1,4) Calculando la forma general de la mediatríz con fórmula y-y1=m(x-x1) y-4=-2/1(x-1) y-4=-2x+2 2x+y-4-2=0 2x+y-6=0 Ecuación Mediatriz DE = 2x+y-6=0

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Calculando mEF con fórmula m=y2-y1/x2-x1 mEF=-4-2/1+3 mEF=-6/4 mDE=-3/2. Se utilizará su recíproco 2/3 Calculando punto PEF con fórmula x1+x2/2 para la abscisa ¨x” y y1+y2/2 para la ordenada “y” x=-3+1/2 =-2/2 =-1 y=2-4/2 =-2/2 =-1 P(-1,-1) Calculando la forma general de la mediatríz con fórmula y-y1=m(x-x1) y+1=2/3(x+1) 3y+3=2x+2 -2x+3y+3-2=0 -2x+3y-1=0 Ecuación Mediatriz EF = -2x+3y-1=0 D (5,6), F (1,-4). Calculando mDF con fórmula m=y2-y1/x2-x1 mDF=-4-6/1-5 mDF=-10/-4 mDF=-5/-2 mDF=5/2 Se utilizará su recíproco -2/5 Calculando punto PDF con fórmula x1+x2/2 para la abscisa ¨x” y y1+y2/2 para la ordenada “y” x=5+1/2 =6/2 =3 y=6-4/2 =2/2 =1 P(3,1) Calculando la forma general de la mediatríz con fórmula y-y1=m(x-x1) y-1=-2/5(x-3) 5y-5=-2x+6 2x+5y-5-6=0 -2x+5y-11=0 Ecuación Mediatriz DF = -2x+5y-11=0 * Traza la gráfica donde señales con colores diferentes los lados del triángulo y sus mediatrices. Gráfica

* No se en que me equivoque. 4. Calcula la distancia entre las rectas 7x – 2y + 8 = 0; 7x – 2y + 9 = 0. En este problema se necesita sacar una coordenada de cualquiera de las 2 líneas, esto se hace, dandole valor de 0 a una literal. Primero lo haremos con X para sacar Y. 7x-2y+9=0 x=0 -2y+9=0 -2y=-9 y=-9/-2 y=9/2

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Ahora lo haremos con Y para sacar X 7x-2y+9=0 y=0 7x+9=0 7x=-9 x=-9/7 Coordenadas (9/2, -9/7) Ya que obtuvimos la coordenada, podemos aplicar la formula /Ax1+By1 + C/÷√A2+B2 utilizando la otra línea 7x – 2y + 8 = 0 /7(9/2)+(-2)(-9/7)+8/÷√(7)2+(-2)2 /63/2+18/7+8/÷√49+4 589/14÷√53 589/14÷7.280 R = 5.779 7. Un tanque abastecedor de agua potable se localiza en el punto cuyas coordenadas son (8,7). La ecuación de la tubería que trasladará el agua es 4x + y = 2 y se instalará de manera perpendicular con el tanque abastecedor. Determina la ecuación de la línea de conexión y la longitud de la tubería requerida si las unidades son kilómetros. En este problema primero determinaremos la ecuación de la línea que conecta al tanque con la tubería. Para esto necesitaremos la pendiente recíproca de la ecuación dada. Calculando pendiente de 4x + y = 2 con la fórmula –A/B 4x+y-2=0 m=-4/1 m=-4. Se utilizará su recíproca: 1/4 Ahora, con la pendiente y las coordenadas (8,7), sacaremos la ecuación con la fórmula y-y1=m(x-x1) y-7=1/4(x-8) 4y-28=x-8 -x+4y-28+8=0 R = -x+4y-20=0 Ya tenemos la ecuación, ahora solo resta sacar la distancia que hay entre el tanque y la tubería y expresarlo en kilometros. /Ax1+By1 + C/÷√A2+B2 /4(8)+(1)(7)-2/÷√(4)2+(1)2 /32+7-2/÷√16+1 37÷√17 37÷4.12 R = 8.974 Kilómetros hay de distancia entre el tanque y la tubería 8. Una circunferencia tiene como centro al punto C (3, -5) y es tangente a la recta 8x + 10y -11 = 0. Calcula: 1. El radio de la circunferencia. Para calcular el radio, tenemos que sacar la distancia de el punto medio a la tangente con la fórmula /Ax1+By1 + C/÷√A2+B2 /8(3)+(10)(-5)-11/÷√(8)2+(10)2 /24-50-11/÷√64+100 /-37/÷√164 37÷12.806 2.889 Radio = 2.889 2. Su diámetro. Para calcular el diámetro simplemente se debe de multiplicar el radio 2 veces. 2.889 x 2 = 5.778 Diametro = 5.778 3. Su perímetro. Para sacar el perímetro de una circunferencia se multiplica el diametro por π. 5.778 x π Perímetro = 18.152 4. Su área. El área de una circunferencia se determina por multiplicar el radio del círculo elevado al cuadrado por π. 5.7782 x π Área = 104.883u2