Mat4. Act. 8

Preparatoria Práctica de ejercicios

Nombre: Andrés Jaramillo Inclán Nombre del curso: Matemáticas IV Módulo: 3. Circunferencia y elipse.

Matrícula: 2595678 Nombre del profesor: Adriana del Carmen Cantú Actividad: 8. Tipos de ecuaciones de la

Parábola e hipérbola. circunferencia. Fecha: 08 de Ocubre del 2009 Equipo: No Aplica. Bibliografía: - Melba Alicia Guerra. Apoyos Visuales del Tema 8. 2009-10-08 http://cursos.tecmilenio.edu.mx/cursos/ene08/prepa/pm/pm04400/apoyos/8.swf Ejercicio: I. Contesta las siguientes preguntas: 1. ¿Por qué a la circunferencia se le considera como una cónica? 2. Elabora una tabla donde señales los tipos de ecuación de la circunferencia, sin olvidar el caso de la circunferencia con centro en el origen. 3. Elabora una lista donde menciones al menos 10 objetos que conozcas que tenga forma de circunferencia. 4. ¿De qué manera se relacionan la fórmula de distancia entre dos puntos y la circunferencia? 5. ¿De qué manera se relacionan la fórmula de punto medio y la circunferencia?

II. Determina de las siguientes ecuaciones el centro y radio de la circunferencia 1.- ( x + 2) 2 + ( y + 5) 2 = 36 2.- ( x − 3) 2 + ( y − 9 ) 2 = 81

III. Resuelve lo siguiente 1.-Determina el radio, la ecuación ordinaria y general de la circunferencia, dado el centro y un punto C (-3,-2); A(0,0) 2.- Los siguientes puntos: A (-4,2); B (3,1) corresponden a los extremos de uno de los diámetros de la circunferencia. Determina el centro, el radio y su ecuación ordinaria. Traza su gráfica 3.- Determina la ecuación ordinaria y general de la circunferencia dados el centro y el radio C (4,-5); r = √2

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4.- Determina la ecuación ordinaria de la circunferencia dado el radio y cuyo centro se encuentra en la intersección de las rectas que se te proporcionan. Elabora una gráfica donde incluyas a la circunferencia y a las dos rectas: radio = 8 unidades y 5x-y+7=0; 3x+6y+9=0

IV. Reduce las siguientes ecuaciones a su forma ordinaria. Determina si representa un punto, una circunferencia imaginaria o una circunferencia. En este último caso determina su centro y radio 1.-

2.-

V. Encuentra la ecuación de la circunferencia cuyo centro es el punto (2, -3) y es tangente al eje Y. Elabora la gráfica VI. La ecuación reducida de una circunferencia es x 2 + y 2 = 9 . Determina su centro y su radio. Elabora la gráfica correspondiente. VII. Encuentra la ecuación de la circunferencia que pasa por A (8,2) y B(3,6) y tiene una radio de 4 unidades

Procedimientos y Resultados: I. Contesta las siguientes preguntas:

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1. ¿Por qué a la circunferencia se le considera como una cónica? Leer con atención la explicación del tema. Porque es la intersección de un cono con un plano. 2. Elabora una tabla donde señales los tipos de ecuación de la circunferencia, sin olvidar el caso de la circunferencia con centro en el origen. Leer con atención la explicación del tema.

Circunferencia en forme estándar

Circunferencia con centro en el orígen

3. Elaborar una lista donde menciones al menos 10 objetos que conozcas que tenga forma de circunferencia. - Una esfera - Plato - Llanta - Un balón - La letra “o” - Un aro - Un anillo - Una arracada - El íris de un ojo - Una naranja 4. ¿De qué manera se relacionan la fórmula de distancia entre dos puntos y la circunferencia? Leer con atención la explicación del tema. Con la fórmula de distancia de puntos se puede determinar la distancia que hay de cualquier punto y por consiguiente del punto central a un punto del contorno de la circunferencia, de esta forma se sabe el radio de la circunferencia y con el radio se determina la ecuación de la circunferencia.

5. ¿De qué manera se relacionan la fórmula de punto medio y la circunferencia? Leer con atención la explicación del tema. En el caso de que te den tres puntos no colineales, puedes formar el triangulo formado por estos. Conla fórmula de punto medio, deberas encontrar el mismo de los tres lados del

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triángilo, después podrás encontrar las mediatrices de estos y así, la intersección formada por estas, podrás saber el punto medio de la circunferencia.

II. Determina de las siguientes ecuaciones el centro y radio de la circunferencia 1.- ( x + 2) 2 + ( y + 5) 2 = 36 Para obtener el centro simplemente tenemos que despejar las coordenadas de la ecuación ordinaria h=-2 k=-5 Centro=(-2,-5) El radio se obtendrá de la ecuación ordinaria (x-h)2+(y-k)2=r2 r=36/2 r=18 2.- ( x − 3) 2 + ( y − 9 ) 2 = 81 Para obtener el centro simplemente tenemos que despejar las coordenadas de la ecuación ordinaria h=3 k=9 Centro=(3,9) El radio se obtendrá de la ecuación ordinaria (x-h)2+(y-k)2=r2 r=81/2 r=40.5 III. Resuelve lo siguiente 1.-Determina el radio, la ecuación ordinaria y general de la circunferencia, dado el centro y un punto C (-3,-2); A(0,0) Se debe determinar en primera instancia, el radio de la ecuación y después seguir con lo demás. Para determinar el radio usaremos la fórmula de distancia entre dos puntos √(x2-x1)2+(y2-y1)2 √(0+3)2+(0+2)2 √(3)2+(2)2 √9+4 √13 radio=3.60 Ya teniendo el radio, solo queda ordenar los valores del centro en la ecuación ordinaria y colocando el radio de igual manera. h=3 k=2 r=3.60 Ecuación ordinaria: (x-3)2+(y-2)2=12.96 El paso final es convertir la ecuación ordinaria a la general x2+y2+Dx+Ey+F=0 (x-3)2+(y-2)2=12.96 x2-6x+9+y2-4y+4-12.96=0 Ecuación general: x2+y2-6x-4y+.04=0 2.- Los siguientes puntos: A (-4,2); B (3,1) corresponden a los extremos de uno de los diámetros de la circunferencia. Determina el centro, el radio y su ecuación ordinaria. Traza su gráfica. En primer lugar se debe de calcular la distancia que hay entre los dos puntos con la fórmula√(x2-x1)2+(y2-y1)2, sacaremos la mitad de este resultado para obtener el radio Calculando distancia y radio √(3+4)2+(1-2)2 √(7)2+(-1)2 √49+1 √50 7.07/2 radio=3.53 Ya tenemos el radio. Ahora con la fórmula de punto medio X= x1+x2/2 y Y= y1+y2/2 determinaremos el centro de la circunferencia x=-4+3/2 x=-1/2 y=2+1/2 y=3/2 Punto P =(-1/2,3/2)

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Ye tenemos el radio y las coordenadas de la circunferencia. Las tenemos que pasar su ecuación ordinaria (x-h)2+(y-k)2=r2. Ecuación ordinaria = (x+1/2)2+(y-3/2)2=12.46 Gráfica

3.- Determina la ecuación ordinaria y general de la circunferencia dados el centro y el radio C(-4,-5); r = √2 Para la ecuación ordinaria simplemente se deben de acomodar los datos dados en la ecuación h=4 k=5 r=√2 Ecuación ordinaria: (x-4)2+(y-5)2=2 Cambiamos a ecuación general (x-4)2+(y-5)2=2 x2-8x+16+y2-10y+25-2=0 Ecuación general: x2+y2-8x-10y+39=0 4.- Determina la ecuación ordinaria de la circunferencia dado el radio y cuyo centro se encuentra en la intersección de las rectas que se te proporcionan. Elabora una gráfica donde incluyas a la circunferencia y a las dos rectas: radio = 8 unidades y 5x-y+7=0; 3x+6y+9=0. Para este problema debemos de aplicar nuestros conocimientos de algebra, ecuaciones lineales con 2 incognitas a las ecuaciones de las recta proporcionadas, de esta forma conoceremos el centro de la circunferencia. (6)(5x-y+7=0) + (3x+6y+9=0) = 30x+16=0 30x = -16 x=-16/30 x=-8/15 Sustituir en 2 3(-8/15)+6y+9=0 -8/5+6y=-9 6y=-9+8/5 y=-7.4/6 y=-1.23 Se unen las coordenadas para hacer el punto del centro Centro=(-0.53,-1.23) Ecuación ordinaria (x+0.53)2+(y+1.23)2=64

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Gráfica

IV. Reduce las siguientes ecuaciones a su forma ordinaria. Determina si representa un punto, una circunferencia imaginaria o una circunferencia. En este último caso determina su centro y radio 1.Para este tipo de casos debemos de hacer uso de conocimientos de factorización para completar cuadrados en la ecuación. 3x2+3y2+30x-18y+114=0 x2+y2+10x-6y+38=0 x2+10x+y2-6y=-38 x2+10x+25+y2-6y+9=-38+25+9 x2+10x+y2-6y+34=-4 (x+5)2+(y-3)2=-4 2.Para este tipo de casos debemos de hacer uso de conocimientos de factorización para completar cuadrados en la ecuación. 4x2+4y2-16x+24y+52=0 x2+y2-4x+6y+13=0 x2-4x+y2+6y=-13 x2-4x-4+y2+6y+9=-13-4+9 x2-4x+y2+6y+5=-8 (x-2)2+(y+3)2=-8 Centro: (2,-3) Radio: imaginario V. Encuentra la ecuación de la circunferencia cuyo centro es el punto (2, -3) y es tangente al eje Y. Elabora la gráfica. Tenemos el centro, y podemos decir que el otro punto que nos da el problema es (0,-3) ya que por ahí cruza la tangente de la circunferencia. Solo tenemos que calcular la distancia entre las 2 coordenadas que tenemos con la fórmula √(x2-x1)2+(y2-y1)2 para obtener el radio y así poder hacer la ecuación requerida.

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√(2-0)2+(-3+3)2 √(2)2+(0)2 √4+0 Elaboramos la ecuación requerida h=-2 k=3 r=2 Ecuación de la circunferencia: (x-2)2+(y+3)2=4

√4

r=2

VI. La ecuación reducida de una circunferencia es x 2 + y 2 = 9 . Determina su centro y su radio. Elabora la gráfica correspondiente. Cuando la ecuación tiene la forma x2+y2=r2 es porque los valores de h y k valen 0. En este caso la circunferencia tendría su centro en el origen. Centro: (0,0) El valor del radio no cambia r=√9 r=3

VII. Encuentra la ecuación de la circunferencia que pasa por A (8,2) y B(3,6) y tiene una radio de 4 unidades. En esta ocasión tenemos que hacer un despeje de incógnitas teniendo como base la distancia que hay del centro hacia cualquier punto de la circunferencia Tenemos que √(x2-x1)2+(y2-y1)2 es la distancia entre dos puntos, entonces utilizando como

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referencia el punto A y la longitud del radio obtenemos √(h-8)2+(k-2)2=4, donde h y k son las coordenadas del centro √(h-8)2+(k-2)2=4 √h2+64+k2+4=4 √h2+k2+68=4 h+k+8.24=4 h vale 0 k=4-8.24 k=-4.24 Sustituyendo h-4.24+8.24=4 h=4+4.24-8.4 h=0 Coordenadas (-4.24,0) Ecuación ordinaria: (x+4.24)2+(y)2=16